• Koji su različiti stilovi glazbe?
• Neobične novogodišnje predstave za cijelu obitelj
• Elementi antike u mladim armenskim prezimenima Armenska prezimena koja završavaju na c
• Biografija Leonarda da Vincija
• Ulaznice za božićna drvca
• Vegas Show: nova emisija “Asta La Vista!
• Cirkuški kolektiv "Baronets Royal circus gii eradze ulaznice
• Je li Nasyrov bio solist u studiju
• Sin Taisije Povaliy: što se zna o pjevačici - sinu zvijezde majke
• Justin Timberlake - biografija i osobni život Justin Timberlake biografija osobni život

Prednost online generatora kockica u odnosu na obične kockice je očita – nikada se neće izgubiti! Virtualna kocka puno će se bolje nositi sa svojim funkcijama od prave - manipulacija rezultatima potpuno je isključena i ostaje se nadati šansi Njegovog Veličanstva. Online kockice su, između ostalog, odlična zabava u slobodno vrijeme. Generiranje rezultata traje tri sekunde, podgrijavajući uzbuđenje i zanimanje igrača. Da biste simulirali bacanje kockica, samo trebate pritisnuti tipku "1" na tipkovnici, što vam omogućuje da ne budete ometani, na primjer, od uzbudljive društvene igre.

Broj kockica:

Molimo pomozite usluzi jednim klikom: Reci svojim prijateljima o generatoru!

Kada čujemo frazu kao što je "Kocka", odmah dolazi do udruženja kockarnica, gdje jednostavno ne mogu bez njih. Za početak, prisjetimo se samo malo što je ovaj objekt.

Kocke su kocke, na čijoj su strani točkicama prikazani brojevi od 1 do 6. Kada ih bacamo, uvijek smo u nadi da će ispasti broj koji smo planirali i željeli. Ali postoje slučajevi kada kocka, koja pada na rub, ne pokazuje broj. To znači da onaj tko je tako bacio može izabrati bilo koga.

Također se događa da se kocka može otkotrljati ispod kreveta ili ormara, a kada se odatle izvadi, broj se u skladu s tim mijenja. U tom slučaju kost se ponovno baca tako da svi mogu jasno vidjeti broj.

Online kockice bacite u 1 klik

U igri s običnim kockicama vrlo je lako prevariti. Da biste dobili željeni broj, ovu stranu kocke trebate staviti na vrh i uvrnuti je tako da ostane ista (okreće se samo bočni dio). Ovo je nepotpuno jamstvo, ali postotak dobitka bit će sedamdeset pet posto.

Ako koristite dvije kocke, onda se šanse smanjuju na trideset, ali to nije mali postotak. Zbog prijevare, mnoge kampanje igrača ne vole koristiti kockice.

Doista, naša divna usluga radi upravo na izbjegavanju takvih situacija. S nama će biti nemoguće varati jer se online bacanje kockica ne može lažirati. Broj od 1 do 6 će ispasti na stranici na potpuno nasumičan i nekontroliran način.

Zgodan generator kockica

Vrlo velika prednost je što se online generator kockica ne može izgubiti (što više, može se označiti), a obična mala kockica se lako može negdje izgubiti. Također, veliki plus bit će činjenica da je manipulacija rezultatima potpuno isključena. Generator ima funkciju koja vam omogućuje da odaberete jednu do tri kockice za bacanje u isto vrijeme.

Online generator kockica je vrlo zanimljiva zabava, jedan od načina za razvoj intuicije. Koristite našu uslugu i ostvarite trenutne i pouzdane rezultate.

4,8 od 5 (ocjene: 116)

Napisao dizajner Tyler Sigman na Gamasutri. Rado ga nazivam člankom o "dlakama u nosnicama orka", ali prilično dobro radi u postavljanju osnova vjerojatnosti u igrama.

Ovotjedna tema

Do danas je gotovo sve o čemu smo pričali bilo determinističko, a prošli tjedan smo pomno pogledali tranzitivnu mehaniku i razvrstali je s onoliko detalja koliko je mogu objasniti. Ali do sada nismo obraćali pozornost na veliki aspekt mnogih igara, odnosno nedeterministički aspekt, drugim riječima, slučajnost. Razumijevanje prirode slučajnosti vrlo je važno za dizajnere igara jer stvaramo sustave koji utječu na igračevo iskustvo u datoj igri, pa moramo znati kako ti sustavi rade. Ako u sustavu postoji slučajnost, morate razumjeti priroda ovu slučajnost i kako je promijeniti da bismo dobili rezultate koji su nam potrebni.

Kocke

Počnimo s nečim jednostavnim: bacanjem kocke. Kada većina ljudi pomisli na kocku, pomisli na kocku sa šest strana poznata kao d6. Ali većina igrača je vidjela mnoge druge kockice: tetraedarske (d4), oktaedarske (d8), dvanaest (d12), dvadeset (d20) ... i ako stvaran geek, možda negdje imaš kosti s 30 ili 100 strana. Ako niste upoznati s ovom terminologijom, "d" znači kockica, a broj iza nje, koliko ima lica. Ako ispred"D" označava broj, znači broj kocka kada se baci. Na primjer, u Monopolu bacate 2d6.

Dakle, u ovom slučaju izraz "kocka" je konvencionalna oznaka. Postoje mnogi drugi generatori slučajnih brojeva koji nisu u obliku plastične grude, ali obavljaju istu funkciju generiranja slučajnog broja od 1 do n. Običan novčić se također može smatrati d2 diedralom. Vidio sam dva dizajna sedmostrane kocke: jedan je izgledao kao kocka, a drugi je više ličio na drvenu olovku sa sedam strana. Tetraedarski dreidel (također poznat kao titotum) analogan je tetraedarskoj kosti. Polje za igru ​​sa strelicom koja se vrti u igri "Chutes & Ladders", gdje rezultat može biti od 1 do 6, odgovara heksagonalnoj kocki. Generator slučajnih brojeva u računalu može stvoriti bilo koji broj od 1 do 19 ako dizajner zatraži takvu naredbu, iako računalo nema kocku s 19 strana (općenito ću detaljnije govoriti o vjerojatnosti dobivanja brojeva na računalu u Sljedeći tjedan). Iako sve ove stavke izgledaju drugačije, one su zapravo iste: imate jednake šanse za postizanje jednog od nekoliko ishoda.

Kockice imaju neka zanimljiva svojstva o kojima moramo znati. Prvo, vjerojatnost da će bilo koje lice ispasti je ista (pretpostavljam da bacate ispravnu kocku, a ne nepravilan geometrijski oblik). Dakle, ako želite znati znači baci (također poznat među onima koji vole temu vjerojatnosti kao "matematički očekivani"), zbrojite vrijednosti svih bridova i podijelite taj zbroj s broj lica. Prosječno bacanje standardne šesterostrane kocke je 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, podijelite s brojem rubova (6) da biste dobili prosjek 21/6 = 3,5. Ovo je poseban slučaj jer pretpostavljamo da su svi ishodi jednako vjerojatni.

Što ako imate posebne kockice? Na primjer, vidio sam igru ​​sa šesterokutnom kockom s posebnim naljepnicama na rubovima: 1, 1, 1, 2, 2, 3, pa se ponaša kao čudna trokutasta kocka s većom šansom da dobije broj 1 nego 2, i 2 od 3. Koja je prosječna vrijednost bacanja za ovu kockicu? Dakle, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, podijelite sa 6, jednako je 5/3 ili oko 1,66. Dakle, ako imate tako posebnu kockicu i igrači će baciti tri kockice i zatim zbrojiti rezultate, znate da će njihov približni zbroj biti oko 5, i možete uravnotežiti igru ​​na temelju ove pretpostavke.

Kocka i neovisnost

Kao što sam rekao, polazimo od pretpostavke da će svako lice jednako vjerojatno ispasti. Nije važno koliko kockica bacite. Svako bacanje kocke što god, to znači da prethodna bacanja ne utječu na rezultate sljedećih. Uz dovoljno pokušaja, morate obavijest“Serija” brojeva, poput ispadanja uglavnom većih ili manjih vrijednosti ili drugih značajki, o čemu ćemo kasnije, ali to ne znači da su kockice “vruće” ili “hladne”. Ako bacite standardni šesterostrani kockicu i broj 6 se pojavi dva puta zaredom, vjerojatnost da će sljedeće bacanje rezultirati 6 je također 1/6. Vjerojatnost se ne povećava činjenicom da je kocka "zagrijana". Vjerojatnost se ne smanjuje, jer je broj 6 već dva puta zaredom ispao, što znači da će sada ispasti još jedno lice. (Naravno, ako bacite kocku dvadeset puta i svaki put kada se pojavi broj 6, šanse da dvadeset i prvi put dobijete broj 6 su prilično velike... jer možda to znači da imate pogrešnu kocku!) Ali ako imate ispravnu kocku, vjerojatnost ispadanja sa svakog od lica je ista, bez obzira na rezultate ostalih bacanja. Također možete zamisliti da svaki put kada zamijenimo kockicu, pa ako se broj 6 pojavi dvaput zaredom, uklonite "vruću" kockicu iz igre i zamijenite je novom šesterostranom kockom. Ispričavam se ako je netko od vas već znao za ovo, ali morao sam to razjasniti prije nego što nastavim.

Kako učiniti da kockice padaju manje-više nasumično

Razgovarajmo o tome kako postići različite rezultate na različitim kockicama. Ako kockicu bacite samo jednom ili nekoliko puta, igra će se činiti nasumičnijom ako kockice imaju više rubova. Što više kockica bacite, ili što više kockica bacite, rezultati se više približavaju prosjeku. Na primjer, ako bacite 1d6 + 4 (to jest, standardnu ​​heksadecimalnu kocku jednom i rezultatu dodate 4), prosjek će biti 5 do 10. Ako bacite 5d2, prosjek će također biti 5 do 10. Ali kada bacajući kocku sa šest strana, vjerojatnost dobivanja brojeva 5, 8 ili 10 je ista. Rezultat bacanja 5d2 bit će uglavnom brojevi 7 i 8, rjeđe druge vrijednosti. Ista serija, čak ista prosječna vrijednost (7,5 u oba slučaja), ali je priroda slučajnosti drugačija.

Pričekaj minutu. Nisam li upravo rekao da se kocke ne zagrijavaju niti hlade? Sada kažem da ako bacate puno kockica, da li se bacanja približavaju prosjeku? Zašto?

Da objasnim. Ako baciš jedan kockice, vjerojatnost ispadanja sa svakog od lica je ista. To znači da ako bacite mnogo kockica, svako lice će ispasti približno isti broj puta tijekom vremena. Što više kockica bacite, to će se kumulativni rezultat više približiti prosjeku. To nije zato što ispušteni broj "čini" drugi broj, koji još nije ispao. Ali zato što mali niz od 6 (ili 20, ili neki drugi broj) na kraju neće biti važan ako bacite kocku još deset tisuća puta i uglavnom će prosjek ispasti ... možda ćete sada imati nekoliko brojeva s visokom vrijednošću, ali možda kasnije nekoliko brojeva s niskom vrijednošću i s vremenom će se približiti prosječnoj vrijednosti. Ne zato što prethodna bacanja utječu na kockice (ozbiljno, kocka se sastoji od plastične, ona nema pameti za razmišljanje: „joj, odavno se nije bacalo“), nego zato što se to obično događa s velikim brojem bacanja kockica. Mali niz brojeva koji se ponavljaju bit će gotovo nevidljiv u velikom broju rezultata.

Stoga je izračun za jedno nasumično bacanje kocke prilično jednostavan, barem što se izračunavanja prosječne vrijednosti bacanja tiče. Postoje i načini da se izračuna "koliko je nešto slučajno", način da se kaže da će rezultati bacanja 1d6 + 4 biti "nasumičniji" od 5d2, za 5d2 će raspodjela rezultata biti ravnomjernija, obično za ovo izračunajte standardnu ​​devijaciju, i što je veća vrijednost, to će rezultati biti slučajniji, ali to zahtijeva više izračuna nego što bih želio dati danas (ovu temu ću objasniti kasnije). Jedino što vas molim da znate je da je općenito pravilo da što se manje kockica baca, to je slučajnost veća. I još jedan dodatak na ovu temu: što više lica ima kocka, to je više slučajnosti, jer imate više mogućnosti.

Kako izračunati vjerojatnost brojanjem

Možda se pitate: kako možemo izračunati točnu vjerojatnost dobivanja određenog rezultata? To je zapravo vrlo važno za mnoge igre jer ako bacite kockice, vjerojatno će u početku biti neki optimalni ishod. Odgovor je: trebamo izbrojati dvije vrijednosti. Prvo, prebrojite maksimalni broj ishoda pri bacanju kocke (bez obzira kakav je ishod). Zatim prebrojite broj povoljnih ishoda. Ako drugu vrijednost podijelite s prvom, dobivate željenu vjerojatnost. Da biste dobili postotak, pomnožite rezultat sa 100.

primjeri:

Evo vrlo jednostavnog primjera. Želite da se pojavi 4 ili više i jednom baci heksadecimalnu kocku. Maksimalan broj ishoda je 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Od toga su 3 ishoda (4, 5, 6) povoljna. Dakle, da biste izračunali vjerojatnost, podijelite 3 sa 6 i dobijete 0,5 ili 50%.

Evo primjera koji je malo kompliciraniji. Želite baciti paran broj na bacanju 2d6. Maksimalni broj ishoda je 36 (6 za svaku kockicu, a budući da jedna kocka ne utječe na drugu, 6 rezultata pomnožimo sa 6 da dobijemo 36). Poteškoća s ovom vrstom pitanja je u tome što je lako dvaput prebrojati. Na primjer, zapravo postoje dvije opcije za ishod 3 na bacanju 2d6: 1 + 2 i 2 + 1. Izgledaju isto, ali razlika je u tome koji je broj prikazan na prvom kocku, a koji na drugom. Također možete zamisliti da su kockice različitih boja, pa je, primjerice, u ovom slučaju jedna kockica crvena, a druga plava. Zatim prebrojite broj opcija za paran broj: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3 ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Ispada da postoji 18 opcija za povoljan ishod od 36, kao iu prethodnom slučaju, vjerojatnost će biti 0,5 ili 50%. Možda neočekivano, ali prilično točno.

