У дома > караници > Условие на еквивалентност на двойки сили. Събиране на двойки сили


Условие на еквивалентност на двойки сили. Събиране на двойки сили




Преглед:тази статия е прочетена 24574 пъти

Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

Кратък преглед

Пълният материал се изтегля по-горе, след избор на език


Преглед

Всяко кинематично състояние на тела с точка или ос на въртене може да се опише чрез момент на сила, характеризиращ ротационния ефект на силата.

Силов момент около центърае векторното произведение на радиуса - вектора на точката на прилагане на силата и вектора на силата.

Рамо на силата- най-късото разстояние от центъра до линията на действие на силата (перпендикулярно от центъра към линията на действие на силата).

Векторът е насочен според правилото за векторно произведение: моментът на силата около центъра (точката) като вектор е насочен перпендикулярно на равнината, в която са разположени силата и центърът, така че от края му да се види, че сила се опитва да завърти тялото около центъра обратно на часовниковата стрелка.

Единицата за измерване на момента на силатаимам 1

Силов момент спрямо центъра в равнината- алгебрична стойност, която е равна на произведението на модула на силата на рамо спрямо същия център, като се вземе предвид знакът.

Знакът на момента на сила зависи от посоката, в която силата се опитва да се върти около центъра:

  • обратно на часовниковата стрелка - „−” (отрицателно)
  • по часовниковата стрелка -„+” (положително);

Свойства на момента на силата около центъра (точки).

  1. Модулът на момента на сила спрямо точка е равен на удвоената площ на триъгълник, изграден върху вектори.
  2. Силовият момент около точка не се променя, когато силата се прехвърли по нейната линия на действие, тъй като рамото на силата остава непроменено.
  3. Силовият момент спрямо центъра (точката) е равен на нула, ако:
  • силата е равна на нула F = 0;
  • рамо на сила h = 0, т.е. линията на действие на силата минава през центъра.

Теорема на Вариньон (за момента на резултантата).

Моментът на произтичащата плоска система от събиращи се сили спрямо всеки център е равен на алгебричната сума на моментите на съставните сили на системата спрямо същия център.


Теория на двойките сили

Събиране на две успоредни сили в една и съща посока.

Резултантната система от две успоредни сили, насочени в една и съща посока, е равна по абсолютна стойност на сумата от модулите на съставните сили, успоредни на тях и насочени в една и съща посока.

Линията на действие на резултата преминава между точките на приложение на компонентите на разстояния от тези точки, които са обратно пропорционални на силите

Събиране на две успоредни сили, насочени в различни посоки (случаят на сили с различен модул)

Резултантната на две успоредни, неравни по модул противоположно насочени сили е успоредна на тях и насочена по посока на по-голямата сила и е равна по модул на разликата в компонентите на силите.

Линията на действие на резултантната преминава извън сегмента (от страната на по-голямата сила), свързващ точките на тяхното приложение, и е отделена от тях на разстояния, обратно пропорционални на силите.

Силова двойка- система от две успоредни сили, еднакви по големина и противоположни по посока, приложени към абсолютно твърдо тяло.

Power Pair Рамо- разстоянието между линиите на действие на силите на двойката, т.е. дължината на перпендикуляра, прекаран от произволна точка на линията на действие на една от силите на двойката към линията на действие на втората сила.

Равнината на действие на двойка сили- това е равнината, в която са разположени линиите на действие на силите на двойката.
Действието на двойка сили се свежда до въртеливо движение, което се определя от момента на двойката.

двойка моментсе нарича вектор със следните характеристики:

  • тя е перпендикулярна на равнината на двойката;
  • насочен в посоката, от която се вижда въртенето, което двойката извършва обратно на часовниковата стрелка;
  • неговият модул е ​​равен на произведението на модула на една от силите на двойката и рамото на двойката, като се вземе предвид знакът

Знакът на момента на няколко сили:

  • "+" - въртене обратно на часовниковата стрелка
  • „-„ - въртене по посока на часовниковата стрелка

Моментът на двойка сили е равен на произведението на модула на една от силите на двойката и рамото на двойката.

