У дома > Развод > Перпендикулярни равнини, условие за перпендикулярност на равнините. Лекция по математика на тема "тест за перпендикулярност на две равнини" Свойства на перпендикулярни равнини


Перпендикулярни равнини, условие за перпендикулярност на равнините. Лекция по математика на тема "тест за перпендикулярност на две равнини" Свойства на перпендикулярни равнини




Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава дадените равнини са перпендикулярни () (фиг. 28)

α – равнина, V– права, перпендикулярна на нея, β – равнина, минаваща през правата V, И с– правата, по която се пресичат равнините α и β.

Последица.Ако една равнина е перпендикулярна на пресечната линия на две дадени равнини, то тя е перпендикулярна на всяка от тези равнини

Проблем 1. Докажете, че през всяка точка от една права в пространството могат да се прекарат две различни прави, перпендикулярни на нея.

Доказателство:

Според аксиомата азима точка извън правата А.По теорема 2.1, през точката INи директно Аможем да начертаем равнината α. (фиг. 29) По теорема 2.3 през точката Ав равнината α можем да начертаем права линия А.Съгласно аксиома C 1 има точка СЪС, непринадлежащи на α. По теорема 15.1 през точката СЪСи директно Аможем да начертаем равнината β. В равнината β, съгласно теорема 2.3, през точка a можем да начертаем права линия с А.По построение правите b и c имат само една обща точка Аи двете са перпендикулярни


Задача 2.Горните краища на два вертикално стоящи стълба, разделени на разстояние 3,4 m, са свързани с напречна греда. Височината на единия стълб е 5,8 m, а на другия е 3,9 m. Намерете дължината на напречната греда.

AC= 5,8 м, ВD= 3,9 м, AB- ? (фиг. 30)


AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)

По Питагоровата теорема от ∆ AEVполучаваме:

AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)

AB= = 3,9 (m)

Задачи

Мишена. Научете се да анализирате относителното положение на обектите в пространството в най-простите случаи, използвайте планиметрични факти и методи при решаване на стереометрични проблеми.


1. Докажете, че през всяка точка от права в пространството можете да прекарате права, перпендикулярна на нея.

2. Правите AB, AC и AD са перпендикулярни по две. Намерете сегмент CD, ако:

1) AB = 3см , слънце= 7 см, AD= 1,5 cm;

2) VD= 9 см, AD= 5 см, слънце= 16см;

3) AB = b, BC = a, AD = d;

4) ВD = с, ВС = а, АД = d

3. Точка А е на разстояние аот върховете на равностранен триъгълник със страна А.Намерете разстоянието от точка А до равнината на триъгълника.

4. Докажете, че ако една права е успоредна на равнина, то всички нейни точки са на еднакво разстояние от равнината.

5. Телефонен проводник с дължина 15 m е опънат от телефонен стълб, където е закрепен на височина 8 m от повърхността на земята, до къща, където е закрепен на височина 20 m. Намерете разстоянието между къщата и стълба, като приемем, че жицата не провисва.

6. Начертани са две наклонени към равнина, равна на 10 cm и разликата в проекциите на тези наклонени е 9 cm.


7. От точка към равнина са начертани две наклонени, едната от които е с 26 см по-голяма от другата. Наклонените проекции са 12 см и 40 см. Намерете наклонените.



8. От точка към равнина са начертани две наклонени прави. Намерете дължините на косите мускули, ако те са в отношение 1:2 и проекциите на косите мускули са 1 cm и 7 cm.

9. От точка към равнина са начертани две наклонени, равни на 23 cm и 33 cm

разстоянието от тази точка до равнината, ако наклонените проекции са в съотношение 2:3.

10. Намерете разстоянието от средата на отсечката AB до равнина, която не пресича тази отсечка, ако разстоянията от точки a и B до равнината са: 1) 3,2 cm и 5,3 cm и 6,1 cm; 3) a и c.

11. Решете предходната задача при положение, че отсечката AB пресича равнината.

12. Отсечка с дължина 1 m пресича равнина, като краищата й са отдалечени от равнината на 0,5 m и 0,3 m. Намерете дължината на проекцията на отсечката върху равнината.

13. От точки A и B са пуснати перпендикуляри върху равнината. Намерете разстоянието между точките A и B, ако перпендикулярите са 3 m и 2 m, разстоянието между основите им е 2,4 m и отсечката AB не пресича равнината.

