Теория на производните функции. §1
Много лесно се запомня.
Е, няма да отидем далеч, веднага ще разгледаме обратната функция. Каква е обратната на експоненциалната функция? Логаритъм:
В нашия случай основата е число:
Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.
На какво е равно? Разбира се, .
Производната на естествения логаритъм също е много проста:
Примери:
- Намерете производната на функцията.
- Каква е производната на функцията?
Отговори: Експонентата и натуралният логаритъм са функции, които са уникално прости по отношение на производната. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.
Правила за диференциране
Какви правила? Пак нов мандат, пак?!...
Диференциацияе процесът на намиране на производната.
Само и всичко. Каква е другата дума за този процес? Не производство... Диференциалът на математиката се нарича самото нарастване на функцията при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.
Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:
Има общо 5 правила.
Константата се изважда от знака на производната.
Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.
Очевидно това правило работи и за разликата: .
Нека го докажем. Нека или по-лесно.
Примери.
Намерете производни на функции:
- в точката;
- в точката;
- в точката;
- в точката.
Решения:
- (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);
Производно на продукт
Тук всичко е подобно: въвеждаме нова функция и намираме нейното увеличение:
Производна:
Примери:
- Намерете производни на функции и;
- Намерете производната на функция в точка.
Решения:
Производна на експоненциална функция
Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само степенната (забравили ли сте вече какво е?).
И така, къде е някакво число.
Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да пренесем нашата функция на нова база:
За целта използваме просто правило: . Тогава:
Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.
Се случи?
Ето, проверете сами:
Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, така и остава, появи се само фактор, който е просто число, но не и променлива.
Примери:
Намерете производни на функции:
Отговори:
Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се напише в по-прост вид. Затова в отговора е оставено в този вид.
Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме подходящото правило за диференциране:
В този пример продуктът на две функции:
Производна на логаритмична функция
Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:
Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:
Трябва да приведем този логаритъм към основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:
Само сега вместо ще напишем:
Знаменателят се оказа просто константа (постоянно число, без променлива). Производната е много проста:
Производни на експоненциалната и логаритмичната функция почти никога не се срещат на изпита, но няма да е излишно да ги знаете.
Производна на сложна функция.
Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е аркутангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако логаритъма ви изглежда труден, прочетете темата "Логаритми" и всичко ще се получи), но от гледна точка на математиката думата "комплексен" не означава "труден".
Представете си малък конвейер: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например първият увива шоколадов блок в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Оказва се такъв съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите противоположните стъпки в обратен ред.
Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число, а след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, те ни дават число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това друго второ действие с това, което се е случило в резултат на първото.
С други думи, Сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .
За нашия пример,.
Можем да направим същите действия в обратен ред: първо повдигате на квадрат, а след това търся косинуса на полученото число:. Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.
Втори пример: (същото). .
Последното действие, което правим, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие – респ "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).
Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:
Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функцията
- Какво действие ще предприемем първо? Първо изчисляваме синуса и едва след това го повдигаме на куб. Така че това е вътрешна функция, а не външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: . - Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
променяме променливите и получаваме функция.
Е, сега ще извлечем нашия шоколад - потърсете производното. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. За оригиналния пример изглежда така:
Друг пример:
И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
Изглежда, че е просто, нали?
Нека проверим с примери:
Решения:
1) Вътрешен: ;
Външен: ;
2) Вътрешен: ;
(само не се опитвайте да намалите досега! Нищо не е извадено от косинуса, помните ли?)
3) Вътрешен: ;
Външен: ;
Веднага става ясно, че тук има сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние все още извличаме корена от нея, тоест изпълняваме третото действие (поставете шоколад в обвивка и с панделка в куфарче). Но няма причина да се страхувате: така или иначе ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.
Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.
В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:
Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията - както преди:
Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.
1. Радикален израз. .
2. Корен. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Събираме всичко заедно:
ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Производна на функция- съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента с безкрайно малко увеличение на аргумента:
Основни производни:
Правила за диференциране:
Константата се изважда от знака на производната:
Производна на сумата:
Производен продукт:
Производна на коефициента:
Производна на сложна функция:
Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:
- Дефинираме "вътрешната" функция, намираме нейната производна.
