Применение интегрального исчисления в профессиональной деятельности. Конспект урока "применение интеграла"
Просмотр содержимого документа
«МР комбинированного занятия для преподавателя "Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл".»
ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ
«БАРАБИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
комбинированного занятия для преподавателя
ДИСЦИПЛИНА "МАТЕМАТИКА"
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.6. Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл
Специальность
060101 Лечебное дело
Курс – первый
Методический лист
Формирование требований ГОС при изучении темы
« Основы интегрального исчисления. Определённый интеграл»
должен знать:
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
основные математические методы решения прикладных задач;
основы интегрального и дифференциального исчисления.
В результате изучения темы обучающийся должен уметь:
решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
Цели занятия:
Образовательные цели: повторить и закрепить навыки вычисления неопределенного и определенного интеграла, рассмотреть методы вычисления определенных интегралов, закрепить навык нахождения определённого интеграла
Воспитательные цели : содействовать формированию культуры общения, внимания, интереса к предмету, способствовать пониманию студентом сущности и социальной значимости своей будущей профессии, проявления к ней устойчивого интереса.
Развивающие цели:
способствовать
формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Вид занятия : комбинированное занятие
Продолжительность занятия : 90 минут
Межпредметные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат
Литература:
Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011. – 410, с. – (Медицина)
Математика: учеб. пособие / В.С. Михеев [и др.]; под ред. Н.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (Среднее профессиональное образование).
Оснащение занятия:
Раздаточный материал
Ход занятия
| № п/п | Этап урока | Время (мин) | Методические указания |
| Организационная часть | Проверка посещаемости и внешнего вида студентов. Сообщение темы, цели и плана занятия. |
||
| Мотивация | Понятие интеграла является одним из основных в математике. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа, знакомит учащихся с новым инструментом познания мира, а рассмотрение в школе применения интегрального исчисления к важнейшим разделам физики показывает учащимся значение и силу высшей математики. Необходимость полноценного изучения важнейших элементов интегрального исчисления связана с огромной значимостью и важностью этого материала при освоении профессиональной образовательной программы. В дальнейшем вам пригодятся знание определённого интеграла при нахождении решения уравнений определяющих скорость радиоактивного распада, размножения бактерий, сокращении мышцы, растворении лекарственного вещества в таблетке и многих других задач дифференциального исчисления применяемых в медицинской практике. |
||
| Актуализация опорных знаний | Необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов (Приложение 1) |
||
| Изложение нового материала | План изложения (Приложение 2) Определённый интеграл Свойства определённого интеграла Формула Ньютона-Лейбница Вычисление определенных интегралов различными методами Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Вычисление площади плоской фигуры |
||
| Практическая часть Выполнение упражнений для закрепления материала темы | (Приложение 3) Первичное закрепление полученных знаний и умений Осмысление полученных знаний и умений |
||
| Подведение итогов занятия | Выставление оценок, комментируя ошибки, сделанные в ходе работы |
||
| Домашнее задание | Подготовить теоретический материал к практическому занятию и выполнить задачи раздела «Самоконтроль» (Приложение 4) |
Приложение 1
Актуализация опорных знаний
Математический диктант
1 вариант
I .
II .
2 вариант
I. Вычислить неопределённые интегралы
II . Назвать метод вычисления интегралов
Приложение 2
Информационно-справочный материал
Определённый интеграл
Понятие интеграла связано с обратной задачей дифференцирования функции. Понятие определенного интеграла удобно рассматривать на решении задачи о вычислении площади криволинейной трапеции.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной с двух сторон перпендикулярами, восстановленными в точках а и b , сверху непрерывной кривой у = f (х) и снизу осью Ох , разобьем отрезок [а, b ] на небольшие отрезки:
a = x 0 x 1 x 2 ... x n -1 x n = b .
Восстановим перпендикуляры из этих точек до пересечения с кривой у = f (х) . Тогда площадь всей фигуры будет примерно равна сумме элементарных прямоугольников, имеющих основание, равное х i = х i -х i -1 , а высоту, равную значению функции f (х) внутри каждого прямоугольника. Чем меньше величина х i , тем точнее будет определяться площадь фигуры S . Следовательно:
Определение. Если существует предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b ] и выбора точек , то этот предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а, b ] и обозначают:
где f (x ) ‑ подынтегральная функция, х ‑ переменная интегрирования, а и b - пределы интегрирования (читается: определенный интеграл от a д o b эф от икс де икс).
Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла связан с определением площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией у = f (х) , снизу осью Ох , а по бокам ‑ перпендикулярами, восстановленными в точках а и b .
Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Свойства определенного интеграла
Если пределы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю:
Если переставить пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
Определенный интеграл от суммы конечного числа непрерывных функций f 1 (x ), f 2 (x )... f n (x ), заданных на отрезке [а, b ], равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
Если функция всегда положительна, либо всегда отрицательна на отрезке [а, b ], то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция:
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.
Теорема. Величина определенного интеграла от функции f (х) на отрезке [а, b ] равна приращению любой из первообразных для этой функции на данном отрезке:
Из этой теоремы следует, что определенный интеграл есть число, в то время как неопределенный ‑ совокупность первообразных функций. Таким образом, согласно формуле для нахождения определенного интеграла необходимо:
1. Найти неопределенный интеграл от данной функции, положив С = 0.
