У дома > Развод > Схема на цялостно изследване на функцията. Разгледайте функцията за преглед


Схема на цялостно изследване на функцията. Разгледайте функцията за преглед




Ако в задачата е необходимо да се извърши пълно изследване на функцията f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да се реши задача от този тип, трябва да се използват свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследване включва следните стъпки:

Намиране на областта на дефиниция

Тъй като се провеждат изследвания върху домейна на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да бъдат изключени от DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен на четна степен от тип g (x) 4 по неравенството g (x) ≥ 0 , за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0 .

Изследване на границите на ODZ и намиране на вертикални асимптоти

На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2 .

След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че линиите x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функцията и за четно или нечетно

Когато условието y (- x) = y (x) е изпълнено, функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на O y. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за странна. Това означава, че симетрията върви по отношение на началото на координатите. Ако поне едно неравенство не е изпълнено, получаваме функция от общ вид.

Изпълнението на равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на O y.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване с условията f "(x) ≥ 0 и f" (x) ≤ 0, съответно.

Определение 1

Стационарни точкиса точки, които превръщат производната в нула.

Критични точкиса вътрешни точки от областта, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните точки:

  • за съществуващите интервали на нарастване и намаляване на неравенството на формата f "(x) > 0, критичните точки не са включени в решението;
  • точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на нарастване и намаляване (например y \u003d x 3, където точката x \u003d 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 е включено в интервала на нарастване);
  • за да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, която се препоръчва от Министерството на образованието.

Включването на критични точки в интервалите на нарастване и намаляване, ако те удовлетворяват домейна на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функцията, е необходимо да се намери:

  • производно;
  • критични точки;
  • разбийте областта на дефиниране с помощта на критични точки на интервали;
  • определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение, а - е намаление.

Пример 3

Намерете производната на домейна f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

  • намерете стационарни точки, този пример има x = 0;
  • намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойност нула при x = ± 1 2 .

Излагаме точки на цифровата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете всяка точка от интервала и да направите изчисление. Ако резултатът е положителен, начертаваме + на графиката, което означава увеличение на функцията, и - означава нейното намаляване.

Например f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, което означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете върху числото линия.

Отговор:

  • има нарастване на функцията на интервала - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
  • има намаление на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; +∞.

На диаграмата с помощта на + и - са изобразени положителността и отрицателността на функцията, а стрелките показват намаляване и нарастване.

Точките на екстремума на функция са точките, в които функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x \u003d 0, тогава стойността на функцията в него е f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и преминава през точката x \u003d 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минималната точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатостта се определят чрез решаване на неравенства от формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . По-рядко те използват името издутина надолу вместо вдлъбнатина и изпъкналост нагоре вместо издутина.

Определение 3

За определяне на празнините на вдлъбнатост и изпъкналостнеобходимо:

  • намерете втората производна;
  • намерете нулите на функцията на втората производна;
  • разделяне на домейна на дефиниция чрез точките, които се появяват на интервали;
  • определете знака на празнината.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където, използвайки нашия пример, имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да поставите точки на числовата линия и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Разбираме това

Отговор:

  • функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
  • функцията е вдлъбната от пропуските - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; +∞.

Определение 4

инфлексна точкае точка от вида x 0 ; f(x0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато премине през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е такава точка, през която втората производна преминава и променя знака, а в самите точки е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера се видя, че няма точки на инфлексия, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2 . Те от своя страна не са включени в областта на дефиницията.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато се дефинира функция в безкрайност, трябва да се търсят хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотисе начертават с помощта на линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

За k = 0 и b, което не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтална.

С други думи, асимптотите са линиите, към които графиката на функцията се приближава в безкрайност. Това допринася за бързото изграждане на графиката на функцията.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и при двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Като пример, помислете за това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като проучите функцията, можете да започнете да я изграждате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката най-точна, се препоръчва да намерите няколко стойности на функцията в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x = - 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, т.е. получаваме x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия, междинните точки, е необходимо да се изградят асимптоти. За удобно обозначаване са фиксирани интервали на увеличение, намаляване, изпъкналост, вдлъбнатост. Разгледайте фигурата по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графиката през маркираните точки, което ще ви позволи да се доближите до асимптотите, следвайки стрелките.

С това приключва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter