Hosil. Turli tartibli hosilalar
hosila funktsiyalari nuqtada nolga moyil bo'lishi sharti bilan funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi.
Hosilni topishning asosiy qoidalari
Agar - va - nuqtada differensiallanuvchi funktsiyalar bo'lsa (ya'ni, nuqtada hosilalari bo'lgan funksiyalar), u holda:
4) 
.
Asosiy funksiyalarning hosilalari jadvali
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi. Agar va bo'lsa, ya'ni. , qaerda va bor hosilalari, keyin
Parametrli aniqlangan funksiyani differentsiallash. O'zgaruvchining o'zgaruvchiga bog'liqligi parametr yordamida parametrik tarzda berilgan bo'lsin:
Vazifa 3. Berilgan funksiyalarning hosilalarini toping.
1) 
Yechim. Hosilalar jadvalining 1 va 2 formulalarini va hosilalarni topish uchun 2-qoidani qo'llagan holda, biz quyidagilarga erishamiz:
Yechim. Hosilalar jadvalining 1 va 13 formulalarini va hosilalarni topish uchun 4-qoidani qo'llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:
.
Yechim. Hosilalar jadvalining 5 va 11 formulalarini va hosilalarni topish uchun 3-qoidani qo'llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:
Yechim., deb faraz qilsak, bu erda, kompleks funksiyaning hosilasini topish formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
Yechim. Bizda: Keyin parametrik berilgan funktsiyaning hosilasini topish formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:
4. Yuqori tartibli hosilalar. L'Hopital qoidasi.
Funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uning hosilasining hosilasi deb ataladi, ya'ni. . Ikkinchi hosila uchun quyidagi yozuv ishlatiladi: yoki , yoki .
Funktsiyaning 1-tartibli hosilasi uning uchinchi tartibli hosilasi deyiladi. Uchinchi tartibli hosila uchun quyidagi belgi qo'llaniladi: yoki , yoki .
L'Hopital qoidasi. va funksiyalari nuqta qo'shnisida differentsial bo'lsin va hosila yo'qolmaydi. Agar va funktsiyalari bir vaqtning o'zida cheksiz kichik yoki cheksiz katta bo'lsa va uchun munosabatining chegarasi mavjud bo'lsa, u holda uchun munosabatlarining chegarasi ham mavjud. Va
.
Qoida, qachon ham amal qiladi.
E'tibor bering, ba'zi hollarda shakldagi noaniqliklarni oshkor qilish yoki L'Hospital qoidasini takroran qo'llashni talab qilishi mumkin.
Noaniqliklarni ko'rish va hokazo. elementar o'zgarishlar osongina shaklning noaniqliklariga tushiriladi yoki .
Vazifa 4. L'Hopital qoidasi yordamida chegarani toping.
Yechim Bu erda biz shaklning noaniqligiga egamiz da . Keling, L'Hospital qoidasini qo'llaymiz:
.
L'Hopital qoidasini qo'llaganimizdan so'ng, biz yana shaklning noaniqligini oldik, chunki da . L'Hopital qoidasini yana qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:
.
5. Funksional tadqiqotlar
a) ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar
Funktsiya chaqiriladi ortib boradi segmentida , har qanday nuqta uchun va segmentdan bo'lsa, qaerda , tengsizlik bajariladi. Agar funktsiya intervalda va uchun uzluksiz bo'lsa, u holda intervalda ortadi.
Funktsiya chaqiriladi susayish segmentida , har qanday nuqta uchun va segmentdan bo'lsa, qaerda , tengsizlik bajariladi. Agar funktsiya intervalda va uchun uzluksiz bo'lsa, u holda intervalda kamayadi.
Agar funktsiya ma'lum oraliqda faqat ortib borayotgan yoki faqat kamayayotgan bo'lsa, u chaqiriladi monoton intervalda.
b) Funksiyaning ekstremallari
minimal nuqta funktsiyalari .
Agar mavjud bo'lsa - nuqta qo'shnisi Shunday qilib, bu qo'shnilikdagi barcha nuqtalar uchun tengsizlik o'rinli bo'lsa, nuqta chaqiriladi maksimal nuqta funktsiyalari .
Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalari deyiladi ekstremal nuqtalar.
Nuqta deyiladi statsionar nuqta agar mavjud bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa.
Agar statsionar nuqtaning uchun va uchun qo'shnisi bo'lsa, u holda - funksiyaning maksimal nuqtasi bo'ladi.
Agar statsionar nuqtaning for va for uchun - qo'shnisi bo'lsa, u holda funktsiyaning minimal nuqtasi - nuqtasi.
a) Egri yo'nalish. Burilish nuqtalari
yuqoriga qavariq intervalda , agar u ushbu intervalning istalgan nuqtasida funksiya grafigiga chizilgan tangens ostida joylashgan bo'lsa.
Funksiya grafigining oraliqda yuqoriga qarab qavariq bo‘lishining yetarli sharti ko‘rib chiqilayotgan har qanday interval uchun tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi.
Differensiallanuvchi funksiyaning grafigi deyiladi konveks pastga intervalda , agar u shu oraliqning istalgan nuqtasida funksiya grafigiga chizilgan tangens ustida joylashgan bo‘lsa.
Funksiya grafigining oraliqda pastga qarab qavariq bo‘lishining yetarli sharti ko‘rib chiqilayotgan har qanday interval uchun tengsizlikning bajarilishi hisoblanadi.
Funksiya grafigi qavariqlik yo‘nalishi o‘zgargan nuqta deyiladi burilish nuqtasi.
Mavjud yoki mavjud bo'lmagan nuqta, agar uning chap va o'ng tomonida turli xil belgilar bo'lsa, egilish nuqtasining abscissasidir.
d) asimptotlar
Agar funktsiya grafigi nuqtasidan ma'lum bir to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa nuqtaning boshidan cheksiz masofada nolga moyil bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq deyiladi. funksiya grafigining asimptotasi.
Agar shunday raqam bo'lsa, unda chiziq bo'ladi vertikal asimptota.
Agar chegaralar bo'lsa 
, keyin chiziq bo'ladi qiya (k=0 da gorizontal) asimptota.
e) Funksiyani umumiy o’rganish
1. Funktsiya doirasi
2. Grafikning koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalari
3. Funksiyani uzluksizlik, juft/toq va davriylik uchun tekshirish
4. Funksiyaning monotonlik intervallari
5. Funksiyaning ekstremum nuqtalari
6. Funksiya grafigining qavariq intervallari va burilish nuqtalari
7. Funksiya grafigining asimptotalari
8. Funksiya grafigi.
Vazifa 5. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini tuzing.
Yechim. 1) Funktsiya butun son o'qi bo'yicha aniqlanadi, kasrning maxraji yo'qolgan nuqtadan tashqari. . Bizda: bu funksiya doirasiga kirmaydi. Shuning uchun bu funktsiyaning statsionar nuqtalari nuqtalar, minimal qiymat (rasmda ko'rsatilganidek).
8) Olingan ma'lumotlardan foydalanib, biz asl funktsiyaning grafigini tuzamiz:
Maqolaning mazmuni
HOSILA-funktsiyaning hosilasi y = f(x) ba'zi bir oraliqda aniqlangan ( a, b) nuqtada x bu interval funktsiyaning o'sish nisbati moyil bo'lgan chegara deb ataladi f o'sha paytda argumentning mos keladigan o'sishiga, chunki argumentning o'sishi nolga yaqinlashadi.
Hosil odatda quyidagicha ifodalanadi:
Boshqa belgilar ham keng qo'llaniladi:
Tezlik.
Nuqtaga ruxsat bering M to'g'ri chiziqda harakat qiladi. Masofa s harakatlanuvchi nuqta, ba'zi bir boshlang'ich pozitsiyasidan hisoblangan M 0 , vaqtga bog'liq t, ya'ni. s vaqtning funksiyasi hisoblanadi t: s= f(t). Bir vaqtning o'zida ruxsat bering t harakatlanuvchi nuqta M masofada edi s boshlang'ich pozitsiyasidan M 0 va keyingi daqiqada t+ D t holatda edi M 1 - masofada s+ D s boshlang'ich pozitsiyasidan ( rasmga qarang.).
