Симметричные фигуры и указать оси симметрии. Прямоугольник, ромб и квадрат
Итак, что касается геометрии: выделяют три основных вида симметрии.
Во-первых, центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных таким образом точек даст фигуру Ф1.
Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигурф Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центральносимметричных объектов в живой и неживой природе (сообщение учащихся). Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симмет рии (примеры из рукоделия, примеры из машиностроения, примеры из архитектуры и много других примеров).
Во-вторых, осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.
У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе (доклады учащихся). В своей деятельности человек создаёт много объектов (например, орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
______________________________________________________________________________________________________
В-третьих, плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости)
– это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему.
Чтобы построить фигуру Ф1,симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.
Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности (строительство, рукоделие, моделирование, ...) создаёт объекты имеющие плоскости симметрии.
Стоит отметить, что наряду с тремя перечисленными видами симметрии, выделяют (в архитектуре) переносную и поворотную , которые в геометрии являются композициями нескольких движений.
Цели:
- образовательные:
- дать представление о симметрии;
- познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
- выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
- расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
- показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
- закрепить полученные знания;
- общеучебные:
- научить настраивать себя на работу;
- научить вести контроль за собой и соседом по парте;
- научить оценивать себя и соседа по парте;
- развивающие:
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательную деятельность;
- учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
- воспитательные:
- воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
- воспитывать коммуникативность;
- прививать культуру общения.
ХОД УРОКА
Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.
Задание 1 (3 мин).
– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.
Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?
Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.
Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?
Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.
– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.
Задание 2 (2 мин).
– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.
Задание 3 (5 мин).
– Начертить в тетради окружность.
Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?
Предполагаемый ответ: По-разному.
Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?
Предполагаемый ответ: Много.
– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)
Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?
Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.
– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?
Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.
Задание 4 (3 мин).
– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.
Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.
Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).
Задание 5 (групповая работа 5 мин).
– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.
Правильность выполненной работы определяется самими учениками.
Перед учащимися представлены элементы рисунков
Задание 6 (2 мин).
– Найдите симметричные части этих рисунков.
Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:
Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?
2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.
3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.
– Наши первоначальные представления о форме
относятся к очень отдаленной эпохе древнего
каменного века – палеолита. В течение сотен
тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в
условиях мало отличавшихся от жизни животных.
Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства,
вырабатывали язык для общения друг с другом, а в
эпоху позднего палеолита украшали свое
существование, создавая произведения искусства,
статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается
замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания
пищи к активному ее производству, от охоты и
рыболовства к земледелию, человечество вступает
в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством
геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных
сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин,
тканей, позже – обработка металлов вырабатывали
представления о плоскостных и пространственных
фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз,
выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?
Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…
– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.
Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.
Задание на дом:
1. Придумать свой орнамент, изобразить его на
листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют
элементы симметрии.
Две фигуры называются симметричными относительно какой-либо точки О пространства, если каждой точке А одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А, расположенная на прямой ОА по другую сторону от точки О, на расстоянии, равном расстоянию точки А от точки О (черт. 114). Точка О называется центром симметрии фигур.
Пример таких симметричных фигур в пространстве мы уже встречали (§ 53), когда, продолжая за вершину рёбра и грани многогранного угла, получали многогранный угол, симметричный данному. Соответственные отрезки и углы, входящие в состав двух симметричных фигур, равны между собой. Тем не менее фигуры в целом не могут быть названы равными: их нельзя совместить одну с другой вследствие того, что порядок расположения частей в одной фигуре иной, чем в другой, как это мы видели на примере симметричных многогранных углов.
В отдельных случаях симметричные фигуры могут совмещаться, но при этом будут совпадать несоответственные их части. Например, возьмём прямой трёхгранный угол (черт. 115) с вершиной в точке О и рёбрами ОХ, OY, OZ.
Построим ему симметричный угол ОХYZ. Угол OXYZ можно совместить с OXYZ так, чтобы ребро ОХ совпало с OY, а ребро OY c OX. Если же совместить соответственные рёбра ОХ с ОХ и OY с OY, то рёбра OZ и OZ окажутся направленными в противоположные стороны.
Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геометрическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии, то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметричная точка, тоже принадлежащая данному телу. Из рассмотренных нами геометрических тел центр симметрии имеют, например:
- параллелепипед,
- призма, имеющая в основании правильный многоугольник с чётным числом сторон.
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
Симметрия относительно плоскости
Две пространственные фигуры называются симметричными относительно плоскости Р, если каждой точке А в одной фигуре соответствует в другой точка А, причём отрезок АА перпендикулярен к плоскости Р и в точке пересечения с этой плоскостью делится пополам.
Теорема. Всякие два соответственных отрезка в двух симметричных фигурах равны между собой.
Пусть даны две фигуры, симметричные относительно плоскости Р. Выделим две какие-нибудь точки А и В первой фигуры, пусть А и В - соответствующие им точки второй фигуры (черт. 116, на чертеже фигуры не изображены).
