Vjerojatnost je veća ili veća. Teorija vjerojatnosti
U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske aktivnosti ili u prirodi, čovjek se neprestano mora baviti događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, volumen prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, i o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga, prilikom organiziranja proizvodnje i prodaje, treba predvidjeti ishod takve aktivnosti na temelju vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.
Da bi se nekako procijenio predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima je ovaj događaj zabilježen.
Poziva se provedba određenih uvjeta ili radnji radi identificiranja dotičnog događaja iskustvo ili eksperiment.
Događaj je pozvan slučajnoako se, kao rezultat iskustva, može dogoditi ili ne dogoditi.
Događaj je pozvan pouzdanako se nužno pojavljuje kao rezultat ovog eksperimenta, i nemogućako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.
Na primjer, snježne padavine u Moskvi 30. novembra slučajni su događaji. Svakodnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padavine na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.
Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti je zadatak utvrđivanja kvantitativne mjere mogućnosti da se neki događaj dogodi.
Algebra događaja
Događaji se nazivaju nespojivim ako se zajedno ne mogu promatrati u istom eksperimentu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj trgovini za prodaju u isto vrijeme - to su dva nespojiva događaja.
suma događaj je događaj koji se sastoji u pojavi barem jednog od tih događaja
Primjer zbroja događaja je prisutnost u trgovini barem jednog od dva proizvoda.
Djelo događaj se naziva događajem koji se sastoji u istodobnoj pojavi svih tih događaja
Događaj koji se sastoji od pojavljivanja dvije robe istovremeno u trgovini proizvod je događaja: - pojava jednog proizvoda, - pojava drugog proizvoda.
Događaji čine cjelovitu grupu događaja ako se barem jedan od njih nužno dogodi u iskustvu.
Primjer. Luka ima dva vezova za prihvat brodova. Mogu se smatrati tri događaja: - nepostojanje plovila na vezama, - prisustvo jednog plovila na jednom od vezova, - prisutnost dvaju plovila na dva mjesta. Ova tri događaja čine cjelovitu grupu događaja.
razliku nazivaju dva moguća događaja koji tvore kompletnu grupu.
Ako je jedan od suprotnih događaja označen sa, tada je suprotni događaj obično označen sa.
Klasična i statistička definicija vjerojatnosti nekog događaja
Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarnim ishodom. Obično ih se označava slovima. Na primjer, baca se kockica. Postoji šest elementarnih ishoda u pogledu broja bodova na licima.
Od elementarnih ishoda može se napraviti složeniji događaj. Dakle, slučaj gubitka parnog broja bodova određen je s tri ishoda: 2, 4, 6.
Kvantitativna mjera mogućnosti pojave dotičnog događaja je vjerojatnost.
Najrasprostranjenije su dvije definicije vjerojatnosti događaja: klasična i statistički.
Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s pojmom povoljnog ishoda.
Ishod se zove favoriziranje danim događajem, ako njegov izgled podrazumijeva početak ovog događaja.
U datom primjeru, predmetni događaj - parni broj bodova na spuštenom rubu, ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju general
broj mogućih ishoda. Dakle, ovdje možete koristiti klasičnu definiciju vjerojatnosti nekog događaja.
Klasična definicijajednak je omjeru broja povoljnih ishoda prema ukupnom broju mogućih ishoda
gdje je vjerojatnost događaja, broj ishoda povoljan za događaj je ukupni broj mogućih ishoda.
U razmatranom primjeru
Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.
Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se formulom
gdje je broj pojava događaja u nizu eksperimenata (testova).
Statistička definicija, Vjerojatnost događaja je broj u odnosu na koji se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) s neograničenim porastom broja eksperimenata.
U praktičnim se problemima vjerojatnost nekog događaja uzima kao relativna učestalost s dovoljno velikim brojem testova.
Iz ovih je definicija vjerojatnosti nekog događaja jasno da je nejednakost
Da bi se utvrdila vjerojatnost događaja na temelju formule (1.1), često se koriste formule kombinacije pomoću kojih se pronalazi broj povoljnih ishoda i ukupan broj mogućih ishoda.
Kratka teorija
Za kvantitativnu usporedbu događaja prema stupnju mogućnosti njihove pojave uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerojatnost događaja. Vjerojatnost slučajnog događaja nazvanim brojem, koji je izraz mjere objektivne mogućnosti nastanka događaja.
