Har xil turdagi trigonometrik tenglamalar. Trigonometrik tenglamalarni yechish
Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalar, kvadratiklarga keltiruvchi tenglamalar kiradi. Yuqorida aytib o'tilgan vazifalarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: hal qilinayotgan muammoning qaysi turiga tegishli ekanligini aniqlash, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini eslab qolish kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.
Shubhasiz, muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglamaning turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanishiga bog'liq. Albatta, bu holda bir xil o'zgartirish va hisob-kitoblarni bajarish ko'nikmalariga ega bo'lish kerak.
bilan boshqacha vaziyat yuzaga keladi trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.
Ba'zan tenglamaning ko'rinishi bilan uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.
Trigonometrik tenglamani yechish uchun biz quyidagilarni sinab ko'rishimiz kerak:
1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni "bir xil burchaklarga" keltiring;
2. tenglamani “bir xil funksiyalarga” keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratish va hokazo.
O'ylab ko'ring trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish
Yechim sxemasi
1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.
2-qadam Formulalar yordamida funktsiya argumentini toping:
cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Ê Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Ê Z.
3-qadam Noma'lum o'zgaruvchini toping.
Misol.
2 cos(3x – p/4) = -√2.
Yechim.
1) cos(3x - p/4) = -√2/2.
2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;
3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.
3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;
x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;
x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.
II. O'zgaruvchan almashtirish
Yechim sxemasi
1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.
2-qadam Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).
3-qadam Olingan algebraik tenglamani yozing va yeching.
4-qadam Teskari almashtirishni amalga oshiring.
5-qadam Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.
Misol.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Yechim.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 yoki e = -3/2 |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.
4) gunoh (x/2) = 1.
5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;
x = p + 4pn, n Ê Z.
Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.
III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli
Yechim sxemasi
1-qadam. Quvvatni kamaytirish formulalari yordamida ushbu tenglamani chiziqli tenglama bilan almashtiring:
gunoh 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
2-qadam Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.
Misol.
cos2x + cos2x = 5/4.
Yechim.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;
x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.
IV. Bir jinsli tenglamalar
Yechim sxemasi
1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga keltiring
a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)
yoki ko'rinishga
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).
2-qadam Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
va tg x uchun tenglamani oling:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
3-qadam Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.
Misol.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Yechim.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) U holda tg x = t bo'lsin
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 yoki t = -4, shuning uchun
tg x = 1 yoki tg x = -4.
Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.
Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.
V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli
Yechim sxemasi
1-qadam. Barcha turdagi trigonometrik formulalardan foydalanib, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechish mumkin bo'lgan tenglamaga keltiring.
2-qadam Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.
Misol.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Yechim.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;
Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.
Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.
Natijada, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Javob: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.
Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va ko'nikmalari juda katta 
muhim, ularning rivojlanishi talabadan ham, o‘qituvchidan ham katta kuch talab qiladi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish bilan stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari bog'liq.Bunday masalalarni yechish jarayoni, go'yo trigonometriya elementlarini o'rganishda olinadigan ko'plab bilim va ko'nikmalarni o'z ichiga oladi.
Trigonometrik tenglamalar matematikani o'qitish jarayonida va umuman shaxsni rivojlantirish jarayonida muhim o'rin tutadi.
Savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Muvaffaqiyatli hal qilish uchun trigonometrik tenglamalar foydalanish uchun qulay kamaytirish usuli ilgari hal qilingan muammolarga. Keling, ushbu usulning mohiyati nimada ekanligini ko'rib chiqaylik?
Taklif etilayotgan har qanday masalada siz avval hal qilingan masalani ko'rishingiz kerak, so'ngra ketma-ket ekvivalent o'zgartirishlar yordamida sizga berilgan masalani oddiyroq muammoga qisqartirishga harakat qiling.
Shunday qilib, trigonometrik tenglamalarni echishda ular odatda ekvivalent tenglamalarning qandaydir chekli ketma-ketligini tashkil qiladi, ularning oxirgi bo'g'ini aniq yechimga ega bo'lgan tenglamadir. Shuni yodda tutish kerakki, agar eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish ko'nikmalari shakllanmasa, unda murakkabroq tenglamalarni yechish qiyin va samarasiz bo'ladi.
