• Почина Филип Киркоров, причината за новината какво се случи с Киркоров
• Садалски реагира на грубостта на Максакова Актьорът и народен блогър Станислав Садалски говори за съдбата на избягалата оперна певица Мария Максакова
• Как живее Лера от дома 2?
• Яна Рудковская отслабва с екстремна диета Кефирна диета на Яна Рудковская
• Променете радикално професията си
• Алена Кравец: снимки преди и след пластична хирургия Съпругът на Алена Кравец кой е той
• „Моделиране на атрактора на Лоренц
• Теория на производните функции
• Логаритъм на модула на аналитична функция
• Условие за еквивалентност на двойки сили

От Уикипедия, свободната енциклопедия

Определение и свойства

Комплексната нула няма логаритъм, тъй като комплексната степен не приема нулева стойност. ненулева $z$може да се представи в експоненциална форма:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$Където $к$- произволно цяло число

Тогава $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$се намира по формулата:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Тук $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$е истинският логаритъм. От това следва:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Примери за комплексни логаритмични стойности

Даваме основната стойност на логаритъма ( $\backslash ln$) и неговия общ израз ( $\backslash mathrm(Ln)$) за някои аргументи:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Трябва да внимавате, когато преобразувате сложни логаритми, като вземете предвид, че те са многозначни и следователно равенството на тези изрази не следва от равенството на логаритмите на който и да е израз. Пример погрешнообосновавам се:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$е очевидна грешка.

Обърнете внимание, че основната стойност на логаритъма е отляво, а стойността от основния клон е отдясно ( $k=-1$). Причината за грешката е небрежно използване на имота $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, което най-общо казано предполага в сложния случай целия безкраен набор от стойности на логаритъма, а не само главната стойност.

Комплексна логаритмична функция и риманова повърхност

По силата на това, че е просто свързана, риманова повърхност на логаритъм е универсално покритие за комплексната равнина без точка $0$.

Аналитично продължение

Логаритъмът на комплексно число може също да се дефинира като аналитично продължение на реалния логаритъм към цялата комплексна равнина. Нека кривата $\backslash Гама$започва от единица, не преминава през нула и не пресича отрицателната част на реалната ос. След това главната стойност на логаритъма в крайната точка $w$крив $\backslash Гама$може да се определи по формулата:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Ако $\backslash Гама$- проста крива (без самопресичане), тогава за числата, лежащи върху нея, могат да се прилагат без страх логаритмични идентичности, например:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash двоеточие\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Главният клон на логаритмичната функция е непрекъснат и диференцируем в цялата комплексна равнина, с изключение на отрицателната част на реалната ос, върху която имагинерната част скача до $2\backslash pi$. Но този факт е следствие от изкуственото ограничаване на имагинерната част от основната стойност с интервала $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Ако разгледаме всички клонове на функцията, тогава непрекъснатостта се осъществява във всички точки с изключение на нулата, където функцията не е дефинирана. Ако позволите крива $\backslash Гама$пресичат отрицателната част на реалната ос, тогава първото такова пресичане прехвърля резултата от клона на основната стойност към съседния клон и всяко следващо пресичане предизвиква подобно изместване по клоновете на логаритмичната функция (виж фигурата).

От аналитичната формула за продължение следва, че на всеки клон на логаритъма:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash върху\; z)$

За всеки кръг $С$ограждаща точката $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash върху\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Интегралът се взема в положителна посока (обратно на часовниковата стрелка). Тази идентичност е в основата на теорията за остатъците.

Може също да се дефинира аналитичното продължение на комплексния логаритъм, като се използва серията, известна за реалния случай:

{{{2}}}

(Ред 1)

{{{2}}}

(Ред 2)

От формата на тези серии обаче следва, че при единица сумата на серията е равна на нула, т.е. серията се отнася само до основния клон на многозначната функция на комплексния логаритъм. Радиусът на сближаване на двете серии е 1.

Връзка с обратни тригонометрични и хиперболични функции

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- обратен хиперболичен синус $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- обратен хиперболичен косинус $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- обратен хиперболичен тангенс $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- обратен хиперболичен котангенс

Исторически очерк

Първите опити за разширяване на логаритмите до комплексни числа са направени в началото на 17-18 век от Лайбниц и Йохан Бернули, но те не успяха да създадат холистична теория - главно поради причината, че самото понятие за логаритъм все още не беше ясно дефинирани. Дискусията по този въпрос беше първо между Лайбниц и Бернули, а в средата на 18 век между Д'Аламбер и Ойлер. Бернули и д'Аламбер смятат, че е необходимо да се дефинират $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, докато Лайбниц твърди, че логаритъма на отрицателно число е имагинерно число. Пълната теория на логаритмите на отрицателните и комплексните числа е публикувана от Ойлер през 1747-1751 г. и по същество не се различава от съвременната. Въпреки че спорът продължава (д'Аламбер защитава своята гледна точка и я аргументира подробно в статия в своята Енциклопедия и в други трудове), подходът на Ойлер до края на 18 век е универсално приет.

