Teorija vjerojatnosti. Rješavanje problema (2020.)
Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.
Opća formulacija problema: vjerojatnosti nekih događaja su poznate, ali je potrebno izračunati vjerojatnosti drugih događaja koji su povezani s tim događajima. U tim zadacima postoji potreba za radnjama na vjerojatnostima kao što su zbrajanje i množenje vjerojatnosti.
Na primjer, pri lovu se ispaljuju dva metka. Događaj A- pogoditi patku iz prvog hica, događaj B- pogodio iz drugog hica. Zatim zbroj događaja A i B- pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica.
Zadaci drugačijeg tipa. Zadano je nekoliko događaja, na primjer, novčić se baca tri puta. Potrebno je pronaći vjerojatnost da će grb biti ispušten sva tri puta, ili da će grb biti nacrtan barem jednom. Ovo je problem množenja vjerojatnosti.
Zbrajanje vjerojatnosti nedosljednih događaja
Zbrajanje vjerojatnosti koristi se kada trebate izračunati vjerojatnost unije ili logičkog zbroja slučajnih događaja.
Zbroj događaja A i B označiti A + B ili A ∪ B... Zbroj dvaju događaja je događaj koji se događa ako i samo kada se dogodi barem jedan od događaja. Znači da A + B- događaj koji se događa ako i samo kada se događaj dogodio tijekom promatranja A ili događaj B, ili u isto vrijeme A i B.
Ako događaji A i B su međusobno nedosljedne i dane su njihove vjerojatnosti, tada se vjerojatnost da će se jedan od tih događaja dogoditi kao rezultat jednog testa izračunava zbrajanjem vjerojatnosti.
Teorem zbrajanja za vjerojatnosti. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od dva međusobno nekompatibilna događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:
Na primjer, tijekom lova ispaljuju se dva metka. Događaj A- pogoditi patku iz prvog hica, događaj V- pogodak iz drugog udarca, događaj ( A+ V) - pogodak iz prvog ili drugog hica ili iz dva hica. Dakle, ako dva događaja A i V- dakle nespojivi događaji A+ V- početak barem jednog od ovih događaja ili dva događaja.
Primjer 1. U kutiji se nalazi 30 loptica iste veličine: 10 crvenih, 5 plavih i 15 bijelih. Izračunajte vjerojatnost da će obojena (ne bijela) lopta biti uzeta bez gledanja.
Riješenje. Pretpostavimo da je događaj A- "crvena lopta je uzeta", i događaj V- "uzima se plava lopta." Tada je događaj "uzeta je obojena (ne bijela) lopta". Pronađite vjerojatnost događaja A:
i događaji V:
Razvoj A i V- međusobno nespojive, jer ako se uzme jedna lopta, ne možete uzeti kuglice različitih boja. Stoga koristimo zbrajanje vjerojatnosti:
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za nekoliko nekonzistentnih događaja. Ako događaji čine kompletan skup događaja, tada je zbroj njihovih vjerojatnosti 1:
Zbroj vjerojatnosti suprotnih događaja također je jednak 1:
Suprotni događaji čine potpuni skup događaja, a vjerojatnost kompletnog skupa događaja je 1.
Vjerojatnosti suprotnih događaja obično se označavaju malim slovima str i q... Posebno,
iz čega slijede sljedeće formule za vjerojatnost suprotnih događaja:
Primjer 2. Meta u streljani podijeljena je u 3 zone. Vjerojatnost da će određeni strijelac pucati u metu u prvoj zoni je 0,15, u drugoj zoni - 0,23, u trećoj zoni - 0,17. Pronađite vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu i vjerojatnost da će strijelac promašiti metu.
Rješenje: Nađimo vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu:
Nađimo vjerojatnost da strijelac promaši metu:
Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci o zbrajanju i množenju vjerojatnosti".
