Симетрични фигури и обозначават оста на симетрия. Правоъгълник, ромб и квадрат

И така, по отношение на геометрията: има три основни типа симетрия.

първо, централна симетрия (или симетрия спрямо точка) - това е трансформация на равнината (или пространството), при която единствената точка (точка O - центърът на симетрия) остава на мястото си, докато останалите точки променят позицията си: вместо точка A, получаваме точка A1 така че точка O да е средата на сегмент AA1. За да се построи фигура F1, симетрична на фигурата F по отношение на точка O, е необходимо да се начертае лъч през всяка точка на фигурата F, минаваща през точката O (центъра на симетрия), и на този лъч да отделете точка, симетрична на избраната по отношение на точка O. Множеството от точки, построени по този начин, ще даде фигура F1.

Голям интерес представляват фигурите, които имат център на симетрия: със симетрия спрямо точката O всяка точка от фигурата F отново се трансформира в някаква точка от фигурата F. Има много такива фигури в геометрията. Например: отсечка (средата на отсечката е център на симетрия), права линия (която и да е точка е център на нейната симетрия), окръжност (центърът на окръжността е център на симетрия), a правоъгълник (точката на пресичане на неговите диагонали е центърът на симетрия). В живата и неживата природа има много централно симетрични обекти (комуникация на учениците). Често хората сами създават обекти, които имат център на симетрияrii (примери от ръкоделие, примери от машиностроене, примери от архитектура и много други примери).

второ, аксиална симетрия (или симетрия спрямо права) - това е трансформация на равнината (или пространството), при която само точките на правата p остават на мястото си (тази линия е оста на симетрия), докато останалите точки променят позицията си: вместо точка B , получаваме такава точка B1, че правата p е ъглополовяща на отсечката BB1. За да се построи фигура Φ1, симетрична на фигурата Φ спрямо правата p, е необходимо всяка точка от фигурата Φ да построи точка, симетрична на нея спрямо правата p. Съвкупността от всички тези построени точки дава търсената фигура Ф1. Има много геометрични фигури, които имат ос на симетрия.

Правоъгълникът има две, квадратът има четири, кръгът има права линия, минаваща през центъра му. Ако се вгледате внимателно в буквите на азбуката, тогава сред тях можете да намерите тези, които имат хоризонтална или вертикална, а понякога и двете оси на симетрия. Обекти с оси на симетрия се срещат доста често в живата и неживата природа (доклади на ученици). В своята дейност човек създава много предмети (например орнаменти), които имат няколко оси на симетрия.

______________________________________________________________________________________________________

Трето, равнинна (огледална) симетрия (или симетрия спрямо равнина) - това е трансформация на пространството, при което само точки от една равнина запазват местоположението си (α-равнина на симетрия), останалите точки от пространството променят позицията си: вместо точка C се получава такава точка C1, че равнината α минава през средата на отсечката CC1, перпендикулярна на нея.

За да се построи фигура Ф1, симетрична на фигурата Ф спрямо равнината α, е необходимо за всяка точка от фигурата Ф да се построят точки, симетрични спрямо α, те образуват фигурата Ф1 в своето множество.

Най-често в света на заобикалящите ни вещи и предмети се сблъскваме с триизмерни тела. И някои от тези тела имат равнини на симетрия, понякога дори няколко. И самият човек в своите дейности (конструиране, ръкоделие, моделиране, ...) създава обекти с равнини на симетрия.

Заслужава да се отбележи, че наред с трите изброени вида симетрия, има (в архитектурата)преносим и въртящ се, които в геометрията са композиции от няколко движения.

Цели:

образователен:
- дайте представа за симетрия;
- въведе основните видове симетрия в равнината и в пространството;
- развиват силни умения за конструиране на симетрични фигури;
- разширете представите за известни фигури, като ги запознаете със свойствата, свързани със симетрията;
- показват възможностите за използване на симетрия при решаване на различни проблеми;
- затвърдете придобитите знания;
общо образование:
- научете се да се настройвате за работа;
- научете да контролирате себе си и съсед на бюрото;
- да научите как да оценявате себе си и съсед на бюрото си;
развитие:
- активизират самостоятелна дейност;
- развиват когнитивната активност;
- научете се да обобщавате и систематизирате получената информация;
образователен:
- възпитават у учениците „чувство за рамо“;
- култивирайте комуникацията;
- възпитава култура на общуване.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

Пред всеки има ножица и лист хартия.

Упражнение 1(3 минути).

- Вземете лист хартия, сгънете го наполовина и изрежете някаква фигура. Сега разгънете листа и погледнете линията на сгъване.

Въпрос:Каква е функцията на тази линия?

Предложен отговор:Тази линия разделя фигурата наполовина.

Въпрос:Как са разположени всички точки на фигурата върху двете получени половини?

Предложен отговор:Всички точки на половинките са на еднакво разстояние от линията на сгъване и на същото ниво.

- И така, линията на сгъване разделя фигурата наполовина, така че 1 половина е копие на 2 половини, т.е. тази линия не е проста, тя има забележително свойство (всички точки спрямо нея са на едно и също разстояние), тази линия е оста на симетрия.

Задача 2 (2 минути).

- Изрежете снежинка, намерете оста на симетрия, охарактеризирайте я.

Задача 3 (5 минути).

- Начертайте кръг в тетрадката си.

Въпрос:Определете как минава оста на симетрия?

Предложен отговор:различно.

Въпрос:И така, колко оси на симетрия има една окръжност?

Предложен отговор:Много.

- Точно така, кръгът има много оси на симетрия. Същата прекрасна фигура е топката (пространствена фигура)

Въпрос:Кои други фигури имат повече от една ос на симетрия?

Предложен отговор:Квадрат, правоъгълник, равнобедрен и равностранен триъгълник.