Моментът на двойката е свободен вектор - за него не е посочена нито точката на приложение, нито линията на действие, те могат да бъдат произволни.

Свойството на момента на двойка сили: моментът на двойка е равен на момента на една от силите спрямо точката на приложение на втората сила.

Няколко теореми за силите

Теорема 1. Двойка сили няма резултатна, т.е. Двойка сили не може да бъде заменена с една сила.

Теорема 2. Двойка сили не е система от уравновесени сили.

Последица: двойка сили, действащи върху абсолютно твърдо тяло, се опитват да го завъртят.

Теорема 3. Сумата от моментите на силата на двойка спрямо произволен център (точка) в пространството е постоянна величина и представлява вектор-момент на тази двойка.

Теорема 4. Сумата от моментите на силите, които образуват двойката спрямо произволен център в равнината на действие на двойката, не зависи от центъра и е равна на произведението на силата и рамото на двойката , като се вземе предвид знака, т.е. самия момент на двойката.

Теорема 5 - за еквивалентността на двойки. Двойките сили, чиито моменти са равни числено и по знак, са еквивалентни. Тези. двойка сили може да бъде заменена или балансирана само от друга еквивалентна двойка сили.

Теорема 6 - за баланса на двойка сили. Двойка сили съставлява балансирана система от сили тогава и само ако моментът на двойката е равен на нула.

Теорема 7 - за възможностите за преместване на двойка сили в равнината на нейното действие. Двойката сили, получена чрез преместване на двойката на всяко място в равнината на нейното действие, е еквивалентна на предоставената двойка.

Теорема 8 - за събиране на двойки сили в равнината. Моментът на двойка, еквивалентен на дадена система от двойки в равнина, е равен на алгебричната сума на моментите на съставните двойки. Тези. За да добавите двойки сили, трябва да добавите техните моменти.

Условия за равновесие на система от двойки сили.

Двойките сили в една равнина са уравновесени, ако алгебричната сума на техните моменти е равна на нула.

Език: руски, украински

Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е изборът на материал, изчисляването на допустимите напрежения, изчисляването на контактната и якост на огъване.


Пример за решаване на проблема с огъването на лъча
В примера са начертани диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. В задачата се анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости, извършва се сравнителен анализ на различни напречни сечения на греди.


Пример за решаване на проблема с усукване на вала
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал за даден диаметър, материал и допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид


Пример за решаване на проблема с опън-компресия на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при дадени допустими напрежения. По време на решението се изграждат графики на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на щангата не се взема предвид


Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на проблема за прилагане на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система



Определяне на скоростта и ускорението на точка по зададени уравнения на движение
Пример за решаване на задачата за определяне на скоростта и ускорението на точка според дадените уравнения на движение


Определяне на скорости и ускорения на точки на твърдо тяло при плоскопаралелно движение
Пример за решаване на задачата за определяне на скоростите и ускоренията на точки на твърдо тяло по време на равнинно-паралелно движение

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Федерален държавен бюджет за образование

институция за висше професионално образование

Забайкалски държавен университет

Катедра по теоретична механика

РЕЗЮМЕ

По темата: "Еквивалентност на двойки сили в пространството и на равнина, тяхното добавяне и условие за равновесие"

Студент: Садилов И.А.

Група: SUS-13-2

Лектор: Гелер Ю.А.

Чита, 2014 г

    Какво е двойка сили………………………………………………………3

    Теоремата за сумата от моментите на двойка сили…………………………….3

    Теоремата за еквивалентността на двойки сили………………………………4

    Теоремата за прехвърляне на двойка сили в успоредна равнина ...... .5

    Теоремата за събирането на двойки сили……………………………………….8

    Условия за равновесие на двойки сили……………………………………..8

    Заключения……………………………………………………………….9

    Списък на използваната литература………………………………10

ДВОЙКА СИЛА

Няколко сили нарича система от две равни по абсолютна стойност, успоредни и насочени в противоположни посоки сили, действащи върху абсолютно твърдо тяло.

