У дома > Скарани > Теория на вероятностите. Решаване на проблеми (2020)


Теория на вероятностите. Решаване на проблеми (2020)




Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.

Общата формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни, но вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития, трябва да бъдат изчислени. В тези задачи има нужда от такива действия върху вероятностите като събиране и умножение на вероятности.

Например при лов се правят два изстрела. Събитие А- удряне на патица от първия изстрел, събитие Б- удар от втория изстрел. След това сборът от събития Аи Б- удар от първи или втори изстрел или от два изстрела.

Задачи от различен тип. Дават се няколко събития, например монетата се хвърля три пъти. Необходимо е да се намери вероятността или гербът да бъде изпуснат и трите пъти, или гербът да бъде изтеглен поне веднъж. Това е проблем с умножаването на вероятностите.

Добавяне на вероятностите за непоследователни събития

Добавянето на вероятности се използва, когато трябва да изчислите вероятността за обединение или логическа сума от случайни събития.

Сума от събития Аи Бобозначават А + Били А ∪ Б... Сборът от две събития е събитие, което се случва, ако и само когато се случи поне едно от събитията. Означава, че А + Б- събитие, което се случва, ако и само когато е настъпило събитие по време на наблюдение Аили събитие Б, или в същото време Аи Б.

Ако събитията Аи Бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, тогава вероятността едно от тези събития да настъпи в резултат на един тест се изчислява чрез добавяне на вероятностите.

Теорема за добавяне за вероятности.Вероятността да се случи едно от двете взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:

Например по време на лов се правят два изстрела. Събитие А- удряне на патица от първия изстрел, събитие V- удар от втория изстрел, събитие ( А+ V) - удар от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития Аи V- тогава несъвместими събития А+ V- началото на поне едно от тези събития или две събития.

Пример 1.В кутията има 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да гледате.

Решение. Да предположим, че събитието А- "червената топка е взета" и събитието V- "взета е синя топка." Тогава събитието е „взема се цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие А:

и събития V:

Развития Аи V- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, тогава не можете да вземете топки с различни цветове. Следователно използваме добавянето на вероятности:

Теоремата за събиране на вероятности за няколко непоследователни събития.Ако събитията съставляват пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е 1:

Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:

Противоположните събития образуват пълен набор от събития и вероятността за пълен набор от събития е 1.

Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви стри q... В частност,

от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:

Пример 2.Мишената в стрелбището е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по целта в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.

Решение: Нека намерим вероятността стрелецът да уцели целта:

Нека намерим вероятността стрелецът да пропусне целта:

По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".

Добавяне на вероятности за взаимно съвместими събития

Две случайни събития се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно събитие не изключва появата на второ събитие в същото наблюдение. Например, когато хвърляте зарове, събитието Асе разглежда падането на числото 4 и събитието V- отпадна четно число. Тъй като числото 4 е четно число, двете събития са съвместими. На практика има задачи за изчисляване на вероятностите за едно от съвместните събития.

Теорема за събиране на вероятността за съвместни събития.Вероятността да се случи едно от съвместните събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития, от която се изважда вероятността за общото настъпване на двете събития, тоест произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е както следва:

От събитията Аи Vсъвместим, събитие А+ Vвъзниква, ако се случи едно от трите възможни събития: или АБ... Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития изчисляваме, както следва:

Събитие Аще се случи, ако настъпи едно от двете несъвместими събития: или АБ... Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:

По същия начин:

Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата за вероятност за съвместни събития:

Когато се използва формула (8), трябва да се има предвид, че събитията Аи Vможе би:

  • взаимно независими;
  • взаимно зависими.

Формула за вероятност за взаимно независими събития:

Формула за вероятност за взаимно зависими събития:

Ако събитията Аи Vса непоследователни, то тяхното съвпадение е невъзможен случай и следователно, П(АБ) = 0. Четвъртата формула за вероятност за непоследователни събития е както следва:

Пример 3.В автомобилно състезание, когато карате първата кола, има шанс за победа, когато шофирате във втората кола. Намирам:

  • вероятността и двете коли да спечелят;
  • вероятността поне една кола да спечели;

1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, следователно от събитията А(първата кола печели) и V(втора кола победи) - независими събития. Нека намерим вероятността и двете коли да спечелят:

2) Нека намерим вероятността една от двете коли да спечели:

По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".