Пусть далее С - точка пересечения отрезка АА с плоскостью Р, D - точка пересечения отрезка ВВ с той же плоскостью. Соединив прямолинейным отрезком точки С и D, получим два четырёхугольника ABDC и ABDC. Так как AС = AС, BD = BD и
∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠ВDC, как прямые углы, то эти четырёхугольники равны (в чём легко убеждаемся наложением). Следовательно, АВ = АВ. Из этой теоремы непосредственно вытекает, что соответствующие плоские и двугранные углы двух фигур, симметричных относительно плоскости, равны между собой. Тем не менее совместить эти две фигуры одну с другой так, чтобы совместились их соответственные части, невозможно, так как порядок расположения частей в одной фигуре обратный тому, котoрый имеет место в другой. Простейшим примером двух фигур, симметричных относительно плоскости, являются: любой предмет и его отражение в плоском зеркале; всякая фигура, симметрична со своим зеркальным отражением относительно плоскости зеркала.
Если какое-либо геометрическое тело можно разбить на две части, симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии данного тела.
Геометрические тела, имеющие плоскость симметрии, чрезвычайно распространены в природе и в обыденной жизни. Тело человека и животного имеет плоскость симметрии, разделяющую его на правую и левую части.
На этом примере особенно ясно видно, что симметричные фигуры нельзя совместить. Так, кисти правой и левой рук симметричны, но совместить их нельзя, что можно видеть хотя бы из того, что одна и та же перчатка не может подходить и к правой и к левой руке. Большое число предметов домашнего обихода имеет плоскость симметрии: стул, обеденный стол, книжный шкаф, диван и др. Некоторые, как например обеденный стол, имеют даже не одну, а две плоскости симметрии (черт. 117).
Обычно, рассматривая предмет, имеющий плоскость симметрии, мы стремимся занять по отношению к нему такое положение, чтобы плоскость симметрии нашего тела, или по крайней мере нашей головы, совпала с плоскостью симметрии самого предмета. В этом случае симметричная форма предмета становится особенно заметной.
Симметрия относительно оси. Ось симметрии второго порядка.
Две фигуры называются симметричными относительно оси l (ось-прямая линия), если каждой точке А первой фигуры соответствует точка А второй фигуры, так что отрезок АА перпендикулярен к оси l, пересекается с нею и в точке пересечения делится пополам. Сама ось l называется осью симметрии второго порядка.Из этого определения непосредственно следует, что если два геометрических тела, симметричных относительно какой-либо оси, пересечь плоскостью, перпендикулярной к этой оси, то в сечении получатся две плоские фигуры, симметричные относительно точки пересечения плоскости с осью симметрии тел.
Отсюда далее легко вывести, что два тела, симметричных относительно оси, можно совместить одно с другим, вращая одно из них на 180° вокруг оси симметрии. В самом деле, вообразим все возможные плоскости, перпендикулярные к оси симметрии.
Каждая такая плоскость, пересекающая оба тела, содержит фигуры, симметричные относительно точки встречи плоскости с осью симметрии тел. Если заставить скользить секущую плоскость саму по себе, вращая её вокруг оси симметрии тела на 180°, то первая фигура совпадает со второй.
Это справедливо для любой секущей плоскости. Вращение же всех сечений тела на 180° равносильно повороту всего тела на 180° вокруг оси симметрии. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если после вращения пространственной фигуры вокруг некоторой прямой на 180° она совпадает сама с собой, то говорят, что фигура имеет эту прямую своею осью симметрии второго порядка.
Название "ось симметрии второго порядка " объясняется тем, что при полном обороте вокруг этой оси тело будет в процессе вращения дважды принимать положение, совпадающее с исходным (считая и исходное). Примерами геометрических тел, имеющих ось симметрии второго порядка, могут служить:
1) правильная пирамида с чётным числом боковых граней; осью её симметрии служит её высота;
2) прямоугольный параллелепипед; он имеет три оси симметрии: прямые, соединяющие центры его противоположных граней;
3) правильная призма с чётным числом боковых граней. Осью её симметрии служит каждая прямая, соединяющая центры любой пары её противоположных граней (боковых граней и двух оснований призмы). Если число боковых граней призмы 2k , то число таких осей симметрии будет k + 1. Кроме того, осью симметрии для такой призмы служит каждая прямая, соединяющая середины её противоположных боковых рёбер. Таких осей симметрии призма имеет А.
Таким образом, правильная 2k -гранная призма имеет 2k +1 осей, симметрии.
Зависимость между различными видами симметрии в пространстве.
Между различными видами симметрии в пространстве - осевой, плоскостной и центральной - существует зависимость, выражаемая следующей теоремой.Теорема. Если фигура F симметрична с фигурой F относительно плоскости Р и в то же время симметрична с фигурой F" относительно точки О, лежащей в плоскости Р, то фигуры F и F" симметричны относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости Р.