Напишете отзив за статията "Комплексен логаритъм"

Литература

Теория на логаритмите

• Корн Г., Корн Т.. - М .: Наука, 1973. - 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н.Теория на функциите на комплексна променлива. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
• Фихтенголц Г. М.Курс по диференциално и интегрално смятане. - изд. 6-ти. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История на логаритмите

• Математика на 18 век // / Под редакцията на А. П. Юшкевич, в три тома. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.).Математиката на 19 век. Геометрия. Теория на аналитичните функции. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Бележки

1. Логаритмична функция. // . - М .: Съветска енциклопедия, 1982. - Т. 3.
2. , Том II, стр. 520-522..
3. , С. 623..
4. , С. 92-94..
5. , С. 45-46, 99-100..
6. Болтянски В. Г., Ефремович В. А.. - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Квантова библиотека, брой 21).
7. , Том II, стр. 522-526..
8. , С. 624..
9. , С. 325-328..
10. Рибников К. А.История на математиката. В два тома. - М .: Изд. Московски държавен университет, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231 ..
11. , С. 122-123..
12. Клайн Ф.. - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 стр.

Откъс, характеризиращ сложния логаритъм

Беше очевидно, че този силен, странен мъж беше под непреодолимото влияние, упражнявано върху него от това чернокожо, грациозно, любящо момиче.
Ростов забеляза нещо ново между Долохов и Соня; но не определи за себе си каква е новата връзка. „Те всички са влюбени в някого там“, помисли си той за Соня и Наташа. Но той не беше както преди, умело със Соня и Долохов и започна да се явява у дома по-рядко.
От есента на 1806 г. всичко отново започна да говори за войната с Наполеон с още по-голяма жар, отколкото миналата година. Назначен е не само набор от новобранци, но и още 9 воини от хиляда. Навсякъде проклинаха Бонапарт с анатема, а в Москва се говореше само за предстоящата война. За семейство Ростов целият интерес на тази подготовка за войната се състоеше само във факта, че Николушка никога нямаше да се съгласи да остане в Москва и чакаше само края на отпуската на Денисов, за да отиде с него в полка след ваканцията. Предстоящото заминаване не само не му попречи да се забавлява, но и го насърчи към това. Той прекарваше по-голямата част от времето си далеч от дома, на вечери, купони и балове.

XI
На третия ден от Коледа Николай вечерял вкъщи, което рядко му се случвало напоследък. Това беше официална прощална вечеря, тъй като той и Денисов заминаваха за полка след Богоявление. Около двадесет души вечеряха, включително Долохов и Денисов.
Никога в къщата на Ростови атмосферата на любовта, атмосферата на любовта не се е усещала с такава сила, както в тези празнични дни. „Хванете моменти на щастие, насилете се да обичате, влюбете се! Само това нещо е истинско в света - всичко останало е глупост. И това е единственото нещо, с което сме заети тук“, каза тази атмосфера. Николай, както винаги, след като измъчи два чифта коне и дори тогава без да има време да посети всички места, където трябваше да бъде и където беше повикан, пристигна у дома точно преди вечеря. Още с влизането си той забеляза и усети напрежението на любовната атмосфера в къщата, но освен това забеляза странно объркване, което цари между някои от членовете на обществото. Соня, Долохов, старата графиня и малката Наташа бяха особено развълнувани. Николай разбра, че нещо трябва да се случи преди вечеря между Соня и Долохов, и с характерната си нежност на сърцето той беше много нежен и предпазлив по време на вечеря, когато се отнасяше и към двамата. Същата вечер на третия ден от ваканцията трябваше да има един от онези балове при Йогел (учител по танци), които той даваше на празниците за всичките си ученици.
- Николенка, ще ходиш ли при Йогел? Моля те, върви - каза му Наташа, - той специално те помоли и Василий Дмитрич (това беше Денисов) отива.
„Където не ходя по заповед на г-н Афини!“, каза Денисов, който шеговито се постави в къщата на Ростови на крака на рицаря Наташа, „pas de chale [танц с шал] е готов да танцува .
- Ако мога да! Обещах на Архарови, те имат вечер - каза Николай.
- А ти?... - обърна се той към Долохов. И щом попитах това, забелязах, че не трябваше да питам това.
- Да, може би ... - студено и ядосано отговори Долохов, погледна Соня и намръщено, точно със същия поглед, с който гледаше Пиер на клубната вечеря, отново погледна Николай.
„Има нещо“, помисли си Николай и това предположение се потвърди още повече от факта, че Долохов си тръгна веднага след вечерята. Той се обади на Наташа и попита какво е това?
„Търсих те“, каза Наташа, изтичвайки към него. „Казах, че все още не искаш да повярваш“, каза тя триумфално, „той предложи брак на Соня.
Колкото и малко да направи Николай Соня през това време, нещо като че ли излезе в него, когато чу това. Долохов беше достоен и в някои отношения блестящ партньор на сирачето без зестра Соня. От гледна точка на старата графиня и обществото беше невъзможно да му се откаже. И затова първото чувство на Николай, когато чу това, беше огорчение срещу Соня. Той се готвеше да каже: „И това е добре, разбира се, трябва да забравиш детските обещания и да приемеш предложението“; но още не успя да го каже...
- Можеш ли да си представиш! тя отказа, категорично отказа! Наташа проговори. „Тя каза, че обича друг“, добави тя след кратка пауза.
„Да, моята Соня не можеше да направи друго!“ — помисли си Никола.
- Колкото и да я молеше майка, тя отказа и знам, че няма да се промени, ако каже нещо ...
- И майка ми я помоли! – каза укорително Николай.
— Да — каза Наташа. „Знаеш ли, Николенка, не се сърди; но знам, че няма да се ожениш за нея. Знам, Бог знае защо, знам със сигурност, няма да се ожениш.
„Е, вие изобщо не знаете това“, каза Николай; Но трябва да говоря с нея. Какъв чар тази Соня! добави той усмихнат.
- Това е такъв чар! Ще ти го пратя. - И Наташа, целувайки брат си, избяга.
Минута по-късно влезе Соня, уплашена, объркана и виновна. Никълъс се приближи до нея и й целуна ръка. Това беше първият път, когато при това посещение те разговаряха лице в лице и за любовта си.
— Софи — каза той отначало плахо, а после все по-смело, — ако искаш да откажеш не само блестящо, печелившо парти; но той е добър, благороден човек... той ми е приятел...
– прекъсна го Соня.
— Вече отказах — каза тя припряно.
- Ако ми откажеш, страхувам се, че върху мен ...
Соня отново го прекъсна. Тя го погледна с умоляващи, уплашени очи.
— Николас, не ми казвай това — каза тя.
- Не, трябва. Може би това е достатъчност [арогантност] от моя страна, но е по-добре да го кажа. Ако ми откажеш, трябва да ти кажа цялата истина. Обичам те, мисля, повече от всеки друг ...
— Това ми стига — каза Соня, изчервявайки се.
- Не, но съм се влюбвал хиляди пъти и ще продължа да се влюбвам, въпреки че нямам такова чувство на приятелство, доверие, любов към никого, както към теб. Тогава съм млад. Маман не иска това. Е, просто нищо не обещавам. И ви моля да помислите върху предложението на Долохов — каза той, като с мъка произнесе името на приятеля си.
- Не ми казвай това. Не искам нищо. Обичам те като брат и винаги ще те обичам и нямам нужда от нищо друго.
- Ти си ангел, не те понасям, но само ме е страх да те измамя. Никълъс отново й целуна ръка.