Решете сами проблема със събирането на вероятности и след това вижте решението

Пример 4.Хвърлят се две монети. Събитие А- падане от герба на първата монета. Събитие Б- падане от герба на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + Б .

Умножение на вероятностите

Умножението на вероятностите се използва при изчисляване на вероятността на логическия продукт на събитията.

Освен това случайните събития трябва да са независими. Две събития се наричат ​​взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе на вероятността за настъпване на второто събитие.

Теорема за умножение за вероятности за независими събития.Вероятност за едновременно възникване на две независими събития Аи Vе равно на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:

Пример 5.Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да бъде изпуснат и трите пъти.

Решение. Вероятността при първото хвърляне на монетата да се появи гербът, вторият, третият път. Нека намерим вероятността гербът да бъде нарисуван и три пъти:

Решете сами задачи за умножение на вероятностите и след това вижте решението

Пример 6.Включва кутия с девет нови тенис топки. Вземат се три топки за играта, след играта се връщат обратно. При избора на топки не се разграничават изиграни и неизиграни. Каква е вероятността след три игри да не останат топки в полето?

Пример 7. 32 букви от руската азбука са написани на картите на разделената азбука. Пет карти се изваждат на случаен принцип една след друга и се поставят на масата по реда на появяване. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".

Пример 8.От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите от тези карти да са от различни цветове.

Пример 9.Същият проблем като в пример 8, но след като бъде извадена, всяка карта се връща в тестето.

По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности, както и да изчислите произведението на няколко събития - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности".

Вероятността да се случи поне едно от взаимно независимите събития може да се изчисли чрез изваждане от 1 на произведението на вероятностите за противоположни събития, тоест като се използва формулата.

Обединението (логическата сума) от N събития се нарича събитие което се наблюдава всеки път поне един отсъбития ... По-специално, обединението на събития А и В е събитието А+ Б(някои автори
), което се наблюдава, когато идваили А,или Били и двете събития едновременно(фиг. 7). Знакът на пресичане в текстовата формулировка на събитията е съюзът "или".

Ориз. 7. Комбиниране на събития A + B

Трябва да се има предвид, че вероятността за събитието P (A) съответства както на лявата част на защрихованата част на фиг. 7 на фигурата и централната й част, означена като
... И резултатите, съответстващи на събитие B, се намират както от дясната страна на защрихованата фигура, така и в маркираното
централна част. Така при добавяне и ■ площ
всъщност ще въведе тази сума два пъти и точният израз за площта на защрихованата фигура е
.

Така, вероятност от обединениедве събития A и B е равно на

За голям брой събития общият изчислителен израз става изключително тромав поради необходимостта да се вземат предвид многобройни варианти на взаимното припокриване на регионите. Ако обаче събитията, които се комбинират, са несъвместими (виж стр. 33), то припокриването на регионите се оказва невъзможно, а благоприятната зона се определя директно от сбора на регионите, съответстващи на отделните събития.

Вероятност сливанияпроизволно число непоследователносъбития дефиниран от израза

Следствие 1: Пълна група от събития се състои от непоследователни събития, едно от които задължително се реализира в преживяването. Като резултат, ако събития …
,образуват пълна група, след това за тях

Поради това,

СПоследствие 3Нека вземем предвид, че обратното твърдение „ще се случи поне едно от събитията …
"Е изявлението" нито едно от събитията …
не се изпълнява." Тоест, с други думи, „в опит събитията ще бъдат наблюдавани , и , и ..., и “, Което вече е пресечната точка на събитията, противоположни на оригиналния набор. Следователно, като вземем предвид (2 .0), за да комбинираме произволен брой събития, получаваме

Следствия 2, 3 показват, че в случаите, когато директното изчисляване на вероятността за събитие е проблематично, е полезно да се оцени сложността на изследването на събитието, противоположно на него. В крайна сметка, знаейки смисъла
, получаваме от (2 .0) необходимата стойност
вече не представя никаква работа.

