Različite vrste trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očito je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.
Drugačija je situacija sa trigonometrijske jednadžbe. Nije uopće teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njegovu vrstu na temelju izgleda jednadžbe. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod “iste kutove”;
2. dovesti jednadžbu do “identičnih funkcija”;
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.
Razmotrimo osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Izrazi trigonometrijsku funkciju preko poznatih komponenti.
Korak 2 Pronađite argument funkcije pomoću formula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Riješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Zamjena varijable
Dijagram rješenja
Korak 1. Reducirajte jednadžbu na algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2 Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).
3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.
Korak 4 Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5 Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Riješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednadžbi
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stupnja:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Riješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svedite ovu jednadžbu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).
Korak 2 Podijelite obje strane jednadžbe s
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijte jednadžbu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Riješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je tada tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule svedite ovu jednadžbu na jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2 Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Riješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo je 
važno, njihov razvoj zahtijeva značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.
Uz rješavanje trigonometrijskih jednadžbi povezani su mnogi problemi stereometrije, fizike itd. Proces rješavanja takvih problema utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i osobnog razvoja općenito.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
Uspješno riješiti trigonometrijske jednadžbe pogodan za korištenje metoda redukcije na prethodno riješene probleme. Hajde da shvatimo što je bit ove metode?
U svakom predloženom problemu morate vidjeti prethodno riješen problem, a zatim, koristeći uzastopne ekvivalentne transformacije, pokušati reducirati problem koji vam je dan na jednostavniji.
Tako pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi obično stvaraju određeni konačni niz ekvivalentnih jednadžbi, čija je zadnja karika jednadžba s očitim rješenjem. Važno je samo upamtiti da će, ako se ne razviju vještine rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, rješavanje složenijih jednadžbi biti teško i neučinkovito.
Osim toga, pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi nikada ne smijete zaboraviti da postoji nekoliko mogućih metoda rješavanja.
Primjer 1. Odredite broj korijena jednadžbe cos x = -1/2 na intervalu.
Riješenje:
Metoda I Nacrtajmo funkcije y = cos x i y = -1/2 i odredimo broj njihovih zajedničkih točaka na intervalu (slika 1).
Kako grafovi funkcija imaju dvije zajedničke točke na intervalu, jednadžba sadrži dva korijena na tom intervalu.
II metoda. Pomoću trigonometrijske kružnice (slika 2) nalazimo broj točaka koje pripadaju intervalu u kojem je cos x = -1/2. Slika pokazuje da jednadžba ima dva korijena. 
III metoda. Pomoću formule za korijene trigonometrijske jednadžbe rješavamo jednadžbu cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – cijeli broj (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – cijeli broj (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k – cijeli broj (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k – cijeli broj (k € Z).
Interval sadrži korijene 2π/3 i -2π/3 + 2π, k je cijeli broj. Dakle, jednadžba ima dva korijena na danom intervalu.
Odgovor: 2.
U budućnosti će se trigonometrijske jednadžbe rješavati jednom od predloženih metoda, što u mnogim slučajevima ne isključuje korištenje drugih metoda.
Primjer 2. Odredite broj rješenja jednadžbe tg (x + π/4) = 1 na intervalu [-2π; 2π].
Riješenje:
Koristeći formulu za korijene trigonometrijske jednadžbe, dobivamo:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k – cijeli broj (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k – cijeli broj (k € Z);
x = πk, k – cijeli broj (k € Z);
Interval [-2π; 2π] pripadaju brojevima -2π; -π; 0; π; 2π. Dakle, jednadžba ima pet korijena na danom intervalu.
Odgovor: 5.
Primjer 3. Odredite broj korijena jednadžbe cos 2 x + sin x · cos x = 1 na intervalu [-π; π].
Riješenje:
Budući da je 1 = sin 2 x + cos 2 x (osnovni trigonometrijski identitet), izvorna jednadžba ima oblik:
cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x – sin x cos x = 0;
sin x(sin x – cos x) = 0. Umnožak je jednak nuli, što znači da barem jedan od faktora mora biti jednak nuli, dakle:
sin x = 0 ili sin x – cos x = 0.