2. Подставить в выражение первообразной вместо аргумента х сначала верхний предел b , затем нижний предел а, и вычесть из первого результата второй.
Вычисление определенных интегралов различными методами
При вычислении определенных интегралов используют методы, рассмотренные для нахождения неопределенных интегралов.
Метод непосредственного интегрирования
Этот метод основан на использовании табличных интегралов и основных свойств определенного интеграла.
ПРИМЕРЫ:
1) Найти
Решение:
2) Найти
Решение:
3) Найти
Решение:
Метод замены переменной интегрирования
ПРИМЕР:
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную
u =3 x ‑ 1 , тогда du = 3 dx , dx = . При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен и b = 32 ‑ 1 = 5 , нижний ‑ и а =31 ‑ 1 = 2 . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:
Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на использовании формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:
ПРИМЕР:
1) Найти
Решение:
Пусть u = ln x , dv = xdx , тогда
Применение определенного интеграла к вычислению различных величин.
Вычисление площади плоской фигуры
Ранее было показано, что определенный интеграл можно использовать для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком функции у = f (x ), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b .
Если функция у = f (x ) находится ниже линии абсцисс, т.е. f (x )
Если функция у = f (x ) несколько раз пересекает ось Ох , то необходимо отдельно найти площади для участков, когда f (x ) 0, и сложить их с абсолютными величинами площадей, когда функция f (x )
ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью Ох на участке 0 х 2.
Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:
S = S 1 + | S 2 |,
где S 1 - ; площадь при у 0 ; S 2 - площадь при у 0.
S=2 + 2 = 4 кв.ед.
ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х 2 , осью Ох и прямыми х = 0, х = 2.
Решение. Построим графики функций у = х 2 и х = 2.
Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f
(x
)
0,то
Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая у = f (х) на отрезке [а, b ] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой находится по формуле:
ПРИМЕР
Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 на отрезке (y0)
Решение
Уравнение кривой y = x 3/2 , тогда y’ = 1,5 x 1/2 .
Сделав замену 1+получим:
Вернёмся к первоначальной переменной:
Вычисление объёма тела вращения
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f (x ) и прямыми х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох , то объём вращения вычисляется по формуле:
ПРИМЕР
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох
полуволной синусоиды
y
=
sin
x
,
при 0≤ х≤
.
Решение
Согласно формуле имеем:
Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования:
Приложение 3
Первичное закрепление изученного материала
1. Вычисление определённых интегралов
2. Приложения определённого интеграла
Площадь фигуры
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Путь, пройденный телом (точкой) при прямолинейном движении за промежуток времени от t 1 до t 2 (
v =3 t 2 +2 t -1 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за 10с от начала движения.
Скорость движения точки изменяется по закону v =6 t 2 +4 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.
Скорость движения точки v =12 t -3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.
Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v
=6
t
2
+2
t
(м/с),
второе
v
=4
t
+5 (м/с).
На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5с?
Приложение 4
Самоконтроль по теме
«Определённый интеграл и его применение»
| 1 вариант 1. Вычислите интегралы 2. y = - x 2 + x + 6 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v =9 t 2 -8 t (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за четвёртую секунду от начала движения. | 2 вариант 1. Вычислите интегралы 2. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y = - x 2 + 2 x + 3 и y = 0 3. Скорость движения точки изменяется по закону v = 8 t - 3 t 2 (t в с, v в м/с). Найдите путь, пройденный телом за пять секунд от начала движения. |
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе с расширенным изучением математики и физики
«Применение методов математического анализа при решении практических задач».
Учитель: Вишневская Н.В.
Цели урока: 1. Повторить основные типы задач, решаемые методами математического анализа.
2. Повторить алгоритмы решения.
3. Разобрать решение задач повышенной трудности.
4. Решить экономические задачи.
План проведения урока:
На доске разбираются две задачи повышенной трудности (карточки № 7 и № 5). Пока ребята готовятся, класс устно отвечает на вопросы:
а) Области, где применяются методы математического анализа;
б) алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции;
в) алгоритм решения задач с помощью определенного интеграла.
В это же время 6 человек работают по карточкам (№ 3, 4, 6, 8, 9, 10).
Заполняются таблицы.
Проверяются задачи на доске, учитель проверяет правильность решения задач по карточкам.
Разбирается на доске экономическая задача (карточка № 1, 2).
Домашняя контрольная работа.
Алгоритм решения задач методом поиска наибольших и наименьших значений функции.
Алгоритм вычисления геометрических и физических величин с помощью определенного интеграла.
Выражают искомую величину как значение в некоторой точке в функции F .
Находят производную f этой функции.
Выражают функцию F в виде определенного интеграла от f и вычисляют его.
Подставляя значение х = b находят искомую величину.
Домашние задачи (на доске):
Карточка № 7
Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О , по направлению к О . В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О , скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.
а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?
б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?