Йогел имаше най-смешните топки в Москва. Това беше казано от майки, гледайки своите юноши, [момичета], които правеха своите новонаучени стъпки; това беше казано от самите юноши и юноши, [момичета и момчета] танцуваха, докато паднаха; тези пораснали момичета и млади хора, дошли на тези балове с идеята да се отнасят снизходително към тях и да намерят най-доброто забавление в тях. През същата година на тези балове се сключиха два брака. Две красиви принцеси Горчакови намериха ухажори и се ожениха, и още повече пуснаха тези балове в слава. Особеното на тези балове беше, че нямаше домакин и домакиня: имаше, като пух, който се кланяше според правилата на изкуството, добродушен Йогел, който приемаше билети за уроци от всичките си гости; беше, че тези балове все още се посещаваха само от желаещи да танцуват и да се забавляват, тъй като това искат момичета на 13 и 14 години, които за първи път обличат дълги рокли. Всички, с редки изключения, бяха или изглеждаха красиви: всички се усмихваха толкова ентусиазирано и очите им блестяха толкова много. Понякога най-добрите ученици дори танцуваха па дьо шале, от които най-добрата беше Наташа, отличаваща се със своята грация; но на този, последен бал, танцуваха само екосези, английски и току-що навлязлата на мода мазурка. Залата беше отведена от Йогел в къщата на Безухов и балът беше голям успех, както казаха всички. Имаше много хубави момичета, а ростовските млади дами бяха сред най-добрите. И двамата бяха особено щастливи и весели. Същата вечер Соня, горда от предложението на Долохов, нейния отказ и обяснение с Николай, все още се въртеше у дома, не позволяваше на момичето да среше плитките си и сега блестеше от бурна радост.
Наташа, не по-малко горда, че за първи път е в дълга рокля, на истински бал, беше още по-щастлива. И двете бяха в бели муселинени рокли с розови панделки.
Наташа се влюби от момента, в който влезе на бала. Тя не беше влюбена в никого конкретно, но беше влюбена във всички. В този, когото погледна в момента, в който погледна, беше влюбена в него.
- О, колко добре! — продължаваше да казва тя, като тичаше към Соня.
Николай и Денисов минаха през залите, гледайки нежно и покровителствено танцьорите.
- Колко е сладка, ще бъде - каза Денисов.
- СЗО?
— Господин Атина Наташа — отговори Денисов.
„И как танцува, каква г"ация! - след пауза отново каза той.
- За кого говориш?
— За сестра ти — извика ядосано Денисов.
Ростов се засмя.
– Mon cher comte; vous etes l "un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", каза малкият Йогел, приближавайки се до Николай. "Voyez combien de jolies demoiselles. [Скъпи графе, вие сте един от най-добрите ми ученици. Трябва да танцувате. Вижте как много хубави момичета!] – обърна се той със същата молба към Денисов, също негов бивш ученик.
- Non, mon cher, je fe "ai tapisse" т.е. [Не, скъпа моя, ще седна до стената], каза Денисов. — Не помниш ли колко зле използвах уроците ти?
- О, не! – припряно го утешаваше Йогел. - Бил си само невнимателен, но си имал способността, да, имал си способността.
Засвири нововъведената мазурка; Николай не можа да откаже на Йогел и покани Соня. Денисов седна до стариците и се облегна на сабята си, тропаше с крака, разказваше нещо весело и караше старите дами да се смеят, гледайки танцуващата младеж. Йогел в първата двойка танцува с Наташа, неговата гордост и най-добра ученичка. Нежно, нежно движейки краката си в обувките си, Йогел първи прелетя през коридора с Наташа, която плахо, но усърдно правеше стъпките си. Денисов не сваляше очи от нея и почукваше времето със сабята си с вид, който ясно казваше, че самият той не танцува само защото не иска, а не защото не може. В средата на фигурата той извика към себе си Ростов, който минаваше.
„Това изобщо не е“, каза той. - Това полска мазу "ка" ли е? И тя танцува добре.“ Знаейки, че Денисов дори е известен в Полша с умението си да танцува полска мазурка, Николай изтича до Наташа:
- Давай, избери Денисов. Ето я танцува! чудо! - той каза.
Когато отново дойде редът на Наташа, тя се изправи и плахо затърка обувките си с лъкове, изтича сама през коридора до ъгъла, където седеше Денисов. Видя, че всички я гледат и чакат. Николай видя, че Денисов и Наташа се карат с усмивка и че Денисов отказва, но се усмихва щастливо. Той бягаше.
— Моля те, Василий Дмитрич — каза Наташа, — да вървим, моля те.
„Да, благодаря ви, госпожо Атина“, каза Денисов.
- Е, стига, Вася - каза Николай.
„Сякаш Васка го убеждават“, шеговито каза Денисов.
„Ще ти пея цяла вечер“, каза Наташа.
- Магьосницата ще направи всичко с мен! - каза Денисов и разкопча сабята си. Той излезе иззад столовете, хвана здраво дамата си за ръката, вдигна глава и отмести крака си, очаквайки такт. Само на кон и в мазурка не се виждаше дребният ръст на Денисов и той изглеждаше същият хубав човек, какъвто се чувстваше. След като изчака малко, той погледна своята дама отстрани победоносно и шеговито, неочаквано потупа с единия крак и като топка отскочи еластично от пода и полетя в кръг, повличайки дамата със себе си. Той тихо прелетя половината зала на един крак и сякаш не видя столовете, стоящи пред него, и се втурна право към тях; но изведнъж, като щракна шпорите си и разтвори краката си, той се спря на пети, застана така за секунда, с рев на шпори, с крака, потропани на едно място, бързо се обърна и като щракна левия крак с десния, отново летеше в кръг. Наташа се досеща какво възнамерява да направи и, самата тя не знае как, го последва - предавайки му се. Ту я обикаляше ту от дясната си, ту от лявата си ръка, после падаше на колене, обикаляше я около себе си и пак скочи и се втурна напред с такава бързина, сякаш възнамеряваше, без да си поеме въздух, да избяга във всички стаи; след това внезапно спираше отново и правеше ново и неочаквано коляно. Когато той, бързо обикаляйки дамата пред мястото й, щракна шпората си, покланяйки се пред нея, Наташа дори не седна до него. Тя прикова очи в него с недоумение, усмихвайки се, сякаш не го познаваше. - Какво е? тя каза.
Въпреки факта, че Йогел не разпозна тази мазурка като истинска, всички бяха възхитени от умението на Денисов, те непрекъснато започнаха да го избират, а старите хора, усмихнати, започнаха да говорят за Полша и за добрите стари времена. Денисов, зачервен от мазурката и изтриващ се с носна кърпа, седна до Наташа и не я остави през целия бал.