Zbrajanje vjerojatnosti međusobno kompatibilnih događaja
Dva slučajna događaja nazivaju se zajedničkim ako pojava jednog događaja ne isključuje pojavu drugog događaja u istom opažanju. Na primjer, kada bacate kocku, događaj A smatra se pad broja 4, a događaj V- ispao je paran broj. Budući da je broj 4 paran broj, ta su dva događaja kompatibilna. U praksi postoje zadaci za izračunavanje vjerojatnosti jednog od međusobno zajedničkih događaja.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje. Vjerojatnost da će se dogoditi jedan od zajedničkih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja, od čega se oduzima vjerojatnost zajedničkog nastupa oba događaja, odnosno umnožak vjerojatnosti. Formula za vjerojatnosti zajedničkih događaja je sljedeća:
Od događaja A i V kompatibilan, događaj A+ V nastaje ako se dogodi jedan od tri moguća događaja: ili AB... Prema teoremu zbrajanja nespojivih događaja računamo na sljedeći način:
Događaj A dogodit će se ako se dogodi jedan od dva nedosljedna događaja: ili AB... Međutim, vjerojatnost pojave jednog događaja iz nekoliko nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti svih ovih događaja:
Također:
Zamjenom izraza (6) i (7) u izraz (5) dobivamo formulu vjerojatnosti za zajedničke događaje:
Pri korištenju formule (8) treba imati na umu da događaji A i V može biti:
- međusobno neovisni;
- međusobno ovisni.
Formula vjerojatnosti za međusobno neovisne događaje:
Formula vjerojatnosti za međusobno ovisne događaje:
Ako događaji A i V su nedosljedni, onda je njihova podudarnost nemoguć slučaj i, stoga, P(AB) = 0. Četvrta formula vjerojatnosti za nedosljedne događaje je sljedeća:
Primjer 3. U automobilskoj utrci, kada vozite prvi automobil, postoji šansa za pobjedu, kada vozite u drugom automobilu. Pronaći:
- vjerojatnost da će oba automobila pobijediti;
- vjerojatnost da će barem jedan automobil pobijediti;
1) Vjerojatnost da će prvi automobil pobijediti ne ovisi o rezultatu drugog automobila, dakle o događajima A(prvi auto pobjeđuje) i V(drugi automobil pobjeđuje) - neovisni događaji. Nađimo vjerojatnost da će oba automobila pobijediti:
2) Nađimo vjerojatnost da će jedan od dva automobila pobijediti:
Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti - na stranici "Razni zadaci o zbrajanju i množenju vjerojatnosti".
Riješite sami problem zbrajanja vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 4. Bacaju se dva novčića. Događaj A- ispadanje iz grba na prvom novcu. Događaj B- ispadanje iz grba na drugom novcu. Pronađite vjerojatnost događaja C = A + B .
Množenje vjerojatnosti
Množenje vjerojatnosti koristi se prilikom izračunavanja vjerojatnosti logičkog produkta događaja.
Štoviše, slučajni događaji moraju biti neovisni. Dva događaja nazivaju se međusobno neovisnima ako pojava jednog događaja ne utječe na vjerojatnost nastanka drugog događaja.
Teorem množenja za vjerojatnosti za nezavisne događaje. Vjerojatnost istodobne pojave dva neovisna događaja A i V jednak je umnošku vjerojatnosti tih događaja i izračunava se po formuli:
Primjer 5. Novčić se baca tri puta za redom. Nađite vjerojatnost da će grb sva tri puta biti ispušten.
Riješenje. Vjerojatnost da će se pri prvom bacanju novčića pojaviti grb, drugi put, treći put. Nađimo vjerojatnost da će grb biti nacrtan sva tri puta:
Riješite sami probleme s množenjem vjerojatnosti, a zatim pogledajte rješenje
Primjer 6. Uključuje kutiju s devet novih teniskih loptica. Za igru se uzimaju tri lopte, nakon igre se vraćaju. Prilikom odabira lopti ne razlikuju se odigrane i neodigrane. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u petercu ne ostane nijedna lopta?
Primjer 7. Na karticama podijeljene abecede ispisana su 32 slova ruske abecede. Pet karata se nasumce vade jedna za drugom i stavljaju na stol po redoslijedu pojavljivanja. Pronađite vjerojatnost da će slova tvoriti riječ "kraj".
Primjer 8. Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom. Pronađite vjerojatnost da su sve četiri ove karte različite boje.
Primjer 9. Isti problem kao u primjeru 8, ali nakon vađenja, svaka karta se vraća u špil.
Teži zadaci u kojima trebate primijeniti i zbrajanje i množenje vjerojatnosti, kao i izračunati umnožak nekoliko događaja - na stranici "Razni zadaci o zbrajanju i množenju vjerojatnosti".
Vjerojatnost da će se dogoditi barem jedan od međusobno neovisnih događaja može se izračunati tako da se od 1 oduzme umnožak vjerojatnosti suprotnih događaja, odnosno korištenjem formule.