V 1 = 15 км/ч
65 км S 1 О
S 3 S 2
65 км
V л = 25 км/ч
V 2 = 20 км/ч
Решение:
х – время, которое прошло от того момента, когда оба корабля находились в 65 км от О , до момента отправления катера.
– время, которое необходимо катеру на путь от 1-го корабля до 2-го.
В момент отправления катера 1-й корабль был на расстоянии 
км от О
; в момент прибытия катера на 2-ой корабль, расстояние между ним и О
было равно км; путь катера равен 
. Тогда по теореме Пифагора
.
Продифференцируем по х :
; 
; 
Ответ: а) 1 час; б) 3 часа.
Карточка № 5
Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус его основания R = 3 м, глубина Н = 5 м. Котел наполнен жидкостью, удельный вес которой 0,8 Г/см 3 . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
у
А
R
В
dy
Н
у
О х х
R = 3 м
Н = 5 м
уд. вес = 0,8 Г/см 3
Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
Решение:
В плоскости сечения хОу
АОВ
– парабола, уравнение которой 
. Найдем параметр а
.
Координаты точки В должны удовлетворять этому уравнению, т.е.
,
, следовательно 
.
Разделим параболоид на слои плоскостями, параллельными поверхности жидкости. Пусть толщина слоя на глубине (Н
– у)
равна dy
. Тогда, принимая приближенно слой за цилиндр, получим его объем 
.
Из уравнения параболы 
, тогда 
, т.е. вес слоя жидкости равен 
.
Следовательно, чтобы выкачать жидкость с глубины 
, потребуется затратить элементарную работу 
, 
. Тогда
, тогда .
Ответ: 
.
Работа в классе.
Карточка № 6
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 кГ растягивает ее на 1 см?
Решение:
Согласно закону Гука сила F
кГ, растягивающая пружину на х
, равна 
, k
– коэффициент пропорциональности.
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда 
, следовательно 
.
Искомая работа 
.
Ответ: 0,18 кГм.
Карточка № 8
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение:
По закону Гука .
х = 0,01 м
F = 1 кГ
Тогда , следовательно .
Искомая работа 
.
Ответ: 0,125 кГм.
Карточка № 9
Сила F
, с которой электрический заряд 
отталкивает заряд 
(того же знака), находящийся от него на расстоянии r
, выражается формулой
,
где k – постоянная.
Определить работу силы F
при перемещении заряда из точки 
, отстоящей от на расстоянии 
, в точку 
, отстоящую от на расстоянии 
, полагая, что заряд помещен в точке 
, принятой за начало отсчета.
Решение:
Работа определяется по формуле 
, . Тогда
.
При 
получим 
.
Ответ: 
.
Карточка № 3
Определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R = 6 м, диаметр которого находится на поверхности воды.
Решение:
Сила давления жидкости на площадку площадью S
при глубине погружения х
равна 
, 
– удельный вес жидкости.
О
х С
dх
А В
Полукруг параллельными прямыми разделим на полоски, которые примем за прямоугольник. Пусть заштрихованная полоска имеет длину АВ
, ширину dx
и находится на глубине х
.
Давление воды на полоску, находящуюся на глубине х , будет равно .
Отсюда 
,
,
,
.
Удельный вес воды 1 см 3 = 1 Г, следовательно вес 1м 3 = 1000 кГ.
;
1 кГ 
9,81 н
1 бар = 0,987 атм.
Ответ: 144000 кГ.
Карточка № 4
Скорость движения точки 
м/сек. Найти путь s
, пройденный точкой за время Т
= 8 сек после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
Решение:
, следовательно 
, 
, 
.
Следовательно 
.
.
Ответ: 512 м; 64 м/сек.
Карточка № 1 (решается в классе на доске)
Средние совокупные издержки производства мыла 
(в тыс. рублей на тонну) на Мухинском мыловаренном заводе изменяются в зависимости от объема годового выпуска Q
(в тоннах) по закону:
.
Связь между годовым объемом продаж, равным величине годового выпуска Q , и ценой мыла Р (в тыс. рублей за тонну) описывается формулой
.
Реализовав по фиксированной цене все сваренное за год мыло, завод получил максимально возможную прибыль. Какова была при этом выручка предприятия?
Решение:
Выразим через Q
сначала цену мыла из формулы 
.
.
Тогда прибыль G можно выразить:
Найдем критические точки этой функции:
, 
.
Критические точки 100, –340, –120.
Отрицательные корни не имеют экономического смысла.
Q
G
;
.
Значит оптимальный годовой объем мыла 
т, тогда цена 
(тыс. руб./т).
Тогда годовая выручка R составит: (тыс. руб.).
Ответ: 1 млн. руб.
Карточка № 10
Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание равно 8 м, высота 12 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5 м.
Решение:
5 м
8 м
х
dx 12 м
, 
, 
м.
кГм.
.
Ответ: 
кГм.
Карточка № 2 (дополнительная)
Производственные мощности позволяют предприятию «Линотрон» выпускать не более 600 тонн ваты в год. Зависимость величины совокупных издержек 
(в тыс. рублей) от годового объема производства Q
(в тоннах) имеет вид
.
