Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение е моментът на импулса. Динамика на въртеливото движение на твърдо тяло; основно уравнение на динамиката
Динамика на въртеливото движение на твърдо тяло. Основно уравнение за динамиката на въртеливото движение. Инерционният момент на твърдо тяло спрямо ос. Теорема на Щайнер. Момент на импулс. Момент на сила. Закон за запазване и промяна на ъгловия момент.
В последния урок обсъдихме импулс и енергия. Нека разгледаме големината на ъгловия момент - той характеризира количеството на въртеливото движение. Количество, което зависи от това колко маса се върти, как е разпределена спрямо оста на въртене и с каква скорост се извършва въртенето. Нека разгледаме частицата A. r е радиус векторът, характеризиращ позицията спрямо някаква точка O, избраната референтна система. P-импулс в тази система. Векторната величина L е ъгловият импулс на частица A спрямо точка O: Модул на вектор L: където α е ъгълът между r и p, l=r sin α рамо на вектор p спрямо точка O.
Нека разгледаме промяната във вектора L с времето: = тъй като dr/dt =v, v е насочен по същия начин като p, тъй като dp/dt=F е резултатната от всички сили. Тогава: Момент на сила: M= Модул на момента на сила: където l е рамото на вектора F спрямо точка O Уравнение на моментите: производната по време на момента на импулса L на частицата спрямо някаква точка O е равен на момента M на резултантната сила F спрямо същата точка O: Ако M = 0, тогава L=const – ако моментът на резултантната сила е равен на 0 през интересуващия ни период от време, тогава импулсът на частицата остава постоянна през това време.
Уравнението на момента ви позволява да: Намерите момента на сила M спрямо точка O във всеки момент t, ако е известна зависимостта от времето на ъгловия импулс L(t) на частицата спрямо същата точка; Определете нарастването на ъгловия импулс на частица спрямо точка O за произволен период от време, ако е известна зависимостта от времето на момента на силата M(t), действаща върху тази частица (спрямо същата точка O). Използваме уравнението на моментите и записваме елементарното увеличение на вектора L: След това, чрез интегриране на израза, намираме увеличението на L за краен период от време t: дясната страна е импулсът на момента на силата. Увеличаването на ъгловия момент на дадена частица за всеки период от време е равно на ъгловия импулс на силата за същото време.
Момент на импулс и момент на сила около оста Нека вземем оста z. Нека изберем точка O. L е ъгловият момент на частица A спрямо точката, M е моментът на силата. Ъгловият момент и моментът на силата спрямо оста z са проекцията на векторите L и M върху тази ос. Те се означават с Lz и Mz - не зависят от точката на избор O. Производната по време на ъгловата ос. импулсът на частицата спрямо оста z е равен на момента на силата спрямо тази ос. По-специално: Mz=0 Lz=0. Ако моментът на сила спрямо някаква движеща се ос z е равен на нула, тогава ъгловият момент на частицата спрямо тази ос остава постоянен, докато самият вектор L може да се промени.
Закон за запазване на ъгловия момент Нека изберем произволна система от частици. Ъгловият импулс на дадена система ще бъде векторната сума на ъгловия импулс на нейните отделни частици: Векторите са определени спрямо една и съща ос. Ъгловият импулс е добавена стойност: ъгловият импулс на системата е равен на сумата от ъгловите импулси на отделните й части, независимо дали те взаимодействат помежду си или не. Да намерим изменението на ъгловия момент: - общият момент на всички вътрешни сили спрямо точка O.; - сумарният момент на всички външни сили спрямо точка О. Производната по време на ъгловия момент на системата е равна на сумарния момент на всички външни сили! (използвайки 3-тия закон на Нютон):
Ъгловият импулс на системата може да се промени само под въздействието на общия момент на всички външни сили. Законът за запазване на импулса: ъгловият импулс на затворена система от частици остава постоянен, т.е. не се променя с времето. : Валиден за ъглов импулс, взет спрямо всяка точка в инерциалната референтна система. Може да има промени в системата, но увеличаването на ъгловия момент на една част от системата е равно на намаляването на ъгловия момент на другата й част. Законът за запазване на ъгловия момент не е следствие от 3-тия закон на Нютон, а представлява независим общ принцип; един от основните закони на природата. Законът за запазване на ъгловия момент е проява на изотропията на пространството по отношение на въртенето.
Динамика на твърдо тяло Два основни типа движение на твърдо тяло: Транслационно: всички точки на тялото получават движение, еднакво по големина и посока за един и същи период от време. Посочете движението на една точка Ротационно: всички точки на твърдо тяло се движат в кръгове, чиито центрове лежат на една и съща права линия, наречена ос на въртене. Задайте оста на въртене и ъгловата скорост във всеки момент от време Всяко движение на твърдо тяло може да бъде представено като сбор от тези две движения!
Произволното движение на твърдо тяло от позиция 1 до позиция 2 може да се представи като сбор от две движения: транслационно движение от позиция 1 до позиция 1’ или 1’’ и въртене около оста O’ или O’. Елементарно движение ds: - „транслационно“ - „ротационно“ Скорост на точка: - еднаква скорост на транслационно движение за всички точки на тялото - скоростта, свързана с въртенето на тялото, е различна за различните точки на тялото
Нека референтната рамка е неподвижна. Тогава движението може да се разглежда като въртеливо движение с ъглова скорост w в отправна система, движеща се спрямо неподвижна система транслационно със скорост v 0. Линейна скорост v', дължаща се на въртенето на твърдо тяло: Скоростта на точка в сложно движение: Има точки, които с векторно умножение на вектори r и w дават вектора v 0. Тези точки лежат на една и съща права линия и образуват моментната ос на въртене.
Движението на твърдо тяло в общия случай се определя от две векторни уравнения: Уравнението на движението на центъра на масата: Уравнението на моментите: Законите на действащите външни сили, точките на тяхното приложение и началните условия, скорост и позиция на всяка точка от твърдото тяло по всяко време. Точките на приложение на външните сили могат да се преместват по посоката на действие на силите. Резултантната сила е сила, която е равна на резултантните сили F, действащи върху твърдо тяло, и създава момент, равен на общия момент M на всички външни сили. Случаят на гравитационно поле: резултантната на гравитацията минава през центъра на масата. Сила, действаща върху частица: Общият момент на гравитация спрямо всяка точка:
Условия за равновесие на твърдо тяло: тялото ще остане в покой, ако няма причини, предизвикващи неговото движение. Съгласно двете основни уравнения за движение на тялото, това изисква две условия: Резултантните външни сили са равни на нула: Сумата от моментите на всички външни сили, действащи върху тялото спрямо всяка точка, трябва да бъде равна на нула: Ако системата е неинерционна, тогава в допълнение към външните сили е необходимо да се вземат предвид и инерционните сили (сили, причинени от ускореното движение на неинерциалната отправна система спрямо инерциалната отправна система). Три случая на движение на твърдо тяло: Въртене около неподвижна ос Равнинно движение Въртене около свободни оси
Въртене около фиксирана ос Импулс на импулса на твърдо тяло спрямо оста на въртене OO': където mi и pi са масата и разстоянието от оста на въртене на i-тата частица на твърдото тяло, wz е нейният ъгъл скорост. Нека въведем обозначението: където I е инерционният момент на твърдо тяло спрямо оста OO': Инерционният момент на тяло се намира като: където dm и dv са масата и обемът на елемент от тялото разположени на разстояние r от оста z, която ни интересува; ρ е плътността на тялото в дадена точка.
Инерционни моменти на хомогенни твърди тела спрямо ос, минаваща през центъра на масата: теорема на Щайнер: инерционният момент I спрямо произволна ос z е равен на инерционния момент Ic спрямо ос Ic, успоредна на дадената и минаваща през центъра на масата C на тялото, плюс произведението на масата m на тялото по квадрата на разстоянието a между осите:
Уравнение на динамиката на въртене на твърдо тяло: където Mz е общият момент на всички външни сили спрямо оста на въртене. Инерционният момент I определя инерционните свойства на твърдо тяло по време на въртене: при същата стойност на момента на сила Mz, тяло с голям инерционен момент придобива по-малко ъглово ускорение βz. Mz включва и моментите на инерционните сили. Кинетична енергия на въртящо се твърдо тяло (оста на въртене е неподвижна): нека скоростта на частица от въртящо се твърдо тяло е – Тогава: където I е инерционният момент спрямо оста на въртене, w е нейната ъглова скорост . Работата на външните сили по време на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос се определя от действието на момента Mz на тези сили спрямо тази ос.
