Perpendikulyar tekisliklar, tekisliklarning perpendikulyarlik sharti. “Ikki tekislikning perpendikulyarligini tekshirish” mavzusida matematikadan ma’ruza Perpendikulyar tekisliklarning xossalari
Agar ikkita tekislikdan biri ikkinchi tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, berilgan tekisliklar perpendikulyar () bo'ladi (28-rasm).
a - tekislik, V– unga perpendikulyar to‘g‘ri chiziq, b – to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekislik V, Va Bilan– a va b tekisliklar kesishadigan to‘g‘ri chiziq.
Natija. Agar tekislik berilgan ikkita tekislikning kesishish chizig'iga perpendikulyar bo'lsa, u holda bu tekisliklarning har biriga perpendikulyar bo'ladi.
Muammo 1. Fazodagi chiziqning istalgan nuqtasi orqali unga perpendikulyar ikki xil chiziq o'tkazish mumkinligini isbotlang.
Isbot:
Aksiomaga ko'ra I chiziqda bo'lmagan nuqta bor A. Teorema 2.1 bo'yicha, nuqta orqali IN va to'g'ridan-to'g'ri A a tekislikni chizishimiz mumkin. (29-rasm) 2.3-teorema bo'yicha nuqta orqali A a tekislikda biz to'g'ri chiziq chizishimiz mumkin A. C 1 aksiomasiga ko'ra, bir nuqta bor BILAN, a ga tegishli emas. Teorema 15.1 bo'yicha nuqta orqali BILAN va to'g'ridan-to'g'ri A b tekislikni chizishimiz mumkin. b tekislikda 2.3 teoremaga ko'ra a nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazishimiz mumkin. A. Qurilish bo'yicha b va c chiziqlari faqat bitta umumiy nuqtaga ega A va ikkalasi ham perpendikulyar
Vazifa 2. Bir-biridan 3,4 m masofada joylashgan vertikal tik turgan ikkita ustunning ustki uchlari shpal bilan bog'langan. Bir ustunning balandligi 5,8 m, ikkinchisi esa 3,9 m.Ko'ndalang ustunning uzunligini toping.
AC= 5,8 m, VD= 3,9 m, AB- ? (30-rasm)
AE = AC – Idoralar = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
∆ dan Pifagor teoremasi bo'yicha AEV olamiz:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Vazifalar
Maqsad. Kosmosdagi jismlarning nisbiy holatini eng oddiy hollarda tahlil qilishni o'rganing, stereometrik masalalarni yechishda planimetrik faktlar va usullardan foydalaning..
1. Fazodagi chiziqning istalgan nuqtasi orqali unga perpendikulyar chiziq o'tkazish mumkinligini isbotlang.
2. AB, AC va AD chiziqlar juftlikda perpendikulyar. CD segmentini toping, agar:
1) AB = 3 sm , quyosh= 7 sm, AD= 1,5 sm;
2) VD= 9 sm, AD= 5 sm, Quyosh= 16 sm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) VD = s, VS = a, AD = d
3. A nuqta uzoqda joylashgan a tomoni bilan teng qirrali uchburchakning uchlaridan A. A nuqtadan uchburchak tekisligigacha bo'lgan masofani toping.
4. Agar chiziq tekislikka parallel bo'lsa, uning barcha nuqtalari tekislikdan bir xil masofada joylashganligini isbotlang.
5. Yer yuzasidan 8 m balandlikda tutashtirilgan telefon ustunidan 20 m balandlikda ulangan uyga 15 m uzunlikdagi telefon simi tortilgan.Masofani toping. uy va qutb o'rtasida, simning cho'kmasligini nazarda tutgan holda.
6.Nuqtadan tekislikka 10 sm va 17 sm ga teng ikkita qiya qiyalik chizilgan.Ushbu qiyshayganlarning proyeksiyalaridagi farq 9 sm ga teng.Qiyaliklarning proyeksiyalarini toping.