Bundan tashqari, trigonometrik tenglamalarni echishda siz bir nechta echimlarning mavjudligini hech qachon unutmasligingiz kerak.
1-misol. Cos x = -1/2 oraliqda tenglamaning ildizlari sonini toping.
Yechim:
men yo'l. y = cos x va y = -1/2 funksiyalarning grafiklarini chizamiz va oraliqdagi ularning umumiy nuqtalari sonini topamiz (1-rasm).
Funktsiyalar grafiklari oraliqda ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lganligi sababli, tenglama bu oraliqda ikkita ildizni o'z ichiga oladi.
II yo'l. Trigonometrik aylana yordamida (2-rasm) cos x = -1/2 bo'lgan intervalga tegishli nuqtalar sonini aniqlaymiz. Rasmda tenglamaning ikkita ildizi borligi ko'rsatilgan. 
III yo'l. Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, cos x = -1/2 tenglamani yechamiz.
x = ± arccos (-1/2) + 2pk, k - butun son (k € Z);
x = ± (p – arccos 1/2) + 2pk, k - butun son (k € Z);
x = ± (p – p/3) + 2pk, k butun son (k ∈ Z);
x = ± 2p/3 + 2pk, k - butun son (k ∈ Z).
2p/3 va -2p/3 + 2p ildizlari intervalga tegishli, k butun son. Shunday qilib, tenglama berilgan oraliqda ikkita ildizga ega.
Javob: 2.
Kelajakda trigonometrik tenglamalar taklif qilingan usullardan biri bilan yechiladi, bu ko'p hollarda boshqa usullardan foydalanishni istisno qilmaydi.
2-misol. [-2p oraliqda tg (x + p/4) = 1 tenglama yechimlari sonini toping; 2p].
Yechim:
Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
x + p/4 = arctan 1 + pk, k - butun son (k € Z);
x + p/4 = p/4 + pk, k - butun son (k € Z);
x = pk, k - butun son (k ∈ Z);
Interval [-2p; 2p] -2p raqamlariga tegishli; -p; 0; p; 2p. Demak, tenglama berilgan oraliqda beshta ildizga ega.
Javob: 5.
3-misol. [-p oraliqda cos 2 x + sin x cos x = 1 tenglamaning ildizlari sonini toping; p].
Yechim:
1 = sin 2 x + cos 2 x (asosiy trigonometrik identifikatsiya) bo'lgani uchun dastlabki tenglama quyidagicha bo'ladi:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. Ko'paytma nolga teng, ya'ni omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak, shuning uchun:
sin x \u003d 0 yoki sin x - cos x \u003d 0.
Cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymati ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lmagani uchun (bir xil sonning sinusi va kosinasi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas), biz ikkinchi tenglamaning ikkala qismini ajratamiz. cos x bo'yicha tenglama:
sin x = 0 yoki sin x / cos x - 1 = 0.
Ikkinchi tenglamada biz tg x = sin x / cos x ekanligini ishlatamiz, keyin:
sin x = 0 yoki tg x = 1. Formulalar yordamida biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
x = pk yoki x = p/4 + pk, k butun son (k € Z).
Ildizlarning birinchi qatoridan [-p oraliqgacha; p] -p raqamlariga tegishli; 0; p. Ikkinchi qatordan: (p/4 – p) va p/4.
Shunday qilib, dastlabki tenglamaning beshta ildizi [-p oraliqda; p].
Javob: 5.
4-misol. [-p oraliqda tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3stgx + 4 = 0 tenglamaning ildizlari yig'indisini toping; 1.1p].
Yechim:
Keling, tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 va o'zgartirish kiriting.
tg x + stgx = a bo'lsin. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:
(tg x + stg x) 2 = a 2 . Qavslarni kengaytiramiz:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.
tg x stgx \u003d 1 bo'lgani uchun, keyin tg 2 x + 2 + stg 2 x \u003d a 2, ya'ni
tg 2 x + stg 2 x \u003d a 2 - 2.
Endi asl tenglama quyidagicha ko'rinadi:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Vyeta teoremasidan foydalanib, a = -1 yoki a = -2 ni olamiz.