Равнинно движение на твърдо тяло При равнинно движение центърът на масата на твърдо тяло се движи в определена равнина, неподвижна в дадена отправна система K, като векторът на неговата ъглова скорост w е перпендикулярен на тази равнина. Движението се описва с две уравнения: където m е масата на тялото, F е резултатът от всички външни сили, Ic и Mcz са инерционният момент и общият момент на всички външни сили, и двете спрямо оста, минаваща през центъра на тялото. Кинетичната енергия на твърдо тяло при равнинно движение се състои от енергията на въртене в системата около ос, минаваща през центъра на масата, енергията, свързана с движението на центъра на масата: където Ic е моментът на инерция спрямо ос на въртене (през CM), w е ъгловата скорост на тялото, m е неговата маса, Vc – скоростта на центъра на масата на тялото в отправната система K.
Въртене около свободни оси. Оста на въртене, чиято посока в пространството остава непроменена, без да действат външни сили, се нарича свободна ос на въртене на тялото. Главните оси на тялото са три взаимно перпендикулярни оси, минаващи през неговия център на масата, които могат да служат като свободни оси. За да се задържи оста на въртене в постоянна посока, към нея е необходимо да се приложи момент M от външни сили F: Ако ъгълът е 90 градуса, тогава L съвпада по посока с w, т.е. M = 0! на оста на въртене ще остане непроменена без външно влияние. Когато тялото се върти около която и да е главна ос, векторът на ъгловия момент L съвпада по посока с ъгловата скорост w: където I е инерционният момент на тялото спрямо дадена ос.
Нека първо разгледаме материална точка А с маса m, движеща се в окръжност с радиус r (фиг. 1.16). Нека върху него действа постоянна сила F, насочена тангенциално към окръжността. Според втория закон на Нютон тази сила причинява тангенциално ускорение или F = m а τ .
Използване на релацията аτ = βr, получаваме F = m βr.
Нека умножим двете страни на горното уравнение по r.
Fr = m βr 2 . (3.13)
Лявата страна на израза (3.13) е моментът на силата: M = Fr. Дясната страна е произведението на ъгловото ускорение β и инерционния момент на материалната точка A: J= m r 2.
Ъгловото ускорение на точка, когато се върти около фиксирана ос, е пропорционално на въртящия момент и обратно пропорционално на инерционния момент(основното уравнение за динамиката на въртеливото движение на материална точка ):
M = β J или 
(3.14)
При постоянен въртящ момент ъгловото ускорение ще бъде постоянна стойност и може да се изрази чрез разликата в ъгловите скорости:
(3.15)
Тогава основното уравнение за динамиката на въртеливото движение може да бъде написано във формата
или 
(3.16)
[
- момент на импулс (или ъглов момент), МΔt - импулс на момент на силите (или импулс на въртящ момент)].
Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение може да бъде написано като
(3.17)
§ 3.4 Закон за запазване на ъгловия момент
Нека разгледаме честия случай на въртеливо движение, когато общият момент на външните сили е нула. При въртеливото движение на тялото всяка негова частица се движи с линейна скорост υ = ωr, .
Ъгловият импулс на въртящо се тяло е равен на сбора от моментите
импулси на отделните му частици:
(3.18)
Промяната в ъгловия момент е равна на импулса на въртящия момент:
dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)
Ако общият момент на всички външни сили, действащи върху системата на тялото спрямо произволна фиксирана ос, е равен на нула, т.е. M=0, тогава dL и векторната сума на ъгловия момент на телата от системата не се променя във времето.
Сумата от ъгловия момент на всички тела в изолирана система остава непроменена (закон за запазване на ъгловия момент ):
d(Jω)=0 Jω=const (3.20)
Съгласно закона за запазване на ъгловия момент можем да напишем
J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)
където J 1 и ω 1 са инерционният момент и ъгловата скорост в началния момент от времето, а J 2 и ω 2 – в момента на времето t.