Реален логаритъм

Логаритъм на логаритъм на реално число а bима смисъл със style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Най-широко използвани са следните видове логаритми.

Ако разглеждаме логаритмично число като променлива, получаваме логаритмична функция, Например: . Тази функция е дефинирана от дясната страна на числовата линия: х> 0 , е непрекъсната и диференцируема там (виж фиг. 1).

Имоти

естествени логаритми

За , равенството

(1)

В частност,

Този ред се сближава по-бързо и в допълнение лявата страна на формулата вече може да изрази логаритъма на всяко положително число.

Връзка с десетичния логаритъм: .

Десетични логаритми

Ориз. 2. Логарифмична скала

Логаритми при основа 10 (символ: lg а) преди изобретяването на калкулаторите са били широко използвани за изчисления. Неравномерната скала на десетични логаритми обикновено се прилага и за плъзгащи се линейки. Подобна скала се използва широко в различни области на науката, например:

• Химия - активността на водородните йони ().
• Музикална теория - музикалната скала във връзка с честотите на музикалните звуци.

Логаритмичната скала също се използва широко за идентифициране на показателя в експоненциалните зависимости и коефициента в показателя. В същото време графиката, начертана в логаритмичен мащаб по една или две оси, има формата на права линия, която е по-лесна за изучаване.

Комплексен логаритъм

Многозначна функция

Риманова повърхност

Комплексната логаритмична функция е пример за риманова повърхност; нейната въображаема част (фиг. 3) се състои от безкраен брой клони, усукани като спирала. Тази повърхност е просто свързана; единствената му нула (от първи ред) се получава от z= 1, специални точки: z= 0 и (точки на разклонение от безкраен ред).

Риманова повърхност на логаритъма е универсалното покритие за комплексната равнина без точка 0 .