Связь между годовым объемом продаж ваты, который совпадает с объемом годового производства, и ценой на вату Р (в тыс. рублей за тонну) описывается функцией
Цена на вату устанавливается 1 января 1995 года и пересматривается лишь 1 января следующего года.
Найдите с точностью до 1 % рентабельность производства по издержкам, если за 1995 год предприятие получит максимально возможную прибыль.
Решение:
Используя зависимости и , выразим
.
у у 
a 0 b c x a 0 b c x
Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.
Даты возникновения некоторых математических знаков
|
Значение |
Когда знак введен, год |
||
|
Знаки объектов |
|||
|
бесконечность |
Дж. Валлис |
||
|
отношение длины окружности к диаметру |
|||
|
корень квадратный из |
|||
|
неизвестные или переменные величины |
Р. Декарт |
||
|
Знаки операций |
|||
|
сложение |
немецкие математики |
конец XV в. |
|
|
вычитание |
|||
|
умножение |
У. Оутред |
||
|
умножение |
Г. Лейбниц |
||
|
Г. Лейбниц |
|||
|
Р. Декарт |
|||
|
X. Рудольф |
|||
|
логарифм |
И. Кеплер |
||
|
Б. Кавальери |
|||
|
арксинус |
Ж. Лагранж |
||
|
|
дифференциал |
Г. Лейбниц |
|
|
интеграл |
Г. Лейбниц |
||
|
производная |
Г. Лейбниц |
||
|
определенный интеграл |
|||
|
факториал |
|||
|
У. Гамильтон многие математики |
|||
|
И. Бернулли |
|||
|
Знаки отношений |
|||
|
равенство |
Р. Рекорд |
||
|
Т. Гарриот |
|||
|
сравнимость |
|||
|
параллельность |
У. Оутред |
||
|
перпендикулярность |
П. Эригон |
||
Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).
Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.
В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.
В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?
Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .
Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.
Заметим,
что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет
также любая функция 
, отличающаяся от постоянным слагаемым : ведь 
.
Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.
Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если на каком-то промежутке , то функция постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная равна нулю во всех точках промежутка.
Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.
Первообразные функции обозначают символом
где знак читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида
, (1)
где - какая-то первообразная функции на данном промежутке, а - произвольная постоянная.
Например, на всей числовой оси
;
; 
.
Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: , чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.
Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции , , соответственно.
Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:
,
, 
, 
.
Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:
(вынесение постоянного множителя);
(интегрирование суммы); если
,
(замена переменной).
Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.
Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть - координата нашего тела в момент . Нам известно, таким образом, что и - постоянная. Требуется найти функцию - закон движения.
Поскольку , где , то, последовательно интегрируя, находим
Итак, мы нашли, что
, (3)
где и - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных и . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при , то выяснится, что , а из (3) при получается, что . Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения
вполне определится, если указать начальное положение и начальную скорость тела. В частности, если и , получаем .
Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная
элементарной функции (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом ), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как или , хотя и не входят в список элементарных функций.
Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:
Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.
Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.
Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент из промежутка времени скорости тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.
Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью . Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную функции на промежутке , то, поскольку , где - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью . Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.
Будем рассуждать следующим образом.
Если промежуток отдельными моментами , такими, что , разбить на очень мелкие временные промежутки , , то на каждом из этих коротких промежутков скорость тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени движение происходит с постоянной скоростью . В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где . Складывая эти величины, получаем приближенное значение
для всего перемещения на промежутке .
Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка мы произведем, т.е. чем меньше будет величина наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .
Значит, искомая нами величина перемещения есть предел
(5)
сумм вида (4), когда величина стремится к нулю.
Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции на промежутке . Интеграл обозначается символом
в котором числа называются пределами интегрирования, причем - нижним, a - верхним пределом интегрирования; функция , стоящая под знаком интеграла, называется подынтегральной функцией; - подынтегральным выражением; - переменной интегрирования.
Итак, по определению,
. (6)
Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток при известной скорости движения выражается интегралом (6) от функции по промежутку .
Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:
если . Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах и промежутка интегрирования) функции , первообразной подынтегральной функции . Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.
Интеграл
(6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так,
если (как
это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя,
т.е. с ),
то, найдя первообразную 
функции по формуле (7), получаем величину
перемещения за время, прошедшее от момента до момента .
На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке задана функция , то, разбивая промежуток точками , составляя интегральные суммы
где , , и переходя к пределу при , где , мы получаем по определению интеграл
(6")
от функции по промежутку . Если при этом на , т.е. - первообразная функции на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:
. (7)
|
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению. В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия. Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар. Эйлер
много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно
пользуется комплексными числами. Его имя носит формула Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию. Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: . Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления. Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники. |
, устанавливающая связь
тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании
комплексных чисел.Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.
Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.
Пусть требуется найти площадь изображенной на рис. 1 фигуры (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» которой есть график заданной на отрезке функции . Точками разобьем отрезок на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью соответствующего прямоугольника с основанием и высотой . В таком случае приближенное значение площади всей фигуры даст знакомая нам интегральная сумма , а точное значение искомой площади получится как предел таких сумм, когда длина наибольшего из отрезков разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:
Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь нижнего параболического треугольника. В нашем случае и . Нам известна первообразная функции , значит, можно воспользоваться формулой (7") Ньютона-Лейбница и без труда получить
.
Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.
При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что , , с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что
и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:
. (9)
С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде (произведение площади основания на высоту ). Сумма дает приближенное значение объема рассматриваемого тела вращения. Точное значение получится как предел таких сумм при . Значит,
. (10)
В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) , и , где - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную функции и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем
где площадь круга, лежащего в основании конуса.
В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.
«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер
Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж и ! В. Я. Брюсов
Владимир 2002 год
Владимирский государственный университет, Кафедра общей и прикладной физики
Вступление
Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений. Поэтому, я и решила исследовать интеграл и его применение.
История интегрального исчисления
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)
Символ ò введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summ a). Само слово интеграл придумал Я. Б е р у л л и (1690 г.) Вероятн о, оно происходит от латинского integro , которое переводится как приводи ь в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина инт грал иное: слово integer означает целый.
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что в е первообразные функции отличаются на произвольн ю постоянн ю. b
называют определенным интегралом (обо начение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эй лер).
Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.
Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольн иков стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.
С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа p (3.10/71 Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию
(рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертика
ьных отрезков длиной f(х), которым тем не менее приписывали
площадь, равн
ю бесконечно малой величине f(х)
. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной
основе И. Кеплер (1571-1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”. (1609 г.) и «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры ограниченной эллипсом) и объемов (тело разрезалось на 6ecконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598-1647) и Э.Торричелли (1608-1647). Сохраняет свое значение и в наше время сформулированный Б. Кавальери принцип, введенный им при некоторых дополнительных предположениях. Пусть требуется найти площадь фигуры, изображенной на рисунке 1,б, где кривые, ограничивающие фигуру сверху и снизу, имеют уравнения y = f(x) и y=f(x)+c. Представляя фигуру составленной из «неделимых», по терминологии Кавальери, бесконечно тонких столбиков, замечаем, что все они имеют общую длину с. Передвигая их в вертикальном направлении, можем составить из них прямоугольник с основанием b-а и высотой с. Поэтому искомая площадь равна площади полученного прямоугольника, т.е. S = S1 = c (b – а). Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур формулируется так: Пусть прямые некоторого пучка параллельных пересекают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 1,в). Тогда площади фигур Ф1 и Ф2 равны. Аналогичный принцип действует в стереометрии и оказывается полезн
м при нахождении объемов. В XVII в. были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П.Ферма уже в 1629 г. задачу квадратуры любой кривой у = хn, где п - целое (т.е по существу вывел формулу ò хndx = (1/n+1)хn+1), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функций в виде степенных рядов. Однако при всей значимости результатов, полученных многими чрезвычайно изобретательными математиками XVII столетия исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно общий алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известным под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научится находить первообразные многих функций, дать логические нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В.Остроградский (1801-1862), В.Я.Буняковский (1804-1889), П.Л.Ч
бышев (1821-1894). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение этой задачи связано с именами О.Коши, одного из крупнейших математиков, немецкого ученого Б.Римана (1826-1866), французского математика Г.Дарбу (1842-1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1838-1922) теории меры. Обобщающий урок по теме:
«Интеграл и его применение».
Эпиграф:
««Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».
Джордж Сантаяна.
Цели урока:
Общеобразовательные:
закрепить, повторить и обобщить знания, полученные при изучении темы: «Интеграл и его применение», закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, рассмотреть практическое применение данной темы в физике, геометрии и в профессии «Экономика и бухгалтерский учёт», подготовиться к практической работе. Развивающие:
развивать способности к реализации возможностей и потенциала в креативной деятельности; выработка навыков принятия творческих решений. Воспитательные:
воспитывать интерес к предмету, ответственного отношения к делу, готовность к взаимопомощи. Форма проведения урока:
урок – проблемная конференция. Тип урока:
«Повторительно – обобщающий». Оснащение урока:
мультимедиапроектор, компьютеры, компьютерная программа «Вычисление определённого интеграла», калькуляторы, плакат «Таблица первообразных», папки «Учись учиться», тесты, карточки с практическими заданиями. Межпредметные связи:
Физика
: «Вычисление работы, производимой телом», «Вычисление пути, пройденного телом». Геометрия:
«Вычисление объёмов и площадей тел вращения». Связь с профессией:
задачи с экономическим содержанием. План урока.
Орг. момент – 2 мин. Проведение конференции – 40 мин. а) Выступление историков; б) Выступление математиков; в) Выступление физиков; г) Выступление бухгалтеров; д) Выступление программистов. Подведение итогов – 2 мин. Домашнее задание – 1 мин. Ход урока.
Вступительное слово учителя:
Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Интеграл и его применение». Эпиграфом к этому уроку могут служить слова американского философа Джорджа Сантаяна: «Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике».
