У дома > Психология > Производна. Производни Производни от различен ред


Производна. Производни Производни от различен ред




производна функциив точката се нарича граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, при условие че клони към нула.

Основни правила за намиране на производната

Ако - и - са диференцируеми функции в точката (т.е. функции, които имат производни в точката), тогава:

4) .

Таблица с производни на основни функции

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Правилото за диференциране на сложна функция.Ако и , т.е. , където и има производни, тогава

Диференциране на параметрично дефинирана функция. Нека зависимостта на променлива от променлива е дадена параметрично с помощта на параметъра:

Задача 3. Намерете производни на дадени функции.

1)

Решение. Прилагайки правило 2 за намиране на производни и формули 1 и 2 от таблицата на производните, получаваме:

Решение.Прилагайки правило 4 за намиране на производни и формули 1 и 13 от таблицата на производните, получаваме:

.

Решение.Прилагайки правило 3 за намиране на производни и формули 5 и 11 от таблицата на производните, получаваме:

Решение.Ако приемем , където , съгласно формулата за намиране на производната на сложна функция, получаваме:

Решение. Имаме: Тогава, съгласно формулата за намиране на производната на дадена параметрично функция, получаваме:

4. Производни от по-високи разряди. Правилото на L'Hopital.

Производна от втори ред на функциясе нарича производна на нейната производна, т.е. . За втората производна се използва следната нотация: или , или .

Производна от 1-ви ред на функциясе нарича производна на нейната производна от ти ред. За производната от ти ред се използва следната нотация: или , или .

Правилото на L'Hopital.Нека функциите и са диференцируеми в околност на точката , а производната не изчезва. Ако функциите и са едновременно или безкрайно малки, или безкрайно големи за , и има граница на връзката за , тогава съществува и граница на връзката за . И

.

Правилото важи и когато.

Имайте предвид, че в някои случаи разкриването на несигурност във формата или може да изисква повторно прилагане на правилото на L'Hospital.



Вижте несигурности и др. елементарните трансформации лесно се свеждат до несигурности на формата или .

Задача 4. Намерете границата, като използвате правилото на L'Hopital.

РешениеТук имаме несигурност на формата при . Нека приложим правилото на L'Hospital:

.

След прилагане на правилото на L'Hopital отново получихме несигурността на формата , защото при . Прилагайки отново правилото на L'Hopital, получаваме:

.

5. Функционално изследване

а) Нарастващи и намаляващи функции

Функцията се извиква повишаване нана сегмента , ако за всякакви точки и от отсечката , където , неравенството е в сила. Ако функцията е непрекъсната на интервала и за , то тя нараства на интервала .

Функцията се извиква намаляващна сегмента , ако за всякакви точки и от отсечката , където , неравенството е в сила. Ако функцията е непрекъсната на интервала и за , то тя намалява на интервала .

Ако функция само нараства или само намалява на даден интервал, тогава тя се извиква монотоненна интервала.

б) Екстремуми на функцията

минимална точкафункции .

Ако съществува - околност на точката такава, че за всички точки от тази околност неравенството е в сила, тогава точката се нарича максимална точкафункции .

Точките на максимум и минимум на функция се наричат ​​нейни крайни точки.

Точката се нарича неподвижна точкаако или не съществува.

Ако има -околност на стационарната точка, така че за и за , тогава - е максималната точка на функцията .

Ако има -околност на стационарната точка, така че за и за , Тогава -точка на минимум на функцията .

а) Посока на кривата. Инфлексни точки

изпъкнал нагорена интервала , ако се намира под допирателната, начертана към графиката на функцията във всяка точка от този интервал.

Достатъчно условие за възходяща изпъкналост на графиката на функция върху интервал е изпълнението на неравенството за всеки от разглежданите интервали.

Графиката на диференцируема функция се нарича изпъкнал надолуна интервала , ако се намира над допирателната, начертана върху графиката на функцията във всяка точка от този интервал.

Достатъчно условие за низходяща изпъкналост на графиката на функция върху интервал е изпълнението на неравенството за всеки от разглежданите интервали.

Точката, в която се променя посоката на изпъкналостта на графиката на функцията, се нарича инфлексна точка.