Исторически очерк

Реален логаритъм

Необходимостта от сложни изчисления през 16 век нараства бързо и голяма част от трудността е свързана с умножението и деленето на многоцифрени числа. В края на века няколко математици, почти едновременно, излязоха с идеята: да заменят отнемащото време умножение с просто добавяне, сравнявайки геометричните и аритметичните прогресии с помощта на специални таблици, докато геометричната ще бъде оригиналната. Тогава делението автоматично се заменя с неизмеримо по-просто и надеждно изваждане. Той е първият, който публикува тази идея в книгата си Интегрална аритметика»Michael Stiefel, който обаче не положи сериозни усилия да реализира идеята си.

През 1620-те години Едмънд Уингейт и Уилям Оутред изобретяват първата логаритмична линейка, преди появата на джобните калкулатори, незаменим инструмент за един инженер.

Близко до съвременното разбиране на логаритъма - като операция, обратна на степенуването - се появява за първи път при Уолис и Йохан Бернули и най-накрая е легализирано от Ойлер през 18 век. В книгата „Въведение в анализа на безкрайността“ () Ойлер дава съвременни дефиниции както на експоненциални, така и на логаритмични функции, разширява ги в степенни редове и специално отбелязва ролята на естествения логаритъм.

Ойлер също има заслугата за разширяване на логаритмичната функция към комплексната област.

Комплексен логаритъм

Първите опити за разширяване на логаритмите до комплексни числа са направени в началото на 17-18 век от Лайбниц и Йохан Бернули, но те не успяха да създадат холистична теория - главно поради причината, че концепцията за самия логаритъм все още не беше ясна дефинирани. Дискусията по този въпрос е първо между Лайбниц и Бернули, а в средата на XVIII век - между Д'Аламбер и Ойлер. Бернули и д'Аламбер смятат, че е необходимо да се дефинират log(-x) = log(x). Пълната теория на логаритмите на отрицателните и комплексните числа е публикувана от Ойлер през 1747-1751 г. и по същество не се различава от съвременната.

Въпреки че спорът продължава (Д'Аламбер защитава своята гледна точка и я аргументира подробно в статия в своята Енциклопедия и в други трудове), гледната точка на Ойлер бързо печели всеобщо признание.

Логаритмични таблици

Логаритмични таблици

От свойствата на логаритъма следва, че вместо отнемащото време умножение на многоцифрени числа е достатъчно да се намерят (според таблиците) и да се съберат техните логаритми и след това да се извърши потенциране, като се използват същите таблици, т.е. намерете стойността на резултата чрез неговия логаритъм. Извършването на деление се различава само по това, че се изваждат логаритми. Лаплас каза, че изобретяването на логаритмите "удължава живота на астрономите", като значително ускорява процеса на изчисление.

При преместване на десетичната запетая в число до нцифри, стойността на десетичния логаритъм на това число се променя с н. Например lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . От това следва, че е достатъчно да се направи таблица с десетични логаритми за числа от 1 до 10.

Първите таблици с логаритми бяха публикувани от Джон Напиер () и те съдържаха само логаритми на тригонометрични функции и с грешки. Независимо от него Йост Бурги, приятел на Кеплер, публикува неговите таблици (). През 1617 г. оксфордският професор по математика Хенри Бригс публикува таблици, които вече включват десетичните логаритми на самите числа от 1 до 1000, с 8 (по-късно 14) цифри. Но имаше и грешки в таблиците на Бригс. Първото издание без грешки, базирано на таблиците на Vega (), се появява едва през 1857 г. в Берлин (таблици на Bremiver).

В Русия първите таблици с логаритми са публикувани през 1703 г. с участието на Л. Ф. Магнитски. В СССР са публикувани няколко колекции от таблици на логаритми.

• Брадис В. М.Четирицифрени математически таблици. 44-то издание, М., 1973 г.

естествени логаритми

Производната на естествения логаритъм има проста формула:

Поради тази причина естествените логаритми се използват главно в математическите изследвания. Често се появяват при решаване на диференц уравнения, изследване на статистически зависимости (например разпределение на прости числа) и др.

За , равенството

Този ред се сближава по-бързо и в допълнение лявата страна на формулата вече може да изрази логаритъма на всяко положително число.

Връзка с десетичния логаритъм: .

Десетични логаритми

Ориз. 2. Логарифмична скала

Логаритми при основа 10 (символ: lg а) преди изобретението калкулаторишироко използвани за изчисления. неравен мащабобикновено се прилагат десетични логаритми слайд правила. Подобна скала се използва широко в различни области на науката, например:

Физика- интензитет на звука ( децибели).

Астрономия- мащаб звездна яркост.

Химия- дейност водород йони (pH).

Сеизмология - скала на Рихтер.

музикална теория- нотна скала, във връзка с честотите на музикалните звуци.

История - логаритмична времева скала.

Логаритмичната скала също се използва широко за идентифициране на показателя в експоненциалните зависимости и коефициента в показателя. В същото време графиката, начертана в логаритмичен мащаб по една или две оси, има формата на права линия, която е по-лесна за изучаване.