Shunday qilib, ma'lum vaqt davomida D t masofa s D qiymatiga o'zgartirildi s. Bunday holda, biz D vaqt oralig'ida aytamiz t kattalik s qabul qilingan D s.
O'rtacha tezlik hamma hollarda nuqtaning harakatlanish tezligini aniq tavsiflay olmaydi. M o'sha payt t. Agar, masalan, D intervalining boshida tana t juda tez harakatlanadi va oxirida juda sekin, keyin o'rtacha tezlik nuqta harakatining ko'rsatilgan xususiyatlarini aks ettira olmaydi va hozirgi vaqtda uning harakatining haqiqiy tezligi haqida tasavvurga ega bo'lmaydi. t. Haqiqiy tezlikni o'rtacha tezlikdan foydalangan holda aniqroq ifodalash uchun D vaqtini kichikroq qilish kerak t. Ayni paytda nuqtaning harakat tezligini to'liq tavsiflaydi t o'rtacha tezlikning D da moyil bo'lgan chegarasi t® 0. Bu chegara berilgan momentdagi harakat tezligi deyiladi:
Shunday qilib, ma'lum bir momentdagi harakat tezligi D yo'lining o'sish nisbati chegarasi hisoblanadi s vaqt o'sishiga D t vaqt o'sishi nolga moyil bo'lganda. Chunki
Hosilning geometrik qiymati. Funksiya grafigiga teginish.
Tangenslarni qurish differensial hisobning paydo bo'lishiga olib kelgan muammolardan biridir. Leybnits tomonidan yozilgan differensial hisoblash bo'yicha birinchi nashr etilgan asar deb nomlangan Na kasr, na irratsional miqdorlar to'siq bo'lmaydigan maksimal va minimal, shuningdek tangenslarning yangi usuli va buning uchun maxsus hisoblash turi..
Egri chiziq funksiyaning grafigi bo'lsin y =f(x) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ( sm. guruch.).
Ba'zi qiymat uchun x funktsiyasi muhim y =f(x). Bu qadriyatlar x Va y egri chiziqdagi nuqta M 0(x, y). Agar argument bo'lsa x berish oshirish D x, keyin argumentning yangi qiymati x+ D x funksiyaning yangi qiymatiga mos keladi y+ D y = f(x + D x). Egri chiziqning mos keladigan nuqtasi nuqta bo'ladi M 1(x+ D x,y+ D y). Agar biz sekant chizamiz M 0M 1 va j bilan belgilang musbat o'q yo'nalishi bo'lgan sekant tomonidan hosil qilingan burchak ho'kiz, Bu to'g'ridan-to'g'ri rasmdan ko'rinib turibdiki.
Agar hozir D x nolga intiladi, keyin nuqta M 1 nuqtaga yaqinlashib, egri chiziq bo'ylab harakatlanadi M 0 va burchak j D o'zgarishi bilan o'zgaradi x. Da Dx® 0 j burchagi a chegarasiga va nuqtadan o'tuvchi chiziqqa intiladi M 0 va abscissa o'qining musbat yo'nalishi bo'lgan komponent, burchak a, kerakli tangens bo'ladi. Uning qiyaligi:
Demak, f´( x) = tga
bular. hosilaviy qiymat f´( x) argumentning berilgan qiymati uchun x funksiya grafigiga tangens hosil qilgan burchak tangensiga teng f(x) tegishli nuqtada M 0(x,y) musbat o'q yo'nalishi bilan ho'kiz.
Funksiyalarning differentsialligi.
Ta'rif. Agar funktsiya y = f(x) nuqtada hosilasi bor x = x 0 bo'lsa, bu nuqtada funktsiya differentsial bo'ladi.
Hosilasiga ega funksiyaning uzluksizligi. Teorema.
Agar funktsiya y = f(x) bir nuqtada farqlanadi x = x 0, u holda bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
Shunday qilib, uzilish nuqtalarida funktsiya hosilaga ega bo'lishi mumkin emas. Qarama-qarshi xulosa noto'g'ri, ya'ni. bir nuqtada ekanligidan x = x 0 funktsiyasi y = f(x) uzluksiz bo'lsa, bu nuqtada differensial bo'ladi degan xulosaga kelmaydi. Masalan, funktsiya y = |x| hamma uchun doimiy x(–H x x = 0 ning hosilasi yoʻq. Bu nuqtada grafikning tangensi yoʻq. Oʻng tangens va chap tangens bor, lekin ular bir-biriga mos kelmaydi.
Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi ba'zi teoremalar. Hosilning ildizlari haqidagi teorema (Roll teoremasi). Agar funktsiya f(x) intervalda uzluksiz [a,b], ushbu segmentning barcha ichki nuqtalarida va uchlarida farqlanadi x = a Va x = b yo'qoladi ( f(a) = f(b) = 0), keyin segment ichida [ a,b] kamida bitta nuqta bor x= Bilan, a c b, unda hosila fў( x) yo'qoladi, ya'ni. fў( c) = 0.
Chekli o'sish teoremasi (Lagranj teoremasi). Agar funktsiya f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] va bu segmentning barcha ichki nuqtalarida, keyin segmentning ichida [ [ a, b] kamida bitta nuqta bor Bilan, a c b bu
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Ikki funktsiyaning o'sish nisbati haqidagi teorema (Koshi teoremasi). Agar f(x) Va g(x) segmentda uzluksiz ikkita funksiya [a, b] va ushbu segmentning barcha ichki nuqtalarida differensiallanadi va gў( x) bu segment ichida, keyin segment ichida [ hech qanday joyda yo'qolmaydi. a, b] shunday nuqta bor x = Bilan, a c b bu
Turli tartibli hosilalar.
Funktsiyaga ruxsat bering y =f(x) ba'zi bir intervalda differensiallanadi [ a, b]. Hosil qiymatlar f ў( x), umuman olganda, bog'liq x, ya'ni. hosila f ў( x) ning funksiyasi hamdir x. Bu funksiya differensiallanganda funksiyaning ikkinchi hosilasi deb ataladigan narsa olinadi f(x), bu bilan belgilanadi f ўў ( x).
hosila n- funktsiya tartibi f(x) hosilaning hosilasi (birinchi tartibli) deyiladi n- 1- th va belgisi bilan belgilanadi y(n) = (y(n– 1))o.
Turli xil buyurtmalarning farqlari.
Funktsional differentsial y = f(x), Qayerda x mustaqil o'zgaruvchidir, bo'ladi dy = f ў( x)dx, dan ba'zi funksiyalar x, lekin dan x faqat birinchi omil bog'liq bo'lishi mumkin f ў( x), ikkinchi omil esa ( dx) mustaqil o‘zgaruvchining o‘sish ko‘rsatkichidir x va bu o'zgaruvchining qiymatiga bog'liq emas. Chunki dy dan funksiya mavjud x, keyin bu funksiyaning differentsialini aniqlashimiz mumkin. Funksiya differensialining differensiali bu funksiyaning ikkinchi yoki ikkinchi tartibli differensiali deyiladi va belgilanadi. d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Differensial n- tartib differensialning birinchi differensiali deyiladi n- 1- buyurtma:
d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).
Xususiy hosila.
Agar funktsiya bitta emas, balki bir nechta argumentlarga bog'liq bo'lsa x i(i 1 dan o'zgaradi n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), keyin differentsial hisobda qisman hosila tushunchasi kiritiladi, bu faqat bitta argument o'zgarganda bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasining o'zgarish tezligini tavsiflaydi, masalan, x i. ga nisbatan 1-tartibning qisman hosilasi x i oddiy hosila sifatida aniqlanadi, bundan mustasno barcha argumentlar deb hisoblanadi x i, doimiy qiymatlarni saqlang. Qisman hosilalar uchun biz yozuvni kiritamiz
Shu tarzda aniqlangan 1-tartibning qisman hosilalari (bir xil argumentlarning funktsiyalari sifatida) o'z navbatida qisman hosilalarga ham ega bo'lishi mumkin, bu ikkinchi tartibning qisman hosilalari va boshqalar. Turli dalillarga nisbatan bunday hosilalar aralash deyiladi. Bir xil tartibdagi uzluksiz aralash hosilalar differentsiallanish tartibiga bog'liq emas va bir-biriga teng.
Anna Chugainova