Monte Carlo simulacija

Što ako imate previše kockica za brojanje? Na primjer, želite znati kolika je vjerojatnost da će iznos od 15 ili više biti bačen na bacanje 8d6. Za osam kockica postoji MNOGO različitih pojedinačnih rezultata i njihovo ručno brojanje će potrajati jako dugo. Čak i ako možemo pronaći neko dobro rješenje za grupiranje različitih serija bacanja kockica, i dalje će trebati jako puno vremena da se broji. U ovom slučaju, najlakši način za izračunavanje vjerojatnosti nije ručno prebrojavanje, već korištenje računala. Postoje dva načina izračunavanja vjerojatnosti na računalu.

Prva metoda se može koristiti za dobivanje točnog odgovora, ali uključuje malo programiranja ili skriptiranja. Uglavnom, računalo će pogledati svaku priliku, procijeniti i izbrojati ukupan broj iteracija i broj iteracija koje odgovaraju željenom ishodu, a zatim dati odgovore. Vaš kod bi mogao izgledati otprilike ovako:

int wincount = 0, ukupni broj = 0;

za (int i = 1; i<=6; i++) {

za (int j = 1; j<=6; j++) {

za (int k = 1; k<=6; k++) {

… // ovdje umetnite više petlji

ako je (i + j + k +…> = 15) (

float vjerojatnost = wincount / totalcount;

Ako niste upućeni u programiranje i trebate samo neprecizan, ali približan odgovor, ovu situaciju možete simulirati u Excelu, gdje nekoliko tisuća puta bacite 8d6 i dobijete odgovor. Za izvođenje 1d6 u Excelu koristite sljedeću formulu:

POD (RAND () * 6) +1

Postoji naziv za situaciju u kojoj ne znate odgovor i samo ga pokušajte mnogo puta - Monte Carlo simulacija a ovo je izvrsno rješenje na koje se možete osloniti kada pokušavate izračunati vjerojatnost, a preteško je. Odlična stvar je što u ovom slučaju ne moramo razumjeti kako matematički izračun funkcionira, a znamo da će odgovor biti “prilično dobar”, jer kao što već znamo, što je veći broj bacanja, to je više rezultat se približava prosječnoj vrijednosti.

Kako kombinirati nezavisne testove

Ako pitate o više ponavljajućih, ali neovisnih izazova, ishod jednog bacanja ne utječe na ishod drugih bacanja. Postoji još jedno jednostavnije objašnjenje za ovu situaciju.

Kako razlikovati nešto ovisno i neovisno? U osnovi, ako možete razlikovati svako bacanje kocke (ili niz bacanja) kao zaseban događaj, onda je to neovisno. Na primjer, ako želimo da se ukupno 15 baca na 8d6, ovaj slučaj se ne može podijeliti na više neovisnih bacanja kockica. Budući da za rezultat računate zbroj vrijednosti svih kockica, rezultat koji je pao na jednu kocku utječe na rezultate koji bi trebali pasti na drugu kocku, jer samo zbrajanjem svih vrijednosti dobit ćete željeni rezultat .

Evo primjera neovisnih bacanja: igrate se kockicama i bacate hex kockice nekoliko puta. Da biste ostali u igri, vaše prvo bacanje mora biti 2 ili više. Za drugu rolu, 3 ili više. Za treći je potrebno 4 ili više, za četvrti 5 ili više, a za peti 6. Ako je svih pet bacanja uspješnih, pobjeđujete. U ovom slučaju, sve su rolice neovisne. Da, ako je jedno bacanje neuspješno, to će utjecati na ishod cijele igre, ali jedno bacanje ne utječe na drugo bacanje. Na primjer, ako je vaše drugo bacanje kocke vrlo uspješno, to ni na koji način ne utječe na vjerojatnost da će sljedeće bacanje biti jednako uspješno. Stoga možemo posebno razmotriti vjerojatnost svakog bacanja kocke.

Ako imate odvojene, neovisne vjerojatnosti i želite znati koja je vjerojatnost da svi događaji će doći, vi odredite svaku pojedinačnu vjerojatnost i pomnožite ih. Drugi način: ako koristite veznik "i" za opisivanje nekoliko uvjeta (na primjer, kolika je vjerojatnost da će se dogoditi slučajni događaj i neki drugi neovisni slučajni događaj?), prebrojite pojedinačne vjerojatnosti i pomnožite ih.

Nije važno što mislite nikada nemojte zbrajati nezavisne vjerojatnosti. Ovo je česta pogreška. Da biste razumjeli zašto je to pogrešno, zamislite situaciju u kojoj bacate novčić 50/50 i želite znati kolika je vjerojatnost da će dvaput zaredom udariti glavom. Vjerojatnost da svaka strana pogodi je 50%, pa ako zbrojite ove dvije vjerojatnosti, imate 100% šanse da pogodite glavom, ali znamo da to nije točno, jer bi moglo dobiti rep dva puta zaredom. Ako umjesto toga pomnožite ove dvije vjerojatnosti, dobit ćete 50% * 50% = 25%, što je točan odgovor za izračunavanje vjerojatnosti udaranja glavom dvaput zaredom.

Primjer

Vratimo se igri sa šesterokutnom kockom, gdje prvo trebate dobiti broj veći od 2, zatim veći od 3 i tako dalje. do 6. Kolike su šanse da u danoj seriji od 5 bacanja svi ishodi budu povoljni?

Kao što je gore navedeno, radi se o nezavisnim testovima i stoga izračunavamo vjerojatnosti za svaki pojedinačni bacanje i zatim ih množimo. Vjerojatnost da će ishod prvog bacanja biti povoljan je 5/6. Drugi je 4/6. Treći je 3/6. Četvrti - 2/6, peti - 1/6. Pomnožimo sve ove rezultate i dobijemo oko 1,5% ... Dakle, dobit u ovoj igri je prilično rijetka, pa ako dodate ovaj element svojoj igri, trebat će vam prilično veliki jackpot.

Negacija

Evo još jednog korisnog savjeta: ponekad je teško izračunati vjerojatnost da će se događaj dogoditi, ali je lakše odrediti kolike su šanse da će se događaj dogoditi. neće doći.

Na primjer, pretpostavimo da imamo drugu igru ​​i bacate 6d6, i ako barem jednom 6 je bačeno, ti pobjeđuješ. Kolika je vjerojatnost pobjede?

U ovom slučaju postoji mnogo opcija za izračun. Moguće je da će jedan broj 6 ispasti, t.j. na jednoj kockici ispustit će se broj 6, a na drugoj brojevi od 1 do 5, i postoji 6 opcija koja od kockica će biti broj 6. Tada možete dobiti broj 6 na dvije kocke, ili na tri, ili na čak i više, i svaki put moramo posebno računati, tako da se lako možete zbuniti oko ovoga.

Ali postoji još jedan način rješavanja ovog problema, pogledajmo ga s druge strane. Vas izgubiti ako ne na jednoj iz kocke neće ispasti broj 6. U ovom slučaju imamo šest neovisnih testova, vjerojatnost svakog od njih je 5/6 (na kocku se može ispustiti bilo koji broj osim 6). Pomnožite ih i dobit ćete oko 33%. Dakle, vjerojatnost gubitka je 1 prema 3.

Stoga je vjerojatnost pobjede 67% (ili 2 prema 3).

Iz ovog primjera je očito da ako uzmete u obzir vjerojatnost da se događaj neće dogoditi, trebate oduzeti rezultat od 100%. Ako je vjerojatnost pobjede 67%, tada je vjerojatnost izgubiti — 100% minus 67% ili 33%. I obrnuto. Ako je teško izračunati jednu vjerojatnost, ali je lako izračunati suprotnu, izračunajte suprotnu, a zatim oduzmite od 100%.

Kombiniranje uvjeta za jedan neovisni test

Rekao sam malo iznad da nikada ne biste trebali zbrajati vjerojatnosti u neovisnim testovima. Ima li slučajeva gdje limenka zbrojiti vjerojatnosti? - Da, u jednoj posebnoj situaciji.

Ako želite izračunati vjerojatnost za nekoliko nepovezanih povoljnih ishoda istog ispitivanja, dodajte vjerojatnosti svakog povoljnog ishoda. Na primjer, vjerojatnost dobivanja brojeva 4, 5 ili 6 na 1d6 je zbroj vjerojatnost dobivanja broja 4, vjerojatnost dobivanja broja 5 i vjerojatnost dobivanja broja 6. Ovu situaciju možete zamisliti i na sljedeći način: ako koristite veznik "ili" u pitanju o vjerojatnosti (npr. , kolika je vjerojatnost da ili drugi ishod jednog slučajnog događaja?), izračunajte pojedinačne vjerojatnosti i zbrojite ih.

Imajte na umu da kada zbrojite svim mogućim ishodima igre, zbroj svih vjerojatnosti mora biti jednak 100%. Ako iznos nije 100%, vaš izračun je pogrešno napravljen. Ovo je dobar način da još jednom provjerite svoje izračune. Na primjer, ako ste analizirali vjerojatnost da dobijete sve ruke u pokeru, ako zbrojite sve rezultate, trebali biste dobiti točno 100% (ili barem vrijednost prilično blizu 100%, ako koristite kalkulator, možda ćete imati mala pogreška zaokruživanja. ali ako ručno zbrojite točne brojeve, trebalo bi ispasti.) Ako se zbroj ne zbroji, onda najvjerojatnije niste uzeli u obzir neke kombinacije ili ste pogrešno izračunali vjerojatnosti nekih kombinacija, a zatim morate još jednom provjeriti svoje izračune.

Nejednake vjerojatnosti

Do sada smo pretpostavljali da svako lice kockice ispada na istoj frekvenciji, jer kocka tako funkcionira. Ali ponekad ste suočeni sa situacijom u kojoj su mogući različiti ishodi i oni jesu raznešanse za ispadanje. Na primjer, u jednom od dodataka kartaške igre "Nuklearni rat" nalazi se polje za igru ​​sa strelicom o kojoj ovisi rezultat lansiranja rakete: u osnovi, nanosi normalnu štetu, jaču ili slabiju, ali ponekad se šteta poveća za dva ili tri puta, ili raketa eksplodira na lansirnoj rampi i povrijedi te ili se dogodi neki drugi događaj. Za razliku od igrališta sa strelicom u "Chutes & Ladders" ili "A Game of Life", rezultati igrališta u "Nuklearnom ratu" su neujednačeni. Neki dijelovi igrališta su veći i na njima se strijela češće zaustavlja, dok su drugi dijelovi vrlo mali i strijela se na njima rijetko zaustavlja.

Dakle, na prvi pogled kost izgleda ovako: 1, 1, 1, 2, 2, 3; već smo govorili o tome, to je nešto poput ponderiranog 1d3, dakle, sve te dijelove trebamo podijeliti na jednake dijelove, pronaći najmanju mjernu jedinicu, koja je višekratnik svega, a zatim prikazati situaciju u obliku d522 (ili neki drugi), gdje će mnoga lica kockice predstavljati istu situaciju, ali s više ishoda. I ovo je jedan od načina rješavanja problema, i tehnički je izvediv, ali postoji lakši način.

Vratimo se na naše standardne heksadecimalne kocke. Rekli smo da da biste izračunali prosječnu vrijednost bacanja za normalnu kocku, trebate zbrojiti vrijednosti na svim rubovima i podijeliti ih s brojem rubova, ali kako točno nagodba je u tijeku? Možete to drugačije izraziti. Za šesterokutnu kocku, vjerojatnost da će svako lice ispasti je točno 1/6. Sada se množimo Izlazak svako lice na sebi vjerojatnost ovog ishoda (u ovom slučaju 1/6 za svako lice), zatim sumiramo dobivene vrijednosti. Dakle, zbrajanje (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , dobivamo isti rezultat (3.5) kao u gornjem izračunu. Zapravo, to računamo svaki put: svaki ishod množimo s vjerojatnošću tog ishoda.

Možemo li napraviti isti izračun za strijelca na igralištu u Nuklearnom ratu? Naravno da možemo. A ako zbrojimo sve pronađene rezultate, dobivamo prosjek. Sve što trebamo učiniti je izračunati vjerojatnost svakog ishoda za strelicu na ploči i pomnožiti s ishodom.

Još jedan primjer

Ova metoda izračunavanja prosjeka množenjem svakog ishoda s njegovom individualnom vjerojatnošću također je prikladna ako su ishodi jednako vjerojatni, ali imaju različite prednosti, na primjer ako bacite kocku i osvojite više na nekim rubovima od drugih. Na primjer, uzmite u obzir kasino igru: kladite se i bacate 2d6. Ako se pojave tri broja s najnižom vrijednošću (2, 3, 4) ili četiri broja s najvećom vrijednošću (9, 10, 11, 12), osvajate iznos jednak vašem ulozi. Brojevi s najnižom i najvećom vrijednošću su posebni: ako se pojavi 2 ili 12, pobjeđujete dvostruko više od vaše stope. Ako ispadne bilo koji drugi broj (5, 6, 7, 8), izgubit ćete okladu. To je prilično jednostavna igra. Ali kolika je vjerojatnost pobjede?

Počnimo s izračunom koliko puta možete pobijediti:

• Maksimalan broj ishoda na bacanju 2d6 je 36. Koliko ima uspješnih ishoda?
• Postoji 1 opcija za dvoje i 1 opcija za dvanaest.
• Postoje 2 opcije za ono što izlazi tri i jedanaest.
• Postoje 3 opcije za četiri i 3 opcije za deset.
• Postoje 4 opcije za devet.
• Zbrajajući sve opcije, dobivamo broj povoljnih ishoda 16 od 36.

Dakle, u normalnim uvjetima dobit ćete 16 puta od 36 mogućih ... vjerojatnost pobjede je nešto manja od 50%.