Unija (logički zbroj) N događaja naziva se događaj 
što se svaki put promatra barem jedan od događaji 
... Konkretno, unija događaja A i B je događaj A+
B(neki autori
), što se opaža kada dolaziili
A,ili
Bili
oba ova događaja u isto vrijeme(slika 7). Znak sjecišta u tekstualnim formulacijama događaja je sjedinjenje "ili".
Riža. 7. Kombiniranje događaja A + B
Treba imati na umu da vjerojatnost događaja P (A) odgovara oba lijevi dio zasjenjenog dijela na Sl. 7 slike, i njezin središnji dio, označen kao 
... A ishodi koji odgovaraju događaju B nalaze se i na desnoj strani zasjenjene figure i na označenom 
središnji dio. Dakle, prilikom dodavanja 
i 
područje 
zapravo će dvaput unijeti ovaj zbroj, a točan izraz za područje osjenčane figure je 
.
Tako, vjerojatnost ujedinjenja dva događaja A i B jednaka je
Za veliki broj događaja opći računski izraz postaje iznimno glomazan zbog potrebe da se u obzir uzmu brojne varijante međusobnog preklapanja regija. Međutim, ako su događaji koji se kombiniraju nekompatibilni (vidi str. 33), tada se ispostavlja da je preklapanje područja nemoguće, a povoljna zona određuje se izravno zbrojem područja koja odgovaraju pojedinim događajima.
Vjerojatnost amalgamacije proizvoljan broj nedosljedan događaji 
definiran izrazom
|
|
Posljedica 1: Cjelovita skupina događaja sastoji se od nedosljednih događaja, od kojih se jedan nužno ostvaruje u iskustvu. Kao rezultat, ako događaji
…
,čine kompletnu grupu, zatim za njih
Tako,
SPosljedica 3 Uzmimo u obzir da će se suprotna izjava “dogoditi barem jedan od događaja 
…
"Je li izjava" niti jedan od događaja 
…
nije implementirano. " To jest, drugim riječima, „u iskustvu će se promatrati događaji 
, i 
, i ..., i 
“, Što je već sjecište događaja suprotno izvornom skupu. Dakle, uzimajući u obzir (2.0), za kombiniranje proizvoljnog broja događaja dobivamo
|
|
Posljedice 2, 3 pokazuju da je u slučajevima kada je izravan izračun vjerojatnosti događaja problematičan, korisno procijeniti složenost istraživanja događaja suprotnog njemu. Uostalom, znajući značenje 
, dobiti iz (2 .0) traženu vrijednost 
više ne predstavlja nikakav rad.
Primjeri izračunavanja vjerojatnosti složenih događaja
Primjer 1 : Dva učenika (Ivanov i Petrov) zajedno Ipohrlio u obranu laboratorijskog rada, naučivši prvih 8 konod 10 dostupnih pitanja za ovaj rad. Provjera spremnosti, nučitelj pita svakoga samo jednon nasumično odabrano pitanje. Odredite vjerojatnost sljedećih događaja:
A= “Ivanov će braniti laboratorijski rad”;
B= “Petrov će braniti laboratorijski rad”;
C= “Obojica brane laboratorijski rad”;
D= “Najmanje jedan od učenika će braniti posao”;
E= “Samo jedan od učenika će braniti posao”;
F= "Nitko od njih neće braniti posao."
Riješenje. Imajte na umu da je sposobnost obrane posla poput Ivanove, tkao i Petrova zasebno određuje samo broj pitanja svladanih, pjesnikna... (Napomena: u ovom primjeru vrijednosti dobivenih razlomaka namjerno nisu smanjene kako bi se pojednostavila usporedba rezultata izračuna.)
DogađajCmože se drugačije formulirati kao "djelo će štititi i Ivanov i Petrov", t.j. dogodit će sei događajA, i događajB... Dakle, događajCje sjecište događajaAiB, a u skladu s (2 .0)
gdje se faktor “7/9” pojavljuje zbog činjenice da je pojava događajaAznači da je Ivanov dobio “dobro” pitanje, što znači da Petrov sada ima samo 7 “dobrih” pitanja od preostalih 9 pitanja.
DogađajDpodrazumijeva da će “djelo biti zaštićenoili Ivanov,ili Petrov,ili oboje su zajedno”, tj. dogodit će se barem jedan od događajaAiB... Dakle, događajDje unija događajaAiB, a u skladu s (2 .0)
što je u skladu s očekivanjima, budući da čak i za svakog učenika ponaosob izgledi za uspjeh su prilično visoki.