Vrijednosti koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi za očekivanje da se neki događaj karakterizira vjerojatnost događaja. Mora se naglasiti da je vjerojatnost objektivna količina koja postoji neovisno o onome tko zna i određuje se ukupnošću uvjeta koji pridonose nastanku događaja.
Objašnjenja koja smo dali pojmu vjerojatnosti nisu matematička definicija, budući da taj pojam ne kvantificiraju. Postoji nekoliko definicija vjerojatnosti slučajnog događaja koji se široko koriste u rješavanju specifičnih problema (klasični, aksiomatični, statistički itd.).
Definicija vjerojatnosti klasičnog događaja ovaj koncept svodi na elementarniji koncept jednako mogućih događaja, koji više nije podložan definiciji i trebao bi biti intuitivno jasan. Na primjer, ako je kockica homogena kocka, ispadanje s bilo kojeg lica ove kocke biti će podjednako mogući događaji.
Neka pouzdani događaj padne u podjednako moguće slučajeve, čija suma daje događaj. Odnosno, slučajevi iz kojih se raspada nazivaju se povoljnim za događaj, jer pojava jednog od njih pruža uvredu.
Vjerojatnost nekog događaja bit će označena simbolom.
Vjerojatnost nekog događaja jednaka je omjeru broja slučajeva koji su njemu povoljni, od ukupnog broja jedino mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, s brojem, tj.
Ovo je klasična definicija vjerojatnosti. Dakle, da bi se utvrdila vjerojatnost nekog događaja, potrebno je pregledati različite ishode testa pronaći ukupnost jedino mogućih, jednako mogućih i nespojivih slučajeva, izračunati njihov ukupni broj n, broj slučajeva m povoljan za ovaj događaj, a zatim izvršiti izračun prema gornjoj formuli.
Naziva se vjerojatnost događaja koji je jednak omjeru broja ishoda iskustva koji su povoljni za događaj i ukupnom broju ishoda iskustva. klasična vjerojatnost slučajni događaj.
Sljedeća svojstva vjerojatnosti slijede iz definicije:
Svojstvo 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jednom.
Svojstvo 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Svojstvo 3. Vjerojatnost slučajnog događaja pozitivan je broj, zaključen između nule i jedan.
Svojstvo 4. Vjerojatnost pojave događaja koji tvore kompletnu skupinu jednaka je jednom.
Svojstvo 5. Vjerojatnost nastanka suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerojatnost nastanka događaja A.
Broj slučajeva koji pogoduju nastanku suprotnog događaja. Dakle, vjerojatnost pojave suprotnog događaja jednaka je razlici između jedinice i vjerojatnosti pojave događaja A:
Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je ta što se uz njegovu pomoć može odrediti vjerojatnost događaja bez pribjegavanja iskustvu, već na temelju logičkog rasuđivanja.
Kada se ispuni niz uvjeta, sigurno će se dogoditi pouzdan događaj, ali nemoguće se neće dogoditi. Među događajima koji se, pri stvaranju složenih uvjeta, mogu ili ne moraju dogoditi, pojava nekih može se očekivati \u200b\u200bs većim opravdanjem, pojava drugih s manje opravdanja. Ako, na primjer, u glasačkoj kutiji ima više bijelih kuglica nego crnih, onda se više razloga nadati pojavi bijele kugle prilikom uklanjanja s glasačke kutije nego za pojavu crne kuglice.
Primjer rješavanja problema
Primjer 1
U kutiji je 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih kuglica. Nasumično izvađen 3 kuglice. Pronađite vjerojatnost sljedećih događaja: - izvučena je najmanje 1 crvena kugla, - postoje najmanje 2 kugle iste boje, - najmanje 1 crvena i 1 bijela kugla.
