Вероятността е по-голяма или по-голяма. Теория на вероятностите
В икономиката, както и в други области на човешката дейност или в природата, човек постоянно трябва да се справя със събития, които не могат да бъдат точно предвидени. И така, обемът на продажбите на даден продукт зависи от търсенето, което може да варира значително и от редица други фактори, които е почти невъзможно да бъдат взети под внимание. Следователно, когато организирате производство и продажби, човек трябва да предвиди резултата от подобна дейност въз основа или на собствения предишен опит, или на подобен опит на други хора, или на интуицията, която също много разчита на експериментални данни.
За да се оцени по някакъв начин въпросното събитие, е необходимо да се вземат предвид или конкретно да се организират условията, при които е записано това събитие.
Призовава се изпълнението на определени условия или действия за идентифициране на въпросното събитие опит или експериментът.
Събитие призовано на случаен принципако в резултат на опит може да се появи или да не настъпи.
Събитие призовано надежденако тя задължително се появи в резултат на този опит, и невъзможноако не може да се появи в този опит.
Например снеговалежът в Москва на 30 ноември е случайно събитие. Ежедневният изгрев може да се счита за надеждно събитие. Снеговалежът на екватора може да се счита за невъзможно събитие.
Една от основните задачи в теорията на вероятностите е задачата да определи количествена мярка за възможността за възникване на събитие.
Алгебра на събитието
Събитията се наричат \u200b\u200bнесъвместими, ако заедно не могат да бъдат наблюдавани в един и същ експеримент. И така, наличието на две и три коли в един магазин за продажба едновременно - това са две несъвместими събития.
сума събитие е събитие, състоящо се в появата на поне едно от тези събития
Пример за сбора от събития е присъствието в магазина на поне един от два продукта.
Работата събитие се нарича събитие, което се състои в едновременното появяване на всички тези събития
Събитие, състоящо се в появата на две стоки едновременно в магазин, е продукт на събития: - появата на един продукт, - появата на друг продукт.
Събитията образуват пълна група събития, ако поне едно от тях задължително се случва в опит.
Пример. Пристанището разполага с два места за приемане на кораби. Могат да се разгледат три събития: - отсъствие на плавателни съдове на леглата, - присъствие на един съд на един от леглата, - наличие на два плавателни съда на две места за причалване. Тези три събития формират пълна група събития.
противоположно наречени двете възможни събития, образуващи цялостна група.
Ако едно от събитията, които са противоположни, се обозначава с, тогава обратното събитие обикновено се обозначава с.
Класически и статистически дефиниции на вероятността от събитие
Всеки от еднакво възможните резултати от тестовете (експерименти) се нарича елементарен резултат. Те обикновено се означават с букви. Например, хвърля се зарче. Може да има шест елементарни резултата по отношение на броя точки на лицата.
От елементарните резултати може да се направи по-сложно събитие. И така, случайът на загуба на четен брой точки се определя от три резултата: 2, 4, 6.
Количествена мярка за възможността за възникване на въпросното събитие е вероятността.
Най-широко разпространени са две дефиниции за вероятността от събитие: класически и статистически.
Класическото определение на вероятността се свързва с концепцията за благоприятен изход.
Резултатът се нарича облагодетелстване дадено събитие, ако появата му води до началото на това събитие.
В дадения пример въпросното събитие - равен брой точки на отпадащия ръб, има три благоприятни резултата. В случая генералът
броя на възможните резултати. И така, тук можете да използвате класическото определение на вероятността от събитие.
Класическа дефинициясе равнява на съотношението на броя на благоприятните резултати към общия брой възможни резултати
където е вероятността за събитието, броят на благоприятните за събитието резултати, е общият брой на възможните резултати.
В разглеждания пример
Статистическото определение на вероятността се свързва с концепцията за относителната честота на възникване на събитие в експериментите.
Относителната честота на настъпване на събитието се изчислява по формулата
къде е броят на появата на събитието в серия от експерименти (тестове).
Статистическо определение, Вероятността за събитие е числото, спрямо което относителната честота се стабилизира (определя) с неограничено увеличение на броя на експериментите.
При практически проблеми вероятността от събитие се приема като относителна честота с достатъчно голям брой тестове.
От тези дефиниции на вероятността от дадено събитие става ясно, че неравенството
За да се определи вероятността от събитие въз основа на формула (1.1), често се използват формули за комбинаторика, чрез които се откриват броят на благоприятните резултати и общият брой на възможните резултати.