логаритмична функция

Логаритмичната функция е функция на формата f(х) = дневник а х, определени при

Изследване на логаритмичната функция

Домейн:

Диапазон на стойността:

Графиката на всяка логаритмична функция минава през точката (1; 0)

Производната на логаритмичната функция е:

Доказателство [покажи]

I. Нека докажем това

Нека запишем самоличността двътре х = хи разграничете лявата и дясната му страна

Разбираме това , откъдето следва, че

II. Нека докажем това

Функцията е строго нарастваща за а> 1 и стриктно намаляващ при 0 a

Направо х= 0 остава вертикална асимптота, тъй като при а> 1 и при 0 a

Комплексен логаритъм

Многозначна функция

За комплексни числаЛогаритъмът се определя по същия начин като реалния. Нека започнем с естествения логаритъм, който обозначаваме и дефинираме като набор от всички комплексни числа zтакова, че д z = w. Комплексният логаритъм съществува за всеки , като реалната му част е еднозначно определена, докато имагинерната има безкраен брой стойности. Поради тази причина тя се нарича многозначна функция. Ако си представите wв експоненциална форма:

тогава логаритъма се намира по формулата:

Ето истинския логаритъм, r = | w | , к- произволни цяло число. Стойността, получена при к= 0 се извиква основно значениекомплексен натурален логаритъм; обичайно е стойността на аргумента в него да се приема в интервала (− π,π]. Съответната (вече еднозначна) функция се нарича основен клонлогаритъм и се означава с . Понякога се обозначава и стойността на логаритъма, който не лежи на главния клон.

От формулата следва:

Реалната част на логаритъма се определя по формулата:

Логаритъмът на отрицателно число се намира по формулата:

Примери (посочена е основната стойност на логаритъма):

Комплексните логаритми с различна основа се разглеждат по подобен начин. Трябва обаче да внимавате, когато трансформирате сложни логаритми, като вземете предвид, че те са многозначни и следователно равенството на тези изрази не следва от равенството на логаритмите на каквито и да е изрази. Пример за погрешно разсъждение:

азπ = ln(− 1) = ln((− аз) 2) = 2ln(− аз) = 2(− азπ / 2) = − азπ е очевиден абсурд.

Обърнете внимание, че основната стойност на логаритъма е отляво, а стойността от основния клон е отдясно ( к= − 1). Причината за грешката е небрежното използване на свойството, което, най-общо казано, в сложния случай предполага целия безкраен набор от стойности на логаритъма, а не само основната стойност.

Риманова повърхност

Комплексна логаритмична функция - пример Риманова повърхност; нейната въображаема част (фиг. 3) се състои от безкраен брой клони, усукани като спирала. Тази повърхност просто свързани; единствената му нула (от първи ред) се получава от z= 1, особени точки: z= 0 и (точки на разклонение от безкраен ред).

Риманова повърхност на логаритъма е универсално покритиеза комплексната равнина без точка 0.

Исторически очерк

Реален логаритъм

Необходимостта от сложни изчисления XVI векнарастваше бързо и голяма част от трудността беше свързана с умножението и деленето на многоцифрени числа. В края на века няколко математици, почти едновременно, излязоха с идеята: да заменят отнемащото време умножение с просто събиране, сравнявайки с помощта на специални таблици геометриченИ аритметикапрогресия, докато геометричната ще бъде оригиналната. Тогава делението автоматично се заменя с неизмеримо по-просто и надеждно изваждане. Той е първият, който публикува тази идея в книгата си Интегрална аритметика» Майкъл Щифел, който обаче не положи сериозни усилия да реализира идеята си.

IN 1614 гШотландски математик любител Джон Напиерпубликува есе на латински, озаглавено „ Описание на удивителната логаритмична таблица". Имаше кратко описание на логаритмите и техните свойства, както и 8-цифрени таблици с логаритми синусите, косинусиИ допирателни, със стъпка 1". Термин логаритъм, предложен от Napier, се утвърди в науката.

Концепцията за функция все още не съществува и Напиер дефинира логаритъма кинематично, сравнявайки равномерното и логаритмично забавеното движение. В съвременната нотация моделът на Napier може да бъде представен чрез диференциално уравнение: dx/x = -dy/M, където M е коефициент на мащабиране, въведен, за да направи стойността цяло число с необходимия брой цифри (десетичните знаци тогава все още не бяха широко използвани). Напиер взе M = 10000000.

Строго погледнато, Напиер таблицира грешната функция, която сега се нарича логаритъм. Ако обозначим неговата функция като LogNap(x), тогава тя е свързана с натуралния логаритъм, както следва:

Очевидно LogNap (M) = 0, тоест логаритъма на "пълния синус" е нула - това е, което Napier търси с дефиницията си. LogNap(0) = ∞.

Основното свойство на логаритъма на Напиер: ако количествата образуват геометрична прогресия, тогава техните логаритми образуват прогресия аритметика. Въпреки това правилата за логаритъм за функцията, която не е Пиер, се различават от правилата за съвременния логаритъм.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

За съжаление, всички стойности в таблицата на Napier съдържат изчислителна грешка след шестата цифра. Това обаче не попречи на новия метод за изчисление да придобие широка популярност и много европейски математици се заеха със съставянето на логаритмични таблици, в т.ч. Кеплер.

През 1620-те години Едмънд Уингейт и Уилям Отредизобретил първия диаграма, преди появата на джобните калкулатори - незаменим инструмент за инженер.

Близко до съвременното разбиране на логаритъма - като операция, обратна степенуване- появява се за първи път в УолисаИ Йохан Бернулии накрая одобрен Ойлер V XVIII век. В книгата "Въведение в анализа на безкрайността" ( 1748 ) Ойлер даде съвременни определения като демонстративен, и логаритмични функции, доведе до разширяването им в степенни редове, особено отбеляза ролята на естествения логаритъм.