- Дефинираме "външната" функция, намираме нейната производна.
- Умножаваме резултатите от първа и втора точка.
Дата: 20.11.2014 г
Какво е дериват?
Производна таблица.
Производната е едно от основните понятия на висшата математика. В този урок ще представим това понятие. Да се запознаем, без строги математически формулировки и доказателства.
Това въведение ще ви позволи да:
Разбират същността на простите задачи с производна;
Решете успешно тези много прости задачи;
Подгответе се за по-сериозни производни уроци.
Първо, приятна изненада.
Строгото определение на производната се основава на теорията на границите и нещата са доста сложни. Това е разстройващо. Но практическото приложение на производната, като правило, не изисква толкова обширни и дълбоки познания!
За успешното изпълнение на повечето задачи в училище и университета е достатъчно да знаете само няколко термина- да разбере задачата и само няколко правила- да го решим. И това е. Това ме радва.
Ще се опознаем ли?)
Термини и обозначения.
В елементарната математика има много математически операции. Събиране, изваждане, умножение, степенуване, логаритъм и др. Ако към тези операции се добави още една операция, елементарната математика става по-висока. Тази нова операция се нарича диференциация.Дефиницията и значението на тази операция ще бъдат разгледани в отделни уроци.
Тук е важно да се разбере, че диференцирането е просто математическа операция върху функция. Ние вземаме всяка функция и я трансформираме според определени правила. Резултатът е нова функция. Тази нова функция се нарича: производна.
Диференциация- действие върху функция.
Производнае резултат от това действие.
точно както напр. сумае резултат от добавянето. Или частене резултат от разделянето.
Познавайки условията, можете поне да разберете задачите.) Формулировката е следната: намиране на производната на функция; вземете производната; диференциране на функцията; изчисляване на производнаи така нататък. Това е всичко един и същ.Разбира се, има и по-сложни задачи, при които намирането на производната (диференцирането) ще бъде само една от стъпките при решаването на задачата.
Производната се обозначава с тире горе вдясно над функцията. Като този: y"или f"(x)или S"(t)и така нататък.
Прочети y щрих, ef щрих от x, es щрих от te,добре разбираш...)
Простото число може също да обозначава производната на определена функция, например: (2x+3)", (х 3 )" , (sinx)"и т.н. Често производната се обозначава с диференциали, но ние няма да разглеждаме такава нотация в този урок.
Да предположим, че сме се научили да разбираме задачите. Не остава нищо - да се научите как да ги решавате.) Нека ви напомня отново: намирането на производната е трансформация на функция по определени правила.Тези правила са учудващо малко.
За да намерите производната на функция, трябва да знаете само три неща. Три стълба, върху които почива цялата диференциация. Ето ги трите кита:
1. Таблица на производните (формули за диференциране).
3. Производна на сложна функция.
Да започнем по ред. В този урок ще разгледаме таблицата с производни.
Производна таблица.
Светът има безкраен брой функции. Сред този набор има функции, които са най-важни за практическо приложение. Тези функции се съдържат във всички закони на природата. От тези функции, като от тухли, можете да изградите всички останали. Този клас функции се нарича елементарни функции.Именно тези функции се изучават в училище – линейна, квадратна, хипербола и др.
Диференциране на функциите "от нулата", т.е. въз основа на дефиницията на производната и теорията на границите - доста отнемащо време нещо. И математиците също са хора, да, да!) Така че те опростиха живота си (и нас). Те изчисляваха производни на елементарни функции преди нас. Резултатът е таблица с производни, където всичко е готово.)