И сегодня на уроке мы ещё раз убедимся в справедливости этого высказывания. Цель нашего урока не только обобщить знания, полученные при изучении этой темы, закрепить практические навыки вычисления определённого интеграла, но и расширить представления о практическом применении интеграла, показать значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. И как окончательный итог изучения темы – практическая работа. Тема эта очень обширная, но большинство вопросов мы с вами уже рассмотрели на предыдущих уроках, мы проводим урок в виде «проблемной конференции». На конференции обычно приглашаются специалисты, занимающиеся разработкой смежных тем. В нашей конференции принимают участие несколько специалистов: * историки; * математики; * экономисты; *программисты. Это студенты вашей группы, которые получили домашнее задание – собрать, систематизировать материал по конкретному вопросу, может быть найти дополнительный материал, который мы не изучали. На нашем уроке так же присутствует студентка 3-го курса по специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Беляева Анна. Она не только помогает продемонстрировать нам слайды на экране, но и приняла активное участие в работе нашей конференции в качестве специалиста-программиста. В ходе нашей конференции все присутствующие могут задавать вопросы выступающим и принимать активное участие в её работе. И так, начинаем работу конференции: Слово имеет историк, который расскажет нам о возникновении интегрального исчисления. (см. приложение 1) Вопрос учителя:
В твоём выступлении прозвучало два подхода к определению определённого интеграла. Какой подход мы использовали для введения понятия определённого интеграла на уроках? Так ли это мы поймём, прослушав выступление математика. (см приложение 2) Слово учителя:
Прослушав это сообщение, каждый из вас освежил в памяти вес теоретический материал, который нам понадобится для успешного выполнения практической части нашей конференции. У вас на столах лежат задания, которые вы должны выполнить в ходе нашей конференции. Вы можете выполнять их вместе с группой или самостоятельно. Пример 1.
Вычислить интеграл
а)
∫
(6х
2
+4х-5)
d
х=(6·х
3
/3+4·х
2
/2-5х) =(2·3
3
+2·3
2
-5·3)-(2·1
3
+2·1
2
-5·1)=
=(54+18-15)-(2+2-5)=57+1=58
б)
∫
(cos
3х+
sin
½х)
d
х=(-⅓
sin
3х+2
cos
½х) =
π/2 π/2
=(-⅓
sin
3π+2
cos
½π)-(-⅓
sin
3π/2+2
cos
½π/2)=(-⅓·0+2·0)-(-⅓·(-1)+2·√2/2)
=0-(⅓+√2)=-⅓-√2.
Пример 2.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у=-(х+2)
2
+3, у=0.
Решение:
Графиком функции у=-х
2
+9
является парабола, ветви которой направлены вниз, координаты вершины параболы (0;9). Графиком функции у=0
является ось Ох.
Построим графики этих функций в одной системе координат. 3 0 3 х Найдём координаты точек пересечения графиков функций, для этого решим уравнение: -х
2
+9=0
-х
2
=-9
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим: S
=
∫(-
х
2
+9)
d
х=(-х
3
/3+9х)=(-(3)
3
/3+9·3)-(-(-3)
3
/3+9·(-3)=
-3
-3
=
18-(-18)=36 (кв.ед)
Ответ:
S
=36 кв.ед.
Слово учителя:
Я надеюсь вы вспомнили как вычисляется определённый интеграл. Сейчас я предлагаю проверить себя и ответить на вопросы теста. После выполнения работы, студенты проверяют правильность выполнения теста, используя предлагаемые критерии оценки. (см. приложение 3) Слово учителя:
Определённый интеграл широко применяется не только в математике, но и в физике, геометрии, химии. Об этом нам расскажет физик. (см. приложение 4) Слово учителя:
Мы опять возвращаемся к практической части нашей конференции, я предлагаю вам решить задачи с физическим содержанием. Задача 1.
Сила упругости пружины, растянутой
5 см
,
равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?
По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности. На рис а) точка 0 соответствует свободному положению пружины. Из условия задачи следует, что 3=k·0,05. Следовательно, k=60 и сила F=60х, а по формуле находим: 0,05 0,05
А=
∫
60х
d
х=30х
2
=30·0,05
2
-30·0
2
=0,075 Дж.
0
0
Ответ: А=0,075 Дж. Задача 2.
Найти путь, пройденный материальной точкой за 10с от начала движения со скоростью
v
=0,1
t
3
м/с.
Решение:
t
2
Т.к. t 1 =0 и t 2 =10, то подставив в формулу S
=
∫
v
(
t
)
dt
, получим t1
S=∫0,1t 3 dt=0,1t 4 /4 =250м. Ответ: S=250м. Слово учителя:
Мы убедились с вами, в том, что интеграл имеет широкое применение в физике. А нельзя ли решать задачи с экономическим содержанием с помощью определённого интеграла? На этот вопрос ответит специалист по экономическим вопросам. (см. приложение 5) Слово учителя:
И так, с помощью интеграла можно решать экономические задачи. Задача.
Производительность труда рабочего в течении дня задаётся функцией
f
(t
)=-0,00625
t
2
+0,05
t
+0,5 (ден. ед/ч.) , где
t
– время в часах от начала работы,0≤
t
≤8. Найти функцию
Q
(t
), выражающую объём продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.
Применяя формулу, получим: Q
=
∫
(-0,00625
t
2
+0,05
t
+0,5)
dt
=-0,00625
t
3
/3+0,05
t
2
/2+0,5
t
=
=(-0,00625·8
3
/3+0,05·8
2
/2+0,5·8)-(-0,00625·0
3
/3+0,05·0
2
/2+0,5·0)=
=-3,2/3+1,6+4≈4,53(ден.ед)
Ответ: Q≈4,53 ден.ед.