– Разглеждане на триизмерни фигури: куб, пирамида, конус, цилиндър и др. Тези фигури също имат ос на симетрия.Определете колко оси на симетрия имат квадрат, правоъгълник, равностранен триъгълник и предложените триизмерни фигури?

Раздавам на учениците половинките фигурки от пластилин.

Задача 4 (3 минути).

- Използвайки получената информация, довършете липсващата част от фигурата.

Забележка: фигурката може да бъде както плоска, така и триизмерна. Важно е учениците да определят как върви оста на симетрия и да попълнят липсващия елемент. Правилността на изпълнението се определя от съседа по бюрото, оценява колко добре е свършена работата.

Линия е изложена от дантела от същия цвят на работния плот (затворена, отворена, със самопреминаване, без самопреминаване).

Задача 5 (групова работа 5 минути).

- Визуално определете оста на симетрия и спрямо нея изпълнете втората част от дантела с различен цвят.

Правилността на извършената работа се определя от самите ученици.

На учениците се представят елементи от рисунки

Задача 6 (2 минути).

Намерете симетричните части на тези чертежи.

За консолидиране на преминатия материал предлагам следните задачи, предвидени за 15 минути:

Назовете всички равни елементи на триъгълника KOR и KOM. Какви са видовете тези триъгълници?

2. Начертайте в тетрадка няколко равнобедрени триъгълника с обща основа равна на 6 cm.

3. Начертайте отсечка AB. Построете права, перпендикулярна на отсечката AB и минаваща през нейната среда. Отбележете върху него точки C и D така, че четириъгълникът ACBD да е симетричен на правата AB.

- Първоначалните ни представи за формата принадлежат към много далечна епоха на древната каменно-медна епоха - палеолита. В продължение на стотици хиляди години от този период хората са живели в пещери, в условия, които малко се различават от живота на животните. Хората изработват инструменти за лов и риболов, развиват език за общуване помежду си, а в епохата на късния палеолит те украсяват съществуването си, създавайки произведения на изкуството, фигурки и рисунки, които разкриват чудесен усет за форма.
Когато се извършва преход от просто събиране на храна към активното й производство, от лов и риболов към земеделие, човечеството навлиза в нова каменна ера - неолита.
Неолитният човек е имал изострено чувство за геометрична форма. Изпичането и оцветяването на глинени съдове, производството на тръстикови рогозки, кошници, тъкани и по-късно обработката на метала развиват идеи за равнинни и пространствени фигури. Неолитните орнаменти са били приятни за окото, разкривайки равенство и симетрия.
Къде се среща симетрията в природата?

Предложен отговор:крила на пеперуди, бръмбари, дървесни листа...

„Симетрията може да се види и в архитектурата. При изграждането на сгради строителите ясно се придържат към симетрията.

Ето защо сградите са толкова красиви. Също така пример за симетрия е човек, животни.

Домашна работа:

1. Измислете свой собствен орнамент, изобразете го на лист А4 (можете да го нарисувате под формата на килим).
2. Начертайте пеперуди, маркирайте къде има елементи на симетрия.

Две фигури се наричат симетрични спрямо някаква точка О в пространството, ако всяка точка А от една фигура съответства в другата фигура на точка А, разположена на правата ОА от другата страна на точка О, на разстояние равно на разстоянието на точка А от точка О (фиг. 114). Точка О се нарича център на симетрияфигури.

Вече видяхме пример за такива симетрични фигури в пространството (§ 53), когато, продължавайки отвъд върха на ръбовете и лицата на многостенен ъгъл, получихме многостенен ъгъл, симетричен на дадения. Съответните отсечки и ъгли, които са част от две симетрични фигури, са равни помежду си. Въпреки това фигурите като цяло не могат да бъдат наречени равни: те не могат да се комбинират една с друга поради факта, че редът на подреждане на частите в една фигура е различен от този в друга, както видяхме в примера със симетрични многостенни ъгли .

В някои случаи симетричните фигури могат да се комбинират, но в същото време техните непоследователни части ще съвпадат. Например, нека вземем прав тристенен ъгъл (фиг. 115) с връх в точката O и ръбове OX, OY, OZ.

Нека построим за него симетричен ъгъл OXYZ. Ъгълът OXYZ може да се комбинира с OXYZ така, че ръбът OX съвпада с OY, а ръбът OY с OX. Ако комбинираме съответните ръбове OX с OX и OY с OY, тогава ръбовете OZ и OZ ще бъдат насочени в противоположни посоки.

Ако симетричните фигури заедно съставят едно геометрично тяло, тогава се казва, че това геометрично тяло има център на симетрия. Така, ако дадено тяло има център на симетрия, тогава всяка точка, принадлежаща на това тяло, съответства на симетрична точка, която също принадлежи на това тяло. От геометричните тела, които разгледахме, центърът на симетрия има например:

паралелепипед,
призма, която има правилен многоъгълник в основата си с четен брой страни.

Правилният тетраедър няма център на симетрия.

Симетрия спрямо равнината

Две пространствени фигури се наричат симетрични по отношение на равнината P, ако всяка точка A от една фигура съответства на друга точка A, а сегментът AA е перпендикулярен на равнината P и е разделен наполовина в точката на пресичане с тази равнина.

Теорема. Всякакви две съответни отсечки в две симетрични фигури са равни една на друга.

Нека са дадени две фигури, които са симетрични спрямо равнината P. Нека изберем произволни две точки A и B от първата фигура, нека A и B са точките от втората фигура, съответстваща на тях (фиг. 116, фигурите са не е показано на чертежа).