Budući da vrijednosti varijable kod kojih je cos x = 0 nisu korijeni druge jednadžbe (sinus i kosinus istog broja ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme), obje strane druge jednadžbe dijelimo prema cos x:
sin x = 0 ili sin x / cos x - 1 = 0.
U drugoj jednadžbi koristimo činjenicu da je tg x = sin x / cos x, tada:
sin x = 0 ili tan x = 1. Koristeći formule imamo:
x = πk ili x = π/4 + πk, k – cijeli broj (k € Z).
Od prvog niza korijena do intervala [-π; π] pripadaju brojevima -π; 0; π. Iz druge serije: (π/4 – π) i π/4.
Dakle, pet korijena izvorne jednadžbe pripada intervalu [-π; π].
Odgovor: 5.
Primjer 4. Nađi zbroj korijena jednadžbe tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3stgx + 4 = 0 na intervalu [-π; 1.1π].
Riješenje:
Prepišimo jednadžbu na sljedeći način:
tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 i izvršite zamjenu.
Neka je tg x + stgx = a. Kvadriramo obje strane jednadžbe:
(tg x + stg x) 2 = a 2. Proširimo zagrade:
tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2.
Kako je tg x · stgx = 1, tada je tg 2 x + 2 + stg 2 x = a 2, što znači
tg 2 x + stg 2 x = a 2 – 2.
Sada izvorna jednadžba izgleda ovako:
a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Pomoću Vietinog teorema nalazimo da je a = -1 ili a = -2.
Napravimo obrnutu zamjenu, imamo:
tg x + stgx = -1 ili tg x + stgx = -2. Riješimo dobivene jednadžbe.
tg x + 1/tgx = -1 ili tg x + 1/tgx = -2.
Po svojstvu dvaju međusobno inverznih brojeva utvrđujemo da prva jednadžba nema korijena, a iz druge jednadžbe imamo:
tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k – cijeli broj (k € Z).
Interval [-π; 1,1π] pripadaju korijenima: -π/4; -π/4 + π. Njihov zbroj:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Odgovor: π/2.
Primjer 5. Odredite aritmetičku sredinu korijena jednadžbe sin 3x + sin x = sin 2x na intervalu [-π; 0,5π].
Riješenje:
Upotrijebimo formulu sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), tada
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i jednadžba postaje
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Izbacimo zajednički faktor sin 2x iz zagrada
sin 2x(2cos x – 1) = 0. Riješite dobivenu jednadžbu:
sin 2x = 0 ili 2cos x – 1 = 0; 
sin 2x = 0 ili cos x = 1/2;
2x = πk ili x = ±π/3 + 2πk, k – cijeli broj (k € Z).
Dakle, imamo korijene
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – cijeli broj (k € Z).
Interval [-π; 0,5π] pripadaju korijenima -π; -π/2; 0; π/2 (iz prve serije korijena); π/3 (iz druge serije); -π/3 (iz treće serije). Njihova aritmetička sredina je:
(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.
Odgovor: -π/6.
Primjer 6. Odredite broj korijena jednadžbe sin x + cos x = 0 na intervalu [-1,25π; 2π].
Riješenje:
Ova jednadžba je homogena jednadžba prvog stupnja. Podijelimo oba njegova dijela s cosx (vrijednosti varijable pri kojoj je cos x = 0 nisu korijeni ove jednadžbe, budući da sinus i kosinus istog broja ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme). Izvorna jednadžba je:
x = -π/4 + πk, k – cijeli broj (k € Z).
Interval [-1,25π; 2π] pripadaju korijenima -π/4; (-π/4 + π); i (-π/4 + 2π).
Dakle, zadani interval sadrži tri korijena jednadžbe.
Odgovor: 3.
Naučite učiniti najvažniju stvar - jasno zamisliti plan za rješavanje problema, a tada će vam svaka trigonometrijska jednadžba biti nadohvat ruke.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć mentora - prijavite se.