Кратка теория
За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното настъпване се въвежда числова мярка, която се нарича вероятност от събитието. Вероятност за случайно събитие наречено число, което е израз на мярка за обективната възможност за възникване на събитие.
Стойностите, които определят колко значителни обективни основания да очакваме дадено събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективно количество, което съществува независимо от този, който знае и се определя от съвкупността от условия, които допринасят за появата на събитие.
Обясненията, които дадохме на понятието вероятност, не са математическо определение, тъй като те не оценяват количествено това понятие. Има няколко определения на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаването на конкретни проблеми (класически, аксиоматични, статистически и др.).
Определение на вероятността за класическо събитие свежда тази концепция до по-елементарна концепция за еднакво възможни събития, която вече не подлежи на дефиниция и се предполага, че е интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенно кубче, изпадането от някое от лицата на това кубче ще бъде еднакво възможно събитие.
Нека едно надеждно събитие попадне в еднакво възможни случаи, чиято сума дава събитието. Тоест случаите, от които се разпада, се наричат \u200b\u200bблагоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява обида.
Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символ.
Вероятността за събитие е равна на съотношението на броя на благоприятните за него случаи, от общия брой на единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи към числото, т.е.
Това е класическото определение на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността от събитие, е необходимо, като се разгледат различните резултати от теста, да се намери съвкупността от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли техният общ брой n, броят на случаите m, благоприятен за това събитие, и след това да се извърши изчислението съгласно горната формула.
Вероятността за събитие, равна на съотношението на броя на благоприятните за събитията резултати от опита и общия брой резултати от опита, се нарича класическа вероятност случайно събитие.
Следните свойства на вероятността произтичат от определението:
Свойство 1. Вероятността за надеждно събитие е една.
Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число, заключено между нула и единица.
Свойство 4. Вероятността за настъпване на събития, образуващи пълна група, е равна на единица.
Свойство 5. Вероятността за настъпване на обратното събитие се определя по същия начин като вероятността от настъпване на събитие А.
Броят на случаите, благоприятстващи настъпването на обратното събитие. Следователно вероятността от настъпване на противоположното събитие е равна на разликата между единицата и вероятността от настъпване на събитие А:
Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността за дадено събитие е, че с негова помощ вероятността на събитие може да бъде определена, без да се прибягва до опит, но въз основа на логически разсъждения.
Когато се изпълнят набор от условия, определено ще се случи надеждно събитие, но невъзможното няма да се случи. Сред събитията, които при създаването на комплекс от условия могат да се появят или не могат да се появят, появата на някои може да се очаква с по-голяма обосновка, появата на други с по-малко обосновка. Ако например в урната има повече бели топки, отколкото черни, тогава има повече причини да се надяваме, че бялата топка ще се появи, когато топката е извадена от урната, отколкото за черна топка.
Пример за решаване на проблеми
Пример 1
В кутията има 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. Случайно извлечени 3 топки. Намерете вероятностите от следните събития: - извлича се поне 1 червена топка, - има поне 2 топки от същия цвят, - има поне 1 червена топка и 1 бяла топка.
Решаване на проблеми
Откриваме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8 + 4 + 7) елемента от 3:
Намерете вероятността от събитието - извлича се най-малко 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)
Търсена вероятност:
Нека събитието - има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)
Брой резултати, благоприятни за събитието:
Търсена вероятност:
Нека събитието - има поне една червена и 1 бяла топка
(1 червен, 1 бял, 1 черен или 1 червен, 2 бял или 2 червен, 1 бял)
Брой резултати, благоприятни за събитието:
Търсена вероятност:
Отговорът е:P (A) \u003d 0.773; P (C) \u003d 0.7688; P (D) \u003d 0,6068
Пример 2
Хвърлят се две зарчета. Намерете вероятността общият резултат да е поне 5.
решение
Нека събитието е сбор от точки не по-малко от 5
Използваме класическото определение на вероятността:
Общ брой възможни резултати от теста
Броят на изпитанията, благоприятни за събитието, което ни интересува
Една точка, две точки ..., шест точки могат да се появят върху изпуснатия ръб на първите зарчета. По същия начин са възможни шест резултата при хвърляне на втори мач. Всеки от резултатите от хвърлянето на първата кост може да се комбинира с всеки от резултатите на втората. По този начин, общият брой на възможните елементарни резултати от теста е равен на броя на разположенията с повторения (подбор с разположения на 2 елемента от общия обем от 6):
Намерете вероятността за обратното събитие - общият резултат е по-малък от 5
Събитието ще бъде улеснено от следната комбинация от точки:
| № | 1-ва кост | 2-ра кост | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Представено е геометрично определение на вероятността и се дава решение на добре познатия проблем на срещата.