От закона за запазване на ъгловия импулс следва, че когато M = 0, по време на въртене на системата около ос, всяка промяна в разстоянието от телата до оста на въртене трябва да бъде придружена от промяна в скоростта им въртене около тази ос. С увеличаване на разстоянието скоростта на въртене намалява; с намаляване на разстоянието се увеличава. Например, гимнастичка, изпълняваща салто, за да има време да направи няколко оборота във въздуха, се свива на топка по време на скока. Балерина или фигуристка, въртяща се в пирует, разперва ръце, ако иска да забави въртенето, и обратно, притиска ги към тялото си, когато се опитва да се върти възможно най-бързо.
Момент на сила Е спрямо фиксирана точка O е физическа величина, определена от векторния продукт на радиус вектора r, изтеглен от точка O до точка A на прилагане на сила и силаЕ (фиг. 25):
М = [ rF ].
ТукМ - псевдовектор, посоката му съвпада с посоката на транслационното движение на дясното витло, когато се върти отЖ Да сеЕ .
Модул на момент на сила
М = Фрсин = Ет, (18.1)
Където - ъгъл междуЖ ИЕ ; rsin = л- най-късото разстояние между линията на действие на силата и точка O -рамо на силата.
Силов момент около неподвижна ос zнаречена скаларна величина M z , равна на проекцията върху тази ос на вектора aМ момент на сила, определен спрямо произволна точка O на дадена ос 2 (фиг. 26). Моментна стойност М z не зависи от избора на позицията на точка O върху остаz.
Уравнение (18.3) еуравнение на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана ос.
14. Център на масата на система от материални точки.
В механиката на Галилей-Нютон, поради независимостта на масата от скоростта, импулсът на една система може да бъде изразен чрез скоростта на нейния център на маса.Център на масата (илицентър на инерцията) система от материални точки се нарича въображаема точка C, чието положение характеризира разпределението на масата на тази система. Неговият радиус вектор е равен на
Къдетом аз Иr аз - съответно маса и радиус векторазта материална точка;н- брой материални точки в системата;
- маса на системата.
Център на скоростта на масата
Като се има предвид товастр аз = м аз v аз , А
има импулсР системи, можете да пишете
стр = мv ° С , (9.2)
т.е. импулсът на системата е равен на произведението от масата на системата и скоростта на нейния център на масата.
Замествайки израз (9.2) в уравнение (9.1), получаваме
mdv ° С / дт= Е 1 + Е 2 +...+ Е н , (9.3)
т.е. центърът на масата на системата се движи като материална точка, в която е съсредоточена масата на цялата система и върху която действа сила, равна на геометричната сума на всички външни сили, действащи върху системата. Изразът (9.3) езакон за движение на центъра на масата.
В съответствие с (9.2) от закона за запазване на импулса следва, че центърът на масата на затворена система или се движи праволинейно и равномерно, или остава неподвижен
2) Траектория на движение. Изминато разстояние. Кинематичен закон за движение.
Траектория движение на материална точка - линия, описана от тази точка в пространството. В зависимост от формата на траекторията движението може да бъде праволинейно и криволинейно.
Да разгледаме движението на материална точка по произволна траектория (фиг. 2). Ще започнем да отчитаме времето от момента, в който точката е била в позиция А. Дължината на участъка от траекторията AB, изминат от материалната точка от началото на отчитането на времето, се наричадължина на пътя Катои е скаларна функция на времето: с = с(T). вектор r= r- r 0 , изтеглен от началната позиция на движещата се точка до нейната позиция в. дадена точка във времето (увеличаване на радиус вектора на точка за разглеждания период от време) се наричадвижещ се.
При праволинейно движение векторът на преместване съвпада със съответния участък от траекторията и модула на преместване | r| равно на изминатото разстояние с.
Въпроси за изпита по физика (I семестър)
1. Движение. Видове движения. Описание на движението. Справочна система.
2. Траектория на движение. Изминато разстояние. Кинематичен закон за движение.