Ali u dva slučaja od ovih 16 dobit ćete duplo više, t.j. to je kao da dvaput pobijediš! Ako ovu igru ​​igrate 36 puta, kladeći se svaki put 1 dolar, a svaki od svih mogućih ishoda dođe jednom, osvajate 18 dolara (u stvari, dobivate 16 puta, ali dva puta se računaju kao dva dobitka). Ako igrate 36 puta i osvojite 18 dolara, ne znači li to da je to jednaka šansa?

Ne žuri se. Ako izbrojite koliko puta možete izgubiti, onda ćete dobiti 20, a ne 18. Ako igrate 36 puta, kladeći svaki put 1 $, dobit ćete ukupno 18 $ na sve povoljne ishode ... ali ćete izgubiti ukupni iznos od 20$ sa svih 20 nepovoljnih ishoda! Kao rezultat toga, malo ćete zaostati: gubite u prosjeku 2 USD neto za svakih 36 igara (možete reći i da gubite u prosjeku 1/18 USD dnevno). Sada možete vidjeti kako je u ovom slučaju lako pogriješiti i krivo izračunati vjerojatnost!

Permutacija

Do sada smo pretpostavljali da redoslijed brojeva pri bacanju kocke nije bitan. Rolanje od 2 + 4 isto je kao i rolanje od 4 + 2. U većini slučajeva ručno izračunavamo broj povoljnih ishoda, ali ponekad je ova metoda nepraktična i bolje je koristiti matematičku formulu.

Primjer ove situacije je iz igre s kockicama “Farkle”. Za svaki novi krug bacate 6d6. Ako ste dovoljno sretni da dobijete sve moguće rezultate 1-2-3-4-5-6 (“ravno”), dobit ćete veliki bonus. Kolika je vjerojatnost da će se to dogoditi? U ovom slučaju, postoji mnogo opcija za ovu kombinaciju!

Rješenje izgleda ovako: jedna od kockica (i samo jedna) treba imati broj 1! Koliko varijanti ispadanja broja 1 na jednom umre? Šest, budući da ima 6 kockica i svaka od njih može imati broj 1. Prema tome, uzmite jednu kocku i ostavite je sa strane. Sada bi jedna od preostalih kockica trebala imati broj 2. Za to postoji pet opcija. Uzmite drugu kocku i ostavite je sa strane. Zatim slijedi da na četiri preostale kocke može ispasti broj 3, na tri preostale kockice može ispasti broj 4, na dvije - broj 5 i kao rezultat imate jednu kocku na kojoj bi trebao biti broj 6 pad (u potonjem slučaju kocka je jedna i nema izbora). Da bismo izračunali broj povoljnih ishoda za kombinaciju "ravno", množimo sve različite, neovisne opcije: 6x5x4x3x2x1 = 720 - čini se da postoji dosta opcija za ono što će ova kombinacija smisliti.

Da bismo izračunali vjerojatnost dobivanja ravnog, moramo podijeliti 720 s brojem svih mogućih ishoda za bacanje 6d6. Koliki je broj svih mogućih ishoda? Svaka kocka može imati 6 lica, pa množimo 6x6x6x6x6x6 = 46656 (broj je puno veći!). Podijelimo 720/46656 i dobivamo vjerojatnost od oko 1,5%. Ako ste dizajnirali ovu igru, bilo bi vam korisno znati kako biste mogli stvoriti odgovarajući sustav bodovanja. Sada razumijemo zašto ćete u igri “Farkle” dobiti tako veliki bonus ako dobijete kombinaciju “ravno”, jer je ova situacija prilično rijetka!

Rezultat je zanimljiv i iz još jednog razloga. Primjer pokazuje kako rijetko, u kratkom razdoblju, ispadne rezultat koji odgovara vjerojatnosti. Naravno, ako bismo bacili nekoliko tisuća kockica, različita lica kockica bi često ispadala. Ali kad bacimo samo šest kockica, skoro nikada ne događa se da svako lice ispadne! Polazeći od toga, postaje jasno da je glupo očekivati ​​da će sada ispasti još jedno lice, koje još nije ispalo "jer već dugo nemamo broj 6, što znači da će sada ispasti" .

Slušaj, tvoj generator slučajnih brojeva je pokvaren...

To nas dovodi do uobičajene zablude o vjerojatnosti: pretpostavke da svi ishodi dolaze s istom učestalošću. na kratko vrijemešto zapravo nije slučaj. Bacimo li kocku nekoliko puta, učestalost svakog od rubova neće biti ista.

Ako ste ikada radili na online igrici s nekom vrstom generatora slučajnih brojeva, najvjerojatnije ste naišli na situaciju da igrač piše tehničkoj podršci da kaže da vam je generator slučajnih brojeva pokvaren i da ne prikazuje slučajne brojeve. i došao je do ovog zaključka, jer je upravo ubio 4 čudovišta zaredom i dobio 4 potpuno iste nagrade, a te bi nagrade trebale ispasti samo u 10% slučajeva, tako da je ovo Skoro nikad ne bi trebao odvijati, što znači očito da je vaš generator slučajnih brojeva pokvaren.

Radite matematički izračun. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 jednako je 1 u 10.000, što znači da je to prilično rijedak slučaj. I to je ono što vam igrač pokušava reći. Postoji li problem u ovom slučaju?

Sve ovisi o okolnostima. Koliko je igrača sada na vašem serveru? Pretpostavimo da imate prilično popularnu igru ​​i 100.000 ljudi je igra svaki dan. Koliko će igrača ubiti četiri čudovišta zaredom? Sve je moguće, nekoliko puta dnevno, ali pretpostavimo da polovica njih jednostavno mijenja različite artikle na aukcijama ili prepisuje na RP serverima, ili izvodi druge radnje u igri, pa zapravo samo polovica njih lovi čudovišta. Kolika je vjerojatnost da nekome Hoće li ista nagrada biti odbačena? U ovoj situaciji možete očekivati ​​da ista nagrada može ispasti barem nekoliko puta dnevno!

Usput, tako se čini da svakih nekoliko tjedana barem netko dobije na lutriji, čak i ako taj netko nikada ne ti ili tvoji prijatelji. Ako dovoljno ljudi igra svaki tjedan, velike su šanse da ih barem ima jedan sretno... ali ako vas igrajući lutriju, manje je vjerojatno da ćete dobiti posao u Infinity Wardu.

Karte i ovisnost

Razgovarali smo o neovisnim događajima, kao što je bacanje kocke, a sada znamo mnoge moćne alate za analizu slučajnosti u mnogim igrama. Izračunavanje vjerojatnosti je malo teže kada je u pitanju vađenje karata iz špila, jer svaka karta koju izvadimo utječe na preostale karte u špilu. Ako imate standardni špil od 52 karte i izvlačite, na primjer, 10 srca i želite znati vjerojatnost da će sljedeća karta biti iste boje, vjerojatnost se promijenila jer ste već uklonili jednu kartu u boji srca s palube. Svaka karta koju uklonite mijenja vjerojatnost sljedeće karte u špilu. Budući da u ovom slučaju prethodni događaj utječe na sljedeći, taj događaj nazivamo vjerojatnošću ovisni.

Imajte na umu da kad kažem karte, mislim bilo koji mehanika igre, u kojoj postoji skup predmeta i jedan od predmeta uklanjate bez zamjene, "špil karata" u ovom slučaju je analogan vrećici žetona iz koje izvadite jedan žeton i ne zamjenjujete ga , ili urna iz koje vadite kuglice u boji (zapravo, nikad nisam vidio igru ​​koja bi imala urnu iz koje se vade šarene kuglice, ali čini se da profesori teorije vjerojatnosti iz nekog razloga preferiraju ovaj primjer) .

Svojstva ovisnosti

Želio bih pojasniti da kada je riječ o kartama, pretpostavljam da izvlačite karte, gledate ih i vadite iz špila. Svaka od ovih radnji je važno svojstvo.

Kad bih imao špil od, recimo, šest karata s brojevima od 1 do 6, pa sam ih promiješao i izvadio jednu kartu, a zatim ponovno promiješao svih šest karata, to bi bilo kao da bacim šesterostranu kockicu; jedan rezultat ne utječe na sljedeće. Samo ako izvučem karte i ne zamijenim ih, rezultat činjenice da izvučem kartu s brojem 1 povećat će vjerojatnost da sljedeći put izvučem kartu s brojem 6 (vjerojatnost će se povećavati dok na kraju ne uzmem izvadite ovu kartu ili dok ne promiješam karte).

Činjenica da mi izgled na kartama je također važno. Ako izvadim kartu iz špila i ne pogledam je, nemam dodatnih informacija, a zapravo se vjerojatnost ne mijenja. Ovo može zvučati kontraintuitivno. Kako jednostavno okretanje karte magično može promijeniti vjerojatnost? Ali to je moguće jer možete izračunati vjerojatnost za nepoznate objekte samo na temelju činjenice da vi znaš... Na primjer, ako promiješate standardni špil karata, otkrijete 51 kartu i nijedna od njih nije kraljica trefa, znat ćete sa 100% sigurnošću da je preostala karta kraljica trefa. Ako promiješate standardni špil karata i izvučete 51 kartu, bez obzira na na njima će vjerojatnost da je preostala karta kraljica trefa i dalje 1/52. Otvaranjem svake kartice dobivate više informacija.

Izračunavanje vjerojatnosti za zavisne događaje slijedi iste principe kao i za nezavisne događaje, osim što je malo kompliciranije, jer se vjerojatnosti mijenjaju kada otvorite karte. Dakle, trebate pomnožiti mnogo različitih vrijednosti umjesto množenja iste vrijednosti. U stvari, to znači da moramo spojiti sve izračune koje smo napravili u jednu kombinaciju.

Primjer

Promiješate standardni špil od 52 karte i izvučete dvije karte. Kolika je vjerojatnost da ćete izvaditi par? Postoji nekoliko načina za izračunavanje ove vjerojatnosti, ali je možda najjednostavniji sljedeći: Kolika je vjerojatnost da kada izvadite jednu kartu nećete moći izvući par? Ova vjerojatnost je nula, tako da nije važno koju ćete prvu kartu izvući, sve dok odgovara drugoj. Nije važno koju ćemo kartu prvu izvaditi, još uvijek imamo priliku izvaditi par, pa je vjerojatnost da možemo izvaditi par nakon što izvadimo prvu kartu 100%.

Kolika je vjerojatnost da će druga karta odgovarati prvoj? U špilu je preostala 51 karta i 3 se podudaraju s prvom kartom (zapravo bi bilo 4 od 52, ali ste već uklonili jednu od odgovarajućih karata kada ste izvadili prvu kartu!), Dakle, vjerojatnost je 1/17. (Dakle, sljedeći put kada tip preko puta vas koji igra Texas Hold'em kaže: "Kul, još jedan par? Imam sreće večeras", znat ćete da postoji prilično velika šansa da blefira.)

Što ako zbrojimo dva džokera i sada imamo 54 karte u špilu, a želimo znati kolika je vjerojatnost da ćemo izvaditi par? Prva karta može biti džoker, a onda će špil sadržavati samo jedan kartica, a ne tri, koje će se podudarati. Kako pronalazite vjerojatnost u ovom slučaju? Podijelit ćemo vjerojatnosti i pomnožiti svaku mogućnost.

Naša prva karta može biti džoker ili neka druga karta. Vjerojatnost izvlačenja džokera je 2/54, vjerojatnost izvlačenja bilo koje druge karte je 52/54.

Ako je prva karta džoker (2/54), tada je vjerojatnost da se druga karta poklopi s prvom 1/53. Pomnožite vrijednosti (možemo ih pomnožiti jer su to zasebni događaji i želimo oba događaji su se dogodili) i dobivamo 1/1431 - manje od jedne desetine postotka.

Ako prvo izvučete neku drugu kartu (52/54), vjerojatnost podudaranja s drugom kartom je 3/53. Pomnožite vrijednosti i dobijete 78/1431 (nešto više od 5,5%).

Što ćemo s ova dva rezultata? Ne sijeku se i želimo znati vjerojatnost svakog od njih od njih, pa sažimamo vrijednosti! Dobivamo konačni rezultat 79/1431 (još uvijek oko 5,5%).

Ako smo htjeli biti sigurni u točnost odgovora, mogli bismo izračunati vjerojatnost svih drugih mogućih ishoda: vađenje džokera i neslaganje druge karte, ili izvlačenje neke druge karte i neslaganje druge karte, i zbrajanje svih uz vjerojatnost pobjede, dobili bismo točno 100%. Ovdje neću dati matematički izračun, ali ga možete pokušati izračunati da biste ga još jednom provjerili.

Paradoks Monty Halla

To nas dovodi do prilično dobro poznatog paradoksa koji mnoge često zbunjuje – paradoksa Monty Halla. Paradoks je nazvan po voditelju emisije "Let's Make Deal" Montyju Hallu. Ako nikada niste vidjeli ovu emisiju, bila je suprotna TV emisiji The Price Is Right. U “The Price Is Right” voditelj (bivši Bob Barker, sada... Drew Carey? U svakom slučaju...) je vaš prijatelj. On želi tako da možete osvojiti novac ili velike nagrade. Pokušava vam pružiti svaku priliku za pobjedu, pod uvjetom da možete pogoditi koliko zapravo koštaju artikli koje su kupili sponzori.

Monty Hall se ponašao drugačije. Bio je kao zli blizanac Boba Barkera. Cilj mu je bio učiniti da izgledaš kao idiot na nacionalnoj televiziji. Ako ste bili u showu, on vam je bio protivnik, igrali ste protiv njega, a izgledi za pobjedu bili su u njegovu korist. Možda sam previše oštar, ali kada se čini da je šansa da budete izabrani za suparnika u izravnom razmjeru s tim da li nosite smiješno odijelo, dolazim do ovakvog zaključka.

Ali jedan od najpoznatijih memova emisije bio je ovaj: ispred vas su bila troja vrata, a zvala su se Vrata broj 1, Vrata broj 2 i Vrata broj 3. Mogli ste odabrati bilo koja vrata ... besplatno! Iza jednih od ovih vrata stajala je velika nagrada, poput novog osobnog automobila. Iza ostalih vrata nije bilo nagrada, ova dva vrata nisu imala nikakvu vrijednost. Njihova je svrha bila da te ponize i stoga nije bilo da iza njih nije bilo ničega, bilo je iza njih nešto što je izgledalo glupo, na primjer, iza njih je bila koza ili ogromna tuba paste za zube, ili nešto... nešto, što točno bilo ne novi putnički automobil.