Spojava E znači da će “ili Ivano braniti posaoc, i Petrov "strSlapovi ",ili Ivanov će biti uhvaćen bez uspjehasamo pitajte, a Petrov će se nositi s obranom." Dvije alternative se međusobno isključuju (nedosljedne), dakle
Konačno, izjavaFbit će istina samo ako "i Ivanov,i Petrov sa zaštitomne snaći će se." Tako,
Time je dovršeno rješenje problema, ali je korisno napomenuti sljedeće:
1. Svaka od dobivenih vjerojatnosti zadovoljava uvjet (1 .0),oh ako za
i 
dobiti sukobs(1 .0) je u principu nemoguće, onda za
pokušaj ikorištenje (2.0) umjesto (2.0) dovelo bi do očito neispravljenogect vrijednost
... Važno je zapamtiti da je takva vrijednost vjerojatnosti u osnovi nemoguća, a nakon dobivanja takvog paradoksalnog rezultata, odmah počnite tražiti pogrešku.
2. Pronađene vjerojatnosti zadovoljavaju relacijem
.
NSonda je sasvim očekivano, budući da razvoj događajaC, EiFobrazac pungrupa i događajiDiFsu suprotne jedna drugoj. Razmatranje ovihmogu se koristiti omjeri s jedne stranekombi da još jednom provjeri izračune, a u drugoj situaciji može poslužiti kao osnova za alternativni način rješavanja problema.
NS Bilješka : Nemojte zanemariti pisanu fiksacijutočnu formulaciju događaja, inače, tijekom rješavanja problema, možete nehotice prijeći na drugačiju interpretaciju značenja ovog događaja, što će dovesti do pogrešaka u zaključivanju.
Primjer 2 : U velikoj seriji mikro krugova koji nisu prošli konačnu kontrolu kvalitete, 30% proizvoda je neispravno.Ako nasumično odaberete bilo koja dva mikro kruga iz ove serije, što je ondavjerojatnost da je među njima:
A= “Oboje vrijedi”;
B= "Točno 1 upotrebljiv mikro krug";
C= "Oba neispravna".
Analizirajmo sljedeću verziju obrazloženja (oprezno, sadrži bug):
Budući da je riječ o velikoj seriji proizvoda, uklanjanje nekoliko mikro krugova iz nje praktički ne utječe na omjer broja dobrih i neispravnih proizvoda, što znači da odabirom nekih mikro krugova iz ove serije nekoliko puta zaredom možemo pretpostaviti da u svakom od slučajeva ostaju nepromijenjene vjerojatnosti
=
P(odabran neispravan predmet) = 0,3 i
=
P(odabran dobar proizvod) = 0,7.
Da bi se događaj dogodioApotrebno je dai prvi,i po drugi put je odabran prikladan proizvod i stoga (uzimajući u obzir neovisnost jedne od drugih o uspješnosti izbora prvog i drugog mikrosklopa) za sjecište događaja imamo
Slično, da bi se dogodio događaj C, oba proizvoda moraju biti neispravna, a da biste dobili B, trebate jednom odabrati odgovarajući proizvod, a jednom neispravan proizvod.
Simptom greške. NSiako sve gore dobivene vjerojatnostii izgledaju uvjerljivo, kada se analiziraju zajedno, to je lakoprimijetite da .Međutim, slučajeviA, BiCformiraju potpunuskupina događaja za koju se treba pokrenuti .Ova kontradikcija ukazuje na prisutnost neke vrste greške u zaključivanju.
S puno grešaka. U razmatranje uvodimo dva pomoćnadogađaji lana:
= "Prvi mikro krug je dobar, drugi je neispravan";
= "Prvi mikro krug je neispravan, drugi je dobar."
Očigledno je da je, međutim, upravo ova verzija izračuna korištena gore za dobivanje vjerojatnosti događajaBiako događajiBi
nisu uhekvivalent... Zapravo,
od formulacijarazvoj događajaBzahtijeva da među mikro krugovima točnojedan
ali apsolutnone nužno prvi
bio dobar (a drugi je bio neispravan). Stoga, iako
događaj 
nije duplikat događaja 
, ali treba uzeti u obzirsamostalno. S obzirom na nedosljednost događaja 
i 
,
vjerojatnost njihova logičkog zbroja bit će
Nakon naznačene korekcije proračuna, imamo
što posredno potvrđuje ispravnost pronađenih vjerojatnosti.