Ето я тази плоча за най-популярните функции. Ляво - елементарна функция, дясно - нейна производна.
| функция г |
Производна на функция y y" |
|
| 1 | C (постоянен) | C" = 0 |
| 2 | х | x" = 1 |
| 3 | x n (n е произволно число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | грях х | (sinx)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ах |  |
| дх | ||
| 5 | дневник ах |  |
| ln x ( a = e) |
Препоръчвам да обърнете внимание на третата група функции в тази таблица с производни. Производната на степенна функция е една от най-често срещаните формули, ако не и най-често срещаната! Намекът ясен ли е?) Да, желателно е да знаете таблицата на производните наизуст. Между другото, това не е толкова трудно, колкото може да изглежда. Опитайте се да решите повече примери, самата таблица ще бъде запомнена!)
Намирането на табличната стойност на производната, както разбирате, не е най-трудната задача. Ето защо много често в такива задачи има допълнителни чипове. Или във формулировката на задачата, или в оригиналната функция, която изглежда не е в таблицата ...
Нека да разгледаме няколко примера:
1. Намерете производната на функцията y = x 3
В таблицата няма такава функция. Но има обща производна на степенната функция (трета група). В нашия случай n=3. Така че заместваме тройката вместо n и внимателно записваме резултата:
(х 3) " = 3 х 3-1 = 3x 2
Това е всичко.
Отговор: y" = 3x 2
2. Намерете стойността на производната на функцията y = sinx в точката x = 0.
Тази задача означава, че първо трябва да намерите производната на синуса и след това да замените стойността х = 0към същата тази производна. В този ред е!В противен случай се случва те незабавно да заменят нула в оригиналната функция ... От нас се иска да намерим не стойността на оригиналната функция, а стойността неговата производна.Производната, да ви напомня, вече е нова функция.
На табелата намираме синуса и съответната производна:
y" = (sinx)" = cosx
Заместете нулата в производната:
y"(0) = cos 0 = 1
Това ще бъде отговорът.
3. Разграничете функцията:
Какво вдъхновява?) В таблицата с производни дори няма такава функция.
Позволете ми да ви напомня, че да диференцирате функция е просто да намерите производната на тази функция. Ако забравите елементарната тригонометрия, намирането на производната на нашата функция е доста обезпокоително. Масата не помага...
Но ако видим, че нашата функция е косинус на двоен ъгъл, тогава всичко веднага се подобрява!
Да да! Не забравяйте, че трансформацията на оригиналната функция преди диференциациядоста приемливо! И се случва да направи живота много по-лесен. Според формулата за косинус на двоен ъгъл:
Тези. нашата сложна функция не е нищо друго освен y = cox. И това е таблична функция. Веднага получаваме:
Отговор: y" = - sin x.
Пример за напреднали и студенти:
4. Намерете производната на функция:
Разбира се, няма такава функция в таблицата с производни. Но ако си спомняте елементарна математика, действия със сили... Тогава е напълно възможно да опростите тази функция. Като този:
А x на степен една десета вече е таблична функция! Трета група, n=1/10. Директно според формулата и напишете:
Това е всичко. Това ще бъде отговорът.
Надявам се, че с първия кит на диференциацията - таблицата на производните - всичко е ясно. Остава да се справим с двата останали кита. В следващия урок ще научим правилата за диференциране.
В този урок ще научим как да прилагаме формули и правила за диференциране.
Примери. Намерете производни на функции.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Прилагане на правилото аз, формули 4, 2 и 1. Получаваме:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Решаваме по подобен начин, използвайки същите формули и формулата 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Прилагане на правилото аз, формули 3, 5
И 6
И 1.
Прилагане на правилото IV, формули 5
И 1
.
В петия пример, според правилото азпроизводната на сумата е равна на сумата на производните и току-що намерихме производната на първия член (пример 4 ), следователно ще намерим производни 2-роИ 3-тотермини и за 1-витермин, можем веднага да напишем резултата.
Разграничаване 2-роИ 3-тоусловия по формулата 4
. За да направим това, трансформираме корените на трета и четвърта степен в знаменатели до степени с отрицателни показатели и след това, според 4
формула, намираме производните на степените.
Вижте този пример и резултата. Хванахте ли модела? Глоба. Това означава, че имаме нова формула и можем да я добавим към нашата таблица с производни.