Равнината на действие на двойка сили нарича равнината, в която се намират тези сили.

На рамото на чифт сили d е най-късото разстояние между линиите на действие на силите на двойка.

момент двойки сили се нарича вектор, чийто модул е ​​равен на произведението на модула на една от силите на двойката и нейното рамо и който е насочен перпендикулярно на равнината на действие на силите на двойката в посоката, от която се вижда двойка, която има тенденция да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка.

Теорема за сбора на моментите двойки сили. Сумата от моментите на силите, които съставляват двойката, спрямо която и да е точка, не зависи от избора на тази точка и е равна на момента на тази двойка сили.

Доказателство: Избираме произволна точка O. Начертаваме радиус-вектори от нея към точки A и B (виж фиг. 4.2).

,

з това трябваше да се докаже.

Две двойки сили се наричат ​​еквивалентни , ако действието им върху твърдо тяло е еднакво при равни други условия.

Теорема за еквивалентността на двойки сили. Двойка сили, действащи върху твърдо тяло, могат да бъдат заменени от друга двойка сили, разположени в същата равнина на действие и имащи същия момент като първата двойка.


.

П да върнем силата точно , и сила точно . Да преминем през точките
всякакви две успоредни линии, пресичащи линиите на действие на силите на двойката. Свържи точките
права отсечка и разширяване на силите в точката И в точката според правилото на успоредника.

защото
, Че

И

Ето защо
е еквивалентен на системата
, и тази система е еквивалентна на системата
, защото
е еквивалентен на нула.

Така че ни е дадена двойка сили
заменени от друга двойка сили
. Нека докажем, че моментите на тези двойки сили са еднакви.

Моментът на началната двойка сили

, и моментът на двойката сили
числено равно на площта на успоредника
. Но площите на тези паралелограми са равни, тъй като площта на триъгълника
равна на площта на триъгълник
.

Q.E.D.

Теорема за пренасяне на двойка сили в успоредна равнина . Действието на двойка сили върху твърдо тяло няма да се промени от прехвърлянето на тази двойка в успоредна равнина.

Доказателство: Нека двойка сили действа върху твърдо тяло
в самолета . От точките на приложение на силите A и B спускаме перпендикулярите към равнината
и в точките на тяхното пресичане с равнината
прилагат две системи от сили
И
, всяка от които е еквивалентна на нула.




СЪС постави две равни и успоредни сили И
. Техният резултат
в точка О.

Нека добавим две равни и успоредни сили И
. Техният резултат
успоредна на тези сили, равна на тяхната сума и приложена в средата на сегмента
в точка О.

защото
, след това системата от сили
е еквивалентен на нула и може да бъде отхвърлен.

Така че няколко сили
еквивалентно на няколко сили
, но лежи в друга, успоредна равнина. Q.E.D.

Последица:Моментът на двойка сили, действащи върху твърдо тяло, е свободен вектор.

Две двойки сили, действащи върху едно и също твърдо тяло, са еквивалентни, ако имат еднакви моменти по големина и посока.

Теоремата за събирането на двойки сили. Две двойки сили, действащи върху едно и също твърдо тяло и лежащи в пресичащи се равнини, могат да бъдат заменени с една еквивалентна двойка сили, чийто момент е равен на сумата от моментите на дадените двойки сили.

Доказателство: Нека има две двойки сили, разположени в пресичащи се равнини. Силова двойка
в самолета характеризиращ се с момент
, и няколко сили
в самолета
характеризиращ се с момент
.

Нека подредим двойките сили така, че рамото на двойките да е общо и да се намира на пресечната линия на равнините. Събираме силите, приложени в точка А и точка В,

. Вземете малко енергия
.

Q.E.D.

Условия за равновесие на двойки сили

Ако няколко двойки сили действат върху твърдо тяло, произволно разположено в пространството, тогава чрез последователно прилагане на правилото на паралелограма към всеки два момента от двойки сили, произволен брой двойки сили могат да бъдат заменени с една еквивалентна двойка сили, моментът от които е равна на сумата от моментите на дадени двойки сили.