    1. Примери за изчисляване на вероятностите за сложни събития

Пример 1 : Двама ученици (Иванов и Петров) заедно Исе втурна към защитата на лабораторната работа, след като научи първите 8 конот 10-те налични въпроса към тази работа. Проверка на готовността, nучителят пита всеки само едноn произволно избран въпрос. Определете вероятността от следните събития:

А= “Иванов ще защитава лабораторни работи”;

Б= “Петров ще защитава лабораторни работи”;

° С= “И двамата защитават лабораторни работи”;

д= “Поне един от студентите ще защити работата”;

Е= “Само един от студентите ще защитава работата”;

Ф= "Никой от тях няма да защити работата."

Решение. Имайте предвид, че способността за защита на работа като Иванова, ткато и Петрова поотделно се определя само от броя на овладените въпроси, поетътв... (Забележка: в този пример стойностите на получените фракции умишлено не са намалени, за да се опрости сравнението на резултатите от изчисленията.)

Събитие° Сможе да се формулира по различен начин като "творбата ще бъде защитена и от Иванов, и от Петров", т.е. ще се случии събитиеА, и събитиеБ... И така, събитието° Се пресечната точка на събитиятаАиБ, и в съответствие с (2 .0)

където факторът „7/9” се появява поради факта, че настъпването на събитиетоАозначава, че Иванов е получил „добър” въпрос, което означава, че Петров вече има само 7 „добри” въпроса от останалите 9 въпроса.

Събитиедпредполага, че „работата ще бъде защитенаили Иванов,или Петров,или и двамата са заедно ", т.е. поне едно от събитията ще се случиАиБ... И така, събитиетоде обединение от събитияАиБ, и в съответствие с (2 .0)

което е в съответствие с очакванията, тъй като дори за всеки ученик поотделно шансовете за успех са доста високи.

Споява E означава, че „или Ивано ще защити работатав, и Петров „стрпада",или Иванов ще бъде хванат неуспешнопросто попитайте и Петров ще се справи със защитата." Двете алтернативи са взаимно изключващи се (непоследователни), т.е

И накрая, изявлениетоФще бъде вярно само ако „и Иванов,и Петров с охранане ще се справи." Така,

Това завършва решението на проблема, но е полезно да се отбележат следните точки:

1. Всяка от получените вероятности отговаря на условие (1 .0),о, ако за
и
получи конфликтс(1 .0) по принцип е невъзможно, тогава за
опитайте иизползването на (2 .0) вместо (2 .0) би довело до очевидно некоригираноect стойност
... Важно е да запомните, че такава стойност на вероятността е принципно невъзможна и при получаване на такъв парадоксален резултат незабавно започнете да търсите грешка.

2. Намерените вероятности удовлетворяват отношениятам

.

NSтогава е съвсем очаквано, т.к разработки° С, ЕиФпълна формагрупа и събитиядиФса противоположни един на друг. Отчитане на тезимогат да се използват съотношения, от една странаван да провери отново изчисленията, а в друга ситуация може да послужи като основа за алтернативен начин за решаване на проблема.

NS Забележка : Не пренебрегвайте писменото фиксиранеточната формулировка на събитието, в противен случай, в хода на решаването на проблема, можете неволно да преминете към различно тълкуване на значението на това събитие, което ще доведе до грешки в разсъжденията.

Пример 2 : При голяма партида микросхеми, които не са преминали окончателния контрол на качеството, 30% от продуктите са дефектни.Ако изберете произволно произволни две микросхеми от тази партида, тогава какво евероятността сред тях:

А= „И двете са валидни“;

Б= "Точно 1 използваема микросхема";

° С= „И двете дефектни“.

Нека анализираме следната версия на разсъждението (внимателно, съдържа грешка):

Тъй като говорим за голяма партида продукти, премахването на няколко микросхеми от нея практически не влияе на съотношението на броя на добри и дефектни продукти, което означава, че избирайки някои микросхеми от тази партида няколко пъти подред, можем приемем, че във всеки един от случаите остават непроменени вероятности

= П(избран дефектен артикул) = 0,3 и

= П(избран добър продукт) = 0,7.

За да се случи събитиетоАнеобходимо е товаи първо,и за втори път беше избран подходящ продукт и следователно (като се вземе предвид независимостта един от друг на успеха на избора на първата и втората микросхеми) за пресечната точка на събитията имаме

По същия начин, за да се случи събитие C, и двата продукта трябва да са дефектни, а за да получите B, трябва да изберете подходящ продукт веднъж и дефектен продукт веднъж.