- Вероятността е степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на определено събитие. Когато основанията за всяко възможно събитие да се случи в действителност надвишават противоположните основания, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай то е малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и неправдоподобността) е по-голяма или по-малка. Следователно често вероятността се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни градации на „нива“ на вероятност.
Изучаването на вероятността от математическа гледна точка е специална дисциплина - теория на вероятността. В теорията на вероятностите и математическата статистика понятието вероятност се формализира като числова характеристика на дадено събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества на множеството от елементарни събития), като се вземат стойности от
(\\ displaystyle 0)
(\\ displaystyle 1)
стойност
(\\ displaystyle 1)
Съответства на надеждно събитие. Невъзможно събитие има вероятност 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността от събитие е
(\\ displaystyle p)
Тогава вероятността за неговото появяване е равна на
(\\ displaystyle 1-p)
По-специално вероятността
(\\ displaystyle 1/2)
Указва еднаква вероятност за възникване и несъществуване на събитие.
Класическото определение на вероятността се основава на концепцията за резултатите от равни възможности. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на еднакво възможните резултати. Например вероятността от падане на орлов орел или реш опашки в случай на случайно обръщане на монета е 1/2, ако се приеме, че има само тези две възможности и те са еднакво възможни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да бъде обобщена в случай на безкраен брой възможни стойности - например, ако някое събитие може да се случи с еднаква вероятност във всеки момент (броят точки е безкраен) в някаква ограничена област от пространството (равнина), тогава вероятността това да се случи в някои част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки.
Емпиричното „определение“ на вероятността се свързва с честотата на възникване на събитие, изхождайки от факта, че при достатъчно голям брой тестове, честотата трябва да има тенденция към обективна степен на вероятност от това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятността вероятността се определя аксиоматично, като специален случай на абстрактната теория за измерване на множеството. Независимо от това, връзката между абстрактната мярка и вероятността, изразяваща степента на възможността за възникване на дадено събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятно описание на определени явления е станало широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминирано описание на движението на частиците детерминираното описание на цялата система от частици не изглежда практически възможно и целесъобразно. В квантовата физика самите процеси са с вероятностен характер.
Теория на вероятностите - Математическа наука, която изучава законите на случайните явления. Под случайни събития се разбира събития с несигурен резултат, които се случват по време на многократното възпроизвеждане на определен набор от условия.
Например, когато хвърляте монета, не можете да предвидите на коя страна ще падне. Резултатът от хвърляне на монета е случаен. Но при достатъчно голям брой хвърляне на монети има определена закономерност (емблемата и решетката ще изпаднат приблизително еднакъв брой пъти).
Основни понятия на теорията на вероятностите
Тестване (опит, експеримент) - прилагането на определен специфичен набор от условия, при които се наблюдава определено явление, се записва един или друг резултат.
Например: хвърляне на зар с загуба на броя точки; разлика в температурата на въздуха; метод за лечение на заболяване; някакъв период от човешкия живот.
Случайно събитие (или просто събитие) - резултатът от теста.
Примери за случайни събития:
загуба на една точка при хвърляне на зар;
обостряне на коронарна болест на сърцето с рязко повишаване на температурата на въздуха през лятото;
развитието на усложнения на заболяването с грешен избор на метод на лечение;
прием в гимназия с успешно обучение в училище.
Събитията са обозначени с главни букви на латинския алфа-вит: А , B , C , …
Събитие призовано надежден ако в резултат на теста той задължително трябва да се случи.
Събитие призовано невъзможно ако в резултат на теста той изобщо не може да се появи.
Например, ако в една партида всички продукти са стандартни, тогава извличането на стандартен продукт от него е надеждно събитие, а извличането при същите условия на дефектен продукт е невъзможно събитие.
КЛАСИЧНО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ИМОТНОСТТА
Вероятността е едно от основните понятия на теорията на вероятностите.
Класическа вероятност за събитие 
нарича се съотношението на броя на случаите, благоприятни за събитието 
към общия брой случаи, т.е.
, (5.1)
където 
- вероятност за събитие 
,
- броят на благоприятните за събитието случаи 
,
- общ брой случаи.
Свойства на вероятността за събитие
Вероятността за всяко събитие е между нула и едно, т.е.
Вероятността за надеждно събитие е единство, т.е.
.
Вероятността за невъзможно събитие е нула, т.е.
.
(Предлагайте да решите няколко прости проблема устно).