Rješavanje problema
Nalazimo ukupni broj rezultata ispitivanja kao broj kombinacija 19 (8 + 4 + 7) elemenata od 3:
Pronađite vjerojatnost događaja - izvadi se najmanje 1 crvena kugla (1,2 ili 3 crvene kuglice)
Pretražena vjerojatnost:
Neka događaj - postoje najmanje 2 kuglice iste boje (2 ili 3 bijele kuglice, 2 ili 3 crne kuglice i 2 ili 3 crvene kuglice)
Broj rezultata koji pridonose događaju:
Pretražena vjerojatnost:
Neka događaj - postoji barem jedna crvena i 1 bijela kugla
(1 crvena, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)
Broj rezultata koji pridonose događaju:
Pretražena vjerojatnost:
Odgovor je:P (A) \u003d 0,773; P (C) \u003d 0,7688; P (D) \u003d 0,6068
Primjer 2
Bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerojatnost da je ukupni rezultat najmanje 5.
odluka
Neka događaj bude zbroj bodova ne manji od 5
Koristimo klasičnu definiciju vjerojatnosti:
Ukupni broj mogućih rezultata ispitivanja
Broj suđenja povoljnih za događaj koji nas zanima
Na spuštenom rubu prve kocke može se pojaviti jedna točka, dvije točke ..., šest bodova. Slično tome, šest je rezultata moguće pri bacanju drugog umiruća. Svaki od ishoda bacanja prve kosti može se kombinirati sa svakim ishodom drugog. Dakle, ukupni broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju plasmana s ponavljanjima (odabir s položajima 2 elementa od ukupnog volumena 6):
Pronađite vjerojatnost suprotnog događaja - ukupni rezultat je manji od 5
Događaj će biti olakšan sljedećom kombinacijom bodova:
| № | 1. kost | 2. kost | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Prikazana je geometrijska definicija vjerojatnosti i dano je rješenje poznatog problema sastanka.
- Vjerojatnost - stupanj (relativna mjera, kvantifikacija) mogućnosti određenog događaja. Kada razlozi za bilo koji mogući događaj u stvarnosti nadmaše suprotne razloge, tada se ovaj događaj naziva vjerojatnim, jer je u suprotnom malo vjerovatno ili nevjerojatno. Prevladavanje pozitivnih osnova nad negativnim i obrnuto može biti u različitim stupnjevima, zbog čega je vjerojatnost (i nemogućnost) veća ili manja. Stoga se vjerojatnost često procjenjuje na kvalitativnoj razini, posebno u slučajevima kada je više ili manje točna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "razine" vjerojatnosti.
Proučavanje vjerojatnosti s matematičkog stajališta posebna je disciplina - teorija vjerojatnosti. U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici pojam vjerojatnosti formalizira se kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerojatnosti (ili njegova vrijednost) - mjera na skupu događaja (podskupina skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti iz
(\\ displaystyle 0)
(\\ displaystyle 1)
vrijednost
(\\ displaystyle 1)
Odgovara pouzdanom događaju. Nemogući događaj ima vjerojatnost 0 (obrnuto općenito nije uvijek točno). Ako je vjerojatnost nekog događaja
(\\ displaystyle p)
Tada je vjerojatnost njegova ne-pojavljivanja jednaka
(\\ displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerojatnost
(\\ displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerojatnost pojave i nepojavljivanja događaja.
Klasična definicija vjerojatnosti temelji se na konceptu ishoda jednakih mogućnosti. Vjerojatnost je omjer broja ishoda povoljnih za ovaj događaj i ukupnog broja jednako mogućih ishoda. Na primjer, vjerojatnost pada orlova ili rep repova u slučaju nasumičnog prebacivanja kovanice je 1/2, ako se pretpostavi da postoje samo ove dvije mogućnosti i da su podjednako moguće. Ova klasična „definicija“ vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti - na primjer, ako se neki događaj može dogoditi s jednakom vjerojatnošću u bilo kojoj točki (broj bodova je beskonačan) u nekom ograničenom prostoru prostora (ravnini), tada je vjerojatnost da će se to dogoditi u nekim dio ovog dopuštenog područja jednak je odnosu volumena (površine) ovog dijela prema volumenu (površini) područja svih mogućih točaka.
Empirijska "definicija" vjerojatnosti povezana je s učestalošću pojave događaja, polazeći od činjenice da bi s dovoljno velikim brojem testova učestalost trebala težiti objektivnom stupnju mogućnosti ovog događaja. U modernom prikazu teorije vjerojatnosti vjerojatnost se određuje aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerojatnosti, koja izražava stupanj mogućnosti pojave nekog događaja, upravo je učestalost njegova promatranja.
Vjerojatni opis pojedinih pojava postao je široko rasprostranjen u modernoj znanosti, posebice u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sustava, gdje se čak i u slučaju klasičnog determiniranog opisa gibanja čestica, determinirajući opis cijelog sustava čestica ne čini praktično mogućim i prikladnim. U kvantnoj fizici sami procesi su vjerojatne prirode.