Освен това нека C е пресечната точка на сегмента AA с равнината P, D е пресечната точка на сегмента BB със същата равнина. Свързвайки точките C и D с права отсечка, получаваме два четириъгълника ABDC и ABDC. Тъй като AC = AC, BD = BD и

∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠ВDC, като прави ъгли, то тези четириъгълници са равни (което лесно се проверява чрез суперпозиция). Следователно AB = AB. Пряко от тази теорема следва, че съответните равнинни и двустенни ъгли на две фигури, симетрични спрямо равнината, са равни един на друг. Независимо от това е невъзможно тези две фигури да се комбинират една с друга, така че съответните им части да бъдат комбинирани, тъй като редът на частите в една фигура е обратен на този, който се случва в другата. Най-простият пример за две фигури, симетрични спрямо равнина, са: произволен обект и неговото отражение в плоско огледало; всяка фигура е симетрична с огледалния си образ спрямо равнината на огледалото.

Ако всяко геометрично тяло може да бъде разделено на две части, симетрични по отношение на някаква равнина, тогава тази равнина се нарича равнина на симетрия на това тяло.

Геометричните тела с равнина на симетрия са изключително разпространени в природата и в ежедневието. Човешкото и животинското тяло има равнина на симетрия, която го разделя на дясна и лява част.

В този пример е особено ясно, че симетричните фигури не могат да се комбинират. И така, ръцете на дясната и лявата ръка са симетрични, но не могат да се комбинират, което се вижда поне от факта, че една и съща ръкавица не може да пасне както на дясната, така и на лявата ръка. Голям брой предмети от бита имат равнина на симетрия: стол, маса за хранене, библиотека, диван и др. Някои, като масата за хранене, дори имат не една, а две равнини на симетрия (фиг. 117) .

Обикновено, когато разглеждаме обект, който има равнина на симетрия, ние се стремим да заемем такава позиция по отношение на него, че равнината на симетрия на нашето тяло или поне главата ни да съвпада с равнината на симетрия на самия обект. В този случай симетричната форма на обекта става особено забележима.

Симетрия спрямо оста. Ос на симетрия от втори ред.

Две фигури се наричат симетрични спрямо оста l (оста е права линия), ако всяка точка A от първата фигура съответства на точка A от втората фигура, така че отсечката AA е перпендикулярна на оста l, пресича с него и се разделя наполовина в точката на пресичане. Самата ос l се нарича ос на симетрия от втори ред.

От тази дефиниция пряко следва, че ако две геометрични тела, симетрични спрямо една ос, се пресекат от равнина, перпендикулярна на тази ос, тогава в сечението ще се получат две плоски фигури, симетрични по отношение на точката на пресичане на равнината с оста на симетрията на телата.

От това е лесно да се заключи, че две тела, симетрични спрямо една ос, могат да бъдат комбинирани едно с друго чрез завъртане на едно от тях на 180 ° около оста на симетрия. Наистина, представете си всички възможни равнини, перпендикулярни на оста на симетрия.

Всяка такава равнина, пресичаща двете тела, съдържа фигури, които са симетрични по отношение на точката на пресичане на равнината с оста на симетрия на телата. Ако накараме сечащата равнина да се плъзга сама, като я завъртим около оста на симетрия на тялото на 180°, тогава първата фигура съвпада с втората.

Това важи за всяка режеща равнина. Завъртането на всички части на тялото на 180° е еквивалентно на завъртането на цялото тяло на 180° около оста на симетрия. От тук следва валидността на нашето твърдение.

Ако след завъртане на пространствена фигура около определена права линия с 180 °, тя съвпада със себе си, тогава те казват, че фигурата има тази права линия като ос на симетрия от втори ред.

Името "ос на симетрия от втори ред" се обяснява с факта, че по време на пълно завъртане около тази ос тялото ще заеме два пъти позиция в процеса на въртене, която съвпада с оригинала (включително оригинала). Примери за геометрични тела с ос на симетрия от втори ред са:

1) правилна пирамида с четен брой странични лица; неговата ос на симетрия е неговата височина;

2) правоъгълен паралелепипед; има три оси на симетрия: прави линии, свързващи центровете на противоположните му страни;

3) правилна призма с четен брой странични лица. Оста на нейната симетрия е всяка права линия, свързваща центровете на всяка двойка противоположни страни (странични лица и две основи на призмата). Ако броят на страничните стени на призмата е 2 к, тогава броят на тези оси на симетрия ще бъде к+ 1. Освен това всяка права линия, свързваща средните точки на нейните противоположни странични ръбове, служи като ос на симетрия за такава призма. Призмата има такива оси на симетрия.

Така че правилното 2 к-фасетната призма има 2 к+1 оси, симетрия.

Връзка между различните видове симетрия в пространството.

Между различните видове симетрия в пространството - аксиална, равнинна и централна - съществува връзка, изразена със следната теорема.

Теорема. Ако фигурата F е симетрична на фигурата F по отношение на равнината P и в същото време е симетрична на фигурата F" по отношение на точката O, лежаща в равнината P, тогава фигурите F и F" са симетрични по отношение на към оста, минаваща през точка O и перпендикулярна на равнината P .

Да вземем някаква точка А от фигура F (фиг. 118). Съответства на точката A на фигурата F и точката A" на фигурата F" (самите фигури F, F и F" не са показани на чертежа).

Нека B е пресечната точка на сегмента AA с равнината P. Нека начертаем равнина през точките A, A и O. Тази равнина ще бъде перпендикулярна на равнината P, тъй като минава през правата AA, перпендикулярна на тази самолет. В равнината AAO нека начертаем права линия OH, перпендикулярна на OB. Тази права OH също ще бъде перпендикулярна на равнината P. Освен това нека C е пресечната точка на правите AA" и OH.

В триъгълника AAA" отсечката BO свързва средината на страните AA и AA", следователно BO || AA", но BO⊥OH, така че AA"⊥OH. Освен това, тъй като O е средата на страната AA", и CO || AA, тогава AC = A"C. От това заключаваме, че точките A и A "са симетрични спрямо оста OH. Същото важи и за всички останали точки на фигурата. Следователно нашата теорема е доказана. От тази теорема пряко следва, че две фигури, симетрични спрямо равнината не могат да бъдат комбинирани, така че съответните им части да са подравнени. Всъщност фигурата F е подравнена с F "чрез завъртане около оста OH на 180 °. Но фигурите F" и F не могат да се комбинират като симетрични по отношение на точка, следователно фигурите F и F също не могат да се комбинират.