7. Bir nuqtadan tekislikka ikkita qiya chizilgan, ulardan biri ikkinchisidan 26 sm katta. Qiya proyeksiyalar 12 sm va 40 sm.Qiyalilarni toping.
8. Bir nuqtadan tekislikka ikki qiya chiziq o'tkaziladi. Agar qiya burchaklarning proyeksiyalari 1:2 va 1 sm va 7 sm boʻlsa, ularning uzunliklarini toping.
9. Nuqtadan tekislikka 23 sm va 33 sm ga teng ikkita qiya qiyalik chizilgan.
agar qiya proyeksiyalar 2:3 nisbatda bo'lsa, bu nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.
10. Agar a va B nuqtalardan tekislikgacha bo'lgan masofalar: 1) 3,2 sm va 5,3 sm;7,4 sm va 6,1 sm bo'lsa, AB segmentining o'rtasidan bu segmentni kesib o'tmaydigan tekislikgacha bo'lgan masofani toping; 3) a va c.
11. AB segmenti tekislikni kesishi sharti bilan oldingi masalani yeching.
12. Uzunligi 1 m bo'lgan segment tekislikni kesib o'tadi, uning uchlari tekislikdan 0,5 m va 0,3 m masofada joylashgan.Segmentning tekislikka proyeksiyasining uzunligini toping..
13. A va B nuqtalardan tekislikka perpendikulyarlar tushiriladi. Agar perpendikulyarlar 3 m va 2 m, ularning asoslari orasidagi masofa 2,4 m, AB kesma tekislikni kesishmasa, A va B nuqtalar orasidagi masofani toping.
14. Ikki perpendikulyar tekislikda yotgan A va B nuqtalardan tekisliklarning kesishish chizig‘iga AC va BD perpendikulyarlari tushiriladi. AB segmentining uzunligini toping, agar: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, VD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. ABC teng yonli uchburchakning A va B cho’qqilaridan uchburchak tekisligiga AA 1 va BB 1 perpendikulyarlar tiklanadi. Agar AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m boʻlsa va A 1 B 1 segment uchburchak tekisligi bilan kesishmasa, C choʻqqisidan A 1 B 1 segmentining oʻrtasigacha boʻlgan masofani toping.
16. ABC to‘g‘ri burchakli uchburchakning o‘tkir burchaklarining A va B cho‘qqilaridan uchburchak tekisligiga AA 1 va BB 1 perpendikulyarlar o‘rnatilgan. Agar A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m va A 1 B 1 kesma kesishmasa, C cho'qqisidan A 1 B 1 segmentining o'rtasigacha bo'lgan masofani toping. uchburchak tekisligi.
Fazodagi ikkita to'g'ri chiziq, agar ular orasidagi burchak 90 o bo'lsa, perpendikulyar deyiladi.
guruch. 37 |
Perpendikulyar chiziqlar kesishishi va qiyshiq bo'lishi mumkin. Lemma. Agar ikkita parallel to'g'ri chiziqdan biri uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ikkinchi chiziq bu chiziqqa perpendikulyar bo'ladi. Ta'rif. Agar tekislikda yotgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziq tekislikka perpendikulyar deyiladi. Ular, shuningdek, tekislik a chiziqqa perpendikulyar deyishadi. |
guruch. 38 |
Agar a chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u aniqki, bu tekislikni kesib o'tadi. Haqiqatdan ham, agar a chiziq tekislikni kesib o'tmagan bo'lsa, u holda u shu tekislikda yotar yoki unga parallel bo'lar edi. Ammo ikkala holatda ham tekislikda a chiziqqa perpendikulyar bo'lmagan chiziqlar bo'ladi, masalan, unga parallel chiziqlar, bu mumkin emas. Demak, a to'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tadi. |
Chiziqlar parallelligi va ularning tekislikka perpendikulyarligi o'rtasidagi bog'liqlik.
Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi belgisi.
Eslatmalar.
- Kosmosning istalgan nuqtasi orqali ma'lum bir chiziqqa perpendikulyar tekislik o'tadi va bundan tashqari, yagona.
- Fazoning istalgan nuqtasi orqali berilgan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tadi va faqat bitta.