Teskari almashtirishni amalga oshirsak, bizda:
tg x + ctgx = -1 yoki tg x + ctgx = -2. Olingan tenglamalarni yechamiz.
tgx + 1/tgx = -1 yoki tgx + 1/tgx = -2.
Ikki o'zaro o'zaro sonning xususiyatiga ko'ra, biz birinchi tenglamaning ildizlari yo'qligini aniqlaymiz va ikkinchi tenglamadan bizda:
tg x = -1, ya'ni. x = -p/4 + p k, k butun son (k ∈ Z).
Interval [-p; 1,1p] ildizlarga tegishli: -p/4; -p/4 + p. Ularning yig'indisi:
-p/4 + (-p/4 + p) = -p/2 + p = p/2.
Javob: p/2.
5-misol. [-p oraliqda sin 3x + sin x = sin 2x tenglama ildizlarining o'rtacha arifmetik qiymatini toping; 0,5p].
Yechim:
Biz sin a + sin b = 2sin ((a + b)/2) cos ((a - b)/2) formulasidan foydalanamiz, keyin
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x va tenglama shunday bo‘ladi.
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Qavslar ichidan sin 2x umumiy omilini chiqaramiz.
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Olingan tenglamani yechamiz:
sin 2x \u003d 0 yoki 2cos x - 1 \u003d 0; 
sin 2x = 0 yoki cos x = 1/2;
2x = pk yoki x = ±p/3 + 2pk, k butun son (k € Z).
Shunday qilib, bizda ildiz bor
x = pk/2, x = p/3 + 2pk, x = -p/3 + 2pk, k butun son (k € Z).
Interval [-p; 0,5p] -p ildizlarga tegishli; -p/2; 0; p/2 (ildizlarning birinchi seriyasidan); p/3 (ikkinchi seriyadan); -p/3 (uchinchi seriyadan). Ularning o'rtacha arifmetik qiymati:
(-p - p/2 + 0 + p/2 + p/3 - p/3)/6 = -p/6.
Javob: -p/6.
6-misol. [-1,25p oraliqda sin x + cos x = 0 tenglamaning ildizlari sonini toping; 2p].
Yechim:
Bu tenglama birinchi darajali bir jinsli tenglamadir. Uning ikkala qismini cosx ga bo'ling (cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymati bu tenglamaning ildizi emas, chunki bir xil sonning sinusi va kosinasi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas). Asl tenglama quyidagicha ko'rinadi:
x = -p/4 + p k, k butun son (k € Z).
Bo'shliq [-1,25p; 2p] ildizlari -p/4; (-p/4 + p); va (-p/4 + 2p).
Shunday qilib, tenglamaning uchta ildizi berilgan intervalga tegishli.
Javob: 3.
Eng muhim narsani qilishni o'rganing - muammoni hal qilish rejasini aniq taqdim eting, shunda har qanday trigonometrik tenglama sizning elkangizda bo'ladi.
Savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.
Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.Trigonometrik tenglamaning yechimi ikki bosqichdan iborat: tenglama transformatsiyasi oddiy olish uchun yozing (yuqoriga qarang) va yechimeng oddiy olingan trigonometrik tenglama. Yetti bor trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
1. Algebraik usul.
(o'zgaruvchan almashtirish va almashtirish usuli).
2. Faktorizatsiya.
O'RNAK 1. Tenglamani yeching: gunoh x+ cos x = 1 .
Yechish.Tenglamaning barcha shartlarini chapga siljiting:
Gunoh x+ cos x – 1 = 0 ,
Keling, ifodani o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz
Tenglamaning chap tomoni:
2-misol. Tenglamani yeching: cos 2 x+ gunoh x cos x = 1.
SOLUTION cos 2 x+ gunoh x cos x– gunoh 2 x- chunki 2 x = 0 ,
Gunoh x cos x– gunoh 2 x = 0 ,
Gunoh x(chunki x– gunoh x ) = 0 ,
Misol 3. Tenglamani yeching: chunki 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.