СТАТИСТИЧЕСКО ОПРЕДЕЛЯНЕ НА ИМОТНОСТТА
На практика, често когато се оценява вероятността от събития, те се основават на това колко често това събитие ще се появи в проведените тестове. В този случай се използва статистическо определение на вероятността.
Статистическа вероятност за събитие 
границата на относителната честота (съотношението на броя на случаите m благоприятна за настъпването на събитието 
до общото 
извършени тестове), когато броят на тестовете клони към безкрайност, т.е.
където 
- статистическа вероятност за събитието 
,
- броя на изпитанията, в които е настъпило събитието 
,
- общ брой тестове.
За разлика от класическата вероятност, статистическата вероятност е характеристика на опитен. Класическата вероятност се използва за теоретично изчисляване на вероятността на събитие при определени условия и не изисква тестовете да се извършват в реалност. Формулата за статистическа вероятност се използва за експериментално определяне на вероятността на събитие, т.е. предполага се, че тестовете действително са били извършени.
Статистическата вероятност е приблизително равна на относителната честота на случайно събитие, следователно на практика относителната честота се приема като статистическа вероятност, тъй като статистическа вероятност е практически невъзможно да се намери.
Статистическото определение на вероятността е приложимо за случайни събития, които имат следните свойства:
Теореми за добавяне и вероятност за вероятност
Основни понятия
а) Единствените възможни събития
събития 
наречен единственият възможен, ако в резултат на всеки тест вероятно най-малко един от тях ще дойде.
Тези събития формират пълна група събития.
Например, когато хвърляте зар, единствените възможни събития са загубата на лица с една, две, три, четири, пет и шест точки. Те формират цялостна група събития.
б) Събитията се наричат \u200b\u200bнесъвместимиако появата на едно от тях изключва появата на други събития в същия тест. В противен случай те се наричат \u200b\u200bсъвместни.
в) срещуположно извикайте двете възможни събития, които формират пълна група. представляват 
и 
.
г) Събитията се наричат \u200b\u200bнезависимиако вероятността от настъпване на един от тях не зависи от комисионната или некомисия на други.
Действия на събитието
Сумата от няколко събития е събитие, състоящо се в появата на поне едно от тези събития.
ако 
и 
- съвместни събития, след това тяхната сума 
или 
показва настъпването или на събитие A, или на събитие B, или на двете събития заедно.
ако 
и 
- несъвместими събития, след това тяхната сума 
означава обида или събития 
или събития 
.
на стойност 
събитията показват: 
Продуктът (пресечната точка) на няколко събития е събитието, което се състои в съвместното настъпване на всички тези събития.
Продуктът на две събития означават 
или 
.
продукт 
събития означават 
Теоремата за добавяне на вероятност за несъвместими събития
Вероятността за сумата от две или повече несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:
За две събития;
- за 
събития.
Последиците:
а) Сумата от вероятностите за противоположни събития 
и 
равно на едно:
Вероятността за обратното събитие означава 
:
.
б) Сумата от вероятностите 
събития, образуващи цялостна група събития, е равна на едно: или 
.
Теоремата за добавяне на вероятност за съвместни събития
Вероятността на сумата от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятностите за тяхното пресичане, т.е.
Теорема за умножение на вероятностите
а) За две независими събития:
б) За две зависими събития
където 
- условна вероятност за събитие 
, т.е. вероятност за събитие 
изчислено при условие, че събитието 
Това се случи.
в) За 
независими събития:
.
г) Вероятността за настъпване на поне едно от събитията 
формиране на цялостна група от независими събития:
Условна вероятност
Вероятност за събитие 
изчислява се при условие, че е настъпило събитие 
се нарича условната вероятност на събитието 
и е определен 
или 
.
При изчисляване на условната вероятност, използвайки класическата формула на вероятността, броят на резултатите 
и 
изчислено, като се вземе предвид, че преди събитието 
случи се събитие 
.
Класическо и статистическо определение на вероятността
За практическите дейности е необходимо да може да се сравняват събитията според степента на възможността за тяхното възникване. Помислете за класическия случай. В урната има 10 топки, 8 от тях са бели, 2 черни. Очевидно е, че събитието „бяла топка ще бъде премахната от урната“, а събитието „черна топка ще бъде отстранено от урната“ имат различна степен на вероятност от тяхното възникване. Следователно, за да се сравнят събитията, е необходима определена количествена мярка.
Количествена мярка за възможността за възникване на събитие е вероятност , Най-широко използвани са две дефиниции за вероятността от дадено събитие: класическо и статистическо.