Bilješka : Obratite posebnu pozornost na razliku u formulaciji događaja poput „samoprvi od navedenih elemenata mora ... samo "i".jedan navedenog aleaenti bi trebali ...”. Potonji događaj očito je širi i uključujeTu svom sastavu prvi kao jedan od (možda brojnihx) opcije. Ove alternative (čak i ako se njihove vjerojatnosti podudaraju) treba razmatrati neovisno jedna o drugoj.
NS Bilješka : Riječ "postotak" dolazi od "po cent“, tj."Jedna stotina". Prikaz frekvencija i vjerojatnosti u postocima omogućuje rad s većim vrijednostima, što ponekad olakšava percipiranje vrijednosti "na uho". Međutim, glomazno je i neučinkovito koristiti množenje ili dijeljenje sa "100%" u izračunima za ispravnu normalizaciju. S tim u vezi, ne sKada koristite vrijednosti, svakako ih spomeniteizražene u postocima, zamijenite ih u izračunatim izrazima zaisto u obliku razlomaka od jedan (na primjer, 35% u izračunu je napisanoi kao "0,35") kako bi se smanjio rizik od pogrešne normalizacije rezultata.
Primjer 3 : Set otpornika sadrži jedan otpornik4 kΩ nominalni, tri otpornika od 8 kΩ i šest otpornikaorori s otporom od 15 kOhm. Tri nasumično odabrana otpornika spojena su paralelno jedan s drugim. Odredite vjerojatnost dobivanja konačnog otpora koji ne prelazi 4 kOhm.
Resh enie. Rezanje otpora paralelne vezepovijest se može izračunati po formuli
.
To omogućuje događaje kao što su
A= “Odabrana tri otpornika od 15 kΩ” = “
”;
B= “Udva otpornika od 15 kOhm i jedan otpornim 8 kOhm "="
”…
Kompletna skupina događaja koja odgovara stanju problema uključuje još niz opcija, a upravo onekoji udovoljavaju zahtjevu za postizanje otpora ne većeg od 4 kOhm. Međutim, iako je "izravni" put rješenja, koji uključuje izračun (i naknadne zbrojeomjera) vjerojatnosti koje karakteriziraju sve te događaje, te je ispravno, nepraktično je tako postupati.
Imajte na umu da da biste dobili konačni otpor manji od 4 kΩ ddovoljno je da barem jedan otpornik ima otpormanje od 15 kOhm. Dakle, samo u slučajuAnije ispunjen zahtjev zadatka, t.j. događajAjesuprotan istražena. Međutim,
.
Tako, .
NS
ri
označavanje
: Izračunavanje vjerojatnosti nekog događajaA, ne zaboravite analizirati složenost definicijeI vjerojatnost događaja suprotnog tome. Ako rassčitati
lako, onda s ovim trebate početi rješavatisvojim zadacima, dovršavajući ga primjenom relacije (2 .0).
NS Primjer 4 : Kutija sadržinbijela,mcrna ikcrvene kuglice. Kuglice se vade iz kutije jedna po jednai vraćao se nakon svakog vađenja. Odredite vjerojatnostrazvoj događajaA= “Bijela loptabit će izvađen prije nego crni” .
Resh enie. Razmotrite sljedeći niz događaja
= “Bijela lopta je izvađena iz prvog pokušaja”;
= “Prvo je izvadio crvenu loptu pa onda bijelu”;
= “Dvaput je uklonjena crvena lopta, a treći put - bijela”…
Tako daKako se loptice vraćaju, slijed jecajavan
može biti formalno beskonačno duga.
Ovi događaji su nedosljedni i u zbiru čine skup situacija u kojima se događaj događa.A... Tako,
Lako je vidjeti da se izrazi uključeni u zbroj oblikujugeometrijska progresija
s početnim elementom
i nazivnik 
... Ali sumea elementi beskonačne geometrijske progresije je
|
|
.
Tako, . LZanimljivo je da ova vjerojatnost (kako slijedi iz dobiveneth izraz) ne ovisi o broju crvenih loptica u kutiji.
Kako izračunati vjerojatnost događaja?
Razumijem da svi žele unaprijed znati kako će sportski događaj završiti, tko će pobijediti, a tko izgubiti. Uz ove informacije možete se bez straha kladiti na sportske događaje. No, je li to uopće moguće, i ako jest, kako izračunati vjerojatnost nekog događaja?