Возьмём какую-нибудь точку А фигуры F (черт. 118). Ей соответствует точка А фигуры F и точка А" фигуры F" (сами фигуры F, F и F" на чертеже не изображены).
Пусть B - точка пересечения отрезка АА с плоскостью Р. Проведeм плоскость через точки А, А и О. Эта плоскость будет перпендикулярна к плоскости Р, так как проходит через прямую АА, перпендикулярную к этой плоскости. В плоскости ААО проведём прямую ОН, перпендикулярную к ОВ. Эта прямая ОН будет перпендикулярна и к плоскости Р. Пусть далее С-точка пересечения прямых АА" и ОН.
B треугольнике ААА" отрезок ВО соединяет середины сторон АА и АА", следовательно, ВО || АА", но ВО⊥ОН, значит, АА"⊥ОН. Далее, так как О - середина стороны АA", и СО || АА, то АС = А"С. Отсюда заключаем, что точки А и А" симметричны относительно оси ОН. То же самое справедливо и для всех других точек фигуры. Значит, наша теорема доказана. Из этой теоремы непосредственно следует, что две фигуры, симметричные относительно плоскости, не могут быть совмещены так, чтобы совместились их соответственные части. В самом деле, фигура F совмещается с F" путём вращения вокруг оси ОН на 180°. Но фигуры F" и F не могут быть совмещены как симметричные относительно точки, следовательно, фигуры F и F также не могут быть совмещены.
Оси симметрии высших порядков
Фигура, имеющая ось симметрии, совмещается сама с собой после поворота вокруг оси симметрии на угол в 180°. Но возможны случаи, когда фигура приходит к совмещению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, если тело сделает полный оборот вокруг этой оси, то в процессе вращения оно несколько раз совместится со своим первоначальным положением. Такая ось вращения называется осью симметрии высшего порядка, причём число положений тела, совпадающих с первоначальным, называется порядком оси симметрии. Эта ось может и не совпадать с осью симметрии второго порядка. Так, правильная треугольная пирамида не имеет оси симметрии второго порядка, но её высота служит для неё осью симметрии третьего порядка. В самом деле, после поворота этой пирамиды вокруг высоты на угол в 120° она совмещается сама с собой (черт. 119).
При вращении пирамиды вокруг высоты она может занимать три положения, совпадающие с исходным, считая и исходное. Легко заметить, что всякая ось симметрии чётного порядка есть в то же время ось симметрии второго порядка.
Примеры осей симметрии высших порядков:
1) Правильная n -угольная пирамида имеет ось симметрии n -го порядка. Этой осью служит высота пирамиды.
2) Правильная n -угольная призма имеет ось симметрии n -го порядка. Этой осью служит прямая, соединяющая центры оснований призмы.
Симметрия куба.
Как и для всякого параллелепипеда, точка пересечения диагоналей куба есть центр его симметрии.Куб имеет девять плоскостей симметрии: шесть диагональных плоскостей и три плоскости, проходящие через середины каждой четвёрки его параллельных рёбер.
Куб имеет девять осей симметрии второго порядка: шесть прямых, соединяющих середины его противоположных рёбер, и три прямые, соединяющие центры противоположных граней (черт. 120).
Эти последние прямые являются осями симметрии четвёртого порядка. Кроме того, куб имеет четыре оси симметрии третьего порядка, которые являются его диагоналями. В самом деле, диагональ куба АG (черт. 120), очевидно, одинаково наклонена к рeбрам АВ, АD и АЕ, а эти рёбра одинаково наклонены одно к другому. Ecли соединить точки В, D и Е, то получим правильную треугольную пирамиду АDВЕ, для которой диагональ куба AG служит высотой. Когда при вращении вокруг высоты эта пирамида будет совмещаться сама с собой, весь куб будет совмещаться со своим исходным положением. Других осей симметрии, как нетрудно убедиться, куб не имеет. Посмотрим, сколькими различными способами куб может быть совмещён сам с собой. Вращение вокруг обыкновенной оси симметрии даёт одно положение куба, отличное от исходного, при котором куб в целом совмещается сам с собой.
Вращение вокруг оси третьего порядка даёт два таких положения, и вращение вокруг оси четвёртого порядка - три таких положения. Так как куб имеет шесть осей второго порядка (это обыкновенные оси симметрии), четыре оси третьего порядка и три оси четвёртого порядка, то имеются 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 положения куба, отличные от исходного, при которых он совмещается сам с собой.
Легко убедиться непосредственно, что все эти положения отличны одно от другого, а также и от исходного положения куба. Вместе с исходным положением они составляют 24 способа совмещения куба с самим собой.
Другие материалыСимметрия ассоциируется с гармонией и порядком. И не зря. Потому что на вопрос, что такое симметрия, есть ответ в виде дословного перевода с древнегреческого. И получается, что она означает соразмерность и неизменность. А что может быть упорядоченней, чем строгое определение местоположения? И что можно назвать более гармоничным, чем то, что строго соответствует размерам?