Нека решим шестия пример и изведем още една формула.
Използваме правилото IVи формула 4
. Намаляваме получените фракции.
Разглеждаме тази функция и нейната производна. Вие, разбира се, разбрахте модела и сте готови да назовете формулата:
Научаване на нови формули!
Примери.
1. Намерете увеличението на аргумента и увеличението на функцията y= x2ако първоначалната стойност на аргумента е била 4 , и новото 4,01 .
Решение.
Нова стойност на аргумента x \u003d x 0 + Δx. Заместете данните: 4,01=4+Δx, оттук нарастването на аргумента Δх=4,01-4=0,01. Увеличаването на функцията по дефиниция е равно на разликата между новата и предишната стойност на функцията, т.е. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Тъй като имаме функция y=x2, Че Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Отговор: увеличение на аргумента Δх=0,01; увеличение на функцията Δy=0,0801.
Беше възможно да се намери увеличението на функцията по друг начин: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 = 0,0801.
2. Намерете ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията y=f(x)в точката х 0, Ако f "(x 0) \u003d 1.
Решение.
Стойността на производната в точката на контакт х 0и е стойността на тангенса на наклона на тангентата (геометричното значение на производната). Ние имаме: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,защото tg45°=1.
Отговор: допирателната към графиката на тази функция образува ъгъл с положителната посока на оста Ox, равен на 45°.
3. Изведете формулата за производната на функция y=xn.
Диференциацияе действието за намиране на производната на функция.
При намиране на производни се използват формули, които са получени на базата на дефиницията на производната, по същия начин, както изведехме формулата за степента на производната: (x n)" = nx n-1.
Ето формулите.
Производна таблицаще бъде по-лесно да запомните чрез произнасяне на словесни формулировки:
1. Производната на постоянна стойност е нула.
2. X удар е равен на едно.
3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната.
4. Производната на степен е равна на произведението на показателя на тази степен по степента със същата основа, но показателят е с едно по-малко.
5. Производната на корена е равна на единица, разделена на два еднакви корена.
6. Производната на единица делено на х е минус едно делено на х на квадрат.
7. Производната на синуса е равна на косинуса.
8. Производната на косинус е равна на минус синус.
9. Производната на тангенса е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса.
10. Производната на котангенса е минус едно делено на квадрата на синуса.
Ние преподаваме правила за диференциране.
1.
Производната на алгебричната сума е равна на алгебричната сума на производните членове.
2. Производната на продукта е равна на произведението на производната на първия множител по втория плюс произведението на първия множител по производната на втория.
3. Производната на „y“, разделена на „ve“, е равна на дроб, в чийто числител „y е черта, умножена по „ve“ минус „y, умножено по черта“, а в знаменателя - „ve на квадрат ”.
4. Специален случай на формулата 3.
Да учим заедно!
Страница 1 от 1 1
Производната на функция е една от най-трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.
Тази статия просто и ясно обяснява какво е дериват и защо е необходим.. Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.
Нека си припомним определението:
Производната е скоростта на промяна на функцията.
Фигурата показва графики на три функции. Според вас кой расте най-бързо?
Отговорът е очевиден - третият. Той има най-високата скорост на промяна, тоест най-голямата производна.
Ето още един пример.
Костя, Гриша и Матвей получиха работа едновременно. Нека видим как са се променили доходите им през годината:
Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Приходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем малко. И доходите на Матю намаляха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на изменение на функцията, т.е. производна, - различен. Що се отнася до Матвей, производната на доходите му като цяло е отрицателна.
Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?
Това, което наистина гледаме, е колко стръмно върви графиката на функцията нагоре (или надолу). С други думи, колко бързо y се променя с x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различна стойност на производната - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.
Производната на функция се означава с .
Нека покажем как да намираме с помощта на графиката.
Начертана е графика на някаква функция. Вземете точка върху него с абциса. Начертайте допирателна към графиката на функцията в тази точка. Искаме да оценим колко стръмно се изкачва графиката на функцията. Удобна стойност за това е тангенс на наклона на допирателната.