Слово учителя:
Мы убедились в истинности высказывания Джорджа Сантаяна. Действительно, многие науки и профессии стремятся к математики. Но всё же нам приходится выполнять иногда достаточно сложные вычисления. Можно ли решить эту задачу? Наверное – да. В век компьютерных технологий и эту задачу можно успешно решить. Слово программисту - Беляевой Анне. Выступление программиста:
Я составила компьютерную программу: «Вычисление определённого интеграла». Эта программа позволяет за считанные секунды вычислить значение интеграла и экономит наше время. (демонстрация программы см. приложение 6) Слово учителя:
Первая подгруппа занимает места у компьютеров, а вторая – остаётся на местах. Решая одну и туже задачу, мы убедимся в преимуществе компьютерной программы. (студенты решают задачу, используя компьютерную программу)
Подведём итоги урока - мы обобщили знания, полученные при изучении этой темы, закрепили практические навыки вычисления определённого интеграла, расширили представления о практическом применении интеграла, показали значимость этой темы в других областях науки и в вашей профессии. Увидели плюсы применения компьютерных технологий при решении математических задач, и, надеюсь, подготовились к практической работе. Задачи, которые остались нерешёнными, необходимо решить дома. Выставление оценок.
Приложение 1.
Выступление историка:
Я попыталась собрать историческую информацию о возникновении интегрального исчисления. Для этого я обратились к изучению жизни и творчества таких учёных как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Бернулли, Чебышев. Каждый из них сыграл определённую роль в деле развития интегрального исчисления. Истоки интегрального исчисления относятся к античному периоду развития математики и берут начало от метода исчерпывания, разработанного математиками древней Греции, Евклидом и Архимедом. Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений основываются на идеях, сформулированных в начале XVII века великим математиком и астрономом Иоганном Кеплером. В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер, готовясь к свадьбе, приобрёл несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражён тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно единственное действие - измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища. Ведь такое измерение совершенно не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача - по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашёл формулы не только для объёма бочек, но и для объёма самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы, что было крайне неудобно. Попытка найти общие, а главное, простые методы решения подобных задач и привела к возникновению современного интегрального исчисления. Но это уже была заслуга совсем другого математика. В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические задачи. До Ньютона многие функции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды. Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия. Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц. Однако, в подходе Ньютона-Лейбница крылось серьёзное противоречие. Поясним сказанное одним примером. Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла. Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции: где F
`
(x)=f(x)
. Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов. Истолкование обычного определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых, от которого математики XVIII века хотели освободить математический анализ. Это также способствовало укреплению точки зрения Ньютона. Дальнейшее развитие теории дифференциального исчисления получило в работах Леонарда Эйлера. Работы Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" были первыми трактатами, в которых уже обширный, но разрозненный материал нового анализа, был объединен в цельную науку. В них был выработан тот скелет современного анализа, который сохранился и до нашего времени. Хочется назвать ещё одно имя: Иоганн Бернулли. Роль Иоганна Бернулли, как одного из создателей, распространителей и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда математического анализа, отражает современная терминология: название «интегральное исчисление» (от латинского integer - целый), ввел Иоганн Бернулли. Как известно, Лейбниц предпочитал называть интеграл «суммой». Это впоследствии породило знак интеграла ∫, который представляет собой вытянутую букву S- первую букву латинского слова summa
. Приложение 2.
Выступление математика:
Как мы уже услышали из предыдущего выступления, то подход к понятию определённого интеграла был разный. Одной из главных задач интегрального исчисления является нахождение первообразной. Функция
F
называется первообразной для функции
f
на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка
F
´(х)=
f
(х).
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные. Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных)
Любая первообразная для функции
f
на промежутке
I
может быть записана в виде
F
(х)+С,
Где
F
(х) – одна из первообразных для функции
f
(х) на промежутке
I
, а С – произвольная постоянная.
Для нахождения первообразных мы использовали таблицу: Функция f(х) Первообразная F(х) Так же существуют три правила нахождения первообразных: Правило 1
. Если
F
f
, а
G
– первообразная для
g
, то
F
+
G
есть первообразная для
f
+
g
.
Правило 2
. Если
F
есть первообразная для функции
f
, а
k
– постоянная, то функция
kF
– первообразная для
kf
.
Правило 3
. Если
F
(х) - есть первообразная для функции
f
(х), а
k
и
b
– постоянные, причём
k
≠0, то 1/
k
·
F
(k
х+
b
) есть первообразная для
f
(k
х+
b
).
Выражение F
(х)+С называется неопределённым интегралом
∫ f
(х)
d
х=
F
(х)+С
Понятие определённого интеграла связано с задачей вычисления площади криволинейной трапеции. Фигуру, ограниченную графиком функции
f
(х), непрерывной и не меняющей знак на отрезке [а;
b
], отрезком[а;
b
] и прямыми х=а и х=
b
называют
криволинейной трапецией
.