Точка, където съществува или не съществува, е абсцисата на инфлексната точка, ако има различни знаци отляво и отдясно на нея.

г) Асимптоти

Ако разстоянието от точката на графиката на функция до определена права линия клони към нула на безкрайно разстояние от началото на точката, тогава правата линия се нарича асимптота на графиката на функцията.

Ако има число, такова че , Тогава линията е вертикална асимптота.

Ако има граници , тогава линията е наклонена (хоризонтална при k=0) асимптота.

д) Общо изследване на функцията

1. Обхват на функцията

2. Пресечни точки на графиката с координатните оси

3. Изследване на функция за непрекъснатост, четно/нечетно и периодичност

4. Интервали на монотонност на функция

5. Точки на екстремум на функцията

6. Интервали на изпъкналост и точки на инфлексия на графиката на функция

7. Асимптоти на графиката на функция

8. Графика на функцията.

Задача 5. Изследвайте функцията и начертайте нейната графика.

Решение. 1) Функцията е дефинирана върху цялата числова ос, с изключение на точката, където знаменателят на дробта се равнява на нула. . Имаме: не принадлежи към обхвата на тази функция. Следователно стационарните точки на тази функция са точките, минималната стойност (както е показано на фигурата).

8) Използвайки получените данни, ще изградим графика на оригиналната функция:

Съдържанието на статията

ПРОИЗВОДНО- производна на функцията г = f(х), определени на някакъв интервал ( а, b) в точката хтози интервал се нарича границата, към която клони съотношението на нарастването на функцията fв тази точка към съответното увеличение на аргумента, когато увеличението на аргумента се доближава до нула.

Производната обикновено се обозначава по следния начин:

Други обозначения също се използват широко:

Незабавна скорост.

Нека точката Мсе движи по права линия. Разстояние сподвижна точка, считано от някаква начална позиция М 0 , зависи от времето T, т.е. се функция на времето T: с= f(T). Нека в някакъв момент от времето Tподвижна точка Мбеше на разстояние сот изходна позиция М 0 и в някой следващ момент T+ D Tбеше в положение М 1 - на разстояние с+ D сот начална позиция ( виж снимка.).

Така за определен период от време Д Tразстояние ссе променя със стойността D с. В този случай казваме, че през времевия интервал D Tвеличина сполучено увеличение D с.

Средната скорост не може във всички случаи точно да характеризира скоростта на движение на точка. Мпо това време T. Ако, например, тялото в началото на интервала D Tсе движи много бързо и накрая много бавно, тогава средната скорост няма да може да отрази посочените характеристики на движението на точката и да даде представа за истинската скорост на нейното движение в момента T. За да изразите по-точно истинската скорост, като използвате средната скорост, трябва да вземете по-малък период от време D T. Тя най-пълно характеризира скоростта на движение на дадена точка в момента Tграницата, към която клони средната скорост при D T® 0. Тази граница се нарича скорост на движение в даден момент:

По този начин скоростта на движение в даден момент е границата на съотношението на нарастването на пътя D скъм нарастването на времето D Tкогато нарастването на времето клони към нула. защото

Геометричната стойност на производната. Тангента към графиката на функция.

Конструирането на допирателни е един от онези проблеми, довели до раждането на диференциалното смятане. Първата публикувана работа върху диференциалното смятане, написана от Лайбниц, беше озаглавена Нов метод за максимуми и минимуми, както и допирателни, за които нито дробните, нито ирационалните величини са пречка, и специален вид смятане за това.

Нека кривата е графиката на функцията г =f(х) в правоъгълна координатна система ( см. ориз.).

За някаква стойност хфункцията има значение г =f(х). Тези ценности хИ гточка на кривата М 0(х, г). Ако аргументът хдайте увеличение D х, след това новата стойност на аргумента х+ D хсъответства на новата стойност на функцията y+д г = f(х + д х). Съответстващата точка на кривата ще бъде точката М 1(х+ D х,г+ D г). Ако начертаем секуща М 0М 1 и означаваме с j ъгъл, образуван от секанс с положителна посока на оста вол, пряко се вижда от фигурата, че .