Vjerojatnost je relativna vrijednost, stoga ne može s točnošću govoriti ni o jednom događaju. Ova vrijednost vam omogućuje analizu i procjenu potrebe za klađenjem na određeno natjecanje. Određivanje vjerojatnosti je cijela znanost koja zahtijeva pažljivo proučavanje i razumijevanje.
Koeficijent vjerojatnosti u teoriji vjerojatnosti
U sportskom klađenju postoji nekoliko opcija za ishod natjecanja:
- pobjeda prve ekipe;
- pobjeda druge ekipe;
- crtati;
- ukupno.
Svaki ishod natjecanja ima svoju vjerojatnost i učestalost s kojom će se ovaj događaj dogoditi, pod uvjetom da su sačuvane početne karakteristike. Kao što je ranije spomenuto, nemoguće je točno izračunati vjerojatnost bilo kojeg događaja - može se, ali i ne mora podudarati. Dakle, vaša oklada može dobiti ili izgubiti.
Ne može postojati točna 100% predviđanja rezultata natjecanja, jer na ishod utakmice utječu mnogi čimbenici. Naravno, kladionice ne znaju unaprijed ishod utakmice i samo pretpostavljaju rezultat, donoseći odluku na svom sustavu analize i nude određene koeficijente za oklade.
Kako izračunati vjerojatnost događaja?
Recimo da je koeficijent kladionice 2. 1/2 - dobivamo 50%. Ispada da je koeficijent 2 jednak vjerojatnosti od 50%. Po istom principu možete dobiti omjer šansi - 1 / vjerojatnost.
Mnogi igrači misle da će nakon nekoliko ponovljenih poraza sigurno doći do pobjede - to je zabluda. Vjerojatnost dobitka u okladi ne ovisi o broju gubitaka. Čak i ako bacite nekoliko glava zaredom u igri novčića, vjerojatnost bacanja glava ostaje ista - 50%.
Želite li znati koji će matematički izgledi vaše oklade biti uspješni? Onda imamo dvije dobre vijesti za vas. Prvo: da biste izračunali sposobnost trčanja, ne morate provoditi složene izračune i trošiti puno vremena. Dovoljno je koristiti jednostavne formule za koje će vam trebati nekoliko minuta za rad. Drugo, nakon što pročitate ovaj članak, lako možete izračunati vjerojatnost prolaska bilo koje vaše trgovine.
Da biste ispravno odredili prohodnost, morate poduzeti tri koraka:
- Izračunajte postotak vjerojatnosti ishoda događaja po mišljenju kladionice;
- Izračunajte sami vjerojatnost iz statističkih podataka;
- Saznajte vrijednost oklade, uzimajući u obzir obje vjerojatnosti.
Razmotrimo svaki od koraka detaljno, koristeći ne samo formule, već i primjere.
Prvi korak je saznati s kojom vjerojatnošću kladioničar sam procjenjuje šanse za određeni ishod. Uostalom, jasno je da se tečajevi kladioničara ne postavljaju tek tako. Da bismo to učinili, koristimo sljedeću formulu:
PB= (1 / K) * 100%,
gdje je P B vjerojatnost ishoda prema kladionici;
K je koeficijent kladionice za ishod.
Recimo da postoji koeficijent 4 za pobjedu londonskog Arsenala u dvoboju protiv Bayerna Münchena. To znači da se vjerojatnost njegove Viktorije BC smatra (1/4) * 100% = 25%. Ili Đoković igra protiv Južnog. Za Novaka postoji množitelj 1,2, a njegove šanse su (1 / 1,2) * 100% = 83%.
Ovako sama kladionica procjenjuje šanse za uspjeh svakog igrača i momčadi. Nakon završetka prvog koraka, prelazimo na drugi.
Izračun vjerojatnosti događaja od strane igrača
Druga točka našeg plana je naša vlastita procjena vjerojatnosti nekog događaja. Budući da ne možemo matematički uzeti u obzir parametre kao što su motivacija, ton igre, koristit ćemo pojednostavljeni model i koristit ćemo samo statistiku prethodnih susreta. Za izračunavanje statističke vjerojatnosti ishoda koristimo formulu:
PI= (UM / M) * 100%,
gdjePI- vjerojatnost događaja po mišljenju igrača;
UM - broj uspješnih utakmica u kojima se takav događaj održao;
M je ukupan broj utakmica.