14. От точки A и B, лежащи в две перпендикулярни равнини, перпендикулярите AC и BD се пускат върху пресечната линия на равнините. Намерете дължината на отсечката AB, ако: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. От върховете A и B на равностранния триъгълник ABC са възстановени перпендикуляри AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на отсечката A 1 B 1, ако AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m и отсечката A 1 B 1 не пресича равнината на триъгълника

16. От върховете A и B на острите ъгли на правоъгълния триъгълник ABC са издигнати перпендикуляри AA 1 и BB 1 към равнината на триъгълника. Намерете разстоянието от върха C до средата на отсечката A 1 B 1, ако A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m и отсечката A 1 B 1 не се пресича равнината на триъгълника.

Две прави в пространството се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90o.


ориз. 37		 Перпендикулярните линии могат да се пресичат и могат да бъдат изкривени.

Лема.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на третата права, то другата права е перпендикулярна на тази права.

Определение.Една права се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права, лежаща в равнината.

Казват също, че равнината е перпендикулярна на права а.

ориз. 38		 Ако правата a е перпендикулярна на равнината, тогава тя очевидно пресича тази равнина. Всъщност, ако правата a не пресича равнината, тогава тя ще лежи в тази равнина или ще бъде успоредна на нея.

Но и в двата случая ще има прави в равнината, които не са перпендикулярни на права а, например прави, успоредни на нея, което е невъзможно. Това означава, че права линия a пресича равнината.

Връзката между успоредността на правите и тяхната перпендикулярност спрямо равнината.

Знак за перпендикулярност на права и равнина.

Бележки.

  1. През всяка точка от пространството минава равнина, перпендикулярна на дадена права, и освен това единствената.
  2. През всяка точка от пространството минава права, перпендикулярна на дадена равнина, и то само една.
  3. Ако две равнини са перпендикулярни на права, тогава те са успоредни.

Задачи и тестове по темата „Тема 5. „Перпендикулярност на права и равнина“.

  • Перпендикулярност на права и равнина
  • Двустенен ъгъл. Перпендикулярност на равнините - Перпендикулярност на прави и равнини 10 клас

    Уроци: 1 Задачи: 10 Тестове: 1

  • Перпендикулярни и наклонени. Ъгъл между права и равнина - Перпендикулярност на прави и равнини 10 клас

    Уроци: 2 Задачи: 10 Тестове: 1

  • Успоредност на прави, права и равнина - Успоредност на прави и равнини 10 клас

    Уроци: 1 Задачи: 9 Тестове: 1

  • Перпендикулярни линии - Основни геометрични сведения 7 клас

    Уроци: 1 Задачи: 17 Тестове: 1

Материалът по темата обобщава и систематизира информацията, която знаете от планиметрията за перпендикулярността на правите. Препоръчително е изучаването на теореми за връзката между успоредността и перпендикулярността на прави и равнини в пространството, както и на материала за перпендикуляра и наклона, да се съчетава със системно повтаряне на съответния материал от планиметрия.

Решенията на почти всички изчислителни задачи се свеждат до прилагането на Питагоровата теорема и нейните последствия. В много задачи възможността за използване на Питагоровата теорема или нейните следствия е оправдана от теоремата за три перпендикуляра или свойствата на успоредността и перпендикулярността на равнините.

Концепцията за перпендикулярни равнини

Когато две равнини се пресичат, получаваме $4$ двустенни ъгли. Два ъгъла са равни на $\varphi $, а другите два са равни на $(180)^0-\varphi $.

Определение 1

Ъгълът между равнините е минималният от двустенните ъгли, образувани от тези равнини.

Определение 2

Две пресичащи се равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тези равнини е $90^\circ$ (фиг. 1).

Фигура 1. Перпендикулярни равнини

Знак за перпендикулярност на две равнини

Теорема 1

Ако една права линия на една равнина е перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни една на друга.

Доказателство.

Нека са ни дадени равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $AC$. Нека правата $AB$, лежаща в равнината $\alpha $, е перпендикулярна на равнината $\beta $ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като правата $AB$ е перпендикулярна на равнината $\beta$, тя е перпендикулярна и на правата $AC$. Нека допълнително начертаем права $AD$ в равнината $\beta$, перпендикулярна на правата $AC$.

Откриваме, че ъгълът $BAD$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, равен на $90^\circ$. Тоест, по дефиниция 1, ъгълът между равнините е $90^\circ$, което означава, че тези равнини са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

От тази теорема следва следната теорема.