- Agar ikkita tekislik chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
“5-mavzu.“Toʻgʻri va tekislikning perpendikulyarligi” mavzusi boʻyicha masala va testlar.
- Chiziq va tekislikning perpendikulyarligi
- Ikki burchakli burchak. Samolyotlarning perpendikulyarligi - Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi, 10-sinf
Darslar: 1 Topshiriqlar: 10 ta Testlar: 1
- Perpendikulyar va qiya. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak - Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi, 10-sinf
Darslar: 2 Topshiriqlar: 10 Testlar: 1
- To'g'ri chiziqlar, chiziq va tekislikning parallelligi - Chiziqlar va tekisliklarning parallelligi, 10-sinf
Darslar: 1 Topshiriqlar: 9 Testlar: 1
- Perpendikulyar chiziqlar - Asosiy geometrik ma'lumotlar 7-sinf
Darslar: 1 Topshiriqlar: 17 Testlar: 1
Mavzu bo'yicha materialda to'g'ri chiziqlarning perpendikulyarligi haqidagi planimetriyadan bilgan ma'lumotlar umumlashtiriladi va tizimlashtiriladi. Fazodagi to'g'ri chiziqlar va tekisliklarning parallelligi va perpendikulyarligi o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi teoremalarni, shuningdek, perpendikulyar va qiya bo'lgan materiallarni o'rganishni planimetriyadan tegishli materialni muntazam takrorlash bilan birlashtirish maqsadga muvofiqdir.
Deyarli barcha hisoblash masalalarining yechimlari Pifagor teoremasini qo'llash va uning oqibatlariga to'g'ri keladi. Ko'pgina masalalarda Pifagor teoremasi yoki uning natijalaridan foydalanish imkoniyati uchta perpendikulyar teorema yoki tekisliklarning parallellik va perpendikulyarlik xossalari bilan asoslanadi.
Perpendikulyar tekisliklar haqida tushuncha
Ikki tekislik kesishganda, biz $4$ dihedral burchakka ega bo'lamiz. Ikki burchak $\varphi $ ga, qolgan ikkitasi esa $(180)^0-\varphi $ ga teng.
Ta'rif 1
Samolyotlar orasidagi burchak bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarning minimal qismidir.
Ta'rif 2
Agar bu tekisliklar orasidagi burchak $90^\circ$ bo'lsa, kesishuvchi ikkita tekislik perpendikulyar deyiladi (1-rasm).
1-rasm. Perpendikulyar tekisliklar
Ikki tekislikning perpendikulyarligi belgisi
Teorema 1
Agar tekislikning to'g'ri chizig'i boshqa tekislikka perpendikulyar bo'lsa, bu tekisliklar bir-biriga perpendikulyar.
Isbot.
$AC$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishuvchi $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $\alpha $ tekisligida yotgan $AB$ toʻgʻri chiziq $\beta $ tekisligiga perpendikulyar boʻlsin (2-rasm).
2-rasm.
$AB$ toʻgʻri chiziq $\beta$ tekisligiga perpendikulyar boʻlgani uchun u $AC$ toʻgʻrisiga ham perpendikulyar. $AC$ toʻgʻrisiga perpendikulyar $\beta$ tekislikda $AD$ chizigʻini qoʻshimcha ravishda chizamiz.
Biz $BAD$ burchagi dihedral burchakning chiziqli burchagi ekanligini topamiz, $90^\circ$ ga teng. Ya'ni, 1 ta'rifiga ko'ra, tekisliklar orasidagi burchak $90^\circ$ bo'lib, bu tekisliklar perpendikulyar ekanligini bildiradi.
Teorema isbotlangan.
Bu teoremadan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema 2
Agar tekislik boshqa ikkita tekislik kesishgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda bu tekisliklarga ham perpendikulyar bo'ladi.
Isbot.
Bizga $c$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishuvchi ikkita $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar (3-rasm)
3-rasm.