Производната на функция в точка е равна на тангенса на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
Моля, обърнете внимание - като ъгъл на наклон на тангентата, ние приемаме ъгъла между тангентата и положителната посока на оста.
Понякога учениците питат какво е допирателната към графиката на функция. Това е права линия, която има единствената обща точка с графиката в този раздел, освен това, както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.
Да намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на срещуположния катет към съседния. От триъгълник:
Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номер.
Има и друга важна корелация. Спомнете си, че правата линия е дадена от уравнението
Величината в това уравнение се нарича наклон на права линия. Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклона на правата спрямо оста.
.
Разбираме това
Нека запомним тази формула. Той изразява геометричния смисъл на производната.
Производната на функция в точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.
С други думи, производната е равна на тангенса на наклона на тангенса.
Вече казахме, че една и съща функция в различни точки може да има различна производна. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.
Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои области и намалява в други и с различни темпове. И нека тази функция има максимални и минимални точки.
В даден момент функцията се увеличава. Допирателната към графиката, начертана в точката, образува остър ъгъл с положителната посока на оста. Така че производната е положителна в точката.
В момента нашата функция намалява. Допирателната в тази точка образува тъп ъгъл с положителната посока на оста. Тъй като тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.
Ето какво се случва:
Ако една функция нараства, нейната производна е положителна.
Ако намалява, производната му е отрицателна.
И какво ще се случи при максималните и минималните точки? Виждаме, че в (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на наклона на тангентата в тези точки е нула и производната също е нула.
Точката е максималната точка. В този момент нарастването на функцията се заменя с намаление. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".
В точката - минималната точка - производната също е равна на нула, но нейният знак се променя от "минус" на "плюс".
Заключение: с помощта на производната можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функцията.
Ако производната е положителна, тогава функцията нараства.
Ако производната е отрицателна, тогава функцията е намаляваща.
В максималната точка производната е нула и променя знака от плюс на минус.
В минималната точка производната също е нула и променя знака от минус на плюс.
Записваме тези констатации под формата на таблица:
| се увеличава | максимална точка | намалява | минимална точка | се увеличава | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Нека направим две малки уточнения. Едно от тях ще ви е необходимо при решаване на изпитни задачи. Друг – през първата година, с по-сериозно изучаване на функции и производни.
Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма нито максимум, нито минимум в тази точка. Този т.нар :
В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална и производната е нула. Въпреки това, преди точката функцията нараства - и след точката тя продължава да нараства. Знакът на производната не се променя - той си остава толкова положителен, колкото е бил.
Също така се случва в точката на максимум или минимум производната да не съществува. На графиката това съответства на рязко прекъсване, когато е невъзможно да се начертае допирателна в дадена точка.
Но как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай се прилага
Нека функцията е дефинирана в някаква околност на точка Производната на функция в точка се нарича граница, ако съществува,
Конвенционално обозначение за производната на функция в точка
Производна таблица
Геометричният смисъл на производната на функция в точка.
Помислете за секанса ABфункционална графика y=f(x)такива, че точките АИ INимат координати и 
, където е нарастването на аргумента. Означаваме с нарастването на функцията. Нека маркираме всичко на чертежа:
От правоъгълен триъгълник ABCние имаме . Тъй като по дефиниция допирателната е граничната позиция на секанса, тогава 
.
Припомнете си дефиницията на производната на функция в точка: производната на функция y=f(x)в точката се нарича граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента в , означено 
.
следователно 
, където е наклонът на тангентата.
По този начин съществуването на производна на функция y=f(x)в точка е еквивалентно на съществуването на допирателна към графиката на функцията y=f(x)в точката на контакт и наклонът на тангентата е равен на стойността на производната в точката, това е .
Заключаваме: геометричен смисъл на производната на функция в точкасе състои в съществуването на допирателна към графиката на функцията в тази точка.
20 Диференцируемост на функция в точка. Необходимо и достатъчно условие за диференцируемост.