Симптом на грешка. NSвъпреки че всички вероятности, получени по-гореи изглежда правдоподобно, когато се анализират заедно, е лесноотбележи, че .Въпреки това, случаитеА, Би° Собразуват завършенгрупата събития, за които да се изпълнява .Това противоречие показва наличието на някаква грешка в разсъжденията.

С много грешки. Въвеждаме под внимание две спомагателниленени събития:

= "Първата микросхема е добра, втората е дефектна";

= "Първата микросхема е дефектна, втората е добра."

Очевидно е обаче, че точно тази версия на изчислението е използвана по-горе за получаване на вероятността за събитиеБвъпреки че събитиятаБи не са ъъъеквивалентен... Всъщност,
от формулировкаразработкиБизисква това сред микросхемите точноедин но абсолютноне е задължително първият беше добър (а другият беше дефектен). Следователно, въпреки че събитие не е дубликат на събитието , но трябва да се има предвиднезависимо. Предвид непоследователността на събитията и , вероятността за техния логичен сбор ще бъде

След посочената корекция на изчисленията имаме

което косвено потвърждава верността на намерените вероятности.

Забележка : Обърнете специално внимание на разликата във формулировката на събития като „самопърво от изброените елементи трябва да ... само "и".един от изброения ейленти трябва...”. Последното събитие е очевидно по-широко и включваTв състава си първият като един от (вероятно многобройнитеx) опции. Тези алтернативи (дори ако техните вероятности съвпадат) трябва да се разглеждат независимо една от друга.

NS Забележка : Думата "процент" идва от "per цент“, т.е."Сто". Представянето на честотите и вероятностите в проценти ви позволява да работите с по-големи стойности, което понякога улеснява възприемането на стойностите "на ухо". Въпреки това е тромаво и неефективно да се използва умножение или деление на „100%“ в изчисленията за правилно нормализиране. В тази връзка не сКогато използвате стойности, не забравяйте да ги споменетеизразено като процент, заменете ги в изчислените изрази засъщото под формата на дроби от едно (например, 35% в изчислението се записваi като „0,35“), за да се сведе до минимум рискът от погрешно нормализиране на резултатите.

Пример 3 : Комплектът резистори съдържа един резистор4 kΩ номинален, три 8 kΩ резистора и шест резистораорори със съпротивление 15 kOhm. Три произволно избрани резистора са свързани паралелно един с друг. Определете вероятността за получаване на крайното съпротивление, което не надвишава 4 kOhm.

Реш enie. Срязване на съпротивлението на паралелна връзкаисторията може да се изчисли по формулата

.

Това позволява събития като

А= „Избрани са три 15 kΩ резистора“ = „
”;

Б= „Вдва резистора по 15 kOhm и един със съпротивлениеm 8 kOhm "="
”…

Пълната група събития, съответстващи на условието на проблема, включва още редица опции и точно тезикоито отговарят на изискването за получаване на съпротивление не повече от 4 kOhm. Въпреки това, въпреки че „директният“ път на решение, включващ изчислението (и последващите сумисъотношение) на вероятностите, характеризиращи всички тези събития, и е правилно, е непрактично да се действа по този начин.

Имайте предвид, че за получаване на крайно съпротивление по-малко от 4 kΩ dдостатъчно е поне един резистор със съпротивлениепо-малко от 15 kOhm. Така, само в случаяАне е изпълнено изискването на задачата, т.е. събитиеАепротивоположно разследван. Въпреки това,

.

По този начин, .

NS ri маркиране : Изчисляване на вероятността за някакво събитиеА, не забравяйте да анализирате сложността на определениетоI вероятността от събитие, противоположно на него. Ако обривПрочети
лесно, тогава именно с това трябва да започнете да решаватенеговите задачи, завършвайки го чрез прилагане на релацията (2 .0).

NS Пример 4 : Кутията съдържанбяло,мчерно икчервени топки. Топките се изваждат от кутията една по еднаи се връща обратно след всяко извличане. Определете вероятносттаразработкиА= „Бяла топкаще бъдат извлечени по-рано от черните” .