а) у
b) у
0 а
b
х 0 а
b
х
в) г)
a
0
b
x
a
0
b
х
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема: Теорема:
Если
f
– непрерывная и неотрицательная на отрезке [а;
b
]функция, а
F
– первообразная на этом отрезке, то площадь
S
соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке[а;
b
], т.е.
S
=
F
(
b
)-
F
(а).
Для любой непрерывной на отрезке [а;b] функции f (не обязательно неотрицательной) S стремиться к некоторому числу. Это число называют интегралом функции f от а до b и обозначают: b
∫ f
(х)
d
х
а
a
,
b
– пределы интегрирования (а – нижний предел,
b
– верхний предел);
f
– подынтегральная функция;
х – переменная интегрирования;
∫ - знак интеграла.
b
∫ f
(х)
d
х=
F
(
b
)-
F
(а) – формула Ньютона-Лейбница
.
а
Для удобства записи разность F
(
b
)-
F
(а)
принято сокращённо обозначать b
F
(х)|
а
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают в виде: b
b
∫f
(х)
d
х=
F
(х)|
а
а
Исходя из выше сказанного, площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью определённого интеграла, а для вычисления определённого интеграла необходимо уметь вычислять первообразную. Приложение 3.
Тест.
Вариант 1.
Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство:__________________________________________________. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. 4.
а) S=∫(х 2 -5)dх; б) S=∫(х 2 +11)dх; в) S=∫(5-х 2)dх. 5.
Найдите истинные равенства. Тест.
Вариант 2.
Запишите основное свойство первообразной. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры изображенной на рисунке: 4.
С помощью какой формулы вычисляется площадь данной фигуры? а) S=∫(-х 2 -5)dх; б) S=∫(-х 2 +3)dх; в) S=∫(5-х 2)dх. 5.
Найдите истинные равенства. а) ∫х 3 dх=3х Ответы на вопросы теста.
Вариант 1.
∫f(х)dх=F(b)-F(а). 3.
S=∫(-х 2 +4х)dх. 4.
в) S=∫(5-х 2)dх. Вариант 2.
3.
S=∫(3х+3)dх. 4.
б) S=∫(-х 2 +3)dх. 5.
б) ∫хdх=2. Критерий оценки выполнения теста:
за 5 правильно выполненных задания – оценка «5» за 4 правильно выполненных задания – оценка «4» за 3 правильно выполненных задания – оценка «3» за 1-2 правильно выполненных задания – оценка не ставится, вам требуется дополнительная консультация.
Приложение 4.
Выступление физика.
Определённый интеграл широко применяется при решении физических задач. Например, для вычисления работы силы, пути, пройденного материальной точкой. 1. Работа переменной силы.
Работу А, произведённую переменной силойf (х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находят по формуле: b
А=
∫
f
(х)
d
х
а
Для нахождения силы, действующей на тело, применяют закон Гука: F=kх, где k – коэффициент пропорциональности. 2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой.
Если точка движется по некоторой линии, и её скорость v=f(t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени вычисляется по формуле: t
2
S
=
∫
v
(
t
)
dt
t
1
Определённый интеграл также применяется при: вычислении объёмов тел вращения в геометрии; нахождении центра масс в физике; Приложение 5.
Выступление экономиста:
На уроках «Введение в специальность» мы познакомились с такими экономическими понятиями, как – производительность труда и объём выпускаемой продукции. Эти понятия раскрывают экономический смысл интеграла.
Если
f
(t
) – производительность труда в момент
t
, то
T
Q
=
∫
f
(
t
)
dt
0
есть объём выпускаемой продукции за промежуток
. Приложение 7.
Практические задания.
Вычислить интеграл.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.
а) у=х 2 +4; у=5; б) 0,5х+2; у=-х+5. 3.Задачи с физическим содержанием.
Задача 1.
Скорость движения точки v
=12
t
-3
t
2
м/с
. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки. Задача 2.
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 4 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила 10 Н. Задача 3.
Точка движется прямолинейно со скоростью v
(t
)=6
t
2
-4
t
-1.
Найдите закон дви- жения точки, если в момент времени t=1с координата точки была равна 4 м. Задачи с экономическим содержанием.
Задача 1.
Производительность труда рабочего в течение дня задаётся формулой f
(t
)=0,00625
t
4
+0,05
t
+0,5
ден. ед./ч.,
где t – время в часах от начала работы, т.е. 0≤t≤8. Найти функцию Q(t) – объём продукции и его величину за рабочий день. Задача 2.
На складе запас некоторого товара равен 100 ед., а ежедневно поступающий товар выражается формулой f
(t
)=22-0,5
t
+0,06
t
2
,
где t- количество дней. Определить количество товара через 40 дней. Задачи для решения на компьютере.
Задача 1.
Производительность труда рабочих в технической смене при выпуске штангенциркулей определяется формулой f
(t
)=2,53
t
2
, где t – рабочее время в часах. Вычислить объём выпускаемой продукции за 6 часов рабочего времени. Задача 2.
Рост населения Воронежской области описывается функцией
f
(t
)=35825
t
2
, где t – время в годах. Определить прирост населения через 15 лет.