SOLUTION cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,
2 chunki 4 x chunki 2 x= 2 cos² 4 x ,
Cos 4 x · (chunki 2 x- cos 4 x) = 0 ,
Cos 4 x 2 gunoh 3 x gunoh x = 0 ,
1). chunki 4 x= 0 , 2). gunoh 3 x= 0 , 3). gunoh x = 0 ,
3. ga olib kelish yagona tenglama.Tenglama chaqirdi dan bir hil nisbatan gunoh Va cos , Agar hammasi nisbatan bir xil darajadagi shartlar gunoh Va cos bir xil burchak. Bir hil tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi: A) barcha a'zolarini chap tomonga siljitish; b) barcha umumiy omillarni qavs ichidan chiqaring; V) barcha omillar va qavslarni nolga tenglashtiring; G) nolga o'rnatilgan qavslar beradi ga bo'linishi kerak bo'lgan kichik darajadagi bir hil tenglama cos(yoki gunoh) oliy o'quv yurtlarida; d) ga nisbatan olingan algebraik tenglamani yechishsarg'ish . gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Yechim: 3sin 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 5 chunki 2 x= 2 gunoh 2 x+ 2 chunki 2 x , Gunoh 2 x+ 4 gunoh x cos x+ 3 chunki 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , bu yerdan y 2 + 4y +3 = 0 , Bu tenglamaning ildizlari:y 1 = - 1, y 2 = - 3, shuning uchun 1) sarg'ish x= –1, 2) sarg'ish x = –3, |
4. Yarim burchakka o'tish.
Keling, ushbu usulni misol bilan ko'rib chiqaylik:
MISOL Tenglamani yechish: 3 gunoh x- 5cos x = 7.
Yechimi: 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 gunoh² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 gunoh² ( x/ 2) - 6 gunoh ( x/ 2) chunki ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan²( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Yordamchi burchakning kiritilishi.
Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing:
a gunoh x + b cos x = c ,
Qayerda a, b, c- koeffitsientlar;x- noma'lum.
Endi tenglamaning koeffitsientlari sinus va kosinus xususiyatlariga ega, aynan: har birining moduli (mutlaq qiymat). shundan 1 tadan ko'p bo'lmagan va ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng. Keyin belgilash mumkin mos ravishda ularni Qanaqasiga cos va gunoh (bu erda - deb atalmish yordamchi burchak), Vabizning tenglamamiz
Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir
Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a
cos(x) = a tenglama
Tushuntirish va asoslash
- cosx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x \u003d a tenglama bu oraliqda faqat bitta ildizga ega, u yoy kosinusining ta'rifiga ko'ra: x 1 \u003d arccos a (va bu ildiz uchun cos x \u003d A).
Kosinus juft funksiya, shuning uchun [-n oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi son, ya'ni
x 2 = -arccos a.
Shunday qilib, [-n oraliqda; n] (uzunligi 2n) tenglama cos x = a | uchun a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2np (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz
x = ± arccos a + 2n, n £ Z.
- cosx = a tenglamani yechishning alohida holatlari.
Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgini eslab qolish foydalidir
a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, ularni qo'llanma sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.
Kosinus birlik aylanadagi mos nuqtaning abssissasiga teng bo‘lganligi sababli, birlik aylananing mos nuqtasi A yoki B nuqta bo‘lgandagina cos x = 0 ni olamiz.
Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik doiraning mos nuqtasi C nuqtasi bo'lsa, demak,
x = 2pp, k € Z.
Shuningdek, cos x \u003d -1, agar birlik doirasining mos keladigan nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x \u003d n + 2n,
tenglama sin(x) = a
Tushuntirish va asoslash
- Sinx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Eng oddiy trigonometrik tenglamalar odatda formulalar bilan yechiladi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, quyidagi trigonometrik tenglamalar eng oddiy deb ataladi:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x - topiladigan burchak,
a - har qanday raqam.
Va bu erda siz eng oddiy tenglamalarning echimlarini darhol yozishingiz mumkin bo'lgan formulalar mavjud.
Sinus uchun:
Kosinus uchun:
x = ± arccos a + 2p n, n ∈ Z
Tangens uchun:
x = arctg a + p n, n ∈ Z
Kotangent uchun:
x = arcctg a + p n, n ∈ Z
Aslida, bu eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echishning nazariy qismidir. Va, butun!) Hech narsa. Biroq, bu mavzu bo'yicha xatolar soni shunchaki o'tib ketadi. Ayniqsa, namunaning shablondan biroz og'ishi bilan. Nega?