Оси на симетрия от по-високи разряди

Фигура с ос на симетрия се подравнява със себе си, след като се завърти около оста на симетрия на ъгъл от 180°. Но има случаи, когато фигурата съвпада с първоначалната позиция след завъртане около някаква ос на ъгъл, по-малък от 180°. По този начин, ако тялото направи пълно завъртане около тази ос, тогава в процеса на въртене то ще се комбинира няколко пъти с първоначалното си положение. Такава ос на въртене се нарича ос на симетрия от по-висок порядък, а броят на позициите на тялото, които съвпадат с оригинала, се нарича ред на оста на симетрия. Тази ос може да не съвпада с оста на симетрия от втори ред. И така, правилната триъгълна пирамида няма ос на симетрия от втори ред, но нейната височина служи като ос на симетрия от трети ред за нея. Наистина, след завъртане на тази пирамида около височината под ъгъл от 120 °, тя се комбинира със себе си (фиг. 119).

Когато пирамидата се върти около височината, тя може да заеме три позиции, съвпадащи с оригиналната, като се брои и оригиналната. Лесно е да се види, че всяка ос на симетрия от четен ред е в същото време ос на симетрия от втори ред.

Примери за оси на симетрия от по-висок порядък:

1) Правилно н- въглищната пирамида има ос на симетрия н-та поръчка. Тази ос е височината на пирамидата.

2) Правилно н-въглищната призма има ос на симетрия н-та поръчка. Тази ос е права линия, свързваща центровете на основите на призмата.

симетрия на куб.

Както при всеки паралелепипед, точката на пресичане на диагоналите на куба е центърът на неговата симетрия.

Кубът има девет равнини на симетрия: шест диагонални равнини и три равнини, минаващи през средните точки на всеки четири от неговите успоредни ръбове.

Кубът има девет оси на симетрия от втори ред: шест прави линии, свързващи средните точки на противоположните му ръбове, и три прави линии, свързващи центровете на противоположните страни (фиг. 120).

Тези последни линии са оси на симетрия от четвърти ред. Освен това кубът има четири оси на симетрия от трети ред, които са неговите диагонали. Наистина, диагоналът на куба AG (фиг. 120) очевидно е еднакво наклонен спрямо ръбовете AB, AD и AE, а тези ръбове са еднакво наклонени един към друг. Ако свържем точки B, D и E, получаваме правилна триъгълна пирамида ADBE, на която диагоналът на куба AG служи за височина. Когато тази пирамида се изравни със себе си, докато се върти около височината, целият куб ще се изравни с първоначалната си позиция. Лесно се вижда, че кубът няма други оси на симетрия. Нека да видим по колко различни начина един куб може да се побере в себе си. Въртенето около обикновената ос на симетрия дава една позиция на куба, различна от първоначалната, при която кубът като цяло е подравнен със себе си.

Въртенето около ос от 3-ти ред дава две такива позиции, а въртенето около ос от 4-ти ред дава три такива позиции. Тъй като кубът има шест оси от втори ред (това са обикновени оси на симетрия), четири оси от трети ред и три оси от четвърти ред, има 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 позиции на куба, различен от оригинала, при което се комбинира със себе си.

Лесно е да се провери директно, че всички тези позиции са различни една от друга, както и от първоначалната позиция на куба. Заедно с оригиналната позиция те съставляват 24 начина за комбиниране на куба със себе си.

Други материали

Симетрията се свързва с хармония и ред. И не напразно. Тъй като на въпроса какво е симетрия, има отговор под формата на буквален превод от старогръцки. И се оказва, че означава пропорционалност и неизменност. И какво може да бъде по-подредено от стриктно определяне на местоположението? И какво може да се нарече по-хармонично от нещо, което стриктно отговаря на размера?

Какво означава симетрия в различните науки?

Биология.В него важен компонент на симетрията е, че животните и растенията имат правилно подредени части. Освен това в тази наука няма строга симетрия. Винаги има някаква асиметрия. Признава, че частите на цялото не съвпадат с абсолютна точност.

Химия.Молекулите на веществото имат определена закономерност в подреждането си. Именно тяхната симетрия обяснява много свойства на материалите в кристалографията и други клонове на химията.

Физика.Системата от тела и промените в нея се описват с уравнения. Те съдържат симетрични компоненти, което опростява цялото решение. Това става чрез търсене на запазени количества.

Математика.Именно в него е дадено основното обяснение какво е симетрия. Освен това му се придава по-голямо значение в геометрията. Тук симетрията е способността да се показва във фигури и тела. В тесен смисъл се свежда само до огледален образ.

Как различните речници определят симетрията?

В който и от тях да погледнем, думата "пропорционалност" ще се срещне навсякъде. В Дал може да се види и такова тълкуване като еднаквост и еднаквост. С други думи, симетричен означава същото. Пише също, че е скучно, по-интересно изглежда това, в което не е.

На въпрос какво е симетрия, речникът на Ожегов вече говори за еднаквост в положението на частите спрямо точка, линия или равнина.

В речника на Ушаков също се споменава пропорционалността, както и пълното съответствие на двете части на цялото една с друга.

Кога хората говорят за асиметрия?

Префиксът "а" отрича значението на основното съществително. Следователно асиметрията означава, че подреждането на елементите не се поддава на определен модел. В него няма неизменност.

Този термин се използва в ситуации, когато двете половини на артикула не съвпадат напълно. През повечето време те не си приличат.

В дивата природа асиметрията играе важна роля. И може да бъде както полезно, така и вредно. Например сърцето се поставя в лявата половина на гърдите. Поради това левият бял дроб е значително по-малък. Но е необходимо.