$c$ toʻgʻrisi $\alpha $ tekisligiga tegishli boʻlgani va $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻrisiga perpendikulyar boʻlganligi sababli, 1-teoremaga koʻra, $\alpha $ va $\gamma $ tekisliklari perpendikulyar boʻladi.
$c$ toʻgʻrisi $\beta $ tekisligiga tegishli va $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻrisiga perpendikulyar boʻlgani uchun 1-teoremaga koʻra $\beta $ va $\gamma $ tekisliklari perpendikulyar boʻladi.
Teorema isbotlangan.
Ushbu teoremalarning har biri uchun qarama-qarshi fikrlar ham to'g'ri.
Namuna muammolar
1-misol
Bizga $ABCDA_1B_1C_1D_1$ to'rtburchaklar parallelepiped berilsin. Perpendikulyar tekisliklarning barcha juftlarini toping (5-rasm).
4-rasm.
Yechim.
To'g'ri to'rtburchaklar parallelepiped va perpendikulyar tekisliklarning ta'rifiga ko'ra, biz bir-biriga perpendikulyar sakkiz juft tekisliklarni ko'ramiz: $(ABB_1)$ va $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ va $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ va $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ va $(ABC)$, $(DCC_1)$ va $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ va $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ va $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ va $(ABC)$.
2-misol
Bizga ikkita o'zaro perpendikulyar tekislik berilsin. Bir tekislikdagi nuqtadan boshqa tekislikka perpendikulyar o'tkaziladi. Bu chiziq berilgan tekislikda yotishini isbotlang.
Isbot.
$c$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishgan $\alpha $ va $\beta $ perpendikulyar tekisliklar berilsin. $\beta $ tekislikning $A$ nuqtasidan $\alpha $ tekisligiga $AC$ perpendikulyar chizilgan. Faraz qilaylik, $AC$ $\beta$ tekisligida yotmaydi (6-rasm).
5-rasm.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. U to'g'ri burchakli to'rtburchaklar shaklida bo'lib, $ACB$. Shuning uchun $\angle ABC\ne (90)^0$.
Ammo boshqa tomondan, $\angle ABC$ - bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchakning chiziqli burchagi. Ya'ni, bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchak 90 gradusga teng emas. Samolyotlar orasidagi burchak $90^\circ$ ga teng emasligini topamiz. Qarama-qarshilik. Shuning uchun $AC$ $\beta$ tekisligida yotadi.
Perpendikulyar tekisliklar haqida tushuncha
Ikki tekislik kesishganda, biz $4$ dihedral burchakka ega bo'lamiz. Ikki burchak $\varphi $ ga, qolgan ikkitasi esa $(180)^0-\varphi $ ga teng.
Ta'rif 1
Samolyotlar orasidagi burchak bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklarning minimal qismidir.
Ta'rif 2
Agar bu tekisliklar orasidagi burchak $90^\circ$ bo'lsa, kesishuvchi ikkita tekislik perpendikulyar deyiladi (1-rasm).
1-rasm. Perpendikulyar tekisliklar
Ikki tekislikning perpendikulyarligi belgisi
Teorema 1
Agar tekislikning to'g'ri chizig'i boshqa tekislikka perpendikulyar bo'lsa, bu tekisliklar bir-biriga perpendikulyar.
Isbot.
$AC$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishuvchi $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $\alpha $ tekisligida yotgan $AB$ toʻgʻri chiziq $\beta $ tekisligiga perpendikulyar boʻlsin (2-rasm).
2-rasm.
$AB$ toʻgʻri chiziq $\beta$ tekisligiga perpendikulyar boʻlgani uchun u $AC$ toʻgʻrisiga ham perpendikulyar. $AC$ toʻgʻrisiga perpendikulyar $\beta$ tekislikda $AD$ chizigʻini qoʻshimcha ravishda chizamiz.
Biz $BAD$ burchagi dihedral burchakning chiziqli burchagi ekanligini topamiz, $90^\circ$ ga teng. Ya'ni, 1 ta'rifiga ko'ra, tekisliklar orasidagi burchak $90^\circ$ bo'lib, bu tekisliklar perpendikulyar ekanligini bildiradi.