Ha, chunki ko'p odamlar bu xatlarni yozadilar, ularning ma'nosini umuman tushunmasdan! Biror narsa qanday sodir bo'lishidan qat'i nazar, qo'rquv bilan yozadi ...) Bu bilan shug'ullanish kerak. Odamlar uchun trigonometriya yoki trigonometriya uchun odamlar!?)
Keling, buni aniqlaylikmi?
Bir burchak teng bo'ladi arccos a, ikkinchi: -arccos a.
Va bu har doim shunday ishlaydi. Har qanday uchun A.
Ishonmasangiz, sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki planshetdagi rasmga teging.) Men raqamni o'zgartirdim. A qandaydir salbiyga. Baribir, biz bir burchakka egamiz arccos a, ikkinchi: -arccos a.
Shuning uchun javob har doim ikkita ildiz qatori sifatida yozilishi mumkin:
x 1 = arccos a + 2p n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2p n, n ∈ Z
Biz ushbu ikkita seriyani birlashtiramiz:
x= ± arccos a + 2p n, n ∈ Z
Va hamma narsa. Kosinus bilan eng oddiy trigonometrik tenglamani yechishning umumiy formulasini oldik.
Agar bu qandaydir o'ta ilmiy donolik emasligini tushunsangiz, lekin faqat ikkita javob seriyasining qisqartirilgan yozuvi, siz va "C" vazifalari elkada bo'ladi. Tengsizliklar bilan, berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash bilan ... U erda ortiqcha / minus bilan javob aylanmaydi. Va agar siz javobga ishchan munosabatda bo'lsangiz va uni ikkita alohida javobga ajratsangiz, hamma narsa hal qilinadi.) Aslida, biz buni tushunamiz. Nima, qanday va qayerda.
Eng oddiy trigonometrik tenglamada
sinx = a
shuningdek, ikkita ildiz seriyasini oling. Har doim. Va bu ikki seriyani ham yozib olish mumkin bir qator. Faqat bu chiziq aqlliroq bo'ladi:
x = (-1) n arcsin a + p n, n ∈ Z
Ammo mohiyati bir xil bo'lib qolmoqda. Matematiklar ildizlar qatorining ikkita yozuvini o'rniga bittasini yaratish uchun oddiygina formulani tuzdilar. Va tamom!
Keling, matematiklarni tekshiramizmi? Va bu etarli emas ...)
Oldingi darsda sinusli trigonometrik tenglamaning yechimi (formulalarsiz) batafsil tahlil qilindi:
Javob ikkita ildiz qatori bo'lib chiqdi:
x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z
x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z
Agar biz bir xil tenglamani formuladan foydalanib yechsak, javobni olamiz:
x = (-1) n arksin 0,5 + p n, n ∈ Z
Aslida, bu yarim tayyor javob.) Talaba buni bilishi kerak arcsin 0,5 = p /6. To'liq javob quyidagicha bo'ladi:
x = (-1) n p /6+ pn, n ∈ Z
Bu erda qiziqarli savol tug'iladi. orqali javob bering x 1; x 2 (bu to'g'ri javob!) va yolg'iz orqali X (va bu to'g'ri javob!) - xuddi shu narsa yoki yo'qmi? Keling, hozir bilib olaylik.)
Javobda bilan almashtiring x 1 qiymatlar n =0; 1; 2; va hokazo, biz bir qator ildizlarni olamiz deb hisoblaymiz:
x 1 \u003d p / 6; 13p/6; 25p/6 va hokazo.
Bunga javoban bir xil almashtirish bilan x 2 , biz olamiz:
x 2 \u003d 5p / 6; 17p/6; 29p/6 va hokazo.
Va endi biz qiymatlarni almashtiramiz n (0; 1; 2; 3; 4...) yolg'izlik uchun umumiy formulaga X . Ya'ni, biz minus birni nol kuchga, keyin birinchi, ikkinchi va hokazolarga ko'taramiz. Va, albatta, biz ikkinchi muddatga 0 ni almashtiramiz; 1; 2 3; 4 va boshqalar. Va biz o'ylaymiz. Biz seriyani olamiz:
x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 va hokazo.