Odabrao si jedna od vrata i Monty ih je trebao otvoriti da znaš da li si pobijedio ili ne... ali čekaj, prije nego što saznamo, pogledajmo jedan od oni vrata te nije izabrano... Budući da Monty zna iza kojih se vrata nalazi nagrada, a postoji samo jedna nagrada i dva vrata koja niste odabrali, bez obzira na sve, on uvijek može otvoriti vrata za koja nema nagrade. “Birate li Vrata broj 3? Onda otvorimo vrata 1 da pokažemo da iza njih nema nagrade.” A sada vam, iz velikodušnosti, nudi priliku zamijeniti odabrana Vrata broj 3 za ona iza Vrata broj 2. Upravo se u ovom trenutku postavlja pitanje vjerojatnosti: povećava li se ili smanjuje mogućnost odabira drugih vrata vaša vjerojatnost pobjede ili ostaje nepromijenjena? Što misliš?

Točan odgovor: mogućnost odabira različitih vrata povećava vjerojatnost pobjede od 1/3 do 2/3. Ovo je nelogično. Ako se do sada niste susreli s ovim paradoksom, najvjerojatnije mislite: čekajte, otvaranjem jednih vrata magično smo promijenili vjerojatnost? Ali kao što smo već vidjeli u primjeru s gornjim kartama, ovo je točnošto se događa kada dobijemo više informacija. Očito je da je vjerojatnost da ćete pobijediti prvi put kada odaberete 1/3, i pretpostavljam da će se svi složiti s tim. Kada se jedna vrata otvore, to uopće ne mijenja vjerojatnost pobjede za prvi izbor, i dalje je vjerojatnost 1/3, ali to znači da je vjerojatnost da drugi ispravna vrata su sada 2/3.

Pogledajmo ovaj primjer iz druge perspektive. Vi birate vrata. Vjerojatnost pobjede je 1/3. Predlažem da se promijeniš dva druga vrata, što Monty Hall zapravo predlaže učiniti. Naravno, on otvara jedna od vrata da pokaže da iza toga nema nagrade, ali on stalno može to učiniti, tako da to zapravo ništa ne mijenja. Naravno, poželjet ćete odabrati drugačija vrata!

Ako vam ovo pitanje nije sasvim jasno, a trebate uvjerljivije objašnjenje, kliknite na ovu poveznicu da biste došli do predivne male Flash aplikacije koja će vam omogućiti da detaljnije proučite ovaj paradoks. Možete igrati počevši s oko 10 vrata, a zatim postupno prijeći na igru ​​s tri vrata; tu je i simulator gdje možete odabrati bilo koji broj vrata od 3 do 50 i igrati ili pokrenuti nekoliko tisuća simulacija i vidjeti koliko ste puta pobijedili ako ste igrali.

Primjedba učitelja više matematike i stručnjaka za ravnotežu igre Maxima Soldatova, koju, naravno, Schreiber nije imao, ali bez koje je prilično teško razumjeti ovu čarobnu transformaciju:

Odaberite vrata, jedno od tri, vjerojatnost "pobjede" je 1/3. Sada imate 2 strategije: promijenite izbor nakon otvaranja pogrešnih vrata ili ne. Ako ne promijenite svoj izbor, vjerojatnost će ostati 1/3, budući da je izbor samo u prvoj fazi, a morate odmah pogoditi, ako promijenite, onda možete pobijediti ako prvo odaberete pogrešna vrata (onda otvore još jedan pogrešan, ostat će istina, predomisliš se i samo uzmi)
Vjerojatnost odabira pogrešnih vrata na početku je 2/3, pa ispada da promjenom odluke povećavate vjerojatnost dobitka 2 puta

I opet o paradoksu Monty Halla

Što se samog showa tiče, Monty Hall je to znao jer čak i ako njegovi suparnici nisu bili dobri u matematici, on dobro razumije. Evo što je učinio da malo promijeni igru. Ako ste odabrali vrata iza kojih se nalazila nagrada, čija je vjerojatnost 1/3, to stalno ponudio vam priliku da odaberete druga vrata. Uostalom, izabrao si osobni auto pa ga promijeniš u jarca i izgledat ćeš prilično glupo, što mu baš i treba, jer je on nekako zao tip. Ali ako odaberete vrata iza kojih neće biti nagrade, samo na pola U takvim slučajevima ponudit će vam da odaberete druga vrata, au drugim slučajevima jednostavno će vam pokazati vašu novu kozu, a vi ćete napustiti pozornicu. Analizirajmo ovu novu igru ​​u kojoj Monty Hall može Odaberi ponuditi vam priliku da odaberete druga vrata ili ne.

Pretpostavimo da slijedi ovaj algoritam: ako odaberete vrata s nagradom, on vam uvijek nudi mogućnost da odaberete druga vrata, inače je vjerojatnost da će vam ponuditi da odaberete druga vrata ili date kozu 50/50. Kolika je vjerojatnost da ćete pobijediti?

U jednoj od tri opcije odmah birate vrata iza kojih se nalazi nagrada, a domaćin vas poziva da odaberete druga vrata.

Od preostale dvije opcije od tri (u početku birate vrata bez nagrade), u polovici slučajeva domaćin će vam ponuditi da odaberete druga vrata, au drugoj polovici ne. Polovica od 2/3 je 1/3, tj. u jednom slučaju od tri dobit ćete kozu, u jednom slučaju od tri odaberete pogrešna vrata i domaćin će vam ponuditi da odaberete druga i u jednom slučaju od tri ćete izabrati prava vrata, a on će od vas tražiti da odaberete druga vrata.

Ako se voditelj ponudi da izabere druga vrata, već znamo da se taj jedan od tri slučaja, kad nam da kozu, a mi odemo, nije dogodio. Ovo je korisna informacija jer znači da su se naše šanse za pobjedu promijenile. U dva od tri slučaja, kada imamo priliku birati, u jednom slučaju to znači da smo točno pogodili, a u drugom da smo pogrešno pogodili, pa ako nam je uopće ponuđena mogućnost izbora, to znači da vjerojatnost naše pobjede je 50/50, a nema matematički pogodnosti, ostanite pri svom izboru ili odaberite druga vrata.

Kao i poker, sada je psihološka igra, a ne matematička. Monty ti je ponudio izbor jer misli da si budala koja ne zna da je odabir drugačijih vrata “prava” odluka, te da ćeš se tvrdoglavo držati svog izbora, jer psihički situacija kada si izabrao auto, ali onda izgubio, teže? Ili on misli da ste pametni i birate druga vrata i nudi vam tu priliku jer zna da ste u početku dobro pogodili i da ćete biti zarobljeni? Ili je možda netipično ljubazan prema sebi i tjera te da učiniš nešto u svom osobnom interesu, jer već dugo nije dao auto, a producenti mu govore da je publici dosadno i bilo bi bolje da je dao uskoro velika nagrada da se gledanost ne bi smanjila?

Tako Monty uspijeva ponuditi izbor (ponekad) i ukupna vjerojatnost pobjede ostaje jednaka 1/3. Zapamtite da postoji 1/3 šanse da ćete odmah izgubiti. Vjerojatnost da ćete ga odmah dobiti je 1/3, a u 50% ovih slučajeva ćete pobijediti (1/3 x 1/2 = 1/6). Vjerojatnost da ćete u početku krivo pogoditi, ali onda ćete imati priliku odabrati druga vrata, je 1/3, au 50% ovih slučajeva ćete pobijediti (također 1/6). Dodajte dvije nezavisne šanse za pobjedu i dobit ćete vjerojatnost jednaku 1/3, tako da nije važno hoćete li ostati pri svom izboru ili odabrati druga vrata, ukupna vjerojatnost vašeg dobitka tijekom igre je jednaka 1/3 . .. vjerojatnost ne postaje veća nego u situaciji kada biste pogodili vrata, a voditelj bi vam pokazao što je iza ovih vrata, bez mogućnosti odabira drugih vrata! Dakle, smisao ponude mogućnosti odabira drugih vrata nije promijeniti vjerojatnost, već učiniti proces donošenja odluka zabavnijim za gledanje televizije.

Usput, to je jedan od razloga zašto poker može biti tako zanimljiv: u većini formata između rundi, kada se oklade (na primjer, flop, turn i river u Texas Hold'emu), karte se postupno otkrivaju, i ako na početku igre imate jednu vjerojatnost za pobjedu, onda se nakon svake runde oklada, kada se otvori više karata, ta vjerojatnost mijenja.

Paradoks dječaka i djevojčice

To nas dovodi do još jednog dobro poznatog paradoksa, koji u pravilu sve zbunjuje - paradoksa dječaka i djevojčice. Jedina stvar o kojoj danas pišem nije izravno povezana s igrama (iako pretpostavljam da to jednostavno znači da bih vas trebao potaknuti da kreirate odgovarajuću mehaniku igre). Ovo je više zagonetka, ali zanimljiva, a da biste je riješili, morate razumjeti uvjetnu vjerojatnost, o kojoj smo gore govorili.

Izazov: Imam prijatelja sa dvoje djece, najmanje jedan dijete je djevojčica. Kolika je vjerojatnost da drugo dijete isto djevojka? Pretpostavimo da je u svakoj obitelji šansa za djevojčicu ili dječaka 50/50, a to vrijedi za svako dijete (zapravo, neki muškarci imaju više sperme s X kromosomom ili Y kromosomom, pa se vjerojatnost neznatno mijenja ako znate da je jedno dijete djevojčica, vjerojatnost rođenja djevojčice je nešto veća, osim toga, postoje i drugi uvjeti, na primjer, hermafroditizam, ali za rješavanje ovog problema to nećemo uzeti u obzir i pretpostavljamo da rođenje djeteta je samostalan događaj i vjerojatnost rođenja dječaka ili djevojčice je ista).

Budući da je riječ o šansi 1/2, intuitivno očekujemo da će odgovor najvjerojatnije biti 1/2 ili 1/4, ili neki drugi okrugli broj koji je višekratnik dva. Ali odgovor je: 1/3 ... Čekaj zašto?

Poteškoća je u ovom slučaju što informacije kojima raspolažemo smanjuju broj mogućnosti. Pretpostavimo da su roditelji obožavatelji Ulice Sesame i bez obzira na to je li rođen dječak ili djevojčica, dali su djeci imena A i B. U normalnim uvjetima postoje četiri jednako vjerojatne mogućnosti: A i B su dva dječaka, A i B su dvije djevojčice, A je dječak, a B je djevojčica, A je djevojčica i B je dječak. Pošto to znamo najmanje jedan dijete je djevojčica, možemo eliminirati mogućnost da su A i B dva dječaka, pa nam preostaju tri (još uvijek jednako vjerojatne) mogućnosti. Ako su sve mogućnosti jednako vjerojatne i postoje tri, znamo da je vjerojatnost svake od njih 1/3. Samo u jednoj od ove tri opcije oba djeteta su dvije djevojčice, pa je odgovor 1/3.

I opet o paradoksu dječaka i djevojčice

Rješenje problema postaje još nelogičnije. Zamislite da vam kažem da moj prijatelj ima dvoje djece i jedno dijete - djevojčica koja je rođena u utorak... Pretpostavimo da je u normalnim uvjetima vjerojatnost rođenja djeteta u jednom od sedam dana u tjednu ista. Kolika je vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica? Možda mislite da bi odgovor ipak bio 1/3; što znači utorak? Ali čak i u ovom slučaju intuicija nas iznevjerava. Odgovor: 13/27 što ne samo da nije intuitivno, nego je vrlo čudno. Što je bilo u ovom slučaju?

Zapravo, utorak mijenja vjerojatnost jer ne znamo koji dijete je rođeno u utorak ili eventualno dvoje djece rođeni su u utorak. U ovom slučaju koristimo se istom logikom kao gore, računamo sve moguće kombinacije kada je barem jedno dijete djevojčica koja je rođena u utorak. Kao u prethodnom primjeru, pretpostavimo da se djeca zovu A i B, kombinacije su sljedeće:

• A - djevojčica rođena u utorak, B - dječak (u ovoj situaciji postoji 7 mogućnosti, po jedna za svaki dan u tjednu kada bi se dječak mogao roditi).
• B - djevojčica koja je rođena u utorak, A - dječak (također 7 mogućnosti).
• A - djevojčica koja je rođena u utorak, B - djevojčica koja je rođena na još dan u tjednu (6 mogućnosti).
• B - djevojka koja je rođena u utorak, A - djevojčica koja je rođena neutorkom (također 6 vjerojatnosti).
• A i B - dvije djevojčice koje su rođene u utorak (1 mogućnost, morate obratiti pažnju na to, kako ne biste brojali dvaput).

Zbrajamo i dobivamo 27 različitih jednako mogućih kombinacija rađanja djece i dana s barem jednom mogućnošću da u utorak dobijemo djevojčicu. Od toga je 13 prilika kada se rode dvije djevojčice. Također izgleda potpuno nelogično, a čini se i kao da je ovaj zadatak stvoren samo da izazove glavobolju. Ako ste još uvijek zbunjeni ovim primjerom, teoretičar igara Jesper Yule ima dobro objašnjenje stvari na svojoj web stranici.

Ako trenutno radite na igrici...

Ako u igri koju dizajnirate postoji slučajnost, ovo je izvrsna prilika da je analizirate. Odaberite neki element koji želite analizirati. Prvo se zapitajte kolika je vjerojatnost da će određeni element biti, što mislite da bi trebao biti u kontekstu igre. Na primjer, ako stvarate RPG i pitate se kolika bi trebala biti vjerojatnost da će igrač pobijediti čudovište u bitci, zapitajte se koliki vam se postotak dobitka čini ispravnim. Obično kada igraju konzolne RPG-ove, igrači su jako frustrirani kada izgube, pa je najbolje da ne gube često... možda 10% vremena ili manje? Ako ste RPG dizajner, vjerojatno znate bolje od mene, ali morate imati osnovnu ideju o tome kolika bi vjerojatnost trebala biti.