Ойлер също има заслугата за разширяване на логаритмичната функция към комплексната област.

Комплексен логаритъм

Първите опити за разширяване на логаритмите до комплексни числа са направени в началото на 17-18 век. ЛайбницИ Йохан Бернули, обаче, те не успяха да създадат холистична теория - главно поради причината, че по това време самото понятие за логаритъм все още не беше ясно дефинирано. Дискусията по този въпрос е първо между Лайбниц и Бернули, а в средата на 18 век – между д'Аламбери Ойлер. Бернули и д'Аламбер смятат, че е необходимо да се дефинират log(-x) = log(x). Пълната теория на логаритмите на отрицателните и комплексните числа е публикувана от Ойлер през 1747-1751 г. и по същество не се различава от съвременната.

Въпреки че спорът продължава (Д'Аламбер защитава своята гледна точка и я аргументира подробно в статия в своята Енциклопедия и в други трудове), гледната точка на Ойлер бързо печели всеобщо признание.

Логаритмични таблици

Логаритмични таблици

От свойствата на логаритъма следва, че вместо отнемащото време умножение на многозначни числа е достатъчно да се намерят (от таблиците) и да се съберат техните логаритми и след това да се използват същите таблици за изпълнение потенциране, тоест намерете стойността на резултата чрез неговия логаритъм. Извършването на деление се различава само по това, че се изваждат логаритми. ЛапласТой каза, че изобретяването на логаритмите "удължава живота на астрономите", като значително ускорява процеса на изчисления.

При преместване на десетичната запетая в число до нцифри, стойността на десетичния логаритъм на това число се променя с н. Например lg8314.63 = lg8.31463 + 3. От това следва, че е достатъчно да се направи таблица с десетични логаритми за числа в диапазона от 1 до 10.

Първите таблици с логаритми са публикувани от Джон Напиер ( 1614 ), и те съдържаха само логаритми на тригонометрични функции и с грешки. Независимо от него неговите таблици са публикувани от Йост Бюрги, негов приятел Кеплер (1620 ). IN 1617 г Оксфордпрофесор по математика Хенри Бригспубликувани таблици, които вече включват десетичните логаритми на самите числа от 1 до 1000, с 8 (по-късно - с 14) цифри. Но имаше и грешки в таблиците на Бригс. Първо безпогрешно издание, базирано на таблиците на Вега ( 1783 ) се появи само в 1857 гв Берлин (таблици Bremiver).

В Русия са публикувани първите таблици с логаритми 1703 гВ ролите Л. Ф. Магнитски. В СССР са публикувани няколко колекции от таблици на логаритми.

Брадис В. М. Четирицифрени математически таблици. 44-то издание, М., 1973 г.

Маси Bradis ( 1921 ) се използват в образователни институции и в инженерни изчисления, които не изискват голяма точност. Те съдържаха мантисадесетични логаритми на числа и тригонометрични функции, естествени логаритми и някои други полезни инструменти за изчисление.

Литература

Успенски Я. В. Есе по история на логаритмите. Петроград, 1923. −78 с.

Вигодски М. Я. Наръчник по елементарна математика. - М .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Редактирана история на математиката А. П. Юшкевичв три тома, Москва: Наука.

Том 1 От древността до началото на новото време. (1970)психологията като самостоятелна наука (2) Резюме >> Психология

Основни цели на предмета историиПсихология 1. Анализ възникванеи по-нататъшно развитие... усещането е пропорционално логаритъминтензитет на стимула: за ... за извършване на действие, поради възникваненеобходимостта от решаване на проблема; - мишена...

• Историяпсихология (10)

  Резюме >> Психология

  Става началото на психофизиката. Таблица логаритмисе оказа приложимо към феномените на душата ... че корените на инстинктите се връщат към историявид, без тях жив ... счупен, "съответстващ на всяко болезнено явление. Възникваненови тенденции в психологията, социологията...

• Историяпсихологията като самостоятелна наука (1)

  Cheat sheet >> Психология

  Дейност: Основни задачи на предмета историипсихология 1. Диализа възникванеи по-нататъшното развитие на научното познание ... че интензивността на усещането е пропорционална на логаритъминтензитет на стимула: за да ...

• Историясоциална психология (2)

  Cheat sheet >> Психология

  Че величината на усещането е пропорционална логаритъминтензивността на действащия стимул (... XX век за първи път през историипсихологията са се опитали експериментално да изследват... идентифицирайки причините и специфичните условия възникваненеврози, изолация в специален ...

Експоненциалната функция на реална променлива (с положителна основа) се определя на няколко стъпки. Първо, за естествени стойности - като продукт на равни фактори. След това дефиницията се разширява до отрицателно цяло число и ненулеви стойности за по правилата. Освен това се разглеждат дробни показатели, при които стойността на експоненциалната функция се определя с помощта на корените: . За ирационалните стойности определението вече е свързано с основната концепция на математическия анализ - с преминаването към границата, поради съображения за непрекъснатост. Всички тези съображения по никакъв начин не са приложими към опитите за разширяване на експоненциалната функция до комплексните стойности на индикатора и какво, например, е напълно неразбираемо.