Ако сега Д хклони към нула, тогава точката М 1 се движи по кривата, приближавайки се до точката М 0 и ъгъл й промени с промяна D х. При Dx® 0 ъгълът j клони към някаква граница a и правата, минаваща през точката М 0 и компонентът с положителна посока на абсцисната ос, ъгъл a, ще бъде желаната тангенс. Неговият наклон:

следователно f´( х) = tga

тези. производна стойност f´( х) за дадена стойност на аргумента хе равен на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към графиката на функцията f(х) в съответната точка М 0(х,г) с положителна посока на оста вол.

Диференцируемост на функциите.

Определение. Ако функцията г = f(х) има производна в точката х = х 0, тогава функцията е диференцируема в тази точка.

Непрекъснатост на функция, която има производна. Теорема.

Ако функцията г = f(х) е диференцируем в даден момент х = х 0, тогава той е непрекъснат в тази точка.

По този начин в точките на прекъсване функцията не може да има производна. Обратният извод е неверен, т.е. от факта, че в един момент х = х 0 функция г = f(х) е непрекъснат, не следва, че е диференцируем в тази точка. Например функцията г = |х| непрекъснато за всички х(–Ґ x x = 0 няма производна. В тази точка няма допирателна към графиката. Има дясна допирателна и лява допирателна, но те не съвпадат.

Някои теореми за диференцируеми функции. Теорема за корените на производната (теорема на Рол).Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [а,b], е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент и в краищата х = аИ х = bизчезва ( f(а) = f(b) = 0), след това вътре в сегмента [ а,b] има поне една точка х= с, а c b, в която производната fў( х) изчезва, т.е. fў( ° С) = 0.

Теорема за крайно нарастване (теорема на Лагранж).Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] и е диференцируем във всички вътрешни точки на този сегмент, след това вътре в сегмента [ а, b] има поне една точка с, а c b това

f(b) – f(а) = fў( ° С)(b– а).

Теорема за съотношението на нарастванията на две функции (теорема на Коши).Ако f(х) И ж(х) са две функции, непрекъснати на сегмента [а, b] и диференцируеми във всички вътрешни точки на този сегмент, и жў( х) не изчезва никъде в този сегмент, след това в сегмента [ а, b] има такава точка х = с, а c b това

Производни от различни поръчки.

Нека функцията г =f(х) е диференцируем на някакъв интервал [ а, b]. Производни стойности f ў( х), най-общо казано, зависят от х, т.е. производна f ў( х) също е функция на х. Когато тази функция се диференцира, се получава така наречената втора производна на функцията f(х), което е означено f ўў ( х).

производна н-ред на функцията f(х) се нарича производна (от първи ред) на производната н- 1- и се обозначава със символа г(н) = (г(н– 1))ў.

Диференциали от различни поръчки.

Функционален диференциал г = f(х), Където хе независима променлива, е dy = f ў( х)dx, някаква функция от х, но от хсамо първият фактор може да зависи f ў( х), докато вторият фактор ( dx) е нарастването на независимата променлива хи не зависи от стойността на тази променлива. защото dyима функция от х, тогава можем да определим диференциала на тази функция. Диференциалът на диференциала на функция се нарича диференциал от втори или втори ред на тази функция и се обозначава д 2г:

д(dx) = д 2г = f ўў( х)(dx) 2 .

Диференциал н-ред се нарича първи диференциал на диференциала н- 1- поръчка:

d n y = д(d n–1г) = f(н)(х)dx(н).

Частен дериват.

Ако функцията зависи не от един, а от няколко аргумента x i(азпромени от 1 до н,аз= 1, 2,… н),f(х 1,х 2,… x n), тогава в диференциалното смятане се въвежда концепцията за частична производна, която характеризира скоростта на промяна на функция на няколко променливи, когато се променя само един аргумент, например, x i. Частична производна от 1-ви ред по отношение на x iсе определя като обикновена производна, се приема, че всички аргументи освен x i, поддържайте постоянни стойности. За частни производни въвеждаме нотацията

Дефинирани по този начин частни производни от 1-ви ред (като функции на едни и същи аргументи) могат от своя страна също да имат частни производни, това са частни производни от втори ред и т.н. Взети по отношение на различни аргументи, такива производни се наричат ​​смесени. Непрекъснатите смесени производни от един и същи ред не зависят от реда на диференциране и са равни една на друга.

Анна Чугайнова