Различни видове тригонометрични уравнения. Решаване на тригонометрични уравнения
При решаване на мн задачи по математика, особено тези, които се случват преди 10 клас, редът на извършените действия, които ще доведат до целта, е ясно определен. Такива проблеми включват например линейни и квадратни уравнения, линейни и квадратни неравенства, дробни уравнения и уравнения, които се свеждат до квадратни. Принципът на успешното решаване на всяка от посочените задачи е следният: необходимо е да се установи към какъв тип принадлежи проблемът, който се решава, да се помни необходимата последователност от действия, които ще доведат до желания резултат, т. отговорете и следвайте тези стъпки.
Очевидно успехът или неуспехът при решаването на конкретен проблем зависи главно от това колко правилно е определен типът на решаваното уравнение, колко правилно е възпроизведена последователността на всички етапи на неговото решение. Разбира се, в този случай е необходимо да имате умения за извършване на идентични трансформации и изчисления.
Различна ситуация възниква при тригонометрични уравнения.Не е трудно да се установи фактът, че уравнението е тригонометрично. Трудности възникват при определяне на последователността от действия, които биха довели до верния отговор.
Понякога е трудно да се определи неговият тип чрез появата на уравнение. И без да знаете вида на уравнението, е почти невъзможно да изберете правилното от няколко десетки тригонометрични формули.
За да решим тригонометричното уравнение, трябва да опитаме:
1. приведете всички функции, включени в уравнението, до "едни и същи ъгли";
2. приведете уравнението към "същите функции";
3. факторизиране на лявата страна на уравнението и т.н.
Обмисли основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
I. Свеждане до най-простите тригонометрични уравнения
Схема на решение
Етап 1.Изразете тригонометричната функция чрез известни компоненти.
Стъпка 2Намерете аргумент на функцията с помощта на формули:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
тен х = а; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Стъпка 3Намерете неизвестна променлива.
Пример.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Решение.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Отговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Променливо заместване
Схема на решение
Етап 1.Приведете уравнението в алгебрична форма по отношение на една от тригонометричните функции.
Стъпка 2Обозначете получената функция с променливата t (ако е необходимо, въведете ограничения върху t).
Стъпка 3Запишете и решете полученото алгебрично уравнение.
Стъпка 4Направете обратна замяна.
Стъпка 5Решете най-простото тригонометрично уравнение.
Пример.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Решение.
1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Нека sin (x/2) = t, където |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 или e = -3/2 не отговаря на условието |t| ≤ 1.
4) грях (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Отговор: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Метод за намаляване на реда на уравнението
Схема на решение
Етап 1.Заменете това уравнение с линейно, като използвате формулите за намаляване на мощността:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
тен 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате методи I и II.
Пример.
cos2x + cos2x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Отговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Хомогенни уравнения
Схема на решение
Етап 1.Приведете това уравнение във формата
а) a sin x + b cos x = 0 (хомогенно уравнение от първа степен)
или към гледката
б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хомогенно уравнение от втора степен).
Стъпка 2Разделете двете страни на уравнението на
а) cos x ≠ 0;
б) cos 2 x ≠ 0;
и получете уравнението за tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Стъпка 3Решете уравнението с известни методи.
Пример.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Решение.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Тогава нека tg x = t
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 или t = -4, така че
tg x = 1 или tg x = -4.
От първото уравнение x = π/4 + πn, n Є Z; от второто уравнение x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Отговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Метод за преобразуване на уравнение с тригонометрични формули
Схема на решение
Етап 1.Използвайки всички видове тригонометрични формули, доведете това уравнение до уравнение, което може да бъде решено с методи I, II, III, IV.
Стъпка 2Решете полученото уравнение, като използвате известни методи.
Пример.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
От първото уравнение 2x = π/2 + πn, n Є Z; от второто уравнение cos x = -1/2.
Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; от второто уравнение x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
В резултат на това x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Отговор: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Способността и уменията за решаване на тригонометрични уравнения са много 
Важно е, че тяхното развитие изисква значителни усилия, както от страна на ученика, така и от страна на учителя.
С решаването на тригонометрични уравнения са свързани много проблеми на стереометрията, физиката и др.Процесът на решаване на такива задачи, така да се каже, съдържа много от знанията и уменията, които се придобиват при изучаването на елементите на тригонометрията.
Тригонометричните уравнения заемат важно място в процеса на обучението по математика и развитието на личността като цяло.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
За успешно решаване тригонометрични уравненияудобен за използване метод на намаляванекъм решени преди това проблеми. Нека да видим каква е същността на този метод?
Във всеки предложен проблем трябва да видите решения по-рано проблем и след това с помощта на последователни еквивалентни трансформации се опитайте да намалите дадения ви проблем до по-прост.
Така че, когато решават тригонометрични уравнения, те обикновено съставляват някаква крайна последователност от еквивалентни уравнения, последната връзка от които е уравнение с очевидно решение. Важно е само да запомните, че ако не се формират умения за решаване на най-простите тригонометрични уравнения, тогава решаването на по-сложни уравнения ще бъде трудно и неефективно.
Освен това, когато решавате тригонометрични уравнения, никога не трябва да забравяте за възможността за съществуването на няколко решения.
Пример 1. Намерете броя на корените на уравнението cos x = -1/2 върху интервала.
Решение:
Аз начин.Нека да начертаем графиките на функциите y = cos x и y = -1/2 и да намерим броя на общите им точки на интервала (фиг. 1).
Тъй като графиките на функциите имат две общи точки на интервала, уравнението съдържа два корена на този интервал.
II начин.Използвайки тригонометричния кръг (фиг. 2), намираме броя на точките, принадлежащи на интервала, в който cos x = -1/2. Фигурата показва, че уравнението има два корена. 
III начин.Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, решаваме уравнението cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k е цяло число (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k е цяло число (k € Z).
Корените 2π/3 и -2π/3 + 2π принадлежат на интервала, k е цяло число. Така уравнението има два корена на даден интервал.
Отговор: 2.
В бъдеще тригонометричните уравнения ще се решават по един от предложените методи, което в много случаи не изключва използването на други методи.
Пример 2. Намерете броя на решенията на уравнението tg (x + π/4) = 1 на интервала [-2π; 2π].
Решение:
Използвайки формулата на корените на тригонометричното уравнение, получаваме:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k е цяло число (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k е цяло число (k € Z);
x = πk, k е цяло число (k € Z);
Интервалът [-2π; 2π] принадлежат на числата -2π; -π; 0; π; 2π. И така, уравнението има пет корена на даден интервал.
Отговор: 5.
Пример 3. Намерете броя на корените на уравнението cos 2 x + sin x cos x = 1 на интервала [-π; π].
Решение:
Тъй като 1 = sin 2 x + cos 2 x (основна тригонометрична идентичност), оригиналното уравнение става:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. Продуктът е равен на нула, което означава, че поне един от факторите трябва да е равен на нула, следователно:
sin x \u003d 0 или sin x - cos x \u003d 0.
Тъй като стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на второто уравнение (синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно), тогава разделяме двете части на второто уравнение уравнение по cos x:
sin x = 0 или sin x / cos x - 1 = 0.
Във второто уравнение използваме факта, че tg x = sin x / cos x, тогава:
sin x = 0 или tg x = 1. Използвайки формули, имаме:
x = πk или x = π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).
От първата поредица от корени до интервала [-π; π] принадлежат на числата -π; 0; π. От втората серия: (π/4 – π) и π/4.
Така петте корена на първоначалното уравнение принадлежат на интервала [-π; π].
Отговор: 5.
Пример 4. Намерете сумата от корените на уравнението tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 на интервала [-π; 1.1π].
Решение:
Нека пренапишем уравнението в следната форма:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 и направете промяна.
Нека tg x + сtgx = a. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Нека разширим скобите:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Тъй като tg x сtgx \u003d 1, тогава tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, което означава
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Сега оригиналното уравнение изглежда така:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Използвайки теоремата на Виета, получаваме, че a = -1 или a = -2.
Правейки обратното заместване, имаме:
tg x + сtgx = -1 или tg x + сtgx = -2. Да решим получените уравнения.
tgx + 1/tgx = -1 или tgx + 1/tgx = -2.
По свойството на две взаимно реципрочни числа определяме, че първото уравнение няма корени, а от второто уравнение имаме:
tg x = -1, т.е. x = -π/4 + πk, k е цяло число (k ∈ Z).
Интервалът [-π; 1,1π] принадлежат корените: -π/4; -π/4 + π. Тяхната сума:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Отговор: π/2.
Пример 5. Намерете средноаритметичната стойност на корените на уравнението sin 3x + sin x = sin 2x на интервала [-π; 0,5π].
Решение:
Използваме формулата sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), тогава
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x и уравнението става
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Изваждаме общия множител sin 2x извън скоби
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Нека решим полученото уравнение:
sin 2x \u003d 0 или 2cos x - 1 \u003d 0; 
sin 2x = 0 или cos x = 1/2;
2x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k е цяло число (k ∈ Z).
Така имаме корени
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k е цяло число (k ∈ Z).
Интервалът [-π; 0,5π] принадлежат на корените -π; -π/2; 0; π/2 (от първата поредица от корени); π/3 (от втората серия); -π/3 (от трета серия). Тяхното средно аритметично е:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Отговор: -π/6.
Пример 6. Намерете броя на корените на уравнението sin x + cos x = 0 на интервала [-1,25π; 2π].
Решение:
Това уравнение е хомогенно уравнение от първа степен. Разделете двете му части на cosx (стойността на променливата, при която cos x = 0, не са корените на това уравнение, тъй като синусът и косинусът на едно и също число не могат да бъдат равни на нула едновременно). Оригиналното уравнение изглежда така:
x = -π/4 + πk, k е цяло число (k € Z).
Празнина [-1,25π; 2π] имат корени -π/4; (-π/4 + π); и (-π/4 + 2π).
Така три корена на уравнението принадлежат на дадения интервал.
Отговор: 3.
Научете се да правите най-важното - ясно да представите план за решаване на проблема и тогава всяко тригонометрично уравнение ще бъде на рамото ви.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да решавате тригонометрични уравнения?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.Решението на тригонометричното уравнение се състои от два етапа: трансформация на уравнениеза да стане простотип (виж по-горе) и решениеполучени най-прости тригонометрично уравнение.Има седем основни методи за решаване на тригонометрични уравнения.
1. Алгебричен метод.
(заместване на променливи и метод на заместване).
2. Разлагане на множители.
ПРИМЕР 1. Решете уравнението:грях х+ cos х = 1 .
Решение Преместете всички членове на уравнението вляво:
грях х+ cos х – 1 = 0 ,
Нека трансформираме и разложим израза на множители
Лявата страна на уравнението:
Пример 2. Решете уравнението: cos 2 х+ грях х cos х = 1.
РЕШЕНИЕ cos 2 х+ грях х cos х– грях 2 х– cos 2 х = 0 ,
грях х cos х– грях 2 х = 0 ,
грях х(тъй като х– грях х ) = 0 ,
Пример 3. Решете уравнението:защото 2 х– cos 8 х+ cos 6 х = 1.