Теорема.За баланса на двойките сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно моментът на еквивалентната двойка сили да е равен на нула.

Теорема.За балансиране на двойките сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно алгебричната сума на проекциите на моментите на двойките сили върху всяка от трите координатни оси да бъде равна на нула.



Условия за равновесие на система от сили

векторна форма

За равновесието на произволна система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно главният вектор на системата от сили да бъде равен на нула и главният момент на системата от сили спрямо който и да е център на редукция също да бъде равен на нула.


Алгебрична форма.

За равновесието на произволна система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно трите суми на проекциите на всички сили върху декартовите координатни оси да бъдат равни на нула и трите суми на моментите на всички сили около трите координатни оси също са равни на нула.





Условия за равновесие на пространствена система

паралелни сили

Върху тялото действа система от успоредни сили. Нека поставим оста Oz успоредна на силите.

Уравнения


За равновесието на пространствена система от успоредни сили, действащи върху твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумата от проекциите на тези сили да е равна на нула, а сумите от моментите на тези сили около две координатни оси, перпендикулярни на силите също са равни на нула.



- проекция на сила върху оста Oz.

Изводи:

    Няколко сили като твърда фигура могат да се въртят и прехвърлят по всякакъв начин в нейната равнина на действие.

    За няколко сили можете да промените лоста и силите, като същевременно запазите момента на двойката и равнината на действие.

3. моментът на двойката е свободен вектор и напълно определя действието на двойката върху абсолютно твърдо тяло. За деформируемите тела теорията на двойките е неприложима.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Кирсанов М. Н. Теоретична механика. Учебник за самоподготовка.

2. Курс по теоретична механика на Targ S.M.

Аксиома за условието за еквивалентност на двойки сили в пространството. Вместо вектора на момента на всяка двойка сили, перпендикулярен на равнината на чертежа, те показват само посоката, в която двойката сили се стреми да завърти тази равнина.

Двойките сили в пространството са еквивалентни, ако моментите им са геометрично равни. Без да се променя действието на двойка сили върху твърдо тяло, двойка сили може да бъде прехвърлена към всяка равнина, успоредна на равнината на действие на двойка, а също така да промени нейните сили и рамо, запазвайки модула и посоката на константа на момента. По този начин векторът на момента на двойка сили може да бъде прехвърлен към всяка точка, т.е. моментът на двойка сили е свободен вектор. Векторът на момента на двойка сили описва и трите си елемента: позицията на равнината на действие на двойката, посоката на въртене и числената стойност на момента. Нека разгледаме добавянето на две двойки сили, разположени в пресичащи се равнини, и докажем следната аксиома: геометричната сума на моментите на съставните двойки сили е равна на момента на тяхната еквивалентна двойка. Нека се изисква да се добавят две двойки сили, разположени в пресичащи се равнини I и II, имащи моменти

Ориз. 34 Избиране на равни по абсолютна стойност сили на тези двойки

определете раменете на тези двойки:

Нека подредим тези двойки сили по такъв начин, че силите да са ориентирани по ивицата на пресичане на равнините KL в противоположни посоки и балансирани. Останалите сили образуват двойка сили, еквивалентна на дадените две двойки сили. Тази двойка сили има рамо BC \u003d d и момент, перпендикулярен на равнината на действие на двойката сили, равен по модул на M \u003d Pd.

Геометричната сума на моментите на съставните двойки сили е равна на момента на еквивалентната двойка. Тъй като моментът на двойка сили е свободен вектор, ще прехвърлим моментите на съставните двойки сили в точка В и ще ги сумираме, изграждайки успоредник върху тези моменти. Диагоналът на този успоредник

представлява момента на еквивалентната двойка сили. От това следва, че векторът, т. е. геометричната сума на моментите на съставните двойки сили, е равен на момента на еквивалентната двойка сили:

Този метод за добавяне на моментите на двойки сили се нарича правилото на успоредника на моментите. Конструкцията на успоредник от моменти може да се замени с конструкцията на триъгълник от моменти.