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.Rješavanje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze: transformacija jednadžbe da se najjednostavnije shvati vrsta (vidi gore) i riješenjerezultirajući najjednostavniji trigonometrijska jednadžba. Ima ih sedam osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
1. Algebarska metoda.
(zamjena varijable i metoda supstitucije).
2. Rastavljanje na faktore.
Primjer 1. Riješite jednadžbu: grijeh x+cos x = 1 .
Rješenje. Pomaknimo sve članove jednadžbe ulijevo:
Grijeh x+cos x – 1 = 0 ,
Transformirajmo i faktorizirajmo izraz
Lijeva strana jednadžbe:
Primjer 2. Riješite jednadžbu: cos 2 x+ grijeh x cos x = 1.
Rješenje: cos 2 x+ grijeh x cos x– grijeh 2 x– cos 2 x = 0 ,
Grijeh x cos x– grijeh 2 x = 0 ,
Grijeh x· (cos x– grijeh x ) = 0 ,
Primjer 3. Riješite jednadžbu: jer 2 x– jer 8 x+ cos 6 x = 1.
Rješenje: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,
2 jer 4 x jer 2 x= 2cos² 4 x ,
Cos 4 x · (cos 2 x– jer 4 x) = 0 ,
Cos 4 x · 2 grijeh 3 x grijeh x = 0 ,
1). jer 4 x= 0, 2). grijeh 3 x= 0, 3). grijeh x = 0 ,
3. Svođenje na homogena jednadžba.Jednadžba nazvao homogeni iz u vezi grijeh I cos , Ako sve to izrazi istog stupnja u odnosu na grijeh I cos isti kut. Za rješavanje homogene jednadžbe potrebno je: A) pomaknuti sve svoje članove na lijevu stranu; b) staviti sve zajedničke faktore izvan zagrada; V) izjednačiti sve faktore i zagrade s nulom; G) zagrade jednake nuli daju homogena jednadžba manjeg stupnja, koju treba podijeliti na cos(ili grijeh) u višem stupnju; d) riješite dobivenu algebarsku jednadžbu s obzirom napreplanuli ten . grijeh 2 x+ 4 grijeha x cos x+ 5cos 2 x = 2. Rješenje: 3sin 2 x+ 4 grijeha x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Grijeh 2 x+ 4 grijeha x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 ten x + 3 = 0 , odavde g 2 + 4g +3 = 0 , Korijeni ove jednadžbe su:g 1 = - 1, g 2 = - 3, dakle 1) preplanulost x= –1, 2) tan x = –3, |
4. Prijelaz u polukut.
Pogledajmo ovu metodu na primjeru:
PRIMJER Riješite jednadžbu: 3 grijeh x– 5 cos x = 7.
Rješenje: 6 grijeha ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 sin² ( x/ 2) – 6 grijeha ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan² ( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Uvođenje pomoćnog kuta.
Razmotrimo jednadžbu oblika:
a grijeh x + b cos x = c ,
Gdje a, b, c– koeficijenti;x– nepoznato.
Sada koeficijenti jednadžbe imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime: modul (apsolutna vrijednost) svakog od kojih ne više od 1, a zbroj njihovih kvadrata je 1. Tada možemo označiti njima prema tome Kako jer i grijeh (ovdje - tzv pomoćni kut), Iuzmite našu jednadžbu
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a
Jednadžba cos(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Na intervalu funkcija y = cos x opada od 1 do -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo u jednoj točki svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x = a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, koji je, prema definiciji arkosinusa, jednak: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x = A).
Kosinus je parna funkcija, pa na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj nasuprot x 1, tj
x 2 = -arccos a.
Dakle, na intervalu [-n; p] (duljina 2p) jednadžba cos x = a s | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Funkcija y = cos x je periodična s periodom 2n, stoga se svi ostali korijeni razlikuju od onih koji se nalaze s 2n (n € Z). Dobivamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.