РЕШЕНИЕ cos 2 х+ cos 6 х= 1 + cos8 х,
2 cos 4 хзащото 2 х= 2 cos² 4 х ,
Cos 4 х · (cos 2 х– cos 4 х) = 0 ,
Cos 4 х 2 грях 3 хгрях х = 0 ,
1). защото 4 х= 0, 2). грях 3 х= 0, 3). грях х = 0 ,
3. Довеждане до равномерно уравнение.Уравнението Наречен хомогенен от относително гряхИ cos , Ако всичко това термини от същата степен по отношение на гряхИ cosсъщият ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, трябва: А) преместете всичките си членове вляво; b) извадете всички общи множители извън скоби; V) приравнява всички множители и скоби към нула; Ж) скобите, поставени на нула, дават хомогенно уравнение от по-малка степен, което трябва да се раздели на cos(или грях) в старша степен; д) реши полученото алгебрично уравнение по отношение натен . грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х = 2. Решение: 3sin 2 х+ 4 грях х cos х+ 5 cos 2 х= 2 грях 2 х+ 2, защото 2 х , грях 2 х+ 4 грях х cos х+ 3, защото 2 х = 0 , тен 2 х+ 4тен х + 3 = 0 , оттук г 2 + 4г +3 = 0 , Корените на това уравнение са:г 1 = - 1, г 2 = - 3, следователно 1) тен х= –1, 2) тен х = –3, |
4. Преход към половин ъгъл.
Нека разгледаме този метод с пример:
ПРИМЕР Решете уравнение: 3грях х– 5cos х = 7.
Решение: 6 грях ( х/ 2) cos ( х/ 2) – 5 cos² ( х/ 2) + 5 sin² ( х/ 2) =
7 sin² ( х/ 2) + 7 cos² ( х/ 2) ,
2 sin² ( х/ 2) – 6 грях ( х/ 2) cos( х/ 2) + 12 cos² ( х/ 2) = 0 ,
тен²( х/ 2) – 3 тен ( х/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Въвеждане на спомагателен ъгъл.
Разгледайте уравнение на формата:
агрях х + b cos х = ° С ,
Където а, b, ° С– коефициенти;х- неизвестен.
Сега коефициентите на уравнението имат свойствата на синус и косинус, именно: модул (абсолютна стойност) на всеки от които не повече от 1 бр и сумата на техните квадрати е 1. Тогава човек може да посочи тях съответно как защото и грях (тук - т.нар спомагателен ъгъл), Инашето уравнение е
Най-простите тригонометрични уравнения са уравненията
Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a
Уравнение cos(x) = a
Обяснение и обосновка
- Корените на уравнението cosx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, защото | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 или при а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Нека | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. На интервала функцията y = cos x намалява от 1 на -1. Но намаляваща функция приема всяка от своите стойности само в една точка от своя домейн на дефиниция, следователно уравнението cos x \u003d a има само един корен в този интервал, който по дефиниция на аркосинус е: x 1 \u003d arccos a (и за този корен cos x \u003d A).
Косинусът е четна функция, така че на интервала [-p; 0] уравнението cos x = и също има само един корен - числото, противоположно на x 1, т.е
x 2 = -arccos a.
Така на интервала [-n; n] (дължина 2n) уравнението cos x = a за | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Функцията y = cos x е периодична с период 2n, така че всички останали корени се различават от тези, намерени с 2np (n € Z). Получаваме следната формула за корените на уравнението cos x = a, когато
x = ± arccos a + 2n, n £ Z.
- Частни случаи на решаване на уравнението cosx = a.
Полезно е да запомните специалната нотация за корените на уравнението cos x = a, когато
a = 0, a = -1, a = 1, което може лесно да се получи, като се използва единичната окръжност като ръководство.
Тъй като косинусът е равен на абсцисата на съответната точка от единичната окръжност, получаваме, че cos x = 0, ако и само ако съответната точка от единичната окръжност е точка A или точка B.
По същия начин, cos x = 1, ако и само ако съответната точка от единичната окръжност е точката C, следователно,
x = 2πp, k € Z.