Teorema isbotlangan.
Bu teoremadan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema 2
Agar tekislik boshqa ikkita tekislik kesishgan chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda bu tekisliklarga ham perpendikulyar bo'ladi.
Isbot.
Bizga $c$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishuvchi ikkita $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar (3-rasm)
3-rasm.
$c$ toʻgʻrisi $\alpha $ tekisligiga tegishli boʻlgani va $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻrisiga perpendikulyar boʻlganligi sababli, 1-teoremaga koʻra, $\alpha $ va $\gamma $ tekisliklari perpendikulyar boʻladi.
$c$ toʻgʻrisi $\beta $ tekisligiga tegishli va $\gamma $ tekisligi $c$ toʻgʻrisiga perpendikulyar boʻlgani uchun 1-teoremaga koʻra $\beta $ va $\gamma $ tekisliklari perpendikulyar boʻladi.
Teorema isbotlangan.
Ushbu teoremalarning har biri uchun qarama-qarshi fikrlar ham to'g'ri.
Namuna muammolar
1-misol
Bizga $ABCDA_1B_1C_1D_1$ to'rtburchaklar parallelepiped berilsin. Perpendikulyar tekisliklarning barcha juftlarini toping (5-rasm).
4-rasm.
Yechim.
To'g'ri to'rtburchaklar parallelepiped va perpendikulyar tekisliklarning ta'rifiga ko'ra, biz bir-biriga perpendikulyar sakkiz juft tekisliklarni ko'ramiz: $(ABB_1)$ va $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ va $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ va $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ va $(ABC)$, $(DCC_1)$ va $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ va $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ va $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ va $(ABC)$.
2-misol
Bizga ikkita o'zaro perpendikulyar tekislik berilsin. Bir tekislikdagi nuqtadan boshqa tekislikka perpendikulyar o'tkaziladi. Bu chiziq berilgan tekislikda yotishini isbotlang.
Isbot.
$c$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishgan $\alpha $ va $\beta $ perpendikulyar tekisliklar berilsin. $\beta $ tekislikning $A$ nuqtasidan $\alpha $ tekisligiga $AC$ perpendikulyar chizilgan. Faraz qilaylik, $AC$ $\beta$ tekisligida yotmaydi (6-rasm).
5-rasm.
$ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing. U to'g'ri burchakli to'rtburchaklar shaklida bo'lib, $ACB$. Shuning uchun $\angle ABC\ne (90)^0$.
Ammo boshqa tomondan, $\angle ABC$ - bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchakning chiziqli burchagi. Ya'ni, bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchak 90 gradusga teng emas. Samolyotlar orasidagi burchak $90^\circ$ ga teng emasligini topamiz. Qarama-qarshilik. Shuning uchun $AC$ $\beta$ tekisligida yotadi.
Ushbu dars "Ikki tekislikning perpendikulyarligi belgisi" mavzusini tushunishni istaganlarga yordam beradi. Uning boshida biz dihedral va chiziqli burchaklarning ta'rifini takrorlaymiz. Keyin qaysi tekisliklarni perpendikulyar deb atalishini ko'rib chiqamiz va ikkita tekislikning perpendikulyarlik belgisini isbotlaymiz.
Mavzu: Chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligi
Dars: Ikki tekislikning perpendikulyarligi belgisi
Ta'rif. Ikki burchakli burchak - bir tekislikka tegishli bo'lmagan ikkita yarim tekislik va ularning umumiy to'g'ri chizig'i a (a - chekka) tomonidan hosil qilingan figura.
Guruch. 1
Ikki a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqamiz (1-rasm). Ularning umumiy chegarasi l. Bu raqam ikki burchakli burchak deb ataladi. Ikkita kesishuvchi tekislik umumiy qirrali to'rtta dihedral burchak hosil qiladi.