Увеличаването на функция, диференцируема в дадена точка, може да бъде представено като линейна функция на нарастването на аргумента до стойности от по-висок порядък на малкост. Това означава, че за достатъчно малки околности на дадена точка функцията може да бъде заменена с линейна (скоростта на промяна на функцията може да се счита за непроменена). Линейната част от нарастването на функция се нарича неин диференциал (в дадена точка).
Необходимо, но недостатъчно условие за диференцируемост е непрекъснатостта на функцията. В случай на функция на една реална променлива диференцируемостта е еквивалентна на съществуването на производна. В случай на функция на няколко реални променливи необходимо (но не достатъчно) условие за диференцируемост е наличието на частни производни по отношение на всички променливи. За да бъде функция на няколко променливи диференцируема в дадена точка, е достатъчно частните производни да съществуват в някаква околност на разглежданата точка и да са непрекъснати в дадена точка.
21 Диференцируемост на функция в точка. Теорема за непрекъснатостта на диференцируема функция.
Теорема.
Ако една функция е диференцируема в дадена точка, тогава функцията е непрекъсната в тази точка.
Доказателство.
Нека функцията y=f(x)y=f(x) е диференцируема в точката x0x0, тогава нарастването на тази функция е Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.
Когато нарастването на аргумента на функцията ΔxΔx клони към нула, нарастването на функцията ΔyΔy също клони към нула, а това означава непрекъснатост на функцията.
Тоест, в крайна сметка получихме, че функцията y=f(x)y=f(x), диференцируема в точката x0x0, също е непрекъсната функция в тази точка. Q.E.D.
По този начин непрекъснатостта на функция в дадена точка е необходимо, но не достатъчно условие, за да бъде функцията диференцируема.
Пример.
Функция y=|x|y=|x| в точката x0x0 е непрекъсната функция, но в тази точка функцията не е диференцируема.
Действително увеличението на функцията е равно на:
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.
Правейки това, получаваме:
ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.
Границата limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx не съществува, което означава, че функцията y=|x|y=|x|, която е непрекъсната в точката x0x0, не е диференцируема в тази точка.
22 Функционален диференциал. Геометричният смисъл на диференциала.
Функционален диференциал в даден момент хсе нарича основната, линейна част от нарастването на функцията.
Функционален диференциал y=f(х) е равно на произведението на неговата производна и нарастването на независимата променлива х(аргумент).
Написано е така:
Геометричният смисъл на диференциала.Функционален диференциал y=f(х) е равно на увеличението на ординатата на допирателната S, начертана към графиката на тази функция в точката M( х; г), когато се промени х(аргумент) по стойността (вижте фигурата)..
23 Правилото за диференцируемост на сбор и произведение.
За да докажем второто правило за диференциране, използваме дефиницията на производната и свойството на границата на непрекъсната функция. 
По подобен начин може да се докаже, че производната на сбора (разликата) нфункции е равно на сумата (разликата) нпроизводни
Нека докажем правилото за диференциране на произведението на две функции.
Нека запишем границата на съотношението на нарастването на произведението на функциите към увеличението на аргумента. Ще вземем предвид, че и (увеличението на функцията клони към нула, когато нарастването на аргумента клони към нула). 
Q.E.D.
24 Инвариантност на форма 1 диференциал.
Инвариантност на формата на първия диференциал
Ако хтогава е независима променлива dx = х - х 0 (фиксирано увеличение). В този случай имаме
df(х 0) = е"(х 0)dx. (3)
Ако х = φ (T) тогава е диференцируема функция dx = φ" (T 0)дт. следователно
т.е. първият диференциал има свойството на инвариантност при промяната на аргумента.
25 Теорема на Рол.
Теорема на Рол (теорема за нулева производна) Гласи че
Доказателство
Ако функцията на интервала е постоянна, тогава твърдението е очевидно, тъй като производната на функцията е равна на нула във всяка точка от интервала.
Ако не, тъй като стойностите на функцията в граничните точки на сегмента са равни, тогава според теоремата на Weierstrass тя приема своята максимална или минимална стойност в дадена точка от интервала, тоест има локален екстремум в тази точка и съгласно лемата на Ферма, в тази точка производната е равна на 0 .