Използвайки конструкцията на успоредник или триъгълник от моменти, може да се реши и обратната задача, т.е. да се разложи всяка двойка сили на два компонента. Нека е необходимо да се добавят няколко двойки сили, разположени произволно в пространството (фиг. 35). След като се определят моментите на тези двойки, те могат да бъдат пренесени във всяка точка O от мястото. Чрез добавяне на моментите на тези двойки сили една по една е възможно да се построи многоъгълник от моментите на двойките, чиято затваряща страна определя момента на еквивалентната им двойка сили. На (фиг. 35) е показано изграждането на многоъгълник от моменти при добавяне на 3 двойки.

Моментът на двойка сили, сили, еквивалентни на дадена система от двойки сили в пространството, е равен на геометричната сума на моментите на съставните двойки сили:
или

Равнина I на действие на дадена двойка сили е перпендикулярна на посоката на нейния момент

Ако моментът на еквивалентна двойка сили е равен на нула, тогава двойките сили са взаимно балансирани:

По този начин условието за равновесие на двойки сили, произволно разположени в пространството, може да бъде конструирано по следния начин: двойки сили, произволно разположени в пространството, са взаимно балансирани в този случай, ако геометричната сума на техните моменти е нула. Ако двойките сили са поставени в една и съща равнина (фиг. 36), тогава моментите на тези двойки сили, насочени по една права линия, се добавят алгебрично.

Еквивалентност: А) 2 двойки с равни моменти са еквивалентни. Двойка сили може да бъде преместена, завъртяна в равнината на действие, преместена в успоредна равнина и силата и рамото могат да се променят едновременно.

Б) 2 двойки, лежащи в една и съща равнина, могат да бъдат заменени с една двойка, лежаща в една и съща равнина с момент, равен на сумата от моментите на тези двойки.

M=M(R,R')= BA× Р=BA×( Е 1 +Е 2)=BA× Е 1 +BA× Е 2. При прехвърлянето на силите по линията на действие моментът на двойката не се променя Þ BA× Е 1 \u003d M 1, BA× Е 2 \u003d M 2, M \u003d M 1 +M 2.

ДОПЪЛНЕНИЕ. 2 двойки, лежащи в пресичащи се равнини, са еквивалентни на 1 двойка, чийто момент е равен на сумата от моментите на двете дадени двойки.

дадено :( Е 1 , Е 1 ’), (Е 2 , Е 2 ’)

Доказателство:

Привеждаме тези сили към рамото AB - оста на пресичане на равнините. Получаваме двойки:

(Q 1 ,Q 1 ') и ( Q 2 ,Q 2'). При което М 1 =М(Q 1 ,Q 1 ’)=М(Е 1 , Е 1 ’),

М 2 =М(Q 2 ,Q 2 ’)=М(Е 2 , Е 2 ’).

Да съберем силите Р=Q 1 +Q 2 , R'=Q 1 ’+Q 2'. Т. до. Q 1 ’= -Q 1 , Q 2 ’= -Q 2 Р= -Р'. Доказано е, че системата от две двойки е еквивалентна на системата ( Р,Р’). М(Р,Р’)=BA× Р=BA×( Q 1 +Q 2)= BA× Q 1 +BA× Q 2 =М(Q 1 ,Q 1 ’)+ М(Q 2 ,Q 2 ’)=М(Е 1 ,Е 1 ’)+ М(Е 2 ,Е 2 ') М=М 1 +М 2 .

РАВНОВЕСНИ УСЛОВИЯ:

Системата е в равновесие, ако сумарният момент на всички двойки сили, действащи върху тялото, е равен на нула.

М 1 +М 2 +…+M n=0.

Билет номер 2.

  1. Координатен начин за определяне на движението на точка (правоъгълна декартова координатна система). Траектория, скорост, точково ускорение.
  2. Аксиоми на статиката.

Декартова координатна система.

вектор rможе да се разшири в основата аз, й, к: r=x аз+y й+z к.