Реш enie. Помислете за следния набор от събития

= “Бялата топка беше извадена при първия опит”;

= “Първо извади червената топка, а след това бялата”;

= „Два пъти премахна червената топка, а третият път - бялата”…

Така че даТъй като топките се връщат, последователността на риданиянавън формално може да бъде безкрайно дълъг.

Тези събития са непоследователни и в съвкупност съставляват набора от ситуации, в които се случва събитието.А... Поради това,

Лесно е да се види, че термините, включени в сбора, се оформятгеометрична прогресия с начален елемент
и знаменателят
... Но сумитеи елементите на безкрайна геометрична прогресия е

.

По този начин, . ЛЛюбопитно е, че тази вероятност (както следва от полученатаth израз) не зависи от броя на червените топки в кутията.

Как да изчислим вероятността за събитие?

Разбирам, че всеки иска да знае предварително как ще завърши спортното събитие, кой ще спечели и кой ще загуби. С тази информация можете да залагате на спортни събития без страх. Но възможно ли е изобщо и ако е така, как да се изчисли вероятността за събитие?

Вероятността е относителна стойност, следователно не може да говори с точност за никое събитие. Тази стойност ви позволява да анализирате и оцените необходимостта от залагане на определено състезание. Определянето на вероятностите е цяла наука, която изисква внимателно изучаване и разбиране.

Коефициент на вероятността в теорията на вероятностите

В спортните залагания има няколко варианта за изхода на състезанието:

  • победа на първия отбор;
  • победа на втория отбор;
  • рисувам;
  • обща сума.

Всеки изход от състезанието има своя собствена вероятност и честота, с която това събитие ще се случи, при условие че са запазени първоначалните характеристики. Както бе споменато по-рано, невъзможно е точно да се изчисли вероятността за някое събитие - може или не може да съвпадне. По този начин вашият залог може да спечели или да загуби.

Не може да има точна 100% прогноза за резултатите от състезанието, тъй като много фактори влияят на изхода на мача. Естествено, букмейкърите не знаят предварително изхода от мача и само предполагат резултата, като вземат решение по своята система за анализ и предлагат определени коефициенти за залози.

Как да изчислим вероятността за събитие?

Да кажем, че коефициентът на букмейкъра е 2. 1/2 - получаваме 50%. Оказва се, че коефициентът 2 е равен на вероятността от 50%. По същия принцип можете да получите съотношение на рентабилност - 1 / вероятност.

Много играчи смятат, че след няколко повтарящи се поражения определено ще има победа - това е погрешно схващане. Вероятността за спечелване на залог не зависи от броя на загубите. Дори ако хвърлите няколко глави подред в игра с монети, вероятността да хвърлите глави остава същата - 50%.

Искате ли да знаете какви математически коефициенти на вашия залог ще бъде успешен? Тогава има две добри новини за вас. Първо: за да изчислите способността за преминаване към страната, не е необходимо да извършвате сложни изчисления и да прекарвате много време. Достатъчно е да използвате прости формули, които ще отнеме няколко минути за работа. Второ, след като прочетете тази статия, можете лесно да изчислите вероятността да преминете някоя от вашите сделки.

За да определите правилно проходимостта, трябва да направите три стъпки:

  • Изчислете процента на вероятността от изхода на събитието според мнението на букмейкъра;
  • Изчислете сами вероятността от статистически данни;
  • Намерете стойността на залога, като вземете предвид и двете вероятности.

Нека разгледаме подробно всяка от стъпките, като използваме не само формули, но и примери.

Първата стъпка е да разберете с каква вероятност самият букмейкър оценява шансовете за конкретен изход. В крайна сметка е ясно, че коефициентите на букмейкърите не се задават просто така. За да направим това, използваме следната формула:

ПБ= (1 / K) * 100%,

където P B е вероятността за изхода според букмейкърския офис;

K е коефициентът на букмейкъра за изхода.

Да кажем, че има коефициент 4 за победата на лондонския Арсенал в дуел срещу Байерн Мюнхен. Това означава, че вероятността за неговата Виктория БК се счита за (1/4) * 100% = 25%. Или Джокович играе срещу Южни. Има множител от 1,2 за Новак да спечели и неговите шансове са (1 / 1,2) * 100% = 83%.