Buni ko'rishingiz mumkin.) Umumiy formula bizga beradi aynan bir xil natijalar qaysi ikkita javob alohida. Hammasi bir vaqtning o'zida, tartibda. Matematiklar aldanmagan.)
Tangens va kotangens bilan trigonometrik tenglamalarni yechish formulalari ham tekshirilishi mumkin. Lekin qilaylik.) Ular juda oddiy.
Men bu almashtirish va tekshirishning barchasini ataylab bo'yab qo'ydim. Bu erda bitta oddiy narsani tushunish muhimdir: elementar trigonometrik tenglamalarni yechish uchun formulalar mavjud, faqat javoblarning qisqacha mazmuni. Bu qisqalik uchun men kosinus eritmasiga plyus/minus va sinus eritmasiga (-1) n ni kiritishim kerak edi.
Ushbu qo'shimchalar oddiy tenglamaning javobini yozishingiz kerak bo'lgan vazifalarga hech qanday aralashmaydi. Ammo agar siz tengsizlikni hal qilishingiz kerak bo'lsa yoki javob bilan biror narsa qilishingiz kerak bo'lsa: intervalda ildizlarni tanlang, ODZni tekshiring va hokazo, bu qo'shimchalar odamni osongina bezovta qilishi mumkin.
Va nima qilish kerak? Ha, javobni ikki qatorga bo'yang yoki tenglama / tengsizlikni trigonometrik doirada yeching. Keyin bu qo'shimchalar yo'qoladi va hayot osonlashadi.)
Siz xulosa qilishingiz mumkin.
Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun tayyor javob formulalari mavjud. To'rt bo'lak. Ular tenglamaning yechimini darhol yozish uchun yaxshi. Masalan, siz tenglamalarni echishingiz kerak:
sinx = 0,3
Osonlik bilan: x = (-1) n arksin 0,3 + p n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Muammosiz: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Osonlik bilan: x = arctg 1,2 + pn, n ∈ Z
ctgx = 3.7
Biri qoldi: x= arcctg3,7 + pn, n ∈ Z
cos x = 1,8
Agar siz bilim bilan porlayotgan bo'lsangiz, darhol javob yozing:
x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ∈ Z
keyin siz allaqachon porlayapsiz, bu ... bu ... ko'lmakdan.) To'g'ri javob: yechimlar yo'q. Nima uchun tushunmayapsizmi? Arkkosin nima ekanligini o'qing. Bundan tashqari, agar asl tenglamaning o'ng tomonida sinus, kosinus, tangens, kotangensning jadval qiymatlari mavjud bo'lsa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 va h.k. - kamon orqali javob tugallanmagan bo'ladi. Arklar radianga aylantirilishi kerak.
Va agar siz allaqachon tengsizlikka duch kelsangiz, kabi
keyin javob:
x pn, n ∈ Z
noyob bema'nilik bor, ha ...) Bu erda trigonometrik doira haqida qaror qabul qilish kerak. Tegishli mavzuda nima qilamiz.
Ushbu satrlarni qahramonona o'qiganlar uchun. Men sizning titanik harakatlaringizni qadrlamasdan ilojim yo'q. sizga bonus.)
Bonus:
Xavotirli jangovar vaziyatda formulalarni yozishda, hatto qotib qolgan ahmoqlar ham qayerda dovdirab qolishadi pn, qayerda 2p. Mana siz uchun oddiy hiyla. In hammasi formulalar pn. Ark kosinusli yagona formuladan tashqari. U yerda turibdi 2p. Ikki pien. Kalit so'z - ikki. Xuddi shu yagona formulada ikki boshida belgilang. Plyus va minus. Bu yerda va u yerda - ikki.
Shunday qilib, agar siz yozsangiz ikki yoy kosinasi oldida belgi qo'ying, oxirida nima bo'lishini eslab qolish osonroq ikki pien. Va aksincha sodir bo'ladi. Erkak belgisini o'tkazib yuboring ± , oxirigacha boring, to'g'ri yozing ikki pien, ha, va uni qo'lga. Biror narsadan oldin ikki imzo! Inson boshidan qaytadi, lekin xatosini tuzatadi! Mana bunday.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