Движението на материална точка е напълно определено, ако са дадени три непрекъснати и еднозначни функции на времето t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описващи изменението на координатите на точката във времето. Тези уравнения се наричат ​​кинематични уравнения на движението на точката. Радиус вектор rе функция на променливите x, y, z, които от своя страна са функции на времето t. Следователно, производната r׳(t) може да се изчисли съгласно правилото



д r/dt=∂ r/∂x∙dx/dt+∂ r/∂y∙dy/dt+∂ r/∂z∙dz/dt.

Оттук следва, че v=v x аз+ви й+vz к.

V =√ (vx²+vy²+vz²)

Ускорението на точка в даден момент от времето се нарича вектор А, равна на производната на вектора на скоростта vпо време. А=x׳׳(t) аз+y׳׳(t) й+z׳׳(t) к.

A=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиоми на статиката.

1) 2 сили, приложени към корема. твърдо тяло ще бъде еквивалентно на 0, ако и само ако те са равни по абсолютна стойност, действат на една и съща права линия и са насочени в противоположни посоки.

2) Действието на тази система от сили върху абсолютно твърдо тяло няма да се промени, ако към нея се добави или извади система от сили, еквивалентна на 0 => точката на приложение на силата може да се пренесе по линията на нейното действие.

3) Ако към тялото се приложат 2 сили, произтичащи от една точка, тогава те могат да бъдат заменени с резултатната (всяка сила може да бъде разложена на компоненти безкраен брой пъти).

4) Силите на взаимодействие на две тела са еднакви по големина и противоположни по посока.

Действието на връзките може да бъде заменено от действието на силите - реакции на комуникация.

Билет номер 3.

  1. Естественият начин за определяне на движението на точка. Траектория, скорост, точково ускорение.
  2. Алгебричен и векторен момент на сила спрямо точка.

Естествен начин.

Ако е дадена траекторията на движение на точката, избрани са началото и положителната референтна посока и е известна зависимостта на пътя от времето S=S(t), тогава този начин за определяне на движението на точката се нарича естествен. V=d r/dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r/dS=S׳(t)∙ τ = =v τ ∙ τ. д r/dS= τ . Τ винаги е насочено в посока "+" на референтната S.

А=d v/dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² н/ρ. A τ =S׳׳-тангенциално ускорение, a n =(S׳)²/ρ-нормално (центростремително) ускорение, ρ-радиус на кривина.

A=√((a τ)²+(a n)²).

Векторен и алгебричен момент на двойка сили.

Алгебричен момент M=±F∙d (двойка). M=±dF 1 =±dF 2 =±2S ΔABC = ±S ٱ . Тя не се променя, когато силите се движат по тяхната линия на действие (нито рамото, нито посоката на въртене се променят).

Вектор момент - вектор М=М(Е,ф'), е насочен перпендикулярно на равнината на двойката в посоката, от която се вижда тенденцията на двойката да завърти тялото обратно на часовниковата стрелка, нейният модул е ​​равен на алгебричния момент на двойката.

М(Е 1 ,Е 2)=BAх Е 1 =ABх Е 2 .

Моменти спрямо точка.

Алгебричен момент на сила Еспрямо точката O се нарича продуктът, взет със знака "+" или "-" | Е| на рамото й: M O ( Е)=±Fh=±2S ΔOAB ∙ МНА). "+" - обратно на часовниковата стрелка. Характеризира ротационния ефект Е.

Имоти:

А) Не се променя, когато точката на приложение се премести по линията на действие на силата. (от | Е|sinα= const).

B) b = 0, ако m.O лежи на линията на действие на силата.

Равнината на действие M е през F и O.

Вектор момент на сила F спрямо точка O - вектор М O( Е)=rх Е (rе радиус векторът от A до O). | М O( Е)|=|Е|∙|r|∙sinα=Fh.

М O( Е)= x A y A z A =>

ð M Ox ( Е)=yF z -zF y

ð M Oy ( Е)=zFx -xFz

М Оз ( Е)=xF y -yF x

Билет номер 4.

  1. Координатен начин за определяне на движението на точка (полярна координатна система). Траектория, скорост, точково ускорение.
  2. Няколко правомощия. Теоремата за сумата от моментите на силите, които образуват двойка, спрямо произволна точка.