Теорема 2

Ако една равнина е перпендикулярна на правата, по която се пресичат две други равнини, тогава тя също е перпендикулярна на тези равнини.

Доказателство.

Нека са ни дадени две равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. Равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$ (фиг. 3)

Фигура 3.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\alpha $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\alpha $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\beta $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\beta $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

За всяка от тези теореми са верни и обратните твърдения.

Примерни проблеми

Пример 1

Нека ни е даден правоъгълен паралелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Намерете всички двойки перпендикулярни равнини (фиг. 5).

Фигура 4.

Решение.

По дефиницията на правоъгълен паралелепипед и перпендикулярни равнини виждаме следните осем двойки равнини, перпендикулярни една на друга: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ и $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.

Пример 2

Нека са ни дадени две взаимно перпендикулярни равнини. От точка на една равнина се тегли перпендикуляр към друга равнина. Докажете, че тази права лежи в дадената равнина.

Доказателство.

Нека са ни дадени перпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. От точка $A$ на равнината $\beta $ е прекаран перпендикуляр $AC$ към равнината $\alpha $. Да приемем, че $AC$ не лежи в равнината $\beta$ (фиг. 6).

Фигура 5.

Да разгледаме триъгълника $ABC$. Тя е правоъгълна с прав ъгъл $ACB$. Следователно, $\ъгъл ABC\ne (90)^0$.

Но от друга страна, $\angle ABC$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от тези равнини. Тоест, двустенният ъгъл, образуван от тези равнини, не е равен на 90 градуса. Откриваме, че ъгълът между равнините не е равен на $90^\circ$. Противоречие. Следователно $AC$ лежи в равнината $\beta$.

Концепцията за перпендикулярни равнини

Когато две равнини се пресичат, получаваме $4$ двустенни ъгли. Два ъгъла са равни на $\varphi $, а другите два са равни на $(180)^0-\varphi $.

Определение 1

Ъгълът между равнините е минималният от двустенните ъгли, образувани от тези равнини.

Определение 2

Две пресичащи се равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тези равнини е $90^\circ$ (фиг. 1).

Фигура 1. Перпендикулярни равнини

Знак за перпендикулярност на две равнини

Теорема 1

Ако една права линия на една равнина е перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни една на друга.

Доказателство.

Нека са ни дадени равнини $\alpha $ и $\beta $, които се пресичат по правата $AC$. Нека правата $AB$, лежаща в равнината $\alpha $, е перпендикулярна на равнината $\beta $ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като правата $AB$ е перпендикулярна на равнината $\beta$, тя е перпендикулярна и на правата $AC$. Нека допълнително начертаем права $AD$ в равнината $\beta$, перпендикулярна на правата $AC$.

Откриваме, че ъгълът $BAD$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, равен на $90^\circ$. Тоест, по дефиниция 1, ъгълът между равнините е $90^\circ$, което означава, че тези равнини са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

От тази теорема следва следната теорема.

Теорема 2

Ако една равнина е перпендикулярна на правата, по която се пресичат две други равнини, тогава тя също е перпендикулярна на тези равнини.

Доказателство.

Нека са ни дадени две равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. Равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$ (фиг. 3)

Фигура 3.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\alpha $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\alpha $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Тъй като правата $c$ принадлежи на равнината $\beta $ и равнината $\gamma $ е перпендикулярна на правата $c$, тогава съгласно теорема 1 равнините $\beta $ и $\gamma $ са перпендикулярни.

Теоремата е доказана.

За всяка от тези теореми са верни и обратните твърдения.

Примерни проблеми

Пример 1

Нека ни е даден правоъгълен паралелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Намерете всички двойки перпендикулярни равнини (фиг. 5).

Фигура 4.

Решение.

По дефиницията на правоъгълен паралелепипед и перпендикулярни равнини виждаме следните осем двойки равнини, перпендикулярни една на друга: $(ABB_1)$ и $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ и $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ и $(ABC)$, $(DCC_1)$ и $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ и $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ и $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ и $(ABC)$.

Пример 2

Нека са ни дадени две взаимно перпендикулярни равнини. От точка на една равнина се тегли перпендикуляр към друга равнина. Докажете, че тази права лежи в дадената равнина.

Доказателство.