Что означает симметрия в разных науках?
Биология. В ней важной составляющей симметрии является то, что животные и растения имеют закономерно расположенные части. Причем в этой науке не существует строгой симметрии. Всегда наблюдается некоторая асимметрия. Она допускает то, что части целого не совпадают с абсолютной точностью.
Химия. Молекулы вещества имеют определенную закономерность в расположении. Именно их симметрией объясняются многие свойства материалов в кристаллографии и других разделах химии.Физика. Система тел и изменения в ней описываются с помощью уравнений. В них оказываются симметричные составляющие, что позволяет упростить все решение. Это выполняется благодаря поиску сохраняющихся величин.
Математика. Именно в ней в основном и дается разъяснение, что такое симметрия. Причем большее значение ей уделяется в геометрии. Здесь симметрия — это способность к отображению у фигур и тел. В узком смысле она сводится просто к зеркальному отображению.
Как определяют симметрию разные словари?
В какой бы из них мы ни заглянули, везде встретится слово «соразмерность». У Даля можно увидеть еще и такое толкование, как равномерие и равнообразие. Другими словами, симметричное - значит одинаковое. Здесь же говорится о том, что она скучна, интереснее смотрится то, в чем ее нет.
На вопрос, что такое симметрия, словарь Ожегова уже говорит об одинаковости в положении частей относительно точки, прямой или плоскости.
В словаре Ушакова упоминается еще и пропорциональность, а также полное соответствие двух частей целого друг другу.
Когда говорят об асимметрии?
Приставка «а» отрицает смысл основного существительного. Поэтому асимметрия означает то, что расположение элементов не поддается определенной закономерности. В ней отсутствует всякая неизменность.
Этот термин используется в ситуациях, когда две половины предмета не являются полностью совпадающими. Чаще всего они совсем не похожи.
В живой природе асимметрия играет важную роль. Причем она может быть как полезной, так и вредной. К примеру, сердце помещается в левую половину груди. За счет этого левое легкое существенно меньшего размера. Но это необходимо.
О центральной и осевой симметрии
В математике выделяют такие ее виды:
- центральная, то есть выполненная относительно одной точки;
- осевая, которая наблюдается около прямой;
- зеркальная, она основывается на отражениях;
- симметрия переноса.
Что такое ось и центр симметрии? Это точка или прямая, относительно которой любой точке тела найдется другая. Причем такая, чтобы расстояние от исходной до получившейся делилось пополам осью или центром симметрии. Во время движения этих точек они описывают одинаковые траектории.
Понять, что такое симметрия относительно оси, проще всего на примере. Тетрадный лист нужно сложить пополам. Линия сгиба и будет осью симметрии. Если провести к ней перпендикулярную прямую, то все точки на ней будут иметь лежащие на таком же расстоянии по другую сторону оси точки.
В ситуациях, когда необходимо найти центр симметрии, нужно поступать следующим образом. Если фигур две, то найти у них одинаковые точки и соединить их отрезком. Потом разделить пополам. Когда фигура одна, то помочь может знание ее свойств. Часто этот центр совпадает с точкой пересечения диагоналей или высот.
Какие фигуры являются симметричными?
Геометрические фигуры могут обладать осевой или центральной симметрией. Но это не обязательное условие, существует множество объектов, которые не обладают ею вовсе. К примеру, параллелограмм обладает центральной, но у него нет осевой. А неравнобедренные трапеции и треугольники не имеют симметрии совсем.
Если рассматривается центральная симметрия, фигур, обладающих ею, оказывается довольно много. Это отрезок и круг, параллелограмм и все правильные многоугольники с числом сторон, которое делится на два.
Центром симметрии отрезка (также круга) является его центр, а у параллелограмма он совпадает с пересечением диагоналей. В то время как у правильных многоугольников эта точка тоже совпадает с центром фигуры.
Если в фигуре можно провести прямую, вдоль которой ее можно сложить, и две половинки совпадут, то она (прямая) будет являться осью симметрии. Интересно то, сколько осей симметрии имеют разные фигуры.
К примеру, острый или тупой угол имеет только одну ось, которой является его биссектриса.
Если нужно найти ось в равнобедренном треугольнике, то нужно провести высоту к его основанию. Линия и будет осью симметрии. И всего одной. А в равностороннем их будет сразу три. К тому же, треугольник обладает еще и центральной симметрией относительно точки пересечения высот.
У круга может быть бесконечное число осей симметрии. Любая прямая, которая проходит через его центр, может исполнить эту роль.
Прямоугольник и ромб обладают двумя осями симметрии. У первого они проходят через середины сторон, а у второго совпадают с диагоналями.
Квадрат же объединяет предыдущие две фигуры и имеет сразу 4 оси симметрии. Они у него такие же, как у ромба и прямоугольника.
Фридрих В.А. 1
Дементьева В.В. 1
1 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6», г. Александровск, Пермский край
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Стоя перед черной доской и рисуя на ней
мелом разные фигуры,
я вдруг был поражен мыслью:
почему симметрия приятна глазу?