Onda se zapitajte je li to nešto ovisan(kao karte) ili neovisna(kao kockice). Pregledajte sve moguće ishode i njihove vjerojatnosti. Provjerite je li zbroj svih vjerojatnosti 100%. Na kraju, naravno, usporedite rezultate koje dobijete sa svojim očekivanjima. Bilo da bacate kockice ili izvlačite karte na način na koji ste namjeravali, ili vidite da trebate prilagoditi vrijednosti. I, naravno, ako ti pronaćišto treba prilagoditi, istim izračunima možete odrediti koliko nešto prilagoditi!

Domaća zadaća

Vaša "domaća zadaća" ovog tjedna pomoći će vam da usavršite svoje vjerojatne vještine. Ovdje su dvije igre s kockicama i kartaška igra koju ćete analizirati korištenjem vjerojatnosti, kao i čudna mehanika igre koju sam jednom razvio i koju možete koristiti za testiranje Monte Carlo metode.

Igra broj 1 - Zmajeve kosti

Ovo je igra s kockicama koju smo svojedobno izmislili s kolegama (zahvaljujući Jebu Havensu i Jesseju Kingu!), i koja svojim vjerojatnostima namjerno vadi mozak ljudima. Ovo je jednostavna kasino igra pod nazivom Dragon Bones i natjecanje je u kockicama između igrača i kuće. Dobivate uobičajenu kocku od 1d6. Cilj igre je baciti broj veći od kuće. Tomu se daje nestandardni 1d6 - isti kao i vaš, ali umjesto jedan na jednom licu - slika Zmaja (dakle, kasino ima kocku Dragon-2-3-4-5-6). Ako kuća dobije Zmaja, automatski pobjeđuje, a vi - gubite. Ako oboje dobijete isti broj, neriješeno je i ponovno bacate kocku. Pobjeđuje onaj tko baci najveći broj.

Naravno, ne ide sve u potpunosti u korist igrača, jer kasino ima prednost u vidu Zmajevog ruba. Ali je li doista tako? Moraš to shvatiti. Ali prije toga provjerite svoju intuiciju. Recimo da je dobitak 2 prema 1. Dakle, ako pobijedite, zadržavate svoju okladu i udvostručujete se. Na primjer, ako se kladite na 1 dolar i pobijedite, zadržavate taj dolar i dobivate još 2 na vrhu za ukupno 3 dolara. Ako izgubite, gubite samo svoju okladu. Biste li igrali? Dakle, osjećate li intuitivno da je vjerojatnost veća od 2 prema 1 ili još uvijek mislite da je manja? Drugim riječima, u prosjeku u 3 utakmice, očekujete li pobjedu više od jednom, manje ili jednom?

Kada se vaša intuicija sredi, primijenite matematiku. Postoji samo 36 mogućih pozicija za obje kocke, tako da ih sve možete izračunati bez problema. Ako niste sigurni u ovu rečenicu 2 prema 1, razmislite o sljedećem: Pretpostavimo da ste igrali igru ​​36 puta (kladite se 1 dolar svaki put). Za svaku pobjedu dobivate 2 $, za svaki gubitak gubite 1 $, a remi ništa ne mijenja. Izračunajte sve svoje vjerojatne pobjede i gubitke i odlučite hoćete li izgubiti neki iznos dolara ili dobiti. Zatim se zapitajte koliko je vaša intuicija bila ispravna. A onda – shvati kakav sam negativac.

I, da, ako ste već razmišljali o ovom pitanju - namjerno vas zbunjujem iskrivljavajući stvarnu mehaniku igara s kockicama, ali sam siguran da možete prevladati ovu prepreku uz samo dobro razmišljanje. Pokušajte sami riješiti ovaj problem. Ovdje ću objaviti sve odgovore sljedeći tjedan.

Igra # 2 - bacanje sreće

Riječ je o igri na sreću koja se zove Luck Roll (također Birdcage, jer se ponekad kockice ne bacaju, već stavljaju u veliki žičani kavez, koji podsjeća na kavez za Bingo). To je jednostavna igra koja se svodi na nešto poput ovoga: kladite se, recimo, na 1 dolar na broj između 1 i 6. Zatim bacate 3d6. Za svaku kocku koja pogodi vaš broj, dobivate 1 dolar (i zadržavate svoj izvorni ulog). Ako se vaš broj ne pojavi ni na jednoj kocki, kasino dobiva vaš dolar, a vi - ništa. Dakle, ako se kladite na 1 i dobijete 1 na rubovima tri puta, dobit ćete 3 USD.

Intuitivno se čini da ova igra ima jednake šanse. Svaka kocka je pojedinačna šansa 1 prema 6 za pobjedu, tako da su u zbroju sve tri vaše šanse za pobjedu 3 prema 6. Međutim, naravno, zapamtite da sastavljate tri odvojene kocke i smijete zbrajati samo ako govorimo o odvojenim dobitnim kombinacijama istih kockica. Nešto što ćete morati umnožiti.

Nakon što ste skužili sve moguće rezultate (vjerojatno je to lakše napraviti u Excelu nego ručno, budući da ih je 216), igra na prvi pogled i dalje izgleda čudno i ravnomjerno. Ali u stvarnosti, kasino još uvijek ima više šansi za pobjedu - koliko više? Konkretno, koliko novca u prosjeku očekujete izgubiti za svaki krug igre? Sve što trebate učiniti je zbrojiti pobjede i poraze svih 216 rezultata, a zatim podijeliti sa 216, što bi trebalo biti prilično jednostavno... Ali kao što vidite, postoji nekoliko zamki u koje možete upasti, zbog čega ja Kažem vam: ako smatrate da su izgledi za pobjedu jednaki u ovoj igri, sve ste pogriješili.

Igra # 3 - 5 Card Stud Poker

Ako ste se zagrijavali u prethodnim igrama, provjerimo što znamo o uvjetnoj vjerojatnosti s ovom kartaškom igrom. Konkretno, zamislimo poker sa špilom od 52 karte. Zamislimo i 5 Card Stud, gdje svaki igrač dobiva samo 5 karata. Ne možete odbaciti kartu, ne možete izvući novu, nema zajedničkog špila - dobivate samo 5 karata.

Royal Flush je 10-J-Q-K-A u jednoj ruci, ukupno ih ima četiri, tako da postoje četiri moguća načina da dobijete Royal Flush. Izračunajte vjerojatnost da ćete dobiti jednu takvu kombinaciju.

Moram vas upozoriti na jednu stvar: zapamtite da ovih pet karata možete izvući bilo kojim redoslijedom. Odnosno, u početku možete izvući asa, ili desetku, nije važno. Dakle, dok izračunavate ovo, imajte na umu da zapravo postoje više od četiri načina da dobijete Royal Flush pod pretpostavkom da su karte podijeljene po redu!

Igra #4 - Lutrija MMF-a

Četvrti problem neće biti tako lako riješiti metodama o kojima smo danas govorili, ali možete jednostavno simulirati situaciju koristeći programiranje ili Excel. Upravo na primjeru ovog problema možete razraditi Monte Carlo metodu.

Ranije sam spomenuo igru ​​"Chron X" na kojoj sam radio, a bila je i jedna vrlo zanimljiva karta - lutrija MMF-a. Evo kako je to funkcioniralo: koristili ste ga u igri. Nakon završetka runde, karte su se preraspodijelile, te je postojala 10% mogućnost da karta napusti igru, te da će slučajni igrač dobiti 5 jedinica svake vrste resursa čiji se token nalazi na ovoj kartici. Karta je stavljena u igru ​​bez ijednog žetona, ali svaki put kada je ostala u igri na početku sljedeće runde, dobivala je jedan žeton. Dakle, postojala je 10% šanse da ćete je uvesti u igru, runda bi završila, karta bi izašla iz igre i nitko ne bi dobio ništa. Ako se to ne dogodi (s vjerojatnošću od 90%), postoji 10% šanse (zapravo 9%, budući da je ovo 10% od 90%) da će u sljedećem kolu napustiti igru, a netko će dobiti 5 jedinice resursa. Ako karta izađe iz igre nakon jedne runde (10% od raspoloživih 81%, dakle vjerojatnost je 8,1%), netko će dobiti 10 jedinica, nakon drugog kruga - 15, još 20, itd. Pitanje: Koja je opća očekivana vrijednost broja resursa koje ćete dobiti od ove kartice kada ona konačno napusti igru?

Obično bismo ovaj problem pokušali riješiti pronalaženjem mogućnosti svakog ishoda i množenjem s brojem svih ishoda. Dakle, postoji 10% šanse da ćete dobiti 0 (0,1 * 0 = 0). 9% da ćete dobiti 5 jedinica resursa (9% * 5 = 0,45 resursa). 8,1% onoga što dobijete 10 (8,1% * 10 = 0,81 ukupnih resursa, očekivana vrijednost). itd. A onda bismo sve zbrojili.

A sada vam je problem očit: uvijek postoji šansa da kartica neće napustiti igru ​​kako bi mogla ostati u igri zauvijek i uvijek, za beskonačan broj krugova, tako da su mogućnosti izračunavanja svaka prilika ne postoji. Metode koje smo danas naučili ne daju nam mogućnost izračunavanja beskonačne rekurzije, pa ćemo je morati stvoriti umjetno.

Ako ste dovoljno dobri u programiranju, napišite program koji simulira ovu karticu. Trebali biste imati vremensku petlju koja vraća varijablu na izvornu nultu poziciju, prikazuje nasumični broj i ima 10% šanse da varijabla izađe iz petlje. Inače, varijabli se dodaje 5 i petlja se ponavlja. Kada se konačno izbije iz petlje, povećajte ukupan broj probnih izvođenja za 1 i ukupan broj resursa (koliko ovisi o tome gdje je varijabla stala). Zatim resetirajte varijablu i počnite ispočetka. Pokrenite program nekoliko tisuća puta. Konačno, podijelite ukupne resurse s ukupnim vožnjama - to će biti vaša očekivana vrijednost u Monte Carlu. Pokrenite program nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje dobijete otprilike isti; ako je širenje još uvijek veliko, povećajte broj ponavljanja u vanjskoj petlji dok ne počnete dobivati ​​šibice. Možete biti sigurni da će sve brojke koje završite biti približno točne.

Ako niste upoznati s programiranjem (ili čak i ako jeste), evo male vježbe za zagrijavanje vaših Excel vještina. Ako ste dizajner igara, Excel vještine nikada nisu suvišne.

Za sada će dobro doći funkcije IF i RAND. RAND ne zahtijeva nikakve vrijednosti, samo daje nasumični decimalni broj između 0 i 1. Obično ga kombiniramo s FLOOR-om i prednostima i nedostacima kako bismo simulirali bacanje kocke, što sam ranije spomenuo. Međutim, u ovom slučaju ostavljamo samo 10% šanse da će kartica napustiti igru, tako da možemo samo provjeriti je li RAND vrijednost manja od 0,1 i ne zamarati se više s tim.

IF ima tri značenja. Redom, uvjet koji je istinit ili ne, zatim vrijednost koja se vraća ako je uvjet istinit, i vrijednost koja se vraća ako uvjet nije istinit. Dakle, sljedeća funkcija će vratiti 5% vremena, a 0 ostalih 90% vremena:
= IF (RAND ()<0.1,5,0)

Postoji mnogo načina za postavljanje ove naredbe, ali ja bih koristio formulu poput ove za ćeliju koja predstavlja prvi krug, recimo da je to ćelija A1:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

Ovdje koristim negativnu varijablu da znači "ova kartica nije napustila igru ​​i još nije donirala nikakve resurse." Dakle, ako je prva runda gotova i karta nije u igri, A1 je 0; inače je -1.

Za sljedeću ćeliju koja predstavlja drugi krug:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

Dakle, ako je prva runda gotova i kartica odmah napusti igru, A1 je 0 (broj resursa) i ova će ćelija jednostavno kopirati tu vrijednost. U suprotnom slučaju, A1 je -1 (karta još nije izašla iz igre), a ova se ćelija nastavlja nasumično kretati: 10% vremena vratit će 5 jedinica resursa, dok će ostatak vremena njezina vrijednost i dalje biti biti -1. Ako ovu formulu primijenimo na dodatne ćelije, dobivamo dodatne runde, a koja god ćelija vam ispadne na kraju, dobit ćete konačni rezultat (ili -1 ako karta nije izašla iz igre nakon svih odigranih rundi) .

Uzmite ovaj red ćelija, koji je jedini krug s ovom karticom, i kopirajte i zalijepite nekoliko stotina (ili tisuća) redaka. Možda nećemo moći beskrajna test za Excel (postoji ograničen broj ćelija u tablici), ali barem možemo pokriti većinu slučajeva. Zatim odaberite jednu ćeliju u koju ćete smjestiti prosjek rezultata svih rundi (Excel ljubazno nudi funkciju PROSJEK () za to).

U sustavu Windows možete barem pritisnuti F9 da ponovno prebrojite sve nasumične brojeve. Kao i prije, učinite to nekoliko puta i provjerite jesu li dobivene vrijednosti iste. Ako je širina preširoka, udvostručite broj trčanja i pokušajte ponovno.

Neriješeni zadaci

Ako slučajno imate diplomu iz Vjerojatnosti i navedeni problemi vam se čine prelaki, evo dva problema oko kojih sam godinama zbunjivao, ali nažalost, nisam toliko dobar u matematici da bih ih riješio. Ako iznenada znate rješenje, molimo vas da ga objavite ovdje u komentarima, sa zadovoljstvom ću ga pročitati.

Neriješeni problem broj 1: LutrijaMMF-a

Prvi neriješeni problem je prethodni domaći zadatak. Lako mogu primijeniti Monte Carlo metodu (koristeći C++ ili Excel), i bit ću siguran u odgovor na pitanje "koliko će resursa igrač dobiti", ali ne znam točno kako dati točan dokaziv odgovorite matematički (ovo je beskonačan niz). Ako znate odgovor, objavite ga ovdje ... nakon što ga provjerite s Monte Carlom, naravno.