Полярни координати

Ox е полярната ос, φ е полярният ъгъл, r е полярният радиус. Ако е даден законът r=r(t), φ=φ(t), то движението е дадено в полярната координатна система. Позволявам r=rº r, rº- единичен вектор, pº┴rº- единичен вектор. Тогава v=d r/dt=r׳ rº+

rd rº/dt=r׳ rº+rφ׳ pº=vr rº+vp pº. v p и v r са компонентите на напречната и радиалната скорост. А=d v/dt=d(r׳ rº+rφ׳ pº)/dt=r׳׳ rº+r ׳ д rº/dt+r׳φ׳ pº+rφ׳׳ pº+rφ׳∙

д pº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº= a r ∙ rº+ap pº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

Валидността на изводите, направени в края на § 9, може да се докаже директно.

Да разгледаме двойка сили F, F, действащи върху твърдо тяло.Нека начертаем две успоредни прави в равнината на действие на тази двойка през произволни точки D и E, докато се пресичат с линиите на действие на силите F, F в точки A и B (фиг. 34) и приложете силите F , F в тези точки (първоначално F и F можеха да бъдат приложени във всякакви други точки на техните линии на действие). Нека сега разложим силата F по посоките AB и EB на сили - по посоките BA и AD на сили Q и P. Очевидно е, че Силите Q и Q, като балансирани, могат да бъдат отхвърлени. В резултат на това двойката сили F, F ще бъде заменена от двойка P, P с различно рамо и други сили, които очевидно могат да бъдат приложени в точки D, E на техните линии на действие. Освен това, поради произвола в избора на точките D, E и посоките на правите AD и BE, двойката P, P може да бъде разположена в равнината на своето действие навсякъде f? позицията, в която силите P и P са успоредни на F, двойката може да бъде намалена чрез извършване на указаната трансформация два пъти).

Нека покажем в заключение, че двойките имат еднакви моменти. Нека означим тези моменти съответно с където според формулата Оттогава но (вижте бележката под линия на стр. 32) и, следователно,

От доказаното следват следните свойства на двойка сили:

1) двойка, без да променя действието, упражнявано от нея върху твърдо тяло, може да бъде прехвърлена навсякъде в равнината на действие на двойката;

2) за дадена двойка, без да се променя действието, упражнявано от нея върху твърдо тяло, е възможно произволно да се променят модулите на силите или дължината на рамото, запазвайки неговия момент непроменен.

Може да се докаже, че една двойка сили има още едно доста очевидно свойство (пропускаме доказателството):

3) двойка, без да променя действието, упражнявано от нея върху твърдо тяло, може да бъде прехвърлена от дадена равнина във всяка друга равнина, успоредна на дадената.

От това следва, че две двойки сили с еднакви моменти са еквивалентни една на друга (теорема за еквивалентността на двойката). Това следва от факта, че чрез посочените операции, т.е. чрез смяна на рамото и преместване на двойката в равнината на действие или прехвърляне в успоредна равнина, двойки с еднакви моменти могат да се трансформират една в друга.

Сега нека докажем теоремата за добавяне на двойки: система от двойки, действащи върху абсолютно твърдо тяло, е еквивалентна на една двойка с момент, равен на геометричната сума от моментите на двойките, които се добавят.

Помислете за първите две двойки с моменти, лежащи в равнини (фиг. 35). Да вземем отсечка на линията на пресичане на равнините и да изобразим двойка с момент на силите и двойка с момент на силите (в този случай, разбира се, ).

Събирайки силите, приложени в точки A и B, се уверяваме, че двойките наистина са еквивалентни на една двойка, намираме момента M на тази двойка. Тъй като това или според формулата

За две двойки теоремата е доказана; освен това е очевидно, че доказателството се запазва и в случая, когато равнините и II се сливат (членовете на двойката лежат в една и съща равнина).

Ако върху тялото действа система от двойки с моменти, тогава последователно прилагайки резултата, получен за две двойки, откриваме, че тази система от двойки наистина ще бъде еквивалентна на една двойка с момент