Korisno je zapamtiti posebne oznake za korijene jednadžbe cos x = a kada
a = 0, a = -1, a = 1, što se lako može dobiti korištenjem jedinične kružnice kao reference.
Budući da je kosinus jednak apscisi odgovarajuće točke jedinične kružnice, dobivamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka A ili točka B.
Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka C, dakle,
x = 2πp, k € Z.
Također cos x = -1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka D, dakle x = n + 2n,
Jednadžba sin(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe sinx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavaju se u pravilu pomoću formula. Podsjećam vas da su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.
A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.
Za sinus:
Za kosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Za tangentu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Za kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Štoviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu jednostavno je izvan tablica. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?
Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Oprezno zapisuje, da se ne dogodi nešto...) Ovo treba srediti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)
Idemo to shvatiti?
Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.
I uvijek će tako ispasti. Za bilo koje A.
Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj A na nešto negativno. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.
Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Spojimo ove dvije serije u jednu:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I to je sve. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.
Ako shvatite da to nije nekakva nadznanstvena mudrost, ali samo skraćena verzija dva niza odgovora, Također ćete moći rješavati zadatke "C". S nejednakostima, s odabiranjem korijena iz zadanog intervala... Tu odgovor s plus/minusom ne funkcionira. Ali ako se prema odgovoru odnosite poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve će biti riješeno.) Zapravo, to je razlog zašto to istražujemo. Što, kako i gdje.
U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi
sinx = a
također dobivamo dva niza korijena. Stalno. A mogu se i ove dvije serije snimiti u jednom redu. Samo će ovaj redak biti složeniji:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno osmislili formulu kako bi napravili jedan umjesto dva unosa za niz korijena. To je sve!
Provjerimo matematičare? I nikad se ne zna...)
U prethodnoj lekciji detaljno je obrađeno rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:
Odgovor je rezultirao s dva niza korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Kompletan odgovor bi bio:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz lonely x (i ovo je točan odgovor!) - jesu li to ista stvar ili ne? Sada ćemo saznati.)
Zamjenjujemo u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; 1; 2; itd., brojimo, dobivamo niz korijena:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.
S istom zamjenom u odgovoru sa x 2 , dobivamo:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.
Sada zamijenimo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za jednostruku x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu itd. Pa, naravno, zamijenit ćemo 0 u drugi član; 1; 2 3; 4, itd. I brojimo. Dobijamo seriju:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.
To je sve što možete vidjeti.) Opća formula nam daje potpuno iste rezultate kao što su dva odgovora zasebno. Samo sve odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)
Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nećemo.) Već su jednostavni.
Posebno sam napisao sve ove zamjene i provjere. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo kratak sažetak odgovora. Radi ove sažetosti, morali smo umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.
Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ova umetanja mogu lako uznemiriti osobu.
Što bih trebao napraviti? Da, ili napiši odgovor u dvije serije, ili riješi jednadžbu/nejednadžbu pomoću trigonometrijske kružnice. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)
Možemo sažeti.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobre su za trenutno zapisivanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:
sinx = 0,3
Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lako: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Jedan ostao: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
onda već blistaš, ovo... ono... iz lokve.) Točan odgovor: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je ark kosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tako dalje. - odgovor će kroz lukove nedorečen. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.
A ako naiđete na nejednakost, npr
onda je odgovor:
x πn, n ∈ Z
rijetke su gluposti, da...) Ovdje trebate riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.
Za one koji herojski čitaju ove retke. Jednostavno ne mogu ne cijeniti vaš ogromni trud. Bonus za vas.)
Bonus:
Kada zapisuju formule u alarmantnoj borbenoj situaciji, čak i iskusni štreberi često se zbune gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika za vas. U svi formule vrijedan πn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva peen. ključna riječ - dva. U ovoj istoj formuli postoje dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.
Pa ako si napisao dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva peen. A događa se i obrnuto. Osoba će propustiti znak ± , dolazi do kraja, piše ispravno dva Pien, i doći će k sebi. Nešto je naprijed dva znak! Osoba će se vratiti na početak i ispraviti grešku! Kao ovo.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