Neriješeni problem #2: Nizovi oblika

Ovaj problem (i opet ide dalje od zadataka riješenih na ovom blogu) mi je bacio poznati igrač prije više od 10 godina. Primijetio je jednu zanimljivu osobinu igrajući blackjack u Vegasu: kada je izvadio karte iz cipele za 8 špilova, vidio je deset komada u nizu (komad, ili piece card - 10, Joker, King ili Queen, dakle ima ih 16 u standardnom špilu od 52 karte, dakle ima ih 128 u cipeli od 416 karata). Kolika je vjerojatnost da u ovoj cipeli barem jedan niz deset ili više figure? Pretpostavimo da su izmiješani iskreno, slučajnim redoslijedom. (Ili, ako vam se više sviđa, kolika je vjerojatnost da nigdje nije pronađena niz od deset ili više oblika?)

Možemo pojednostaviti zadatak. Ovdje je niz od 416 dijelova. Svaki dio je 0 ili 1. Ima 128 jedinica i 288 nula nasumično razbacanih po nizu. Koliko postoji načina da se 128 jedinica nasumično umiješa s 288 nula i koliko će puta na te načine postojati barem jedna grupa od deset ili više jedinica?

Svaki put, čim sam počeo rješavati ovaj problem, činilo mi se lako i očito, ali čim se udubim u detalje, odjednom se raspao i činio mi se jednostavno nemogućim. Stoga nemojte žuriti s zamućenjem odgovora: sjednite, dobro razmislite, proučite uvjete problema, pokušajte zamijeniti stvarne brojeve, jer svi ljudi s kojima sam razgovarao o ovom problemu (uključujući nekoliko diplomiranih studenata koji rade na ovom području) reagirao otprilike isto: "To je sasvim očito... oh, ne, čekaj, uopće nije očito." To je slučaj za koji nemam metodu za izračun svih opcija. Sigurno bih mogao grubo forsirati problem pomoću računalnog algoritma, ali bilo bi mnogo znatiželjnije znati matematički način rješavanja ovog problema.

Prijevod - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Metoda glazbene kompozicije s labavim zvučnim tekstom; kao samostalan način skladanja glazbe uobličio se u XX. stoljeću. A. znači potpuno ili djelomično odbijanje skladatelja od stroge kontrole nad glazbenim tekstom, ili čak eliminaciju same kategorije skladatelja-autora u tradicionalnom smislu. A.-ova inovativnost leži u povezivanju stabilno uspostavljenih sastavnica glazbenog teksta s namjerno unesenom slučajnošću, proizvoljnom pokretljivošću glazbene materije. Pojam A. može se odnositi i na opći raspored dijelova eseja (na formu) i na strukturu njegovog tkiva. Prema E. Denisov, interakcija između stabilnosti i pokretljivosti tkiva i oblika daje 4 glavne vrste kombinacije, od kojih su tri - 2., 3. i 4. - aleatorične: 1. Stabilno tkivo - stabilan oblik (uobičajeni tradicionalni sastav, opus perfectum et absolutum; kao npr. primjer, 6 simfonija Čajkovskog); 2. Stabilna tkanina - pokretni oblik; prema V. Lutoslavsu, „A. oblici ”(P. Boulez, 3. sonata za klavir, 1957.); 3. Tkanina je pokretna - oblik je stabilan; ili, prema Lutoslavskom, „A. teksture ”(Lutoslawski, Gudački kvartet, 1964., Glavni stav); 4. Tkanina je pokretna - forma je pokretna; ili „A. Kavez "(uz kolektivnu improvizaciju nekoliko izvođača). To su čvorne točke A. metode, oko kojih se nalazi mnogo različitih specifičnih tipova i slučajeva struktura, različitih stupnjeva uronjenja u A.; osim toga, prirodni su i metabololi ("modulacije") - prijelaz s jedne vrste ili vrste na drugu, također na stabilan tekst ili iz njega.

A. je postao široko rasprostranjen od 1950-ih, nakon što se pojavio (zajedno s sonorika), posebice, reakcija na ekstremno porobljavanje glazbene strukture u višeparametarskom serijalizmu (vidi: Dodekafonija). U međuvremenu, načelo slobode strukture na ovaj ili onaj način ima drevne korijene. U suštini, narodna glazba je tok zvuka, a ne jedinstveno strukturiran opus. Otuda i nestabilnost, „neprihvaćanje“ narodne glazbe, promjenjivost, varijabilnost i improvizacija u njoj. Nezatražena, improvizirana forma karakteristična je za tradicionalnu glazbu Indije, naroda Dalekog istoka, Afrike. Stoga se predstavnici A. aktivno i svjesno oslanjaju na bitna načela orijentalne i narodne glazbe. Elementi A. postojali su i u europskoj klasičnoj glazbi. Primjerice, među bečkim klasicima, koji su eliminirali načelo generalnog basa i glazbeni tekst učinili potpuno stabilnim (simfonije i kvarteti I. Haydna), oštar kontrast bila je "kadenca" u obliku instrumentalnog koncerta - virtuoz. solo, dio kojeg skladatelj nije skladao, ali je dao prema nahođenju izvođača (element A. forme). Poznate komične "aleatorične" metode komponiranja jednostavnih komada (menueta) kombiniranjem glazbenih komada na kockicama (Würfelspiel) u doba Haydna i Mozarta (traktat JF Kirnbergera "U bilo koje vrijeme spreman skladatelj poloneza i menueta." Berlin, 1757).

U XX. stoljeću. načelo "individualnog projekta" u obliku je počelo sugerirati prihvatljivost tekstualnih verzija djela (tj. A.). Godine 1907. Američki skladatelj Charles Ives skladao je klavirski kvintet "Hallwe" en (= "All Saints' Eve"), čiji bi tekst, kada se izvodi na koncertu, trebao odsvirati različito četiri puta zaredom. Kavez sastavljen 1951. "Glazba promjena" za klavir, čiji je tekst skladao "manipulirajući nesreće" (riječi skladatelja), koristeći za to kinesku "Knjigu promjena". Klasi-

primjer A. - "Klavirski komad XI" K. Stockhausen, 1957. Na listu papira cca. 0,5 sq. M. 19 glazbenih djela poredano je slučajnim redoslijedom. Pijanist počinje s bilo kojim od njih i svira ih slučajnim redoslijedom, prateći nasumično spušten pogled; na kraju prethodnog odlomka napisano je kojim tempom i kojom glasnoćom svirati sljedeći. Kad se pijanistu učini da je sve fragmente već odsvirao na ovaj način, treba ih ponovno odsvirati istim slučajnim redoslijedom, ali vedrijim zvukom. Nakon drugog kruga igra se završava. Za veći učinak, preporuča se ponoviti aleatorsko djelo na jednom koncertu - slušatelju će biti predstavljena druga skladba iz istog materijala. Metodu A. naširoko koriste moderni skladatelji. (Boulez, Stockhausen, Lutoslavski, A. Volkonski, Denisov, Schnittke i tako dalje.).

Preduvjet za A. u XX. stoljeću. pojavili su se novi zakoni sklad te proizašle sklonosti traženju novih oblika koji odgovaraju novom stanju glazbenog materijala i obilježja avangarda. Aleatorska tekstura bila je potpuno nezamisliva prije emancipacije disonanca, razvoj atonalne glazbe (vidi: Dodekafonija). A. Lutoslawski, pristaša “ograničenog i kontroliranog”, u tome vidi nepobitnu vrijednost: “A. otvorio mi je nove i neočekivane perspektive. Prije svega, postoji ogromno bogatstvo ritma, nedostižno uz pomoć drugih tehnika." Denisov, opravdavajući "uvođenje elemenata slučajnosti u glazbu", tvrdi da nam to "daje veću slobodu u radu s glazbenom materijom i omogućuje nam dobivanje novih zvučnih efekata.<...>, ali ideje mobilnosti mogu dati dobre rezultate samo ako<... >ako destruktivne tendencije skrivene u pokretljivosti ne unište konstruktivnost potrebnu za postojanje bilo koje umjetničke forme."

Neke druge metode i oblici glazbe presijecaju se s A. Prije svega, to su: 1. improvizacija - izvedba djela nastalog tijekom sviranja; 2. grafička glazba, koje izvođač improvizira prema vizualnim slikama crteža postavljenog ispred njega (npr. I. Brown, Folio", 1952.), prevodeći ih u zvučne slike, ili prema glazbeno-aleatoričnoj grafiki koju je skladatelj stvorio iz komadi glazbenog teksta na listu papira (S. Bussotti, Strast za vrtom, 1966.); 3. događa- improvizirana (u tom smislu, aleatorična) radnja (Zaliha) uz sudjelovanje glazbe s proizvoljnim (kvazi) zapletom (primjerice, događaj A. Volkonskog “Remark” ansambla “Madrigal” u sezoni 1970/71); 4. otvoreni oblici glazbe – odnosno oni čiji tekst nije stabilno fiksiran, ali se svaki put dobiva u procesu izvedbe. Riječ je o tipovima skladbi koje u principu nisu zatvorene i dopuštaju beskonačan nastavak (npr. sa svakom novom izvedbom), inž. Radovi u tijeku. Za P. Bouleza jedan od poticaja koji ga je okrenuo ka otvorenom obliku bio je rad J. Joyce("Ulysses") i S. Mallarmé ("Le Livre"). Primjer otvorene kompozicije je “Available Forms II”, što znači “Potencijalni oblici” Irla Browna za 98 instrumenata i dva dirigenta (1962.). Sam Brown ističe vezu između njegove otvorene forme i "mobila" u vizualnoj umjetnosti (vidi: kinetička umjetnost), posebice A. Caldera ("Calder Piece" za 4 bubnjara i Calderov mo-bil, 1965.). Konačno, radnja “Gesamtkunst” prožeta je aleatorskim principima (vidi: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedija, čija je specifičnost sinkronizacija instalacije nekoliko umjetnosti (primjerice: koncert + izložba slikarstva i kiparstva + večer poezije u bilo kojoj kombinaciji umjetnosti itd.). Dakle, bit je A. pomiriti tradicionalno uspostavljeni umjetnički poredak i osvježavajući enzim nepredvidljivosti, slučajnosti – tendencija karakteristična za umjetničke kulture XX stoljeća. općenito i neklasična estetika.

Lit .: Denisov E.V. Stabilni i pokretni elementi glazbene forme i njihova interakcija // Teorijski problemi glazbenih oblika i žanrova. M., 1971; Kogutek Ts. Kompozicijska tehnika u glazbi 20. stoljeća. M., 1976; Lutoslavski V.Članci, br

sijeda kosa, uspomene. M., 1995.; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958.; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schäffer B. Nowa muzyka (1958). Krakov, 1969.; Schäffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakov, 1975.; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960.) // Texte, Bd. L, Köln, 1963.; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Einsteinova tvrdnja da Bog ne igra kockice sa svemirom pogrešno je protumačena

Nekoliko je Einsteinovih fraza bilo tako široko citirano kao njegova primjedba da se Bog ne igra kockicama sa svemirom. Ljudi prirodno uzimaju ovaj njegov duhoviti komentar kao dokaz da se on dogmatski protivio kvantnoj mehanici, koja na slučajnost gleda kao na karakterističnu značajku fizičkog svijeta. Kada se jezgra radioaktivnog elementa raspadne, to se događa spontano, ne postoji pravilo koje vam točno govori kada i zašto će se to dogoditi. Kada čestica svjetlosti udari u poluprozirno zrcalo, ona se ili odbija od njega ili prolazi kroz njega. Ishod može biti bilo koji do trenutka kada se ovaj događaj dogodio. I ne morate ići u laboratorij da biste vidjeli ovu vrstu procesa: mnoge internetske stranice prikazuju tokove slučajnih brojeva koje generiraju Geigerovi brojači ili kvantna optika. Iako su čak i u načelu nepredvidivi, takvi su brojevi idealni za kriptografiju, statistiku i online poker turnire.

Einstein, kako kaže standardna legenda. odbio prihvatiti činjenicu da su neki događaji po svojoj prirodi nedeterministički. - jednostavno se događaju i ništa se ne može učiniti da se shvati zašto. Ostajući gotovo u sjajnoj izolaciji, okružen svojim vršnjacima, objema je rukama prionuo za mehanički svemir klasične fizike, mehanički mjereći sekunde, u kojima svaki trenutak predodređuje što će se dogoditi u sljedećem. Linija kockica bila je pokazatelj druge strane njegova života: tragedija revolucionara koji je postao reakcionar koji je revolucionirao fiziku svojom teorijom relativnosti, ali - kako je Niels Bohr diplomatski rekao - kada se suočio s kvantnom teorijom, "otišao je na večeru. "

Međutim, tijekom godina, mnogi povjesničari, filozofi i fizičari doveli su u pitanje ovo tumačenje priče. Dok su uranjali u more svega što je Einstein zapravo rekao, otkrili su da su njegovi sudovi o nepredvidivosti radikalniji i da imaju širi raspon nijansi nego što ih obično slikaju. “Pokušaj iskopati istinitu priču postaje svojevrsno misionarsko djelo”, kaže Don A. Howard, povjesničar sa Sveučilišta Notre Dame. Kao što su on i drugi povjesničari znanosti pokazali, Einstein je prepoznao nedeterminističku prirodu kvantne mehanike – što nije iznenađujuće, budući da je upravo on otkrio njezin indeterminizam. Ono što nikada nije priznao je da je indeterminizam temeljne prirode. Sve je to ukazivalo da problem nastaje na dubljoj razini stvarnosti, koju teorija nije reflektirala. Njegova kritika nije bila mistična, već je bila usmjerena na specifične znanstvene probleme koji su do danas ostali neriješeni.