3. Скорост. Средната скорост. Проекции на скоростта.
4. Ускорение. Концепцията за нормално и тангенциално ускорение.
5. Ротационно движение. Ъглова скорост и ъглово ускорение.
6. Центростремително ускорение.
7. Инерциални отправни системи. Първият закон на Нютон.
8. Сила. Втори закон на Нютон.
9. Трети закон на Нютон.
10.Видове взаимодействия. Частици носители на взаимодействие.
11. Полева концепция за взаимодействия.
12. Гравитационни сили. Земно притегляне. Телесно тегло.
13. Сили на триене и еластични сили.
14. Център на масата на система от материални точки.
15. Закон за запазване на импулса.
16. Момент на сила спрямо точка и ос.
17. Инерционен момент на твърдо тяло. Теорема на Щайнер.
18. Основно уравнение за динамиката на въртеливото движение.
19. Инерция. Закон за запазване на ъгловия момент.
20. Работете. Изчисляване на работата. Работа на еластичните сили.
21. Сила. Изчисляване на мощността.
22. Потенциално поле на силите. Консервативни и неконсервативни сили.
23. Работата на консервативните сили.
24. Енергия. Видове енергия.
25. Кинетична енергия на тялото.
26. Потенциална енергия на тялото.
27. Пълна механична енергия на система от тела.
28. Връзка между потенциална енергия и сила.
29. Условия за равновесие на механична система.
30. Сблъсък на тела. Видове сблъсъци.
31. Закони за запазване на различни видове сблъсъци.
32. Токопроводи и тръби. Непрекъснатост на потока. 3 3. Уравнение на Бернули.
34. Сили на вътрешно триене. Вискозитет.
35. Трептящо движение. Видове вибрации.
36. Хармонични вибрации. Определение, уравнение, примери.
37. Собствени трептения. Определение, примери.
38. Принудени вибрации. Определение, примери. Резонанс.
39. Вътрешна енергия на системата.
40. Първият закон на термодинамиката. Работа, извършена от тялото при промяна на обема.
41. Температура. Уравнение на състоянието на идеален газ.
42. Вътрешен енергиен и топлинен капацитет на идеален газ.
43. Адиабатно уравнение за идеален газ.
44. Политропни процеси.
45. Ван дер Ваалсов газ.
46. Налягане на газ върху стената. Средна енергия на молекулите.
47.Разпределение на Максуел.
48. Разпределение на Болцман.
Нека ви го напомним основна работаdAсилаЕнаречено скаларно произведение на силатаЕза безкрайно малко преместванеdl:където е ъгълът между посоката на силата и посоката на движение.
Имайте предвид, че нормалната компонента на силата Е н(за разлика от тангенциалния Е τ ) и силата на реакция на земята нне се извършва работа, тъй като те са перпендикулярни на посоката на движение.
Елемент dl=rd при малки ъгли на завъртане d (r – радиус вектор на елемента тяло). Тогава работата на тази сила се записва по следния начин:
. (19)
Изразът Fr cos е моментът на силата (произведението на силата F и рамото p=r cos):
(20)
Тогава работата е равна
. (21)
Тази работа се изразходва за промяна на кинетичната енергия на въртене:
. (22)
Ако I=const, тогава след диференциране на дясната страна получаваме:
или оттогава 
, (23)
Където 
- ъглово ускорение.
Израз (23) е уравнение на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо фиксирана ос,което е по-добре представено от гледна точка на причинно-следствените връзки като:
. (24)
Ъгловото ускорение на тялото се определя от алгебричната сума на моментите на външните сили спрямо оста на въртене, разделена на инерционния момент на тялото спрямо тази ос.
Нека сравним основните величини и уравнения, които определят въртенето на тяло около фиксирана ос и неговото транслационно движение (вижте таблица 1):
маса 1
|
Движение напред |
Ротационно движение |
|
Инерционен момент I |
|
|
Скорост |
Ъглова скорост |
|
Ускорение |
Ъглово ускорение |
|
Сила |
Момент на сила |
|
Основно уравнение на динамиката: |
Основно уравнение на динамиката: |
|
работа |
работа |
|
Кинетична енергия |
Кинетична енергия |
или 
Динамиката на постъпателното движение на твърдо тяло се определя изцяло от силата и масата като мярка за тяхната инерция. При въртеливото движение на твърдо тяло динамиката на движението се определя не от силата като такава, а от неговия инерционен момент се определя не от масата, а от нейното разпределение спрямо оста на въртене. Тялото не придобива ъглово ускорение, ако се приложи сила, но неговият момент ще бъде нула.