геометричен смисъл
Теоремата гласи, че ако ординатите на двата края на гладка крива са равни, тогава има точка на кривата, в която допирателната към кривата е успоредна на оста x.
26 Теорема на Лагранж и нейните следствия.
Формула за крайно увеличениеили Теорема за средната стойност на Лагранжзаявява, че ако една функция е непрекъсната на сегмент и диференцируема на интервал, тогава има точка, такава че
.
Геометричнотова може да се преформулира по следния начин: има точка на отсечката, в която допирателната е успоредна на хордата, минаваща през точките на графиката, съответстващи на краищата на отсечката.
Механична интерпретация: Нека - разстоянието на точката в момента от началната позиция. След това има разстоянието, изминато от момент до момент, съотношението е средната скорост за този интервал. Това означава, че ако скоростта на тялото се определя във всеки един момент от времето, тогава в даден момент тя ще бъде равна на средната му стойност в този участък.
Доказателство
За функция с една променлива:
Нека въведем функция. Той отговаря на условията на теоремата на Рол: в краищата на сегмента стойностите му са равни на нула. Използвайки споменатата теорема, получаваме, че има точка, в която производната на функцията е равна на нула:
Q.E.D.
Следствия и обобщения
Теоремата за крайното нарастване на Лагранж е една от най-важните ключови теореми в цялата система на диференциалното смятане. Той има много приложения в изчислителната математика и основните теореми на математическия анализ също са негови следствия.
Следствие 1.Функция, диференцируема на интервал с производна, равна на нула, е константа.
Доказателство.За всеки и съществува точка такава, че .
Следователно, за всички и , равенството е вярно.
Следствие 2 (формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Лагранж).Ако функцията е диференцируема пъти в околност на точката , тогава за малки (т.е. тези, за които сегментът лежи в посочената околност) е валидна формулата на Тейлър:
където е някакво число от интервала.
Следствие 3.Ако функцията на променливите е два пъти диференцируема в околност на точка O и всички нейни втори смесени производни са непрекъснати в точка O, тогава равенството е вярно в тази точка: 
Доказателство за.Нека фиксираме стойностите на и и разгледаме операторите на разликата
По теоремата на Лагранж има числа 
, така че
при 
поради непрекъснатостта на вторите производни на функцията .
По същия начин е доказано, че 
.
Но тъй като , (което се проверява директно), тези граници съвпадат.
Следствие 4 (формула на Нютон-Лайбниц).Ако функция е диференцируема на сегмент и нейната производна е интегрируема по Риман на този сегмент, тогава формулата е валидна: 
.
Доказателство.Позволявам е произволно дял на сегмента . Прилагайки теоремата на Лагранж, на всеки от сегментите намираме точка, такава че .
Обобщавайки тези равенства, получаваме:
Вляво е интегралната сума на Риман за интеграла и даденото маркирано дялово разделение. Преминавайки към границата на диаметъра на дяла, получаваме формулата на Нютон-Лайбниц.
Следствие 5 (Теорема за оценката на крайните нараствания).Нека преобразуването е непрекъснато диференцируемо в изпъкнала компактна област на пространството. Тогава .
27 Теорема на Каши.
Теорема за средната стойност на Коши.
Нека две функции и са дадени така, че: 1. и са дефинирани и непрекъснати на сегмента ; 2. производни и са крайни на интервала ; 3. производни и не изчезват едновременно на интервала 4. ; тогава съществува, за което е вярно:  . (Ако премахнем условие 4, тогава е необходимо, например, да засилим условие 3: g "(x) не трябва да изчезва никъде в интервала.) |
Геометрично това може да се преформулира по следния начин: ако и е зададен законът за движение в равнината (т.е. абсцисата и ординатата се определят чрез параметъра), тогава на всеки сегмент от такава крива, определена от параметрите и , има допирателна вектор, колинеарен на вектора на изместване от към .