За първи път степен с комплексен показател с естествена основа е въведена от Ойлер въз основа на анализ на редица конструкции на интегралното смятане. Понякога много подобни алгебрични изрази, когато са интегрирани, дават напълно различни отговори:

В същото време тук вторият интеграл формално се получава от първия чрез замяната му с

От това можем да заключим, че с правилна дефиниция на експоненциална функция с комплексен показател, обратните тригонометрични функции са свързани с логаритми и по този начин експоненциалната функция е свързана с тригонометрични функции.

Ойлер имаше смелостта и въображението да даде разумна дефиниция за експоненциалната функция с основа, а именно,

Това е определение и следователно тази формула не е доказана, може само да се търсят аргументи в полза на разумността и целесъобразността на такова определение. Математическият анализ дава много аргументи от този вид. Ще се ограничим само до един.

Известно е, че реално граничната връзка е валидна: . От дясната страна има полином, който има смисъл дори за комплексни стойности за . Границата на поредица от комплексни числа се определя по естествен начин. Една последователност се нарича сходяща, ако последователностите от реални и имагинерни части се сближават и се приема, че

Да намерим. За да направим това, се обръщаме към тригонометричната форма и за аргумента ще изберем стойности от интервала. С този избор е ясно, че за . Освен това,

За да преминете към границата, трябва да проверите съществуването на граници за и и да намерите тези граници. Ясно е, че и

Така че в израза

реалната част клони към , имагинерната - към така че

Този прост аргумент осигурява един от аргументите в полза на определението на Ойлер за експоненциалната функция.

Нека сега установим, че при умножаване на стойностите на експоненциалната функция експонентите се събират. Наистина ли:

2. Формули на Ойлер.

Поставяме дефиницията на експоненциалната функция. Получаваме:

Заменяйки b с -b, получаваме

Събирайки и изваждайки тези равенства член по член, намираме формулите

наречени формули на Ойлер. Те установяват връзка между тригонометрични функции и експоненциална с имагинерни показатели.

3. Натурален логаритъм на комплексно число.

Комплексно число, дадено в тригонометрична форма, може да бъде записано във формата Тази форма на запис на комплексно число се нарича експоненциална. Той запазва всички добри свойства на тригонометричната форма, но е още по-сбит. Освен това, естествено е да се приеме, че реалната част от логаритъма на комплексно число е логаритъма на неговия модул, а имагинерната част е неговият аргумент. Това обяснява донякъде "логаритмичното" свойство на аргумента - аргументът на произведението е равен на сумата от аргументите на множителите.

логаритмична функция

Логаритмична функция е функция от формата f(x) = logax, дефинирана за

Домейн: . Диапазон от стойности: . Функцията е строго нарастваща за a > 1 и строго намаляваща за 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Правата x = 0 е лявата вертикална асимптота, тъй като за a > 1 и за 0< a < 1.

Производната на логаритмичната функция е:

Логаритмичната функция реализира изоморфизъм между мултипликативната група от положителни реални числа и адитивната група от всички реални числа.

Комплексен логаритъм

Определение и свойства

За комплексните числа логаритъмът се определя по същия начин като реалния. На практика се използва почти изключително естественият комплексен логаритъм, който ние обозначаваме и дефинираме като набор от всички комплексни числа z, така че ez = w. Комплексният логаритъм съществува за всеки и реалната му част е еднозначно определена, докато имагинерната има безкраен брой стойности. Поради тази причина тя се нарича многозначна функция. Ако представим w в експоненциална форма:

тогава логаритъма се намира по формулата:

Тук -- реален логаритъм, r = | w | , k е произволно цяло число. Стойността, получена при k = 0, се нарича главна стойност на комплексния натурален логаритъм; обичайно е да се вземе стойността на аргумента в него в интервала (? p, p]. Съответната (вече еднозначна) функция се нарича главен клон на логаритъма и се обозначава. Понякога стойността на логаритъма, който не лежи на главния клон също се означава с.

От формулата следва:

Реалната част на логаритъма се определя по формулата:

Логаритъмът на отрицателно число се намира по формулата.

• Разгледайте функцията за преглед
• Производни на основни елементарни функции
• За прекрасни дами или за това, което жените искат
• Честит рожден ден на момичето на Виктория Честит рожден ден на нейната приятелка Виктория
• SMS пожелания за лека нощ на любимия мъж
• Формиране на изследователски умения при младши ученици Продължителност на проекта
• Основни ограничаващи фактори
• Курсова работа: Подготовка на юници за отелване и разпределение на юници за първо теле в SPK Rodina, Граховски район, UR
• Как се превежда името Ваня от гръцки
• Значението на името Тимур, произхода, характера и съдбата на името Тимур

• Почина Филип Киркоров, причината за новината какво се случи с Киркоров
• Садалски реагира на грубостта на Максакова Актьорът и народен блогър Станислав Садалски говори за съдбата на избягалата оперна певица Мария Максакова
• Как живее Лера от дома 2?
• Яна Рудковская отслабва с екстремна диета Кефирна диета на Яна Рудковская
• Променете радикално професията си
• Алена Кравец: снимки преди и след пластична хирургия Съпругът на Алена Кравец кой е той
• „Моделиране на атрактора на Лоренц
• Теория на производните функции
• Логаритъм на модула на аналитична функция
• Условие за еквивалентност на двойки сили