Метод на извършване на работата
Схематична диаграма на лабораторната установка е показана на фиг. 6. Състои се от диск с маса m d, четири пръта с маси m 2, прикрепени към него, и четири тежести с маси m 1, разположени симетрично върху прътите. Около диск е навита нишка, на която е окачен товар с маса m.
Съгласно втория закон на Нютон, нека създадем уравнение за постъпателното движение на товар m, без да отчитаме силите на триене:
|
|
(25)или в скаларна форма, т.е. в проекции на посоката на движение:
. (26)
, (27)
където Т е силата на опън на нишката. Съгласно основното уравнение на динамиката на въртеливото движение (24), моментът на силата T, под въздействието на който системата от тела m d, m 1, m 2 извършва въртеливо движение, е равен на произведението на момента на инерция I на тази система и нейното ъглово ускорение :
или 
, (28)
където R е рамото на тази сила, равно на радиуса на диска.
Нека изразим силата на опън на нишката от (28):
(29)
и приравнете десните части на (27) и (29):
. (30)
Линейното ускорение е свързано с ъгловото ускорение чрез следната връзка a=R, следователно:
. (31)
Къде е ускорението на товара m без да се вземат предвид силите на триене в блока, равно на:
. (32)
Нека разгледаме динамиката на движението на системата, като вземем предвид силите на триене, които действат в системата. Те възникват между пръта, на който е закрепен дискът и неподвижната част на инсталацията (вътре в лагерите), както и между подвижната част на инсталацията и въздуха. Ще вземем предвид всички тези сили на триене, като използваме момента на силите на триене.
Като се вземат предвид момент на силите на триенеУравнението на динамиката на въртенето се записва, както следва:
, (33)
където a’ е линейно ускорение под действието на силите на триене, Mtr е моментът на силите на триене.
Изваждайки уравнение (33) от уравнение (28), получаваме:
,
. (34)
Ускорението без да се отчита силата на триене (а) може да се изчисли по формула (32). Ускорението на тежестта, като се вземат предвид силите на триене, може да се изчисли по формулата за равномерно ускорено движение, като се измерва изминатото разстояние S и времето t:
. (35)
Познавайки стойностите на ускоренията (a и a’), използвайки формула (34), можем да определим момента на силите на триене. За изчисления е необходимо да се знае големината на инерционния момент на системата от въртящи се тела, който ще бъде равен на сумата от инерционните моменти на диска, прътите и товарите.
Инерционният момент на диска съгласно (14) е равен на:
. (36)
Инерционният момент на всеки от прътите (фиг. 6) спрямо оста O съгласно (16) и теоремата на Щайнер е равен на:
където a c =l/2+R, R е разстоянието от центъра на масата на пръта до оста на въртене O; l е дължината на пръта; I oc е неговият инерционен момент спрямо оста, минаваща през центъра на масата.
Инерционните моменти на товарите се изчисляват по същия начин:
, (38)
където h е разстоянието от центъра на масата на товара до оста на въртене O; d – дължина на товара; I 0 r е инерционният момент на товара спрямо оста, минаваща през неговия център на масата. Като съберем инерционните моменти на всички тела, получаваме формула за изчисляване на инерционния момент на цялата система.
Уравнение (3) М=д Л/dt се нарича основно уравнение на динамиката на ротационното движение: скоростта на промяна на ъгловия импулс на тяло, въртящо се около фиксирана точка, е равна на резултантния момент спрямо тази точка на всички външни сили, приложени към тялото.
От уравнения (1) и (3) следва
М =д (аз ω) /dt= азд ω /dt= азд,
e = M/ аз.