Pitanje je li satni mehanizam svemir ili stol s kockicama ruši temelje onoga što mislimo da je fizika: potraga za jednostavnim pravilima koja su u osnovi zadivljujuće raznolikosti prirode. Ako se nešto dogodi bez razloga, to prestaje racionalno istraživanje. "Fundamentalni nedeterminizam značio bi kraj znanosti", kaže Andrew S. Friedman, kozmolog s Massachusetts Institute of Technology. Ipak, filozofi su kroz povijest vjerovali da je indeterminizam nužan uvjet za ljudsku slobodnu volju. Ili smo svi mi zupčanici satnog mehanizma, pa je stoga sve što radimo unaprijed određeno, ili smo mi djelatna snaga vlastite sudbine, u kojem slučaju Svemir ipak ne bi trebao biti deterministički.

Ta je dihotomija imala vrlo stvarne posljedice, očitovane u načinu na koji društvo čini ljude odgovornim za svoje postupke. Naš pravni sustav temelji se na pretpostavci slobodne volje; da bi optuženi bio proglašen krivim, morao je djelovati s namjerom. Sudovi se neprestano razbijaju oko pitanja: što ako je osoba nevina zbog ludila, mladenačke impulzivnosti ili pokvarenog društvenog okruženja?

Međutim, kad god ljudi govore o dihotomiji, oni to pokušavaju razotkriti kao zabludu. Doista, mnogi filozofi vjeruju da je besmisleno govoriti o tome je li svemir deterministički ili nedeterministički. Može biti oboje, ovisno o tome koliko je velik ili složen predmet istraživanja: čestice, atomi, molekule, stanice, organizmi, psiha, zajednice. "Razlika između determinizma i indeterminizma je razlika ovisno o razini proučavanja problema", kaže Christian List, filozof s Londonske škole ekonomije i političkih znanosti. s indeterminizmom na višoj i nižoj razini." Atomi u našem mozgu mogu se ponašati na apsolutno deterministički način, dok nam u isto vrijeme ostavljaju slobodu djelovanja, budući da atomi i organi funkcioniraju na različitim razinama.

Isto tako, Einstein je tražio determinističku subkvantnu razinu, ne poričući da je kvantna razina vjerojatnostna.

Što je Einstein prigovorio

Kako je Einstein zaslužio oznaku protivnika kvantne teorije, gotovo je jednako velika misterija kao i sama kvantna mehanika. Sam koncept kvanta - diskretne jedinice energije - bio je plod njegovih promišljanja 1905. godine i desetljeće i pol praktički je stajao sam u njegovu obranu. Einstein je to predložio. ono što fizičari danas smatraju glavnim obilježjima kvantne fizike, kao što je čudna sposobnost svjetlosti da djeluje kao čestica i kao val, a Erwin Schrödinger je iz svojih promišljanja o fizici valova razvio najšire prihvaćenu formulaciju kvantne teorija 1920-ih. Ni Einstein nije bio protivnik slučajnosti. Godine 1916. pokazao je da kada atomi emitiraju fotone, vrijeme i smjer zračenja su slučajne veličine.

"Ovo je u suprotnosti s popularnim prikazom Einsteina kao protivnika vjerojatnosnog pristupa", tvrdi Jan von Plateau sa Sveučilišta u Helsinkiju. Ali Einstein i njegovi suvremenici suočili su se s ozbiljnim problemom. Kvantni fenomeni su slučajni, ali sama kvantna teorija nije. Schrödingerova jednadžba je 100% deterministička. Ona opisuje česticu ili sustav čestica koristeći ono što se naziva valna funkcija, koja iskorištava prednost valne prirode čestica i objašnjava valni uzorak koji formira skup čestica. Jednadžba predviđa točno što će se dogoditi s valnim funkcijama u bilo kojem trenutku. Na mnogo načina, ova je jednadžba više deterministička od Newtonovih zakona gibanja: ne dovodi do zabune, kao što je singularnost (gdje količine postaju beskonačne i stoga ih je nemoguće opisati) ili kaos (gdje gibanje postaje nepredvidivo).

Kvaka je u tome što je determinizam Schrödingerove jednadžbe determinizam valne funkcije, a valna funkcija se ne može promatrati izravno, za razliku od položaja i brzina čestica. Umjesto toga, valna funkcija određuje količine koje se mogu promatrati i vjerojatnost svake od mogućih opcija. Teorija ostavlja otvorenim pitanja što je sama valna funkcija i treba li je smatrati doslovno pravim valom u našem materijalnom svijetu. Sukladno tome, ostaje otvoreno sljedeće pitanje: je li opažena slučajnost integralno intrinzično svojstvo prirode ili je to samo njezina fasada? "Tvrdi se da je kvantna mehanika nedeterministička, ali ovo je prenagli zaključak", kaže filozof Christian Wuthrich sa Sveučilišta u Ženevi u Švicarskoj.

Werner Heisenberg, još jedan od pionira koji je postavio temelje kvantne teorije, zamišljao je valnu funkciju kao izmaglicu potencijalnog postojanja. Ako nije moguće jasno i nedvosmisleno naznačiti gdje se čestica nalazi, to je zato što se čestica zapravo ne nalazi nigdje na određenom mjestu. Tek kada promatrate česticu, ona se materijalizira negdje u svemiru. Valna funkcija mogla bi biti zamućena u ogromnom prostoru prostora, ali u trenutku kada se promatra, ona se trenutno urušava, skuplja u usku točku koja se nalazi na jednom određenom mjestu i odjednom se tamo pojavljuje čestica. Ali čak i kada pogledate česticu – prasak! - odjednom se prestaje ponašati deterministički i skače u konačno stanje, poput djeteta koje se hvata za stolicu u igrici "glazbenih stolica". (Igra se sastoji u tome da djeca plešu u kolu oko stolica, čiji je broj za jedan manji od broja igrača, i pokušavaju sjesti na prazno sjedalo čim glazba prestane).

Ne postoji zakon koji bi regulirao ovaj kolaps. Za njega ne postoji jednadžba. Jednostavno se dogodi – to je to! Kolaps je postao ključni element tumačenja Kopenhagena: pogled na kvantnu mehaniku nazvanu po gradu u kojem su Bohr i njegov institut, zajedno s Heisenbergom, obavili većinu temeljnog posla. (Paradoksalno, sam Bohr nije prepoznao kolaps valne funkcije). Kopenhaška škola smatra da je promatrana slučajnost kvantne fizike njezina nominalna karakteristika koja prkosi daljnjem objašnjenju. Većina fizičara slaže se s tim, a jedan od razloga za to je tzv. anchoring effect, ili anchoring effect, poznat iz psihologije: ovo je potpuno zadovoljavajuće objašnjenje, a pojavilo se prvo. Iako se Einstein nije protivio kvantnoj mehanici, definitivno se protivio njezinoj kopenhagenskoj interpretaciji. Pošao je od ideje da čin mjerenja uzrokuje prekid u kontinuiranoj evoluciji fizičkog sustava, te je u tom kontekstu počeo izražavati svoje protivljenje božanskom bacanju kostiju. “Upravo zbog toga je Einstein lamentirao 1926., a ne zbog sveobuhvatne metafizičke tvrdnje o determinizmu kao apsolutno nužnom uvjetu”, kaže Howard.

Pluralitet stvarnosti.Pa ipak – je li svijet deterministički ili ne? Odgovor na ovo pitanje ne ovisi samo o osnovnim zakonima gibanja, već io razini na kojoj opisujemo sustav. Razmotrimo pet atoma u plinu koji se kreću deterministički (gornji dijagram). Oni započinju svoje putovanje s gotovo istog mjesta i postupno se razilaze. Međutim, na makroskopskoj razini (donji dijagram) nisu vidljivi pojedinačni atomi, već amorfni tok u plinu. Nakon nekog vremena, plin će vjerojatno biti nasumično raspoređen u nekoliko tokova. Ova slučajnost na makro razini nusproizvod je promatračevog neznanja zakona mikrorazine, to je objektivno svojstvo prirode koje odražava način na koji se atomi spajaju. Isto tako, Einstein je sugerirao da deterministička unutarnja struktura svemira vodi do vjerojatnosne prirode kvantnog područja.

Kolaps teško da bi mogao biti pravi proces, tvrdio je Einstein. To bi zahtijevalo trenutnu akciju na daljinu - tajanstveni mehanizam kojim se, recimo, i lijeva i desna strana valne funkcije kolabiraju u istu sićušnu točku, čak i kada nikakva sila ne odgovara njihovom ponašanju. Ne samo Einstein, nego je svaki fizičar u njegovo vrijeme vjerovao da je takav proces nemoguć, da bi se morao odvijati brže od brzine svjetlosti, što je u očitoj suprotnosti s teorijom relativnosti. Zapravo, kvantna mehanika ne stavlja samo kockice u vaše ruke – ona vam daje parove kockica koje uvijek ispadaju na istom rubu, čak i ako jednu bacite u Vegasu, a drugu u Vega. Za Einsteina se činilo očitim da kocka mora varati, dopuštajući na skriveni način unaprijed utjecati na ishod bacanja. Ali kopenhaška škola poriče svaku takvu mogućnost, sugerirajući da zglobovi prstiju trenutno utječu jedni na druge u ogromnim prostranstvima svemira. Osim toga, Einstein je bio zabrinut zbog moći koju su Kopenhagenci pripisivali činu mjerenja. Uostalom, što je dimenzija? Može li to biti nešto što samo razumna bića, ili čak samo stalni profesori, mogu učiniti? Heisenberg i drugi predstavnici kopenhaške škole nikada nisu specificirali ovaj koncept. Neki ljudi sugeriraju da stvaramo okolnu stvarnost u svojim mislima u procesu promatranja - ideja koja izgleda poetično, možda čak i previše poetično. Einstein je također smatrao vrhuncem kopenhagenske drskosti tvrdeći da je kvantna mehanika potpuno potpuna, da je to konačna teorija koju nikada neće zamijeniti druga. Sve teorije, uključujući i svoju, smatrao je mostovima prema nečemu još većem.

Zapravo. Howard tvrdi da bi Einstein rado prihvatio indeterminizam kada bi imao odgovore na sve svoje probleme koje je trebalo riješiti - kada bi, na primjer, netko mogao jasno artikulirati što je mjerenje i kako čestice mogu ostati sinkronizirane bez dugog djelovanja. Indikacija da je Einstein smatrao indeterminizam sekundarnim problemom jest to što je postavio iste zahtjeve i odbacio determinističke alternative kopenhaškoj školi. Još jedan povjesničar, Arthur Fine sa Sveučilišta Washington. vjeruje. Da Howard preuveličava Einsteinovu podložnost indeterminizmu, ali se slaže da se njegove prosudbe temelje na čvršćem tlu nego što je nekoliko generacija fizičara vjerovalo, na temelju isječaka njegovih izreka o kocki.

Slučajne misli

Ako povučete konopac na strani kopenhaške škole, vjerovao je Einstein, otkrit ćete da je kvantni poremećaj kao i sve druge vrste poremećaja u fizici: proizvod je dubljeg uvida. Ples sitnih čestica prašine u snopu svjetlosti otkriva složeno kretanje molekula, a sličan je proces i emisija fotona ili radioaktivni raspad jezgri, smatra Einstein. Prema njegovom mišljenju, kvantna mehanika je evaluativna teorija koja izražava opće ponašanje građevnih blokova prirode, ali nema dovoljnu rezoluciju da uhvati pojedinačne detalje.

Dublja, potpunija teorija će u potpunosti objasniti kretanje - bez ikakvih zagonetnih skokova. S ove točke gledišta, valna funkcija je skupni opis, kao tvrdnja da će ispravna kocka, ako se više puta baca, pasti približno isti broj puta na svaku od svojih strana. Kolaps valne funkcije nije fizički proces, već stjecanje znanja. Ako bacite kocku sa šest strana i dođete do, recimo, četvorke, raspon izbora od jedan do šest se smanjuje, ili možete reći pada na stvarnu vrijednost četiri. Demon nalik Bogu sposoban pratiti detalje atomske strukture koji utječu na rezultat ispadanja kosti (tj. točno mjerenje kako vaša ruka gura i vrti kocku prije nego što je ispusti na stol) nikada neće govoriti o kolapsu.

Einsteinova intuicija bila je pojačana njegovim ranim radom o kolektivnom učinku molekularnog kretanja, proučavanom u grani fizike koja se zove statistička mehanika, u kojoj je pokazao da fizika može biti vjerojatnost čak i kada se fenomen temelji na determinističkoj stvarnosti. Godine 1935. Einstein je napisao filozofu Karlu Popperu: "Mislim da niste u pravu u svojoj izjavi da je nemoguće izvući statističke zaključke na temelju determinističke teorije. Uzmimo, na primjer, klasičnu statističku mehaniku (teoriju plinova ili teorija Brownovog gibanja). Vjerojatnosti u Einsteinovu shvaćanju bile su jednako stvarne kao i u tumačenju Kopenhaške škole. Manifestirajući se u temeljnim zakonima kretanja, oni odražavaju druga svojstva okolnog svijeta, nisu samo artefakti ljudskog neznanja. Einstein je predložio Popperu, kao primjer, da razmotri česticu koja se kreće u krugu konstantnom brzinom; vjerojatnost pronalaska čestice u danom presjeku kružnog luka odražava simetriju njezine putanje. Isto tako, vjerojatnost pada matrice na dano lice je jedna šestina, budući da ima šest jednakih aspekata. "U to je vrijeme bolje od većine razumio da je važan fizički entitet sadržan u detaljima statističko-mehaničke vjerojatnosti", kaže Howard.

Još jedna lekcija iz statističke mehanike bila je da veličine koje promatramo ne postoje nužno na dubljoj razini. Na primjer, plin ima temperaturu, ali nema smisla govoriti o temperaturi jedne molekule plina. Analogno, Einstein je došao do uvjerenja da je potrebna subkvantna teorija da bi se označio radikalni prekid s kvantnom mehanikom. Godine 1936. napisao je: “Nema sumnje da je kvantna mehanika uhvatila prekrasan element istine<...>Međutim, ne vjerujem da će kvantna mehanika biti početna točka u potrazi za ovim temeljima, kao što je obrnuto, ne možete ići od termodinamike (odnosno statističke mehanike) do temelja mehanike. ”Da bismo ispunili ovu dublju razinu, Einstein je tražio jedinstvenu teoriju, polje u kojem su čestice derivati ​​struktura koje uopće ne nalikuju česticama. Ukratko, konvencionalna mudrost da je Einstein odbio prepoznati vjerojatnost kvantne fizike je pogrešna. Pokušao je objasniti slučajnost , umjesto da se čini da uopće ne postoji.

Neka vaša razina bude najbolja

Iako je Einsteinov projekt stvaranja jedinstvene teorije propao, osnovna načela njegova intuitivnog pristupa slučajnosti i dalje su istinita: indeterminizam može proizaći iz determinizma. Kvantna i subkvantna razina - ili bilo koji drugi par razina u hijerarhiji prirode - sastavljene su od različitih tipova struktura, pa se pokoravaju različitim vrstama zakona. Zakon koji uređuje jednu razinu može prirodno dopustiti element slučajnosti, čak i ako su zakoni niže razine u potpunosti regulirani. "Deterministička mikrofizika ne stvara determinističku makrofiziku", kaže filozof Jeremy Butterfield sa Sveučilišta Cambridge.

Razmislite o kocki na atomskoj razini. Kocka se može sastojati od nezamislivo velikog broja konfiguracija atoma koji se golim okom međusobno potpuno ne razlikuju. Ako pratite bilo koju od ovih konfiguracija tijekom rotacije kocke, to će dovesti do specifičnog ishoda - strogo determinističkog. U nekim konfiguracijama kocka će se zaustaviti s jednom točkom na gornjem rubu, u drugima s dvije. itd. Stoga, jedno makroskopsko stanje (ako se kocka vrti) može dovesti do nekoliko mogućih makroskopskih ishoda (jedno od šest lica bit će na vrhu). “Ako kockice opišemo na makro razini, možemo je promatrati kao stohastički sustav koji dopušta objektivnu slučajnost”, kaže List, koji proučava konjugaciju razina s Marcusom Pivatom, matematičarem na Sveučilištu Cergy-Pontoise u Francuskoj.

Iako se viši sloj nadovezuje na niži, on je autonoman. Da biste opisali kocku, morate raditi na razini na kojoj kockice postoje kao takve, a kada to radite, ne možete a da ne zanemarite atome i njihovu dinamiku. Ako prijeđete jednu razinu s drugom, varate zamjenom kategorije: to je kao da pitate o političkoj pripadnosti sendviča s lososom (da se poslužimo primjerom filozofa Davida Alberta sa Sveučilišta Columbia). “Kada imamo fenomen koji se može opisati na različitim razinama, moramo konceptualno biti vrlo oprezni da ne pomiješamo razine”, kaže List. Iz tog razloga, rezultat bacanja kocke ne izgleda samo nasumično. To je doista nasumično. Bogolik demon se može hvaliti da točno zna što će se dogoditi, ali zna samo što će se dogoditi s atomima. Ni ne sluti što je kocka, budući da je to informacija više razine. Demon nikada ne vidi šumu, samo drveće. On je poput protagonista priče argentinskog književnika Jorgea Luisa Borgesa "Nezaboravne funes" - čovjek koji se svega sjeća, ali ništa ne shvaća. "Misliti znači zaboraviti razliku, generalizirati, apstrahirati", piše Borges. Zloduhu, kako bi znao na koju će stranu pasti kocka, potrebno je objasniti što treba tražiti. "Demon će moći razumjeti što se događa na najvišoj razini, samo ako mu se pruži detaljan opis kako definiramo granicu između razina", kaže List. Doista, nakon ovoga, demon će vjerojatno postati ljubomoran što smo smrtnici.

Logika razine također radi u suprotnom smjeru. Nedeterministička mikrofizika može dovesti do determinističke makrofizike. Bejzbol lopta može biti napravljena od čestica koje pokazuju kaotično ponašanje, ali njezin let je potpuno predvidljiv; kvantna slučajnost, usrednjavanje. nestaje. Isto tako, plinovi se sastoje od molekula koje čine iznimno složena - i praktički nedeterministička - kretanja, ali njihova temperatura i druga svojstva podliježu zakonima koji su jednostavni kao dva i dva. Štoviše, neki fizičari, poput Roberta Laughlina sa Sveučilišta Stanford, sugeriraju da je donja razina apsolutno irelevantna. Građevinski blokovi mogu biti bilo što, a ipak će njihovo kolektivno ponašanje biti isto. Uostalom, sustavi, čak i različiti sustavi poput molekula vode, zvijezda u galaksiji i automobila na autocesti, pokoravaju se istim zakonima protoka tekućine.

Napokon slobodan

Kada razmišljate o razinama, nestaje zabrinutost da će indeterminizam vjerojatno najaviti kraj znanosti. Oko nas nema visokog zida koji štiti naš zakoniti fragment Svemira od predmeta anarhije i ostatka neshvatljivog. Zapravo, svijet je slojevita torta determinizma i indeterminizma. Zemljinom klimom, na primjer, upravljaju Nyotonovi deterministički zakoni gibanja, ali je vremenska prognoza vjerojatnostna, a istovremeno su sezonski i dugoročni klimatski trendovi opet predvidljivi. Biologija također proizlazi iz determinističke fizike, ali organizmi i ekosustavi zahtijevaju druge metode opisa, poput darvinističke evolucije. "Determinizam ne objašnjava sve", kaže Daniel Dennett, filozof sa Sveučilišta Tufts.

Ljudi su isprepleteni unutar ovog lisnatog tijesta. Imamo snažan osjećaj slobodne volje. Često donosimo nepredvidive i uglavnom vitalne odluke, shvaćamo da smo mogli drugačije (i često žalimo što to nismo učinili). Tisućljećima su takozvani libertarijanci, pristaše filozofske doktrine slobodne volje (ne treba ih brkati s političkim trendom!), tvrdili da ljudska sloboda zahtijeva slobodu čestice. Nešto mora uništiti deterministički tijek događaja, na primjer, kvantna slučajnost ili "odstupanja", koja su, kako su vjerovali neki antički filozofi, atomi mogli doživjeti tijekom svog kretanja (uveden je koncept slučajnog nepredvidivog odstupanja atoma od njegove izvorne putanje Lukrecija u antičku filozofiju kako bi zaštitio atomsku doktrinu Epikura) ...

Glavni problem s ovim načinom razmišljanja je taj što oslobađa čestice, ali nas ostavlja robovima. Nije važno je li vaša odluka bila unaprijed određena tijekom Velikog praska ili sićušna čestica, to ipak nije vaša odluka. Da bismo bili slobodni, potreban nam je indeterminizam ne na razini čestica, već na razini čovjeka. A to je moguće jer su ljudska razina i razina čestica neovisne jedna o drugoj. Čak i ako se sve što radite može pratiti do prvih koraka, vi ste gospodar svojih postupaka, jer ni vi ni vaša djela ne postojite na razini materije, već samo na makro razini svijesti. "Ovaj makroindeterminizam utemeljen na mikrodeterminizmu vjerojatno jamči slobodnu volju", kaže Butterfield. Makroindeterminizam nije razlog vaših odluka. Ovo je tvoja odluka.

Neki će vam vjerojatno prigovoriti i reći da ste još uvijek lutka, a zakoni prirode djeluju kao lutkar, te da vaša sloboda nije ništa drugo do iluzija. Ali sama riječ "iluzija" priziva u sjećanju fatamorgane u pustinji i žene, prerezane na pola: sve to ne postoji u stvarnosti. Makroindeterminizam uopće nije isti. To je sasvim realno, samo nije temeljno. Može se usporediti sa životom. Pojedinačni atomi su apsolutno nežive materije, ali njihova ogromna masa može živjeti i disati. "Sve što ima veze s agentima, njihovim stanjima namjere, njihovim odlukama i izborima - nijedan od ovih entiteta nema nikakve veze s konceptualnim alatom fundamentalne fizike, ali to ne znači da ti fenomeni nisu stvarni", napominje Liszt . samo znači da su sve to fenomeni mnogo više razine."

Bila bi kategorička pogreška, ako ne i potpuno neznanje, opisati ljudske odluke mehanikom kretanja atoma u vašoj glavi. Umjesto toga, potrebno je koristiti sve pojmove psihologije: želja, prilika, namjera. Zašto sam pio vodu, a ne vino? Jer sam htio. Moje želje objašnjavaju moje postupke. U većini slučajeva, kada postavljamo pitanje "Zašto?", tražimo motivaciju pojedinca, a ne njegovu fizičku pozadinu. Psihološka objašnjenja dopuštaju određenu vrstu indeterminizma o kojem List govori. Na primjer, teoretičari igara modeliraju ljudsko odlučivanje izlažući niz opcija i objašnjavajući koju ćete odabrati ako djelujete racionalno. Vaša sloboda odabira određene opcije pokreće vaš izbor, čak i ako se nikada ne zadovoljite tom opcijom.

Naravno, Listovi argumenti ne objašnjavaju u potpunosti slobodnu volju. Hijerarhija razina otvara prostor za slobodnu volju, odvajajući psihologiju od fizike i dajući nam priliku za neočekivane stvari. Ali moramo iskoristiti ovu priliku. Kada bismo, na primjer, sve odluke donosili bacanjem novčića, to bi se i dalje smatralo makroindeterminizmom, ali teško da bi se to moglo kvalificirati kao slobodna volja u nekom smislenom smislu. S druge strane, donošenje odluka od strane nekih ljudi može biti toliko iscrpljujuće da se za njih ne može reći da djeluju slobodno.

Ovaj pristup problemu determinizma daje smisao i tumačenje kvantnoj teoriji, koja je predložena nekoliko godina nakon Einsteinove smrti 1955. godine. Naziva se interpretacijom mnogih svjetova ili Everettovom interpretacijom. Njegovi zagovornici tvrde da kvantna mehanika opisuje skup paralelnih svemira - multiverzum koji se, kao cjelina, ponaša deterministički, ali nam se čini nedeterminističkim, budući da možemo vidjeti samo jedan jedini svemir. Na primjer, atom može emitirati foton desno ili lijevo; kvantna teorija ostavlja otvorenim ishod ovog događaja. Prema tumačenju višesvjetova, takva se slika promatra jer se potpuno ista situacija događa u beskonačnom broju paralelnih svemira: u nekima od njih foton deterministički leti ulijevo, a u ostalima udesno. Bez mogućnosti da točno kažemo u kojem se od svemira nalazimo, ne možemo predvidjeti što će se dogoditi, pa ova situacija iznutra izgleda neobjašnjivo. "Ne postoji prava slučajnost u svemiru, ali događaji se promatraču mogu činiti nasumičnima", objašnjava kozmolog MIT-a Max Tegmark, poznati zagovornik ovog gledišta. "Slučajnost odražava vašu nesposobnost da odredite gdje se nalazite."

To je kao da kažete da se kockica ili mozak mogu izgraditi iz bilo koje od bezbroj atomskih konfiguracija. Ova konfiguracija sama po sebi može biti deterministička, ali budući da ne možemo znati koja odgovara našoj kockici ili našem mozgu, prisiljeni smo pretpostaviti da je ishod nedeterministički. Dakle, paralelni svemiri nisu neka egzotična ideja koja lebdi u bolesnoj mašti. Naše tijelo i naš mozak su maleni multiverzum, raznolikost je ta koja nam daje slobodu.

Kockice su ljudi koristili tisućama godina.

U 21. stoljeću nove tehnologije omogućuju vam da bacite kocku u bilo koje prikladno vrijeme, a ako imate pristup internetu, na prikladnom mjestu. Kocka je uvijek s vama kod kuće ili na putu.

Generator kockica vam omogućuje da bacite online od 1 do 4 kocke.

Pošteno bacajte kockice online

Kod korištenja pravih kockica može se koristiti ručna spretnost ili posebno izrađene kocke s prekomjernom težinom na jednoj strani. Na primjer, možete vrtjeti kocku duž jedne od osi i tada će se distribucija vjerojatnosti promijeniti. Značajka naših virtualnih kocki je korištenje softverskog generatora pseudoslučajnih brojeva. To vam omogućuje da pružite stvarno slučajnu opciju za ovaj ili onaj rezultat.

A ako ovu stranicu dodate u svoje oznake, vaše online kockice neće se nigdje izgubiti i uvijek će vam biti pri ruci u pravo vrijeme!

Neki ljudi su se prilagodili korištenju kockica na mreži za proricanje sudbine ili predviđanja i horoskope.

Sretno raspoloženje, dobar dan i sretno!

• Što se sada događa u životu Victoria Karaseva Victoria Karaseva i Ruslan
• Biografija Mihaila Glinke i njegovo djelo, ukratko najvažnije
• Maria Sittel: biografija Gdje je Marina Sittel iz večernjih vijesti
• Pjevač Tequila: biografija, osobni život, kreativna postignuća Alexander Tarasov tequila vk
• Život i djelo Bunina, IA
• Kratka biografija Gorkog, najvažnije Kratka biografija Maksima Gorkog, najvažnija stvar
• Alexander Radishchev - biografija, informacije, osobni život
• Gdje živi egor Creed. Yegor Creed: visina i težina. Yegor Creed: biografija, osobni život, zanimljive činjenice Znak Yegor Creed ek
• Koje su najbolje marke gitara Najpoznatije električne gitare
• Što je truss štap za gitaru? Podešavanje otklona vrata gitare

• Teorija vjerojatnosti. Rješavanje problema (2020). Kako izračunati vjerojatnost događaja u okladama? Izračunavanje vjerojatnosti događaja
• Mitovi o stvaranju zemlje različitih naroda
• Prvoaprilske šale i šale za prijatelje, roditelje, kolege
• Povijest pisanja grmljavina Ostrovskog nakratko
• Sonya Marmeladova - personifikacija dobra (prema romanu F
• Turgenjevljev stav prema Bazarovu
• Kakvo je bilo obrazovanje Oblomova?
• Karakteristike slike pukovnika Skalozuba u komediji "Jao od pameti. Upotreba obiteljskih i prijateljskih veza skalozuba
• Povijest stvaranja i objavljivanja
• Analiza "Na dnu" (Gorky Maxim)