Da bi bilo jasnije, navest ćemo primjere. Andy Murray i Rafael Nadal odigrali su 14 utakmica. U 6 od njih ukupno je bilo manje od 21 u utakmicama, u 8 - ukupno više. Potrebno je saznati vjerojatnost da će sljedeću borbu odigrati ukupno više: (8/14) * 100 = 57%. Valencia je u Mestalli protiv Atlética odigrala 74 utakmice u kojima je ostvarila 29 pobjeda. Valenciine šanse za pobjedu: (29/74) * 100% = 39%.
A sve to učimo samo zahvaljujući statistici prethodnih utakmica! Naravno, takva se vjerojatnost ne može izračunati za novu momčad ili igrača, pa je ova strategija klađenja prikladna samo za utakmice u kojima se protivnici nisu prvi put susreli. Sada smo u mogućnosti odrediti kladioničarevu i vlastitu vjerojatnost ishoda i imamo sve znanje da prijeđemo na zadnji korak.
Određivanje vrijednosti oklade
Vrijednost (vrijednost) oklade i prolaznost imaju izravnu vezu: što je veća vrijednost, veća je šansa za prolaz. Vrijednost se izračunava na sljedeći način:
V =PI* K-100%,
gdje je V vrijednost;
P I - vjerojatnost ishoda po mišljenju boljeg;
K je koeficijent kladionice za ishod.
Recimo da se želimo kladiti na pobjedu Milana u utakmici protiv Rome i izračunali da je vjerojatnost pobjede “crveno-crnih” 45%. Kladionica nam nudi koeficijent 2,5 za ovaj ishod. Bi li takva oklada bila vrijedna? Provodimo izračune: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Super, ovo je vrijedna oklada s dobrim izgledima za prolaz.
Uzmimo drugi slučaj. Maria Sharapova igra protiv Petre Kvitove. Želimo sklopiti dogovor da Maria pobijedi, čija je vjerojatnost, prema našim izračunima, 60%. Uredi nude množitelj od 1,5 za ovaj ishod. Odredite vrijednost: V = 60% * 1,5-100 = -10%. Kao što vidite, ova stopa nema vrijednost i od nje se treba suzdržati.
Vjerojatnost prolaska oklade: zaključak
Pri izračunu prohodnosti oklade koristili smo se jednostavnim modelom koji se temelji samo na statistici. Pri izračunu vjerojatnosti preporučljivo je uzeti u obzir mnogo različitih čimbenika koji su individualni u svakom sportu. Događa se da nisu statistički faktori ti koji imaju veći utjecaj. Bez toga bi sve bilo jednostavno i predvidljivo. Odabirom svoje niše s vremenom ćete naučiti uzeti u obzir sve ove nijanse i dati točniju procjenu vlastite vjerojatnosti događaja, uključujući mnoge druge utjecaje. Glavna stvar je voljeti ono što radite, postupno ići naprijed i korak po korak poboljšavati svoje vještine. Sretno i uspjeh u uzbudljivom svijetu klađenja!
TEMA 1 ... Klasična formula za izračun vjerojatnosti.
Osnovne definicije i formule:
Pokus čiji se ishod ne može predvidjeti naziva se slučajni eksperiment(SE).
Događaj koji se u određenom SE može dogoditi, ali i ne mora, naziva se slučajni događaj.
Elementarni ishodi poziv događajima koji ispunjavaju zahtjeve:
1. za bilo koju implementaciju SE javlja se jedan i samo jedan elementarni ishod;
2. svaki događaj je određena kombinacija, određeni skup elementarnih ishoda.
Skup svih mogućih elementarnih ishoda u potpunosti opisuje SE. Takav skup se obično naziva prostor elementarnih ishoda(PEI). Izbor SEI za opis ovog SE je dvosmislen i ovisi o problemu koji se rješava.
P (A) = n (A) / n,
gdje je n ukupan broj jednako mogućih ishoda,
n (A) je broj ishoda koji čine događaj A, kako se također kaže, povoljan za događaj A.
Riječi "nasumično", "nasumično", "nasumično" samo jamče jednaku mogućnost elementarnih ishoda.
Rješenje tipičnih primjera
Primjer 1. Iz urne koja sadrži 5 crvenih, 3 crne i 2 bijele kuglice uzimaju se nasumce 3 kuglice. Pronađite vjerojatnosti događaja:
A- “sve izvađene lopte su crvene”;
V- “sve izvađene lopte su iste boje”;
S- “među izvađenima su točno 2 crna”.