Също cos x \u003d -1 ако и само ако съответната точка на единичната окръжност е точката D, следователно x \u003d n + 2n,
Уравнение sin(x) = a
Обяснение и обосновка
- Корените на уравнението sinx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, защото | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 или при а< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Най-простите тригонометрични уравнения обикновено се решават с формули. Позволете ми да ви напомня, че следните тригонометрични уравнения се наричат най-простите:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = a
x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.
А ето и формулите, с които веднага можете да запишете решенията на тези най-прости уравнения.
За синусите:
За косинус:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
За допирателна:
x = arctg a + π n, n ∈ Z
За котангенс:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Всъщност това е теоретичната част от решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И, цялото!) Изобщо нищо. Броят на грешките по тази тема обаче просто нараства. Особено при леко отклонение на примера от шаблона. Защо?
Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!С опасение той записва, без значение как нещо се случва ...) Това трябва да се реши. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)
Да го разберем?
Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.
И така винаги ще работи.За всякакви А.
Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета.) Промених номера А към някои отрицателни. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.
Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Комбинираме тези две серии в една:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
И всички неща. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.
Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратен запис на две серии от отговори,вие и задачите "C" ще бъдете на рамото. С неравенства, с избор на корени от даден интервал ... Там отговорът с плюс / минус не се търкаля. И ако се отнасяте към отговора делово и го разделите на два отделни отговора, всичко е решено.) Всъщност за това разбираме. Какво, как и къде.
В най-простото тригонометрично уравнение
sinx = а
също получавате две серии от корени. Винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани една линия. Само този ред ще бъде по-умен:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа на серии от корени. И това е!
Да проверим математиците? И това не е достатъчно...)
В предишния урок беше подробно анализирано решението (без никакви формули) на тригонометричното уравнение със синус:
Отговорът се оказа две серии от корени:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Всъщност това е полузавършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:
x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z
Тук възниква един интересен въпрос. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е правилният отговор!) и чрез самотния х (и това е правилният отговор!) - същото нещо, или не? Нека разберем сега.)
Заменете в отговор с х 1 стойности н =0; 1; 2; и т.н., считаме, получаваме поредица от корени:
x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.
Със същата замяна в отговор на х 2 , получаваме:
x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.
И сега заместваме стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за самотните х . Тоест повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. И, разбира се, заместваме 0 във втория член; 1; 2 3; 4 и т.н. И ние мислим. Получаваме серия:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.
Това е всичко, което можете да видите.) Общата формула ни дава абсолютно същите резултатикоито са двата отговора поотделно. Всички наведнъж, по ред. Математиците не са излъгали.)
Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но нека не.) Толкова са непретенциозни.
Цялата тази подмяна и проверка нарисувах нарочно. Тук е важно да разберете едно просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, просто обобщение на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкна плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.
Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания лесно могат да обезпокоят човек.
И какво да правя? Да, или нарисувайте отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството в тригонометричен кръг. Тогава тези вложки изчезват и животът става по-лесен.)
Можете да обобщите.
За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:
sinx = 0,3
Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Лесно: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Остава един: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
тогава вече блестиш, това ... онова ... от локва.) Правилният отговор е: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и така нататък. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да бъдат преобразувани в радиани.
И ако вече попаднете на неравенство, например
тогава отговорът е:
x πn, n ∈ Z
има рядка глупост, да ...) Тук е необходимо да се вземе решение за тригонометричен кръг. Какво ще правим в съответната тема.
За тези, които героично са дочели до тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ти усилия. ти бонус.)
Бонус:
Когато пишат формули в тревожна бойна ситуация, дори закоравели маниаци често се объркват къде pn, И къде 2πn. Ето един лесен трик за вас. в всичкоформули пн. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепиен. ключова дума - две.В една и съща единствена формула са двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.
Така че, ако сте писали двезнак пред аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепиен. И обратното се случва. Пропуснете знака за мъж ± , стигнете до края, пишете правилно две pien, да, и го хващай. Пред нещо двезнак! Човекът ще се върне в началото, но ще поправи грешката! Като този.)
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