Teorija vjerojatnosti - Matematička znanost koja proučava zakone slučajnih pojava. Pod nasumičnim događajima podrazumijevaju se događaji s neizvjesnim ishodom koji se događaju tijekom ponovljene reprodukcije određenog skupa uvjeta.
Na primjer, prilikom bacanja novčića ne možete predvidjeti na koju će se stranu zapaliti. Rezultat bacanja novčića je slučajni. Ali s dovoljno velikim brojem bacanja novčića, postoji određena pravilnost (amblem i rešetka ispadaju otprilike isto toliko puta).
Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti
Ispitivanje (iskustvo, eksperiment) - provedba određenog skupa uvjeta u kojima se promatra određena pojava, bilježi se jedan ili drugi rezultat.
Na primjer: bacanje kockica uz gubitak broja bodova; razlika temperature zraka; metoda liječenja bolesti; neko razdoblje ljudskog života.
Nasumični događaj (ili samo događaj) - ishod testa.
Primjeri slučajnih događaja:
gubitak jedne točke pri bacanju kockice;
pogoršanje koronarne srčane bolesti s naglim porastom temperature zraka ljeti;
razvoj komplikacija bolesti s pogrešnim odabirom metode liječenja;
prijem u srednju školu s uspješnim studiranjem u školi.
Događaji su s velikim slovima označeni latiničnim alfa-vitom: , B , C , …
Događaj je pozvan pouzdan ako se kao rezultat testa mora nužno pojaviti.
Događaj je pozvan nemoguć ako se kao rezultat testa ne može uopće pojaviti.
Na primjer, ako su u jednoj grupi svi proizvodi standardni, tada je izvlačenje standardnog proizvoda iz nje pouzdan događaj, a ekstrahiranje neispravnog proizvoda je nemoguć događaj.
KLASIČNO ODREĐIVANJE PROBABILNOSTI
Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti.
Klasična vjerojatnost događaja 
naziva se omjer broja slučajeva povoljnih za događaj 
na ukupan broj slučajeva, tj.
, (5.1)
gdje 
- vjerojatnost događaja 
,
- broj slučajeva povoljnih za događaj 
,
- ukupan broj slučajeva.
Svojstva vjerojatnosti događaja
Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između nule i jednog, tj.
Vjerojatnost pouzdanog događaja je jedinstvo, tj.
.
Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula, tj.
.
(Ponudite usmeno riješiti nekoliko jednostavnih problema).
STATISTIČKA ODREĐIVANJE PROBABILNOSTI
U praksi se često prilikom procjene vjerojatnosti događaja zasnivaju na tome koliko će se često ovaj događaj pojaviti u provedenim testovima. U ovom se slučaju koristi statistička definicija vjerojatnosti.
Statistička vjerojatnost događaja 
granica relativne učestalosti (omjer broja slučajeva m pogodan nastanku događaja 
na ukupno 
izvedeni testovi), kada se broj testova teži beskonačnosti, tj.
gdje 
- statistička vjerojatnost događaja 
,
- broj suđenja u kojima se događaj dogodio 
,
- ukupan broj testova.
Za razliku od klasične vjerojatnosti, statistička vjerojatnost je karakteristika iskusnog. Klasična vjerojatnost koristi se za teoretski proračun vjerojatnosti nekog događaja pod danim uvjetima i ne zahtijeva da se ispitivanja izvode u stvarnosti. Formula statističke vjerojatnosti koristi se za eksperimentalno utvrđivanje vjerojatnosti nekog događaja, tj. pretpostavlja se da su ispitivanja zapravo provedena.
Statistička vjerojatnost je približno jednaka relativnoj učestalosti slučajnog događaja, stoga se u praksi relativna frekvencija uzima kao statistička vjerojatnost, jer statističku vjerojatnost je praktički nemoguće pronaći.
Statistička definicija vjerojatnosti primjenjiva je na slučajne događaje koji imaju sljedeća svojstva:
Teoreme zbrajanja vjerojatnosti i množenja
Osnovni pojmovi
a) Jedini mogući događaji
događaji 
nazivaju se jedino mogućim ako će, kao rezultat svakog testa, barem jedan od njih vjerojatno doći.