Така самият букмейкър оценява шансовете за успех за всеки играч и отбор. След като завършим първата стъпка, преминаваме към втората.

Изчисляване на вероятността за събитие от играча

Втората точка от нашия план е нашата собствена оценка на вероятността от събитие. Тъй като не можем да вземем предвид математически такива параметри като мотивация, игров тон, ще използваме опростен модел и ще използваме само статистиката от предишни срещи. За да изчислим статистическата вероятност от резултата, използваме формулата:

ПИ= (UM / M) * 100%,

къдетоПИ- вероятността за събитието по мнение на играча;

UM - броят на успешните мачове, в които се е състояло подобно събитие;

M е общият брой съвпадения.

За да стане по-ясно, ще дадем примери. Анди Мъри и Рафаел Надал са изиграли 14 мача. В 6 от тях общата сума е по-малка от 21 в игрите, в 8 - общата сума е повече. Необходимо е да се установи вероятността следващата битка да се играе с общо повече: (8/14) * 100 = 57%. Валенсия изигра 74 мача в Местая срещу Атлетико, в които спечели 29 победи. Шанс на Валенсия да спечели: (29/74) * 100% = 39%.

И ние научаваме всичко това само благодарение на статистиката от предишни игри! Естествено, такава вероятност не може да се изчисли за нов отбор или играч, така че тази стратегия за залагане е подходяща само за мачове, в които противниците не са се срещали за първи път. Сега можем да определим вероятността на букмейкъра и нашата собствена вероятност за изходи и имаме всички знания, за да преминем към последната стъпка.

Определяне на стойността на залога

Стойността (стойността) на залога и проходимостта имат пряка връзка: колкото по-висока е стойността, толкова по-голям е шансът за пас. Стойността се изчислява, както следва:

V =ПИ* K-100%,

където V е стойността;

P AND - вероятността за изхода по мнението на по-добрия;

K е коефициентът на букмейкъра за изхода.

Да кажем, че искаме да заложим на победата на Милан в мача срещу Рома и изчислихме, че вероятността за победа на „червено-черните” е 45%. Букмейкърът ни предлага коефициент 2,5 за този изход. Би ли бил ценен такъв залог? Извършваме изчисления: V = 45% * 2,5-100% = 12,5%. Страхотно, това е ценен залог с добри шансове за преминаване.

Да вземем друг случай. Мария Шарапова играе срещу Петра Квитова. Искаме да сключим сделка за победа на Мария, вероятността за която според нашите изчисления е 60%. Офисите предлагат множител 1,5 за този резултат. Определете стойността: V = 60% * 1,5-100 = -10%. Както можете да видите, тази ставка няма стойност и трябва да се въздържате от нея.

Вероятността за преминаване на залога: заключение

При изчисляване на проходимостта на залога използвахме прост модел, който се базира само на статистика. При изчисляване на вероятността е препоръчително да се вземат предвид много различни фактори, които са индивидуални във всеки спорт. Случва се, че не статистическите фактори имат по-голямо влияние. Без това всичко би било просто и предсказуемо. Избирайки своята ниша, в крайна сметка ще се научите да вземете предвид всички тези нюанси и да дадете по-точна оценка на собствената си вероятност от събития, включително много други влияния. Основното нещо е да обичате това, което правите, постепенно да вървите напред и стъпка по стъпка да подобрявате уменията си. Успех и успех във вълнуващия свят на залаганията!

ТЕМА 1 ... Класическата формула за изчисляване на вероятността.

Основни дефиниции и формули:

Нарича се експеримент, чийто резултат не може да бъде предвиден произволен експеримент(SE).

Извиква се събитие, което в даден SE може да се случи или не случайно събитие.

Елементарни резултатиповикване на събития, които отговарят на изискванията:

1. за всяка реализация на SE възниква един и само един елементарен резултат;

2. всяко събитие е определена комбинация, определен набор от елементарни резултати.

Наборът от всички възможни елементарни резултати напълно описва SE. Такъв набор обикновено се нарича пространство на елементарни резултати(PEI). Изборът на SEI за описанието на този SE е двусмислен и зависи от проблема, който се решава.

P (A) = n (A) / n,

където n е общият брой на еднакво възможни резултати,

n (A) е броят на резултатите, които съставляват събитие А, както се казва, благоприятно за събитие А.