Что такое симметрия?
Это врожденное чувство, отвечал я сам себе»
Л.Н. Толстой
В учебнике математика 6 класс, автор Никольский С. М., на страницах 132 - 133 раздел Дополнительные задачи к главе № 3, имеются задания для исследования фигур на плоскости, симметричных относительно прямой. Меня заинтересовала данная тема, я решила выполнить задания и более подробно изучить данную тему.
Объект исследования - симметрия.
Предмет исследования - симметрия как основополагающий закон вселенной.
Какую гипотезу я буду проверять:
Я считаю, что осевая симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, и применяется только для решения соответствующих задач, но и является основой гармонии, красоты, равновесия и устойчивости. Принцип симметрии используется практически во всех науках, в нашей повседневной жизни и является одним из «краеугольных» законов, на котором базируется мироздание в целом.
Актуальность темы
Понятие симметрия проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков его развития. В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живём, наполнен симметрией домов, улиц, творениями природы и человека. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в технике, искусстве, науке.
Поэтому, знание и понимание о симметрии в окружающем нас мире, является обязательным и необходимым, которое пригодится в дальнейшем для изучения других научных дисциплин. В этом и заключается актуальность избранной мной темы.
Цель и задачи
Цель работы: выяснить, какую роль играет симметрия в повседневной жизни человека, в природе, архитектуре, в быту, музыке и других науках.
Для достижения поставленной цели, мне необходимо выполнить следующие задачи:
1. Найти необходимую информацию, литературу и фотографии. Установить наибольшее количество данных, необходимых для моей работы, с помощью доступных для меня источников: учебники, энциклопедии или другие носители информации, соответствующих заданной теме.
2. Дать общие понятие о симметрии, видах симметрии и истории происхождения термина.
3. Для подтверждения своей гипотезы, создать поделки и провести эксперимент с данными фигурами, имеющими симметрию и не несимметричными.
4. Продемонстрировать и представить результаты наблюдений в своём исследовании.
Для практической части исследовательской работы мне необходимо сделать следующее, для чего я составила план работы:
1. Создать своими руками поделки с заданными свойствами - симметричные и не симметричные модели, композицию, используя цветную бумагу, картон, ножницы, фломастеры, клей и т.д.;
2. Провести эксперимент с моими поделками, с двумя вариантами симметрии.
3. Исследовать, проанализировать и систематизировать полученные результаты, составив таблицу.
4. Для наглядного и интересного закрепления полученных знаний, с помощью приложения «Paint 3 D» создать рисунки для наглядности, а так же нарисовать картинки, с заданиями - дорисовать симметричную половинку (начиная с простых рисунков и заканчивая сложными) и объединить их, создав электронную книгу.
Методы исследования:
1. Анализ статей и всей информации о симметрии.
2. Компьютерное моделирование (обработка фотографий средствами графического редактора).
3. Обобщение и систематизация полученных данных.
Основная часть.
Осевая симметрия и понятие совершенства
С древних времен человек выработал представления о красоте и пытался постигнуть смысл совершенства. Красивы все творения природы. По-своему прекрасны люди, восхитительны животные и растения. Радует взор зрелище драгоценного камня или кристалла соли, сложно не любоваться снежинкой или бабочкой. Но почему так происходит? Нам кажется правильным и завершенным вид объектов, правая и левая половина которых выглядит одинаково.
Видимо, первыми о сути красоты задумывались люди искусства.
Впервые обосновали это понятие художники, философы и математики Древней Греции. Древние скульпторы, изучавшие строение человеческого тела, еще в V веке до н.э. стали применять понятие «симметрия». Это слово имеет греческое происхождение и означает гармоничность, пропорциональность и похожесть расположения составляющих частей. Древнегреческий мыслитель и философ Платон утверждал, что прекрасным может быть лишь то, что симметрично и соразмерно.
И действительно, «радуют глаз» те явления и формы, которые имеют пропорциональность и завершенность. Их мы называем правильными.
Виды симметрии
В геометрии и математике рассматриваются три вида симметрии: осевая симметрия (относительно прямой), центральная (относительно точки) и зеркальная (относительно плоскости).
Осевая симметрия как математическое понятие
Точки симметричны относительно некой прямой (оси симметрии), если они лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.
Фигуры, симметричные относительно прямой равны. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.
Примеры оси симметрии: биссектриса неразвернутого угла равнобедренного треугольника, любая прямая, проведенная через центр окружности, и т.д. Если геометрической фигуре свойственна осевая симметрия, определение зеркальных точек можно наглядно представить, просто перегнув ее по оси и сложив равные половинки «лицом к лицу». Искомые точки при этом соприкоснутся.
Фигуры могут иметь несколько осей симметрии:
· осью симметрии угла является прямая, на которой лежит его биссектриса;
· осью симметрии окружности и круга является любая прямая, проходящая через их диаметр;
· равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, равносторонний треугольник - три оси симметрии;
· прямоугольник имеет 2 оси симметрии, квадрат - 4, ромб - 2 оси симметрии.
Ось симметрии - это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На моём рисунке она изображена для наглядности.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относится параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.
Осевая симметрия в природе
Природа мудра и рациональна, поэтому почти все ее творения имеют гармоничное строение. Это относится и к живым существам, и к неодушевленным объектам.
Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, плоды. Их зеркальная, радиальная, центральная, осевая симметрия - очевидны. В значительной степени она обусловлена явлением гравитации.
Геометрические формы кристаллов с их плоскими поверхностями представляют собой удивительное явление природы. Однако подлинная физическая симметрия кристалла проявляется не столько в его внешнем виде, сколько во внутреннем строении кристаллического вещества.
Осевая симметрия в животном мире
Симметрия в мире живых существ, проявляется в закономерном расположении одинаковых частей тела относительно центра или оси. Чаще в природе встречается осевая симметрия. Она обуславливает не только общее строение организма, но и возможности его последующего развития. Каждому виду животных присущ характерный окрас. Если в расцветке фигурирует рисунок, то, как правило, он дублируется с обеих сторон.
Осевая симметрия и человек
Если взглянуть на любое живое существо, сразу бросается в глаза симметричность устройства организма. Человек: две руки, две ноги, два глаза, два уха и так далее.
Это означает, что существует некая линия, по которой животные и люди могут быть визуально «поделены» на две идентичные половинки, то есть в основе их геометрического устройства лежит осевая симметрия.
Как видно из приведённых примеров, любой живой организм природа создает не хаотично и бессмысленно, а согласно общим законам мироустройства, ведь во Вселенной ничто не имеет чисто эстетического, декоративного назначения. Это обусловлено закономерной необходимостью.
Конечно, природе редко присуща математическая точность, но похожесть элементов организма все равно поразительна.
Симметрия в архитектуре
С древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и симметрию, и использовали их при строительстве архитектурных сооружений. Например, архитектура русских православных храмов и соборов Руси: Кремль, собор Христа Спасителя г. Москва, Казанский и Исаакиевский соборы г. Санкт-Петербург и др.
А также другие всемирно известные достопримечательности, многие из которых во всех странах мира, мы можем видеть и сейчас: Египетские пирамиды, Лувр, Тадж-Махал, Кёльнский собор и т.д. Все они, как мы видим, имеют симметрию.
Симметрия в музыке
Я учусь в музыкальной школе, для меня было интересно найти примеры симметрии в данной области. Не только музыкальные инструменты обладают явной симметрией, но и части музыкальных произведений звучат в определённом порядке, в соответствии с партитурой и замыслом композитора.
Например, реприза - (франц. reprise, от reprendre -возобновлять). Повторение темы или группы тем после этапа её (их) развития или изложения нового тематического материала.
Также в одномерном повторении во времени через равные интервалы состоит музыкальный принцип ритма.
Симметрия в технике
Мы живем в стремительно - меняющемся высокотехнологическом, информационном обществе, и не задумываемся, почему некоторые окружающие нас предметы и явления пробуждают чувство прекрасного, а другие нет. Мы их не замечаем, даже не задумываемся, об их свойствах.
Но кроме этого, данные технические и механические устройства, детали, механизмы, агрегаты не смогут правильно работать и вообще функционировать, если при этом не будет соблюдена симметрия, а вернее, некая ось, в механике это - центр тяжести.
Сбалансированность по центру, в данном случае, является обязательным техническим требованием, соблюдение которого строго регламентируется ГОСТ или ТУ и должно соблюдаться.
Симметрия и космические объекты
Но, пожалуй, самыми загадочными, волновавшими умы многих, ещё с древнейших времён, являются космические объекты. Которые также имеют симметрию - солнце, луна, планеты.
Эту цепочку можно продолжать, но мы сейчас говорим о чем-то едином: о том, что осевая симметрия является основополагающим законом вселенной, является основой красоты, гармонии и пропорциональности, и во взаимосвязи этого с математикой.
Практическая часть
Найдя необходимую информацию, изучив литературу, я убедилась в правоте своей гипотезы и сделала вывод о том, что в глазах человека несимметричность чаще всего ассоциируется с неправильностью или ущербностью. Поэтому в большинстве творений людских рук прослеживается симметричность и гармония, как необходимое и обязательное требование.
Это хорошо видно на моём рисунке, где изображён поросёнок, с непропорциональными частями тела, что сразу бросается в глаза!
И только после того, как подольше приглядишься к нему, посчитаешь его милым?
Несмотря на то, что данная тема известна, хорошо изучена, но все эти данные рассмотрены отдельно в каждой дисциплине. Обобщённых данных о том, что принцип симметрии используется, и именно на нём базируются многие другие науки, и их взаимосвязи с математикой я не встретила.
Поэтому я решила доказать своё утверждение с помощью самого простого и доступного для меня способа. Таким решением, я считаю, будет проведение эксперимента с испытаниями.
Для наглядного доказательства того, что асимметричные модели не устойчивы, не обладают необходимыми требованиями и жизненно необходимыми навыками, и подтверждения своей гипотезы мне необходимо создать поделки, рисунки и композицию:
1 вариант - симметричны относительно оси;
2 вариант - с явным нарушением симметрии.
Поскольку я считаю, что такой дисбаланс будет хорошо виден на следующих примерах, для чего я создала поделки-оригами (самолёт и лягушонок) из цветной бумаги. Для чистоты эксперимента они сделаны из одинаковой цветной бумаги и тестировались в одинаковых условиях. И композицию «Маяк», где маяк сделан из пустой пластиковой бутылки, обклеен цветной бумагой. Для украшения композиции использованы игрушечные фигуры человека, модели парусника и лодки, декоративные камни, а для имитации света я использовала светящийся от батарейки элемент.
Я провела испытания с данными поделками, все показатели зафиксировала и занесла в таблицу (все показатели можно посмотреть в приложении № 1 стр. 18 - 21).
Все поделки делались с соблюдением техники безопасности (приложение № 2 стр. 21)
Все полученные данные я проанализировала, вот что у меня получилось.
Анализ полученных данных
Эксперимент № 1
Испытание - прыжок лягушек в длину, замер этого расстояния.
Лягушонок Зелёный (симметричный) прыгает ровно, на большее расстояние, а Красный (не симметричный) ни разу не прыгнул ровно, всегда с поворотом или переворотом в сторону, на расстояние в 2 - 3 раза меньше.
Таким образом, можно сделать вывод, что такое животное не сможет быстро охотиться или наоборот убегать, эффективно добывать пищу, что уменьшает шансы на выживание, это доказывает, что в природе всё сбалансировано, пропорционально, правильно - симметрично.
Эксперимент № 2
Вид испытания - запуск самолётов в полёт и измерение расстояния длины полёта.
Самолётик № 1 «Розовый» (симметричный) летит из 10 раз, 8 раз ровно и прямо, на максимальную длину, (т.е. на всю длину моей комнаты), а траектория полёта самолётика № 2 «Оранжевый» (не симметричный) из 10 раз - ни разу не летел ровно, всегда с поворотом или переворотом, на меньшее расстояние. То есть, если бы это был настоящий самолёт, то он не смог бы лететь ровно, в правильном направлении. Такой полёт был бы очень неудобен или даже опасен для человека (также как и для птиц), а машины и другие транспортные средства передвижения, не смогли бы ехать, плыть и т.д. в необходимую сторону.
Эксперимент № 3
Вид испытания - проверка устойчивости здания «Маяка», при уменьшении угла наклона сооружения, относительно поверхности.
1. Создав композицию «Маяка», я установила его прямо, т.е. перпендикулярно (под углом 90 0) относительно стен сооружения к поверхности. Данная конструкция стоит ровно, выдерживает установленный световой элемент и фигурку человека.
2. Для дальнейшего проведения эксперимента мне было необходимо расчертить основание башни на углы, равные 10 0 .
После чего я отрезала от основания угол равный 10 0 .
Под углом в 80 0 здание стоит криво, шатается, но дополнительную нагрузку выдерживает.
3. Отрезав ещё 10 0 , получился угол наклона в 70 0 , при котором вся моя конструкция рушится.
Данный опыт доказывает, что исторически сложившиеся традиция строительства под прямым углом и соблюдение при этом симметрии самого здания, является необходимым условием для устойчивого, надёжного возведения и эксплуатации архитектурных зданий и сооружений.
Для наглядного примера осевой симметрии и доказательства утверждения о том, что человек воспринимает любые окружающие его предметы, образы животных и т.д. только симметрично, то есть, когда обе стороны, «половинки» одинаковы, равны, я создала электронную раскраску, которую можно распечатать, составив детскую книжку-раскраску. Данное пособие поможет всем желающим лучше усвоить тему, интересно и с удовольствием провести свободное время (Титульный лист изображён на этом рисунке, остальные рисунки расположены в приложении № 3 стр. 21 -24).
Проведённые мною эксперименты доказывают, что симметрия является не только математическим и геометрическим понятием, а является сферой, средой нашего проживания, неким техническим требованием, так же необходимым условием для выживания в целом, как для людей, так и для животных. Симметрия объединяет всё это воедино, и уходит далеко за пределы обычной науки!
Заключение
Выводы:
Я выяснила, что симметрия является одной из главных составляющих в повседневной жизни человека, в предметах быта, в архитектуре, технике, в природе, музыке, науке и т. д.
Результат:
Я нашла необходимую информацию, доказала свою гипотезу, проверила и подтвердила её опытным путём. Я создала поделки, композицию, рисунки и электронную раскраску для наглядного проведения эксперимента.