Класическа дефиниция вероятността е свързана с концепцията за благоприятен изход. Нека се спрем на това по-подробно.
Нека резултатите от определен тест формират пълна група събития и са еднакво възможни, т.е. единственото възможно, несъвместимо и еднакво възможно. Такива резултати се наричат елементарни резултатиили случаи, В същото време те казват, че тестът се свежда до модел на случая или " урната"Тъй всяка вероятностна задача за такъв тест може да бъде заменена с еквивалентна задача с урни и топки от различни цветове.
Резултатът се нарича облагодетелстване събитие Аако възникването на това събитие води до настъпване на събитие А.
Според класическото определение вероятност за събитие И тя е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой резултати, т.е.
| , | (1.1) |
където P (A) - вероятност за събитие А; m - броят на благоприятните за събитието случаи А; п - общ брой случаи.
Пример 1.1. При хвърляне на зарове са възможни шест резултата - загуба на 1, 2, 3, 4, 5, 6 точки. Каква е вероятността за равен брой точки?
Решение. всички п \u003d 6 резултата формират пълна група събития и са еднакво възможни, т.е. единственото възможно, несъвместимо и еднакво възможно. Събитие А - „появата на четен брой точки“ - се предпочита от 3 резултата (случаи) - загуба от 2, 4 или 6 точки. По класическата формула за вероятността на събитие получаваме
P (A) = = . ◄
Въз основа на класическото определение на вероятността на събитие, ние отбелязваме неговите свойства:
1. Вероятността за всяко събитие е между нула и едно, т.е.
0 ≤ P(А) ≤ 1.
2. Вероятността за надеждно събитие е една.
3. Вероятността за невъзможно събитие е нула.
Както бе споменато по-рано, класическото определение на вероятността е приложимо само за онези събития, които могат да се появят в резултат на опити със симетрия на възможните резултати, т.е. свежда се до модела на случаите. Съществува обаче голям клас събития, чиито вероятности не могат да бъдат изчислени, използвайки класическото определение.
Например, ако приемем, че монетата е сплескана, тогава е очевидно, че събитията „появата на герба“ и „появата на опашки“ не могат да се считат за еднакво възможни. Следователно формулата за определяне на вероятността по класическата схема в този случай не е приложима.
Съществува обаче и друг подход за оценка на вероятността от събития, базиран на това колко често това събитие ще се появи при извършените тестове. В този случай се използва статистическо определяне на вероятността.
Статистическа вероятност Събитие А е относителната честота (честота) на настъпване на това събитие в n проведени теста, т.е.
 ,
| (1.2) |
където P * (A) - статистическа вероятност за събитието А; w (A) - относителна честота на събитието А; m - броя на изпитанията, в които е настъпило събитието А; п - общ брой тестове.
За разлика от математическата вероятност P (A)разглеждани в класическото определение, статистическа вероятност P * (A) е характеристика експериментален, експериментален, С други думи, статистическата вероятност за дадено събитие А нарича се числото, спрямо което относителната честота се стабилизира (определя) w (A) с неограничено увеличение на броя на тестовете, проведени при същия набор от условия.
Например, когато казват за стрела, че той уцелва целта с вероятност 0.95, това означава, че от сто изстрела, изстреляни от него при определени условия (една и съща цел на същото разстояние, същата пушка и т.н. .), средно има около 95 успешни. Естествено, не на всеки сто ще има 95 успешни изстрела, понякога ще има по-малко, понякога повече, но средно, при многократно повторение на стрелба при същите условия, този процент попадения ще остане непроменен. Числото 0.95, което служи като индикатор за уменията на стрелеца, обикновено е много стабилен, т.е. процентът на ударите при повечето стрелби ще бъде почти еднакъв за даден стрелец, само в редки случаи се отклонява значително от средната му стойност.
Друг недостатък на класическото определение на вероятността ( 1.1 ), което ограничава неговото използване, е че предполага ограничен брой възможни резултати от теста. В някои случаи този недостатък може да бъде преодолян с помощта на геометрично определение на вероятността, т.е. намиране на вероятността точка да попадне в определена област (сегмент, част от равнина и т.н.).
Нека плоска фигура г представлява част от плоска фигура G (Фиг. 1.1). На фигурата G на случаен принцип се втурва към точката. Това означава, че всички точки в района G „Равен“ по отношение на удрянето на хвърлена случайна точка върху него. Ако приемем вероятността от събитие А - удари хвърлената точка върху фигурата г - е пропорционална на площта на тази фигура и не зависи от нейното местоположение спрямо Gнито форма гнамираме