Ti događaji čine cjelovitu grupu događaja.
Na primjer, prilikom bacanja kockice jedini mogući događaji su gubitak lica s jednom, dvije, tri, četiri, pet i šest bodova. Oni čine cjelovitu grupu događaja.
b) Događaji se nazivaju nespojivimako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom testu. Inače se zovu zajednički.
c) Suprotno nazovite dva moguća događaja koji čine čitavu grupu. predstavljati 
i 
.
g) Događaji se nazivaju neovisnimaako vjerojatnost napada jednog od njih ne ovisi o povjerenju ili nekomisjenju drugih.
Radnje događaja
Zbroj nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojavljivanja barem jednog od tih događaja.
ako 
i 
- zajednički događaji, zatim njihov zbroj 
ili 
ukazuje na događaj ili događaja A, ili događaja B, ili oba događaja zajedno.
ako 
i 
- nespojivi događaji, zatim njihov zbroj 
znači uvredu ili događaje 
ili događaja 
.
vrijedan 
događaji ukazuju: 
Produkt (sjecište) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji u zajedničkoj pojavi svih tih događaja.
Proizvod dva događaja označava 
ili 
.
proizvod 
događaji označavaju 
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za nespojive događaje
Vjerojatnost zbroja dva ili više nespojivih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti ovih događaja:
Za dva događaja;
- za 
događanja.
Posljedice:
a) Zbroj vjerojatnosti suprotstavljenih događaja 
i 
jednak jednom:
Vjerojatnost suprotnog događaja označava 
:
.
b) Zbroj vjerojatnosti 
događaji koji čine čitavu grupu događaja jednaki su: ili 
.
Teorem zbrajanja vjerojatnosti za zajedničke događaje
Vjerojatnost zbroja dva zajednička događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja bez vjerojatnosti njihova presijecanja, tj.
Teorem množenja vjerojatnosti
a) Za dva neovisna događaja:
b) Za dva ovisna događaja
gdje 
- uvjetna vjerojatnost događaja 
, tj. vjerojatnost događaja 
izračunato pod uvjetom da događaj 
To se dogodilo.
c) Za 
neovisni događaji:
.
d) Vjerojatnost nastanka barem jednog događaja 
formiranje cjelovite grupe neovisnih događaja:
Uvjetna vjerojatnost
Vjerojatnost događaja 
izračunato pod uvjetom da se dogodio neki događaj 
naziva se uvjetna vjerojatnost događaja 
i označen je 
ili 
.
Kada se izračunava uvjetna vjerojatnost pomoću klasične formule vjerojatnosti, broj rezultata 
i 
izračunato uzimajući u obzir to prije događaja 
događaj dogodio 
.
Klasična i statistička definicija vjerojatnosti
Za praktične aktivnosti potrebno je biti u mogućnosti usporediti događaje prema stupnju mogućnosti njihova pojavljivanja. Razmotrimo klasičan slučaj. U glasačkoj kutiji je 10 kuglica, od kojih je 8 bijelih, 2 crne. Očito, događaj "bijela kugla će biti uklonjena iz urne", a događaj "crna kugla će biti uklonjena iz urne" imaju različit stupanj vjerojatnosti njihove pojave. Stoga je za usporedbu događaja potrebna određena kvantitativna mjera.
Kvantitativna mjera mogućnosti događaja se događa vjerojatnost , Najčešće se koriste dvije definicije vjerojatnosti događaja: klasična i statistička.
Klasična definicija vjerojatnost je povezana s konceptom povoljnog ishoda. Zaustavimo se na ovome detaljnije.
Neka ishodi određenog testa čine cjelovitu grupu događaja i podjednako su mogući, tj. jedino moguće, nespojivo i podjednako moguće. Takvi ishodi se nazivaju elementarni ishodi, ili slučajevi, Istovremeno kažu da se test svodi na obrazac slučaja ili " glasačku kutiju„Zbog svaki se vjerojatni zadatak za takav test može zamijeniti jednakim zadatkom urnama i kuglicama različitih boja.
Ishod se zove favoriziranje događaj ako pojava ovog događaja podrazumijeva pojavu događaja .
Prema klasičnoj definiciji vjerojatnost događaja I jednak je omjeru broja rezultata povoljnih za ovaj događaj u ukupnom broju ishoda, tj.
| , | (1.1) |
gdje P (A) - vjerojatnost događaja ; m - broj slučajeva povoljnih za događaj ; n - ukupan broj slučajeva.