Думите „на случаен принцип”, „на случаен принцип”, „случайно” просто гарантират еднаква възможност за елементарни резултати.

Решение на типични примери

Пример 1. От урна, съдържаща 5 червени, 3 черни и 2 бели топки, се вземат на случаен принцип 3 топки. Намерете вероятностите за събития:

А- „всички извадени топки са червени“;

V- „всички извадени топки са от един и същи цвят“;

С- “сред извлечените има точно 2 черни”.

Решение:

Елементарният резултат от този FE е триплетни (неправилни!) топки. Следователно общият брой на резултатите е броят на комбинациите: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Събитие Асе състои само от онези тройки, които са изтеглени от пет червени топки, т.е. n (A) == 10.

Събитие Vосвен 10 червени тройки се предпочитат и черни тройки, чийто брой е = 1. Следователно: n (B) = 10 + 1 = 11.

Събитие Сонези тройки топки, които съдържат 2 черни и една нечерна, са предпочитани. Всеки метод за избор на две черни топки може да се комбинира с избор на една нечерна (от седем). Следователно: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Така: P (A) = 10/120; P (B) = 11/120; НАСТОЛЕН КОМПЮТЪР) = 21/120.

Пример 2. При условията на предходната задача ще приемем, че топките от всеки цвят имат собствена номерация, започваща от 1. Намерете вероятностите за събития:

д- „максималният извлечен брой е 4“;

Е- „максималният извлечен брой е 3“.

Решение:

За да изчислим n (D), можем да приемем, че урната съдържа една топка с номер 4, една топка с по-голям номер и 8 топки (3k + 3h + 2b) с по-малки номера. Събитие дпредпочитат се онези тройки топки, които задължително съдържат топка с номер 4 и 2 топки с по-ниски номера. Следователно: n (D) =

P (D) = 28/120.

За да изчислим n (E), считаме: в урната има две топки с номер 3, две с големи числа и шест топки с по-малки числа (2k + 2h + 2b). Събитие Есе състои от два вида тризнаци:

1. една топка с номер 3 и две с по-малки числа;

2.две топки с номер 3 и една с по-малък номер.

Следователно: n (E) =

P (E) = 36/120.

Пример 3. Всяка от М различни частици се хвърля на случаен принцип в една от N клетките. Намерете вероятностите за събития:

А- всички частици удрят втората клетка;

V- всички частици удрят една клетка;

С- всяка клетка съдържа не повече от една частица (M £ N);

д- всички клетки са заети (M = N +1);

Е- втората клетка съдържа точно Да се частици.

Решение:

За всяка частица има N начина за влизане в една или друга клетка. Съгласно основния принцип на комбинаториката за M частици имаме N * N * N *… * N (M-времена). И така, общият брой на резултатите в този SE n = N M.

За всяка частица имаме една възможност да влезем във втората клетка, следователно n (A) = 1 * 1 *… * 1 = 1 M = 1, и P (A) = 1 / N M.

Да влезеш в една клетка (до всички частици) означава да влезеш всички в първата, или всички във втората, или т.н. всички в N-то. Но всяка от тези N опции може да бъде реализирана по един начин. Следователно, n (B) = 1 + 1 +… + 1 (N- пъти) = N и P (B) = N / N M.

Събитие C означава, че всяка частица има един метод за поставяне по-малко от предишната частица и първата може да попадне във всяка от N клетки. Ето защо:

n (C) = N * (N -1) * ... * (N + M -1) и P (C) =

В частния случай, когато M = N: P (C) =

Събитие D означава, че една от клетките съдържа две частици, а всяка от останалите (N -1) клетки съдържа една частица. За да намерим n (D), ние спорим по следния начин: изберете клетка, в която ще има две частици, това може да се направи = N начина; след това избираме две частици за тази клетка, има начини за това. След това ще разпределим останалите (N -1) частици една по една в останалите (N -1) клетки, за това имаме (N -1)! начини.

Така че n (D) =

.

Числото n (E) може да се изчисли, както следва: Да се частиците за втората клетка могат да бъдат начини, останалите (M - K) частици се разпределят на случаен принцип върху (N -1) клетка (N -1) M-K пътища. Ето защо: