Izvedenica. Derivativa Derivativa raznih redova
izvedenica funkcije u točki se naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da teži nuli.
Osnovna pravila za pronalaženje derivacije
Ako su - i - diferencijabilne funkcije u točki , (tj. funkcije koje imaju derivacije u točki ), tada:
4) 
.
Tablica izvodnica osnovnih funkcija
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Pravilo diferenciranja složene funkcije. Ako je i , tj. , gdje i imaju izvodnice, zatim
Diferenciranje funkcije definirane parametarski. Neka je ovisnost varijable o varijabli dana parametarski pomoću parametra:
Zadatak 3. Naći derivacije zadanih funkcija.
1) 
Riješenje. Primjenom pravila 2 za pronalaženje izvodnica i formula 1 i 2 tablice izvodnica dobivamo:
Riješenje. Primjenom pravila 4 za pronalaženje izvodnica i formula 1 i 13 tablice izvodnica dobivamo:
.
Riješenje. Primjenom pravila 3 za pronalaženje izvodnica i formula 5 i 11 tablice izvodnica dobivamo:
Riješenje. Uz pretpostavku , gdje , prema formuli za pronalaženje derivacije složene funkcije, dobivamo:
Riješenje. Imamo: Zatim, prema formuli za pronalaženje derivacije parametarski zadane funkcije, dobivamo:
4. Izvodnice viših redova. L'Hopitalovo pravilo.
Derivacija funkcije drugog reda naziva se izvod svoje derivacije, tj. . Za drugu derivaciju koristi se sljedeća oznaka: ili , ili .
Derivat funkcije 1. reda naziva se izvod njegove derivacije th reda. Za derivaciju th-reda koristi se sljedeća oznaka: ili , ili .
L'Hopitalovo pravilo. Neka su funkcije i diferencijabilne u okolini točke , a derivacija ne nestaje. Ako su funkcije i istovremeno ili infinitezimalne ili beskonačno velike za , a postoji granica relacije za , tada također postoji granica relacije za . I
.
Pravilo vrijedi i kada .
Imajte na umu da u nekim slučajevima otkrivanje nejasnoća u obliku ili može zahtijevati ponovnu primjenu L'Hospitalovog pravila.
Pogledajte nesigurnosti itd. elementarne transformacije lako se svode na neodređenosti oblika ili .
Zadatak 4. Pronađite granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo.
Riješenje Ovdje imamo neizvjesnost forme u . Primijenimo L'Hospitalovo pravilo:
.
Nakon primjene L'Hopitalovog pravila opet smo dobili nesigurnost oblika , jer u . Ponovno primjenjujući L'Hopitalovo pravilo, dobivamo:
.
5. Istraživanje funkcija
a) Rastuće i padajuće funkcije
Funkcija se zove povećavajući se na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu i za , tada raste na intervalu .
Funkcija se zove opadajući na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija neprekidna na intervalu i za , tada opada na intervalu .
Ako je funkcija samo rastuća ili samo opadajuća u zadanom intervalu, tada se ona poziva monoton na intervalu.
b) Ekstremi funkcija
minimalna točka funkcije .
Ako postoji -okolina točke tako da za sve točke iz te okoline vrijedi nejednakost, tada se točka naziva maksimalna točka funkcije .
Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivamo njezinim ekstremne točke.
Točka se zove stacionarna točka ako ili ne postoji.
Ako postoji -okolina stacionarne točke takva da za i za , tada je - najveća točka funkcije .
Ako postoji -okolina stacionarne točke takva da za i za , Zatim -točka minimuma funkcije .
a) Smjer krivulje. Točke infleksije
konveksno gore na intervalu , ako se nalazi ispod tangente povučene na graf funkcije u bilo kojoj točki ovog intervala.
Dovoljan uvjet za konveksnost grafa funkcije na intervalu prema gore je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od promatranih intervala.
Graf diferencijabilne funkcije naziva se konveksno prema dolje na intervalu , ako se nalazi iznad tangente povučene na graf funkcije u bilo kojoj točki ovog intervala.
Dovoljan uvjet za konveksnost grafa funkcije prema dolje na intervalu je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od intervala koji se razmatraju.
Točka u kojoj se mijenja smjer konveksnosti grafa funkcije naziva se točka infleksije.
Točka u kojoj ili ne postoji je apscisa točke infleksije ako ima različite predznake lijevo i desno od sebe.
d) Asimptote
Ako udaljenost od točke grafa funkcije do određene ravne crte teži nuli s beskonačnom udaljenošću od ishodišta točke, tada se pravac naziva asimptota grafa funkcije.
Ako postoji broj takav da , Tada je linija vertikalna asimptota.
Ako postoje granice 
, tada je linija kosa (horizontalna na k=0) asimptota.
e) Opće proučavanje funkcije
1. Opseg funkcije
2. Točke presjeka grafa s koordinatnim osima
3. Istraživanje funkcije za kontinuitet, par/nepar i periodičnost
4. Intervali monotonosti funkcije
5. Točke ekstrema funkcije
6. Intervali konveksnosti i točke infleksije grafa funkcije
7. Asimptote grafa funkcije
8. Grafik funkcije.
Zadatak 5. Istražite funkciju i nacrtajte njezin graf.
Riješenje. 1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi, osim na mjestu gdje nazivnik razlomka nestaje. . Imamo: ne spada u djelokrug ove funkcije. Stoga su stacionarne točke ove funkcije točke minimalne vrijednosti (kao što je prikazano na slici).
8) Na temelju dobivenih podataka izgradit ćemo graf izvorne funkcije:
Sadržaj članka
DERIVACIJA-derivacija funkcije g = f(x) definiran na nekom intervalu ( a, b) u točki x taj se interval naziva granica kojoj teži omjer prirasta funkcije f u toj točki do odgovarajućeg povećanja argumenta kako se povećanje argumenta približava nuli.
Derivat se obično označava na sljedeći način:
Druge oznake također se široko koriste:
Trenutačna brzina.
Neka točka M kreće se pravocrtno. Udaljenost s pokretna točka, računajući od neke početne pozicije M 0 , ovisi o vremenu t, tj. s je funkcija vremena t: s= f(t). Neka u nekom trenutku u vremenu t pokretna točka M bio na daljinu s iz početne pozicije M 0, au nekom sljedećem trenutku t+ D t bio u poziciji M 1 - na daljinu s+ D s iz početne pozicije ( vidi sliku.).
Tako je neko vrijeme D t udaljenost s promijenio za vrijednost D s. U ovom slučaju kažemo da je tijekom vremenskog intervala D t veličina s dobio prirast D s.
Prosječna brzina ne može u svim slučajevima točno karakterizirati brzinu kretanja točke. M u to vrijeme t. Ako je npr. tijelo na početku intervala D t kretao vrlo brzo, a na kraju vrlo sporo, tada prosječna brzina neće moći odražavati naznačene značajke kretanja točke i dati predodžbu o stvarnoj brzini njezina kretanja u trenutku t. Za točnije izražavanje stvarne brzine korištenjem prosječne brzine potrebno je uzeti manje vremensko razdoblje D t. Najpotpunije karakterizira brzinu kretanja točke u trenutku t granica kojoj teži prosječna brzina na D t® 0. Ova granica se naziva brzina kretanja u danom trenutku:
Dakle, brzina kretanja u određenom trenutku je granica omjera prirasta putanje D s na vremenski prirast D t kada vremenski prirast teži nuli. Jer
Geometrijska vrijednost derivacije. Tangenta na graf funkcije.
Konstrukcija tangenti jedan je od onih problema koji su doveli do rođenja diferencijalnog računa. Prvo objavljeno djelo o diferencijalnom računu, koje je napisao Leibniz, bilo je pod naslovom Nova metoda maksimuma i minimuma, kao i tangenti, kojima ni frakcijske ni iracionalne veličine nisu prepreka, te posebna vrsta računa za to..
Neka je krivulja graf funkcije g =f(x) u pravokutnom koordinatnom sustavu ( cm. riža.).
Za neku vrijednost x funkcija je bitna g =f(x). Ove vrijednosti x I g točka na krivulji M 0(x, g). Ako argument x dati povećanje D x, zatim nova vrijednost argumenta x+ D x odgovara novoj vrijednosti funkcije y+ D g = f(x + D x). Odgovarajuća točka krivulje bit će točka M 1(x+ D x,g+ D g). Ako nacrtamo sekantu M 0M 1 i označimo s j kut koji tvori sekanta s pozitivnim smjerom osi Vol, Iz slike se izravno vidi da je .
Ako sada D x teži nuli, a zatim točka M 1 kreće se duž krivulje, približavajući se točki M 0 i kut j mijenja se s promjenom D x. Na Dx® 0 kut j teži nekoj granici a i pravcu koji prolazi točkom M 0 i komponenta s pozitivnim smjerom apscisne osi, kutom a, bit će željena tangenta. Njegov nagib:
Stoga, f´( x) = tga
oni. izvedena vrijednost f´( x) za zadanu vrijednost argumenta x jednak je tangensu kuta koji tvori tangenta na graf funkcije f(x) u odgovarajućoj točki M 0(x,g) s pozitivnim smjerom osi Vol.
Diferencijabilnost funkcija.
Definicija. Ako funkcija g = f(x) ima derivaciju u točki x = x 0, tada je funkcija diferencijabilna u ovoj točki.
Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema.
Ako funkcija g = f(x) je diferencijabilan u nekom trenutku x = x 0, onda je kontinuirana u ovoj točki.
Dakle, u točkama diskontinuiteta funkcija ne može imati derivaciju. Obrnuti zaključak je pogrešan, tj. iz činjenice da u nekom trenutku x = x 0 funkcija g = f(x) kontinuirana, ne slijedi da je diferencijabilna u ovoj točki. Na primjer, funkcija g = |x| kontinuirano za sve x(–Ґ x x = 0 nema derivaciju. U ovoj točki nema tangente na graf. Postoje desna tangenta i lijeva tangenta, ali se ne podudaraju.
Neki teoremi o diferencijabilnim funkcijama. Teorem o korijenima derivacije (Rollov teorem). Ako funkcija f(x) kontinuirana je na intervalu [a,b], diferencijabilan je u svim unutarnjim točkama ovog segmenta i na krajevima x = a I x = b nestaje ( f(a) = f(b) = 0), zatim unutar segmenta [ a,b] postoji barem jedna točka x= S, a c b, u kojem je izvod fў( x) nestaje, tj. fў( c) = 0.
Teorem konačnog prirasta (Lagrangeov teorem). Ako funkcija f(x) kontinuirana je na segmentu [ a, b] i diferencijabilan je u svim unutarnjim točkama ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji barem jedna točka S, a c b to
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Teorem o omjeru priraštaja dviju funkcija (Cauchyjev teorem). Ako f(x) I g(x) su dvije funkcije kontinuirane na segmentu [a, b] i diferencijabilan u svim unutarnjim točkama ovog segmenta, i gў( x) ne nestaje nigdje unutar ovog segmenta, onda unutar segmenta [ a, b] postoji takva točka x = S, a c b to
Derivati raznih redova.
Neka funkcija g =f(x) je diferencijabilna na nekom intervalu [ a, b]. Izvedene vrijednosti f ў( x), općenito govoreći, ovise o x, tj. izvedenica f ў( x) također je funkcija od x. Kada se ova funkcija diferencira, dobiva se tzv. druga derivacija funkcije f(x), što je označeno f ўў ( x).
izvedenica n- poredak funkcije f(x) naziva se derivacija (prvog reda) derivacije n- 1- th i označen je simbolom g(n) = (g(n– 1))ŭ.
Diferencijali raznih redova.
Funkcijski diferencijal g = f(x), Gdje x je nezavisna varijabla, jest dy = f ў( x)dx, neka funkcija iz x, ali iz x samo prvi faktor može ovisiti f ў( x), dok je drugi faktor ( dx) je prirast nezavisne varijable x i ne ovisi o vrijednosti ove varijable. Jer dy postoji funkcija iz x, onda možemo odrediti diferencijal ove funkcije. Diferencijal diferencijala funkcije naziva se diferencijal drugog ili drugog reda te funkcije i označava se d 2g:
d(dx) = d 2g = f ўў( x)(dx) 2 .
Diferencijal n- reda naziva se prvi diferencijal diferencijala n- 1- narudžba:
d n y = d(d n–1g) = f(n)(x)dx(n).
Privatna izvedenica.
Ako funkcija ne ovisi o jednom, već o nekoliko argumenata x i(ja mijenja se od 1 do n,ja= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada se u diferencijalnom računu uvodi koncept parcijalnog izvoda, koji karakterizira brzinu promjene funkcije nekoliko varijabli kada se mijenja samo jedan argument, na primjer, x i. Parcijalna derivacija 1. reda u odnosu na x i definiran kao obična derivacija, pretpostavlja se da su svi argumenti osim x i, zadržati konstantne vrijednosti. Za parcijalne derivacije uvodimo oznaku
Ovako definirane parcijalne derivacije 1. reda (kao funkcije istih argumenata) mogu pak imati i parcijalne derivacije, to su parcijalne derivacije 2. reda itd. Uzeti s obzirom na različite argumente, takvi derivati se nazivaju mješoviti. Kontinuirane mješovite derivacije istog reda ne ovise o redu diferenciranja i međusobno su jednake.
Anna Chugainova