За централната и аксиалната симетрия

В математиката има такива видове:

централен, тоест изпълнен по отношение на една точка;
аксиален, който се наблюдава близо до права линия;
огледален, той се основава на отражения;
трансферна симетрия.

Коя е оста и центърът на симетрия? Това е точка или линия, спрямо която всяка точка от тялото може да намери друга. Освен това, така че разстоянието от оригинала до полученото е наполовина от оста или центъра на симетрия. По време на движението на тези точки те описват едни и същи траектории.

Най-лесно е да разберете каква е симетрията по отношение на ос с пример. Тетрадката трябва да бъде сгъната наполовина. Линията на сгъване ще бъде оста на симетрия. Ако начертаем перпендикулярна права към нея, тогава всички точки върху нея ще имат точки, лежащи на същото разстояние от другата страна на оста.

В ситуации, в които трябва да намерите центъра на симетрия, трябва да направите следното. Ако има две фигури, намерете еднакви точки за тях и ги свържете с сегмент. След това разделете на две. Когато фигурата е една, тогава познаването на нейните свойства може да помогне. Често този център съвпада с пресечната точка на диагоналите или височините.

Какви фигури са симетрични?

Геометричните фигури могат да имат аксиална или централна симетрия. Но това не е задължително условие, има много обекти, които изобщо го нямат. Например успоредник има централна, но няма ос. А неравнобедрените трапеци и триъгълници изобщо нямат симетрия.

Ако се има предвид централната симетрия, има доста фигури, които я притежават. Това е сегмент и окръжност, успоредник и всички правилни многоъгълници с брой страни, който се дели на две.

Центърът на симетрия на отсечка (също и окръжност) е нейният център, докато за успоредника той съвпада с пресечната точка на диагоналите. Докато при правилните многоъгълници тази точка също съвпада с центъра на фигурата.

Ако във фигурата може да се начертае права линия, по която тя да се сгъне и двете половини съвпадат, то тя (правата) ще бъде оста на симетрия. Интересно е колко оси на симетрия имат различните фигури.

Например, остър или тъп ъгъл има само една ос, която е неговата ъглополовяща.

Ако трябва да намерите оста в равнобедрен триъгълник, тогава трябва да начертаете височината до основата му. Линията ще бъде оста на симетрия. И само един. И в една равностранна ще има три от тях наведнъж. Освен това триъгълникът също има централна симетрия по отношение на пресечната точка на височините.

Един кръг може да има безкраен брой оси на симетрия. Всяка права линия, която минава през центъра му, може да изпълни тази роля.

Правоъгълник и ромб имат две оси на симетрия. В първия те минават през средините на страните, а във втория съвпадат с диагоналите.

Квадратът комбинира предишните две фигури и има 4 оси на симетрия наведнъж. Те са същите като тези на ромба и правоъгълника.

Фридрих В.А. 1

Дементиева В.В. 1

1 Общинска бюджетна образователна институция "Средно училище № 6", Александровск, Пермска територия

Текстът на творбата е поместен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Файлове за работа" в PDF формат

Въведение

„Стоя пред черна дъска и рисувам върху нея

тебешир различни форми,

Внезапно ме осени мисълта:

Защо симетрията е приятна за окото?

Какво е симетрия?

Това е вродено чувство, отговорих си.

Л.Н. Толстой

В учебника по математика за 6. клас, автор Николски С.М., на стр. 132 - 133 раздел Допълнителни задачи към глава № 3 има задачи за изучаване на фигури в равнина, симетрични спрямо права. Интересувах се от тази тема, реших да изпълня задачите и да проуча тази тема по-подробно.

Обектът на изследване е симетрията.

Предмет на изследване е симетрията като основен закон на Вселената.

Коя хипотеза ще тествам?

Вярвам, че аксиалната симетрия не е само математическа и геометрична концепция и се използва само за решаване на съответни проблеми, но е и основата на хармонията, красотата, баланса и стабилността. Принципът на симетрията се използва в почти всички науки, в нашето ежедневие и е един от "ъгловите" закони, на които се основава Вселената като цяло.

Уместност на темата

Концепцията за симетрия преминава през цялата вековна история на човешкото творчество. Намира се още в началото на своето развитие. В наше време вероятно е трудно да се намери човек, който няма да има някаква представа за симетрия. Светът, в който живеем, е изпълнен със симетрия на къщи, улици, творения на природата и човека. Срещаме симетрията буквално на всяка стъпка: в технологиите, изкуството, науката.

Следователно познаването и разбирането на симетрията в света около нас е задължително и необходимо, което ще бъде полезно в бъдеще за изучаването на други научни дисциплини. Това е актуалността на избраната от мен тема.

Цел и задачи

Цел на работата:разберете каква роля играе симетрията в ежедневния човешки живот, в природата, архитектурата, ежедневието, музиката и други науки.

За да постигна тази цел, трябва да изпълня следните задачи:

1. Намерете необходимата информация, литература и снимки. Установявам максималния обем данни, необходими за работата ми, като използвам наличните за мен източници: учебници, енциклопедии или други медии, свързани с дадената тема.

2. Дайте обща концепция за симетрия, видове симетрия и история на произхода на термина.

3. За да потвърдите хипотезата си, създайте занаяти и направете експеримент с тези фигури, които имат симетрия и не са асиметрични.

4. Демонстрирайте и представете резултатите от наблюденията във вашето изследване.

За практическата част от изследователската работа трябва да направя следното, за което направих работен план:

1. Създаване на DIY занаяти със зададени свойства - симетрични и несиметрични модели, композиция с помощта на цветна хартия, картон, ножици, флумастери, лепило и др.;

2. Експериментирайте с моите занаяти, с две опции за симетрия.

3. Изследвайте, анализирайте и систематизирайте получените резултати чрез съставяне на таблица.