Dihedral burchak uning chiziqli burchagi bilan o'lchanadi. Ikki burchakli burchakning umumiy chetida l ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz. a va b yarim tekisliklarda shu nuqtadan l to'g'ri chiziqqa a va b perpendikulyarlarni o'tkazamiz va ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini olamiz.
a va b to'g'ri chiziqlar ph, 180° - ph, ph, 180° - ph ga teng to'rtta burchak hosil qiladi. Eslatib o'tamiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak bu burchaklarning eng kichigidir.
Ta'rif. Tekisliklar orasidagi burchak bu tekisliklar hosil qilgan ikki tomonlama burchaklarning eng kichigidir. ph - a va b tekisliklar orasidagi burchak, agar
Ta'rif. Ikki kesishuvchi tekislik, agar ular orasidagi burchak 90 ° bo'lsa, perpendikulyar (o'zaro perpendikulyar) deyiladi.
Guruch. 2
l chetida ixtiyoriy M nuqta tanlangan (2-rasm). a tekislikda va b tekislikda l chetiga ikkita perpendikulyar MA = a va MB = b to'g'ri chiziq chizamiz. Biz AMB burchagini oldik. AMB burchagi - ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi. Agar AMB burchagi 90° bo'lsa, a va b tekisliklar perpendikulyar deyiladi.
b chiziq konstruktsiyasi bo'yicha l chiziqqa perpendikulyar. a va b tekisliklar orasidagi burchak 90° bo'lgani uchun b chiziq a chiziqqa perpendikulyar. Biz b toʻgʻrining a tekislikdan kesuvchi ikkita a va l toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar ekanligini topamiz. Demak, b to'g'ri chiziq a tekislikka perpendikulyar.
Xuddi shunday, a to'g'ri chiziq b tekislikka perpendikulyar ekanligini isbotlashimiz mumkin. A chiziq konstruktsiyasi bo'yicha l chiziqqa perpendikulyar. a chiziq b chiziqqa perpendikulyar, chunki a va b tekisliklar orasidagi burchak 90° ga teng. a to'g'rining b tekislikdan kesishgan ikkita b va l to'g'ri chiziqqa perpendikulyar ekanligini topamiz. Demak, a to'g'ri chiziq b tekislikka perpendikulyar.
Agar ikkita tekislikdan biri boshqa tekislikka perpendikulyar chiziqdan o'tsa, bunday tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.
Isbot qiling:
Guruch. 3
Isbot:
a va b tekisliklar AC to'g'ri chiziq bo'ylab kesishsin (3-rasm). Samolyotlarning o'zaro perpendikulyar ekanligini isbotlash uchun ular orasida chiziqli burchak qurish va bu burchakning 90 ° ekanligini ko'rsatish kerak.
AB to'g'ri chiziq b tekislikka, shuning uchun b tekislikda yotgan AC to'g'ri chiziqqa perpendikulyar.
b tekislikda AC to'g'ri chiziqqa perpendikulyar AD to'g'ri chiziq chizamiz. U holda BAD dihedral burchakning chiziqli burchagidir.
AB to'g'ri chiziq b tekislikka, shuning uchun b tekislikda yotgan AD to'g'ri chiziqqa perpendikulyar. Bu BAD chiziqli burchagi 90 ° ekanligini anglatadi. Bu shuni anglatadiki, a va b tekisliklari perpendikulyar bo'lib, buni isbotlash kerak edi.
Berilgan ikkita tekislik kesishgan chiziqqa perpendikulyar tekislik bu tekisliklarning har biriga perpendikulyar (4-rasm).
Isbot qiling:
Guruch. 4
Isbot:
l toʻgʻri chiziq g tekislikka perpendikulyar boʻlib, a tekislik l toʻgʻri chiziqdan oʻtadi. Demak, tekisliklarning perpendikulyarligiga asoslanib, a va g tekisliklar perpendikulyardir.
l toʻgʻri chiziq g tekislikka perpendikulyar boʻlib, b tekislik l toʻgʻri chiziqdan oʻtadi. Demak, tekisliklarning perpendikulyarligiga ko'ra, b va g tekisliklar perpendikulyar bo'ladi.