Primjer 1.1. Pri bacanju kockice moguće je šest ishoda - gubitak 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova. Kolika je vjerojatnost parnog broja bodova?
Odluka. sve n \u003d 6 ishoda čini cjelovitu grupu događaja i podjednako su mogući, tj. jedino moguće, nespojivo i podjednako moguće. Događaju A - „pojavljivanju parnog broja bodova“ - pogoduju 3 ishoda (slučajevi) - gubitak od 2, 4 ili 6 bodova. Klasičnom formulom vjerojatnosti nekog događaja dobivamo
P (A) = = . ◄
Na temelju klasične definicije vjerojatnosti nekog događaja, zabilježimo njegova svojstva:
1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između nule i jednog, tj
0 ≤ P() ≤ 1.
2. Vjerojatnost pouzdanog događaja je jedna.
3. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Kao što je ranije spomenuto, klasična definicija vjerojatnosti primjenjiva je samo na one događaje koji se mogu pojaviti kao rezultat pokusa sa simetrijom mogućih ishoda, tj. svodi se na obrazac slučajeva. No, postoji velika klasa događaja čije se vjerojatnosti ne mogu izračunati klasičnom definicijom.
Na primjer, ako pretpostavimo da je novčić spljošten, onda je očito da se događaji "izgled grba" i "izgled repova" ne mogu smatrati podjednako mogućim. Stoga se formula za utvrđivanje vjerojatnosti klasičnom shemom u ovom slučaju ne može primijeniti.
No, postoji i drugi pristup procjeni vjerojatnosti događaja na temelju toga koliko često će se ovaj događaj pojaviti u provedenim testovima. U ovom se slučaju koristi statističko određivanje vjerojatnosti.
Statistička vjerojatnost Događaj A je relativna učestalost (učestalost) pojavljivanja ovog događaja u n obavljenim testovima, tj.
 ,
| (1.2) |
gdje P * (A) - statistička vjerojatnost događaja ; w (A) - relativna učestalost događaja ; m - broj suđenja u kojima se događaj dogodio ; n - ukupan broj testova.
Za razliku od matematičke vjerojatnosti P (A)razmotrene u klasičnoj definiciji, statistička vjerojatnost P * (A) je karakteristika eksperimentalan, eksperimentalan, Drugim riječima, statistička vjerojatnost nekog događaja naziva se brojem u odnosu na koje se relativna frekvencija stabilizira (skupovi) w (A) s neograničenim porastom broja ispitivanja koja se provode pod istim skupom uvjeta.
Na primjer, kada za strijelca kažu da pogodi metu s vjerojatnošću od 0,95, to znači da od stotine hitaca koje je ispalio pod određenim uvjetima (ista meta na istoj udaljenosti, ista puška itd. .), u prosjeku ima oko 95 uspješnih. Naravno, neće svaka stotina imati 95 uspješnih snimaka, ponekad će biti manje, nekad više, ali u prosjeku, uz opetovano ponavljanje pucanja pod istim uvjetima, ovaj postotak hitova ostat će nepromijenjen. Broj 0,95, koji služi kao pokazatelj vještine strijelca, obično je vrlo stabilan, tj. postotak udaraca u većini snimaka bit će gotovo jednak za pojedinog pucača, samo u rijetkim slučajevima odstupajući značajno od njegove prosječne vrijednosti.
Još jedan nedostatak klasične definicije vjerojatnosti ( 1.1 ), ograničavajući njegovu upotrebu, je da podrazumijeva ograničen broj mogućih rezultata ispitivanja. U nekim se slučajevima ovaj nedostatak može prevladati pomoću geometrijske definicije vjerojatnosti, tj. pronalaženje vjerojatnosti da neka točka padne na određeno područje (segment, dio ravnine itd.).
Neka ravna figura g čini dio ravne figure G (Sl. 1.1). Na figuri G nasumično žuri poanta. To znači da su sve točke u tom području G "Jednako" s obzirom na udaranje bačene slučajne točke na njega. Pod pretpostavkom vjerojatnosti nekog događaja - pogodio bačenu točku na figuru g - proporcionalan je površini ove figure i ne ovisi o njenom položaju u odnosu na Gniti oblik gnalazimo