Ъгловото ускорение на точка, когато се върти около фиксирана ос, е пропорционално на въртящия момент и обратно пропорционално на инерционния момент.
Лабораторна теория
Теоретична информация
Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение на абсолютно твърдо тяло около дадена неподвижна ос има вида .
Уравнението свързва ъгловото ускорение на тялото e с момента M на всички сили, действащи върху тялото спрямо оста на въртене. величина аззависи от формата, големината на тялото, избора на оста на въртене и е инерционният момент на тялото спрямо дадена ос.
Сравняване на това уравнение с основното уравнение на транслационната динамика 
, виждаме, че инерционният момент азиграе същата роля за ротационното движение, както масата за транслационното движение. А именно инерционният момент азхарактеризира инерцията на тялото по време на въртеливо движение. Инерционният момент може да се изчисли, ако е известно разпределението на масата около дадена ос. По този начин инерционният момент на тяло с точкова маса, отделено от оста на въртене на разстояние r, е равно аз = г-н 2 .
Инерционният момент на система от краен брой материални точки, въртящи се около дадена ос, се изчислява по формулата
.
Получаваме формулата за твърдо тяло, като мислено разделим тялото на безкрайно малки елементи с маса d ми замяна на крайната сума с интеграл:
.
Инерционният момент на тялото може да се намери и експериментално. В тази работа се използва един от методите за експериментално определяне на инерционния момент.
Описание на монтажа
| О/ |
| ч |
| П |
| М |
| С |
| О |
| Ориз. 7 |
(фиг. 15).
Към макарата е закрепена резба с тежест P, чиято маса е мизвестен. Когато нишката се навива около скрипеца, тежестта се издига на височина чнад подкрепата и придобива потенциал
енергия mgh.
Ако системата бъде оставена на собственото си устройство, теглото ще се намали бързо и валът, заедно с маховика и шайбата, ще се въртят бързо. След това потенциалната енергия на тежестта ще се преобразува в кинетичната енергия на въртеливото движение на маховика, вала и макарата, както и в кинетичната енергия на транслационното движение на тежестта. В допълнение, част от потенциалната енергия ще бъде изразходвана за увеличаване на вътрешната енергия на топлинното движение на молекулите на триещите се тела поради работата на силите на триене в опорните лагери на вала.
Нека приложим закона за запазване на енергията към този случай:
(5)
Където mgh– потенциална енергия на вдигната на височина тежест ч;
– кинетична енергия на тежестта в момента непосредствено преди нейното спиране; – кинетична енергия на въртеливото движение на маховика, вала и шайбата в един и същи момент от време ( аз– инерционен момент на тази система спрямо оста на въртене, w – ъглова скорост); W T– част от потенциалната енергия, изразходвана за увеличаване на вътрешната енергия в резултат на работата на силите на триене по време на падането на товара.
Ако приблизително приемем, че силата на триене в лагерите е постоянна, тогава движението на системата ще бъде равномерно ускорено. След това скоростта v, достигната до момента, в който конецът се изплъзне от макарата, и височината на падане чможе да се намери от известните съотношения за равномерно ускорено движение v = приИ 
, Където А– ускорение на тежестта; T- времето на неговото падане. Оттук
. (6)
Познаване на скоростта на тежестта vв момента, в който нишката се плъзга от шайбата и радиуса на ролката r, лесно е да се намери съответната ъглова скорост на вала
. (7)
Нека определим работата на силите на триене в лагерите. Тъй като се приема, че силата на триене е независима от скоростта, нейната работа ще бъде пропорционална на броя обороти на вала н 1: У T = b н 1 .
Коефициентът на пропорционалност b може да се намери експериментално. Конецът е прикрепен към скрипеца с помощта на примка, която се плъзга от скрипеца, когато тежестта падне на пода. След като тежестта падне, маховикът ще продължи да се върти по инерция.
Поради спирачния ефект на силите на триене това въртене ще бъде бавно и след определен брой обороти н 2, считано от момента, в който тежестта падне, маховикът ще спре. Приравнявайки кинетичната енергия на маховика в момента, в който тежестта пада на пода с работата на силите на триене, извършвани по време на бавно въртене, получаваме 
. Оттук 
и следователно