Нека са ни дадени перпендикулярни равнини $\alpha $ и $\beta $, пресичащи се по правата $c$. От точка $A$ на равнината $\beta $ е прекаран перпендикуляр $AC$ към равнината $\alpha $. Да приемем, че $AC$ не лежи в равнината $\beta$ (фиг. 6).

Фигура 5.

Да разгледаме триъгълника $ABC$. Тя е правоъгълна с прав ъгъл $ACB$. Следователно, $\ъгъл ABC\ne (90)^0$.

Но от друга страна, $\angle ABC$ е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от тези равнини. Тоест, двустенният ъгъл, образуван от тези равнини, не е равен на 90 градуса. Откриваме, че ъгълът между равнините не е равен на $90^\circ$. Противоречие. Следователно $AC$ лежи в равнината $\beta$.

Този урок ще помогне на желаещите да разберат темата „Знакът за перпендикулярност на две равнини“. В началото ще повторим дефиницията на двустенния и линейния ъгъл. След това ще разгледаме кои равнини се наричат ​​перпендикулярни и ще докажем знака за перпендикулярност на две равнини.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Признак за перпендикулярност на две равнини

Определение. Двустенният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини, които не принадлежат на една и съща равнина, и тяхната обща права линия a (a е ръб).

Ориз. 1

Да разгледаме две полуравнини α и β (фиг. 1). Общата им граница е l. Тази фигура се нарича двустенен ъгъл. Две пресичащи се равнини образуват четири двустенни ъгъла с общ ръб.

Двустенният ъгъл се измерва чрез неговия линеен ъгъл. Избираме произволна точка от общия ръб l на двустенния ъгъл. В полуравнините α и β от тази точка прокарваме перпендикуляри a и b към правата l и получаваме линейния ъгъл на двустенния ъгъл.

Правите a и b образуват четири ъгъла, равни на φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Спомнете си, че ъгълът между прави линии е най-малкият от тези ъгли.

Определение. Ъгълът между равнините е най-малкият от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. φ е ъгълът между равнините α и β, ако

Определение. Две пресичащи се равнини се наричат ​​перпендикулярни (взаимно перпендикулярни), ако ъгълът между тях е 90°.

Ориз. 2

На ребро l е избрана произволна точка M (фиг. 2). Нека начертаем две перпендикулярни прави MA = a и MB = b към ръба l съответно в равнината α и в равнината β. Получихме ъгъл AMB. Ъгъл AMB е линейният ъгъл на двустенен ъгъл. Ако ъгълът AMB е 90°, тогава равнините α и β се наричат ​​перпендикулярни.

Правата b е перпендикулярна на правата l по конструкция. Правата b е перпендикулярна на правата a, тъй като ъгълът между равнините α и β е 90°. Откриваме, че правата b е перпендикулярна на две пресичащи се прави a и l от равнината α. Това означава, че правата b е перпендикулярна на равнината α.

По подобен начин можем да докажем, че правата a е перпендикулярна на равнината β. По построение правата a е перпендикулярна на правата l. Правата a е перпендикулярна на правата b, тъй като ъгълът между равнините α и β е 90°. Откриваме, че правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави b и l от равнината β. Това означава, че правата a е перпендикулярна на равнината β.

Ако една от двете равнини минава през права, перпендикулярна на другата равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни.

Докажи:

Ориз. 3

Доказателство:

Нека равнините α и β се пресичат по права AC (фиг. 3). За да докажете, че равнините са взаимно перпендикулярни, трябва да построите линеен ъгъл между тях и да покажете, че този ъгъл е 90°.

Правата AB е перпендикулярна на равнината β, а следователно и на правата AC, лежаща в равнината β.

Нека начертаем права AD, перпендикулярна на права AC в равнината β. Тогава BAD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл.

Правата AB е перпендикулярна на равнината β, а следователно и на правата AD, лежаща в равнината β. Това означава, че линейният ъгъл BAD е 90°. Това означава, че равнините α и β са перпендикулярни, което трябваше да се докаже.

Равнината, перпендикулярна на правата, по която се пресичат две дадени равнини, е перпендикулярна на всяка от тези равнини (фиг. 4).

Докажи:

Ориз. 4

Доказателство:

Правата l е перпендикулярна на равнината γ, а равнината α минава през правата l. Това означава, че според перпендикулярността на равнините равнините α и γ са перпендикулярни.

Правата l е перпендикулярна на равнината γ, а равнината β минава през правата l. Това означава, че според перпендикулярността на равнините равнините β и γ са перпендикулярни.