Я выяснила, что все законы природы - биологические, химические, генетические, астрономические связаны с симметрией. Практически, всё то, что нас окружает, что создано человеком - подчинено общим для нас всех принципам симметрии, поскольку имеют завидную системность. Таким образом, сбалансированность, тождественность как принцип имеет всеобщий масштаб.
Можно сказать, что симметрия является основополагающим законом, на котором базируются основные законы науки? Наверное, да.
Эту тайну пытались осмыслить великие мыслители человечества. Сегодня в разгадку этой тайны погрузились и мы.
Один из известных математиков Герман Вейль писал, что "симметрия - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство".
Может мы нашли секрет создания красоты, совершенства или даже создания основных законов вселенной? Может это симметрия?
Приложения
Приложение № 1 Таблица испытаний:
|
Эксперимент № 1 |
|||
|
Попытка № |
Вид испытания |
«Зелёная лягушка» (симметричная) |
Результат и характеристика испытания «Красная лягушка» (не симметричная) |
|
Прыжок лягушки в длину (измерение в см.) |
6,0 в левую сторону |
||
|
14,4 с небольшим поворотом вправо |
9,0 переворот назад |
||
|
10,5 почти ровно |
2,0 переворот |
||
|
9,5 с небольшим поворотом вправо |
5,0 переворот в левую сторону |
||
|
10,6 с небольшим поворотом вправо |
3,0 в левую сторону |
||
|
9,0 переворот |
9,0 поворот влево |
||
|
13,5 почти ровно |
1,5 назад, с поворотом влево |
||
|
9,5 влево с переворотом |
|||
|
21,2 почти ровно |
4,5 влево с переворотом |
||
|
Эксперимент № 2 |
|||
|
Самолёт «Розовый» (Симметричный) |
Самолёт «Оранжевый» (Не симметричный) |
||
|
Запуск самолётика в длину Максимальная (5,1 метра) |
5,1 с 2 переворотами |
3,04 с переворотами вправо |
|
|
2,78 с переворотами вправо |
|||
|
5,1 с наклоном вправо |
3, 65 с переворотами вправо |
||
|
5,1 с наклоном вправо |
1,51 почти ровно |
||
|
5,1 почти ровно |
4,73 с переворотами вправо |
||
|
5,1 с наклоном в левую сторону |
3,82 поворот вправо |
||
|
5,1 почти ровно |
3,41 с переворотами |
||
|
5,1 почти ровно |
3,37 поворот влево |
||
|
5,1 с переворотом |
3,51 с переворотами влево |
||
|
5,1 почти ровно |
3,19 с переворотами вправо |
||
|
Эксперимент № 3 |
|||
|
Попытка № |
Характеристика свойств объекта |
Вид и характеристика испытания |
Результат |
|
Сооружение стоит перпендикулярно поверхности (т.е. под углом в 90 0) |
Установка дополнительной нагрузки: светящийся элемент и игрушечная фигура человека |
Маяк стоит ровно, надёжно |
|
|
Под углом 80 0 |
От основания маяка я наметала и отрезала угол в 10 0 |
Маяк выдерживает нагрузку, но стоит ненадёжно, шатается |
|
|
Под углом 70 0 |
От основания маяка я ещё раз отрезала 10 0 |
Сооружение падает и рушится |
|
Приложение № 2
При изготовлении моих поделок соблюдалась техника безопасности, а именно:
Ножницы или нож должны быть хорошо заточены и отрегулированы.
Хранить необходимо в определенном и безопасном месте или коробке.
При пользовании ножниц (ножа), нельзя отвлекаться, нужно быть максимально внимательными, дисциплинированными.
Передавая ножницы (нож), держать их за сомкнутые лезвия (остриё).
Ножницы (нож) класть справа сомкнутыми лезвиями (остриём) направленными от себя.
При резании узкое лезвие ножниц (остриё ножа) должно быть внизу.
После использования клея вымыть руки.
Приложение № 3
Электронная книга-раскраска
Симметрия-
Это означает то, что одна часть предмета похожа на другую.
Осевая симметрия- это симметрия относительно прямой (линии).
Ось симметрии - это воображаемая линия разделяющая объект на симметричные части. На рисунках она изображена для наглядности.
В этой книге нужно закончить рисунки, соединяя точки.
Затемможнораскрашиватьто, чтополучилось.
Попробуй закончить эти рисунки:
Сердечко
Треугольник Домик
Звёздочка Листочек
Мышка Ёлочка
Собачка Замок
К роме осевой симметрии есть и симметрия относительно точки.
Этот шар симметричен
И ёщё один вид симметрии - зеркальная симметрия.
Зеркальная симметрия-
это симметрия относительно плоскости. Например, относительно зеркала.
Симметрия это-
Используемая литература
2. Герман Вейль «Симметрия» (Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1968 г.)
4. Мои рисунки и фотографии.
5. Справочник машиностроителя, том 1, (Государственное научно - техническое издательство машиностроительной литературы, Москвы 1960 г.)
6. Фотографии и рисунки из сети «Интернет».