4. За визуално и интересно консолидиране на получените знания, като използвате приложението "Paint 3 D", създавайте рисунки за яснота, както и рисувайте картини със задачи - нарисувайте симетрична половина (започвайки с прости рисунки и завършвайки със сложни). ) и ги комбинирайте, като създадете електронна книга.

Изследователски методи:

1. Анализ на статии и цялата информация за симетрията.

2. Компютърно моделиране (обработка на снимки с помощта на графичен редактор).

3. Обобщение и систематизиране на получените данни.

Главна част.

Осева симетрия и понятието съвършенство

От древни времена човекът е развивал идеи за красотата и се е опитвал да разбере значението на съвършенството. Всички творения на природата са красиви. Хората са красиви по свой собствен начин, животните и растенията са възхитителни. Спектакълът на скъпоценен камък или солен кристал радва окото, трудно е да не се възхитите на снежинка или пеперуда. Но защо се случва това? Струва ни се, че външният вид на обектите е правилен и завършен, чиято дясна и лява половина изглеждат еднакви.

Очевидно хората на изкуството бяха първите, които се замислиха за същността на красотата.

Тази концепция за първи път е обоснована от художници, философи и математици от Древна Гърция. Древни скулптори, които изучават структурата на човешкото тяло, още през 5 век пр.н.е. започва да използва понятието "симетрия". Тази дума е от гръцки произход и означава хармония, пропорционалност и сходство в разположението на съставните части. Древногръцкият мислител и философ Платон твърди, че само това, което е симетрично и пропорционално, може да бъде красиво.

И наистина, онези явления и форми, които имат пропорционалност и завършеност, са „приятни за окото“. Ние ги наричаме правилни.

Видове симетрия

В геометрията и математиката се разглеждат три вида симетрия: аксиална симетрия (по отношение на права линия), централна (по отношение на точка) и огледална (по отношение на равнина).

Осовата симетрия като математическо понятие

Точките са симетрични спрямо дадена права (ос на симетрия), ако лежат на права, перпендикулярна на тази права и на същото разстояние от оста на симетрия.

Една фигура се счита за симетрична по отношение на линия, ако за всяка точка от разглежданата фигура, точката, симетрична за нея по отношение на дадена права, също се намира на тази фигура. Правата линия в този случай е оста на симетрия на фигурата.

Фигурите, които са симетрични спрямо права линия, са равни. Ако една геометрична фигура се характеризира с аксиална симетрия, дефинирането на огледални точки може да се визуализира чрез просто огъване по оста и сгъване на равни половини "лице в лице". Желаните точки ще се допират една до друга.

Примери за ос на симетрия: ъглополовяща на неразширен ъгъл на равнобедрен триъгълник, всяка права линия, прекарана през центъра на окръжност и др. Ако една геометрична фигура се характеризира с аксиална симетрия, дефинирането на огледални точки може да се визуализира чрез просто огъване по оста и сгъване на равни половини "лице в лице". Желаните точки ще се допират една до друга.

Фигурите могат да имат няколко оси на симетрия:

оста на симетрия на ъгъл е правата линия, върху която лежи неговата ъглополовяща;

оста на симетрия на кръг и окръжност е всяка права линия, минаваща през техния диаметър;

Равнобедреният триъгълник има една ос на симетрия, равностранният триъгълник има три оси на симетрия;

Правоъгълникът има 2 оси на симетрия, квадратът има 4, ромбът има 2 оси на симетрия.

Оста на симетрия е въображаема линия, която разделя обект на симетрични части. На моя чертеж е показано за по-голяма яснота.

Има фигури, които нямат никаква ос на симетрия. Такива фигури включват паралелограм, различен от правоъгълник и ромб, триъгълник в мащаб.

Осева симетрия в природата

Природата е мъдра и разумна, затова почти всички нейни творения имат хармонична структура. Това се отнася както за живи същества, така и за неодушевени обекти.

Внимателното наблюдение показва, че в основата на красотата на много форми, създадени от природата, е симетрията. Листата, цветята, плодовете имат изразена симетрия. Очевидна е тяхната огледална, радиална, централна, аксиална симетрия. До голяма степен се дължи на явлението гравитация.

Геометричните форми на кристалите с техните плоски повърхности са удивителен природен феномен. Но истинската физическа симетрия на кристала се проявява не толкова във външния му вид, колкото във вътрешната структура на кристалното вещество.

Осева симетрия в животинския свят

Симетрията в света на живите същества се проявява в правилното разположение на едни и същи части на тялото спрямо центъра или оста. Аксиалната симетрия е по-често срещана в природата. Той определя не само общата структура на организма, но и възможностите за неговото последващо развитие. Всеки вид животно има характерен цвят. Ако в оцветяването се появи модел, тогава, като правило, той се дублира от двете страни.

Осева симетрия и човек

Ако погледнете някое живо същество, симетрията на структурата на тялото веднага хваща окото ви. Човек: две ръце, два крака, две очи, две уши и т.н.

Това означава, че има определена линия, по която животните и хората могат да бъдат визуално „разделени“ на две еднакви половини, тоест тяхната геометрична структура се основава на аксиалната симетрия.

Както се вижда от горните примери, природата създава всеки жив организъм не произволно и безсмислено, а според общите закони на световния ред, тъй като нищо във Вселената няма чисто естетическа, декоративна цел. Това се дължи на естествената необходимост.

Разбира се, математическата точност рядко е присъща на природата, но сходството на елементите на един организъм все още е поразително.

Симетрия в архитектурата

От древни времена архитектите са познавали добре математическата пропорция и симетрия и са ги използвали при изграждането на архитектурни структури. Например архитектурата на руските православни църкви и катедрали на Русия: Кремъл, катедралата Христос Спасител в Москва, Казанската и Исаакиевската катедрали в Санкт Петербург и др.

Както и други световноизвестни забележителности, много от които са във всички страни по света, можем да видим сега: египетските пирамиди, Лувъра, Тадж Махал, Кьолнската катедрала и др. Всички те, както виждаме, имат симетрия.

Симетрия в музиката

Уча в музикално училище, беше ми интересно да намеря примери за симетрия в тази област. Не само музикалните инструменти имат ясна симетрия, но части от музикални произведения звучат в определен ред, в съответствие с партитурата и замисъла на композитора.

Например, reprise - (фр. reprise, от reprendre - възобновявам). Повторение на тема или група от теми след етапа на нейното (тяхното) развитие или представяне на нов тематичен материал.

Също така в едноизмерното повторение във времето на равни интервали е музикалният принцип на ритъма.

Симетрия в инженерството

Живеем в бързо променящо се високотехнологично, информационно общество и не се замисляме защо някои предмети и явления около нас предизвикват усещане за красота, а други не. Ние не ги забелязваме, дори не се замисляме за свойствата им.

Но освен това, тези технически и механични устройства, части, механизми, възли няма да могат да работят правилно и изобщо да функционират, ако не се спазва симетрия или по-скоро определена ос, в механиката това е центърът на тежестта.

Балансът в центъра в този случай е задължително техническо изискване, чието спазване е строго регламентирано от GOST или TU и трябва да се спазва.

Симетрия и космически обекти

Но може би най-мистериозните, вълнуващи умовете на мнозина от древни времена са космическите обекти. Които също имат симетрия – слънцето, луната, планетите.

Тази верига може да бъде продължена, но сега говорим за нещо едно: че аксиалната симетрия е основният закон на Вселената, е в основата на красотата, хармонията и пропорционалността и във връзката си с математиката.

Практическа част

След като намерих необходимата информация, след като проучих литературата, бях убеден в правилността на моята хипотеза и стигнах до заключението, че в очите на човек асиметрията най-често се свързва с нередност или непълноценност. Затова в голяма част от творенията на човешката ръка може да се проследи симетрия и хармония, като необходимо и задължително изискване.

Това ясно се вижда на рисунката ми, на която е изобразено прасенце с непропорционални части на тялото, което веднага хваща окото!

И едва след като свикнете с него по-дълго, ще го смятате за сладък?

Въпреки факта, че тази тема е известна и добре проучена, но всички тези данни се разглеждат отделно във всяка дисциплина. Обобщени данни, че се използва принципа на симетрията и на него се основават много други науки и не съм срещал връзката им с математиката.

Затова реших да докажа твърдението си по най-простия и достъпен за мен начин. Вярвам, че това решение би било да се проведе експеримент с изпитания.

За да докажа ясно, че асиметричните модели не са стабилни, нямат необходимите изисквания и жизненоважни умения и за да потвърдя хипотезата си, трябва да създам занаяти, рисунки и композиция:

Вариант 1 - симетричен спрямо оста;

Вариант 2 - с ясно нарушение на симетрията.

Тъй като вярвам, че такъв дисбаланс ще бъде ясно видим в следващите примери, за които създадох оригами занаяти (самолет и жаба) от цветна хартия. За чистотата на експеримента те са изработени от една и съща цветна хартия и са тествани при еднакви условия. И композицията "Фар", където фарът е направен от празна пластмасова бутилка, залепена с цветна хартия. За украса на композицията са използвани детски фигурки на човек, модели на платноходка и лодка, декоративни камъни, а за симулиране на светлина използвах елемент, светещ от батерия.

Проведох тестове с тези занаяти, записах всички показатели и ги въведох в таблица (всички показатели можете да видите в Приложение № 1, стр. 18 - 21).

Всички занаяти са направени в съответствие с правилата за безопасност. (Приложение № 2 стр. 21)

Анализирах всички получени данни, ето какво получих.

Анализ на данни

Експеримент №1

Пробен период- дълъг скок на жаби, измерване на това разстояние.

Зелената (симетрична) жаба скача равномерно, на по-голямо разстояние, а Червената (несиметрична) жаба никога не скача права, винаги със завой или обръщане настрани, разстояние 2-3 пъти по-малко.

По този начин можем да заключим, че такова животно няма да може да ловува бързо или, напротив, да избяга, ефективно да получи храна, което намалява шансовете за оцеляване, това доказва, че всичко в природата е балансирано, пропорционално, правилно - симетрично .

Експеримент №2

Вид тест- изстрелване на самолети в полет и измерване на разстоянието на дължината на полета.

Самолет № 1 "Розов" (симетричен) излита от 10 пъти, 8 пъти прав и прав, до максималната дължина (т.е. цялата дължина на моята стая), а траекторията на полета на самолет № 2 "Оранжев" ( не симетрично) от 10 пъти - никога не лети направо, винаги със завой или удар, за по-късо разстояние. Тоест, ако беше истински самолет, тогава той нямаше да може да лети гладко, в правилната посока. Такъв полет би бил много неудобен или дори опасен за човек (както и за птици), а колите и другите превозни средства няма да могат да се движат, да плуват и т.н. в необходимата посока.

Експеримент #3

Вид тест -проверка на стабилността на сградата Mayak, с намаляване на ъгъла на наклона на конструкцията спрямо повърхността.

1. След като създадох композицията на "Фара", аз я зададох директно, т.е. перпендикулярно (под ъгъл 90 0) спрямо стените на конструкцията към повърхността. Този дизайн стои точно, издържа на монтирания светещ елемент и фигурата на човек.

2. За по-нататъшен експеримент трябваше да начертая основата на кулата под ъгли, равни на 10 0 .

След това отрязах ъгъл, равен на 10 0 от основата.

Под ъгъл 80 0 сградата стои изкривена, залита, но издържа на допълнителното натоварване.

3. След като отрязахме още 10 0 , получихме ъгъл на наклон от 70 0 , при който цялата ми конструкция се срутва.

Този опит доказва, че исторически установената традиция за строеж под прав ъгъл и запазване на симетрията на самата сграда е необходимо условие за устойчивото, надеждно изграждане и експлоатация на архитектурните сгради и съоръжения.

За ясен пример за аксиална симетрия и доказателство за твърдението, че човек възприема всякакви предмети около себе си, изображения на животни и др. само симетрично, тоест когато двете страни, "половините" са еднакви, равни, създадох електронна книжка за оцветяване, която може да се разпечата като детска книжка за оцветяване. Това ръководство ще помогне на всеки да разбере по-добре темата, интересно и с удоволствие да прекарва свободното си време. (На тази фигура е показана заглавната страница, останалите фигури се намират в Приложение № 3, стр. 21-24).

Моите експерименти доказват, че симетрията не е само математическо и геометрично понятие, но е сфера, среда на нашия живот, вид техническо изискване, както и необходимо условие за оцеляване като цяло, както за хората, така и за животните. Симетрията обединява всичко това и надхвърля конвенционалната наука!

Заключение

Изводи:

Разбрах, че симетрията е един от основните компоненти в ежедневието на човека, в предметите от бита, в архитектурата, техниката, природата, музиката, науката и т.н.

Резултат:

Намерих необходимата информация, доказах хипотезата си, проверих я и я потвърдих емпирично. Създадох занаяти, композиция, рисунки и електронно оцветяване за визуален експеримент.

Открих, че всички закони на природата – биологични, химични, генетични, астрономически – са свързани със симетрията. На практика всичко, което ни заобикаля, което е създадено от човека, е подчинено на общите за всички ни принципи на симетрия, тъй като имат завидна система. Така балансът, идентичността като принцип има универсален обхват.

Можем ли да кажем, че симетрията е основният закон, на който се основават основните закони на науката? Може би да.

Великите мислители на човечеството се опитаха да разберат тази тайна. Днес се потопихме в решението на тази мистерия.

Един от известните математици Херман Вейл пише, че "симетрията е идеята, чрез която човекът се опитва от векове да разбере и създаде ред, красота и съвършенство".

Открихме ли тайната за създаване на красота, съвършенство или дори създаване на основните закони на Вселената? Може би е симетрия?

Приложения

Приложение № 1 Тестова таблица:

Експеримент №1
Опит №	Вид тест	"Зелена жаба" (симетричен)	Резултат и характеристики на теста "Червена жаба" (не симетричен)
	жаба за дълъг скок (измерване в см)		6.0 наляво
		14.4 с лек завой надясно	9.0 обръщане назад
		10.5 почти точно	2.0 преврат
		9.5 с лек завой надясно	5.0 обръщане наляво
		10.6 с лек завой надясно	3.0 наляво

		9.0 преврат	9.0 завийте наляво
		13,5 почти точно	1,5 назад, със завой наляво
			9.5 ляв флип
		21.2 почти точно	4.5 ляв флип
Експеримент №2
		Самолет "Розов" (симетричен)	самолет "портокал" (не симетричен)
	Изстрелване на самолет в дължина Максимум (5,1 метра)	5.1 с 2 обръщания	3.04 с обръщане надясно
			2.78 със завъртания надясно
		5.1 наклон надясно	3, 65 с обръщания надясно
		5.1 наклон надясно	1.51 почти точно
		5.1 почти точно	4.73 със завъртания надясно
		5.1 наклонена наляво	3.82 завийте надясно
		5.1 почти точно	3.41 с преврати
		5.1 почти точно	3.37 завийте наляво
		5.1 с флип	3.51 с обръщане наляво
		5.1 почти точно	3.19 със завъртания надясно

Експеримент #3
Опит №	Характеристики на имотите обект	Вид и характеристики на теста	Резултат
	Сградата си струва перпендикулярно на повърхността (т.е. под ъгъл от 90 0)	Монтиране на допълнителен товар: светещ елемент и играчка фигура на човек	Фарът стои прав, сигурен
	Под ъгъл 80 0	От основата на фара очертах и отрязах ъгъл от 10 0	Фарът може да издържи натоварването, но е ненадежден, залита
	Под ъгъл 70 0	От основата на фара отново отрязах 10 0	Сградата пада и се руши

Приложение № 2

При производството на моите занаяти бяха спазени предпазните мерки, а именно:

Ножицата или ножът трябва да са добре заточени и нагласени.

Трябва да се съхранява на определено и безопасно място или кутия.

Когато използвате ножици (нож), не можете да се разсейвате, трябва да сте възможно най-внимателни и дисциплинирани.

Когато подавате ножицата (нож), дръжте я за затворените остриета (точка).

Поставете ножици (нож) отдясно със затворени остриета (върхове), насочени настрани от вас.

При рязане тясното острие на ножицата (върхът на ножа) трябва да е отдолу.

Измийте ръцете си след използване на лепило.

Приложение №3

Електронна книжка за оцветяване

симетрия-

Това означава, че една част от обекта е подобна на друга.

Аксиалната симетрия е симетрия спрямо права линия (линия).

Оста на симетрия е въображаема линия, която разделя обект на симетрични части. Показано е на фигурите за яснота.

В тази книга трябва да завършите чертежите, като свържете точките.

След това можете да оцветите това, което получавате.

Опитайте се да завършите тези рисунки:

сърце

Триъгълник малка къща

Листовка със звездичка

Мишка за коледно дърво

кучеКлючалка

ДА СЕВ допълнение към аксиалната симетрия има и симетрия спрямо точка.

Тази топка е симетрична

И още един вид симетрия - огледалната симетрия.

огледална симетрия-

е симетрия спрямо равнината. Например по отношение на огледалото.

Симетрията е -

Използвани книги

2. Херман Вайл "Симетрия" (Издателство "Наука", основно издание на физико-математическата литература, Москва, 1968 г.)

4. Моите рисунки и снимки.

5. Наръчник на машиностроителя, том 1, (Държавно научно-техническо издателство на машиностроителна литература, Москва, 1960 г.)

6. Снимки и рисунки от интернет.

Категории

Избор на редакторите