Riješenje:
Elementarni ishod ovog FE je trojka (poremećena!) loptica. Dakle, ukupan broj ishoda je broj kombinacija: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).
Događaj A sastoji se samo od onih trojki koje su izvučene iz pet crvenih kuglica, t.j. n (A) == 10.
Događaj V pored 10 crvenih trojki favoriziraju se i crne trojke čiji je broj = 1. Dakle: n (B) = 10 + 1 = 11.
Događaj S favoriziraju se one trojke kuglica koje sadrže 2 crne i jednu necrnu. Svaki način odabira dvije crne lopte može se kombinirati s izborom jedne ne-crne (od sedam). Dakle: n (C) = = 3 * 7 = 21.
Tako: P (A) = 10/120; P (B) = 11/120; P (C) = 21/120.
Primjer 2. Pod uvjetima prethodnog zadatka pretpostavit ćemo da kuglice svake boje imaju svoje numeriranje, počevši od 1. Nađi vjerojatnosti događaja:
D- “maksimalni broj ekstrahiranih je 4”;
E- “maksimalni izvučeni broj je 3”.
Riješenje:
Za izračunavanje n (D), možemo pretpostaviti da urna sadrži jednu kuglicu s brojem 4, jednu kuglu s većim brojem i 8 kuglica (3k + 3h + 2b) s manjim brojevima. Događaj D favoriziraju se one trojke kuglica koje nužno sadrže kuglicu s brojem 4 i 2 kuglice s manjim brojevima. Prema tome: n (D) = 
P (D) = 28/120.
Za izračunavanje n (E) uzmemo u obzir: u urni se nalaze dvije kuglice s brojem 3, dvije s velikim brojevima i šest kuglica s manjim brojevima (2k + 2h + 2b). Događaj E sastoji se od dvije vrste trojki:
1. jedna lopta s brojem 3 i dvije s manjim brojevima;
2.dvije kuglice s brojem 3 i jedna s manjim brojem.
Prema tome: n (E) = 
P (E) = 36/120.
Primjer 3. Svaka od M različitih čestica nasumično se baca u jednu od N stanica. Pronađite vjerojatnosti događaja:
A- sve čestice udare u drugu ćeliju;
V- sve čestice udare u jednu ćeliju;
S- svaka ćelija ne sadrži više od jedne čestice (M £ N);
D- sve ćelije su zauzete (M = N +1);
E- druga ćelija sadrži točno Do čestice.
Riješenje:
Za svaku česticu postoji N načina da se uđe u jednu ili drugu ćeliju. Prema osnovnom principu kombinatorike za M čestica imamo N * N * N *… * N (M-puta). Dakle, ukupan broj ishoda u ovom SE n = N M.
Za svaku česticu imamo jednu priliku da uđemo u drugu ćeliju, dakle n (A) = 1 * 1 *… * 1 = 1 M = 1, i P (A) = 1 / N M.
Ući u jednu ćeliju (u sve čestice) znači ući sve u prvu, ili sve u drugu, itd. svi u N-u. Ali svaka od ovih N opcija može se implementirati na jedan način. Dakle, n (B) = 1 + 1 +… + 1 (N-puta) = N i P (B) = N / N M.
Događaj C znači da svaka čestica ima jednu metodu smještaja manje od prethodne čestice, a prva može pasti u bilo koju od N ćelija. Zato:
n (C) = N * (N -1) * ... * (N + M -1) i P (C) = 
U konkretnom slučaju kada je M = N: P (C) =
Događaj D znači da jedna od stanica sadrži dvije čestice, a svaka od (N -1) preostalih stanica sadrži jednu česticu. Da bismo pronašli n (D), argumentiramo kako slijedi: odaberite ćeliju u kojoj će biti dvije čestice, to se može učiniti = N načina; tada odabiremo dvije čestice za ovu ćeliju, postoje načini za to. Nakon toga ćemo preostale (N -1) čestice jednu po jednu rasporediti u preostale (N -1) ćelije, za to imamo (N -1)! načine.
Dakle, n (D) = 
.
Broj n (E) može se izračunati na sljedeći način: Do čestice za drugu ćeliju mogu biti načini, preostale (M - K) čestice su nasumično raspoređene po (N -1) ćeliji (N -1) M-K putevima. Zato:
