У дома > Изневеряващ съпруг > модел Лоренц. „Моделиране на атрактора на Лоренц


модел Лоренц. „Моделиране на атрактора на Лоренц




И всички траектории от някакъв квартал на texvc са склонни към Невъзможен разбор на израз (Изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за конфигурация.): L в Невъзможен разбор на израз (Изпълнимият texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ чрез настройка.): t\to\infty (оттук и името).

Атракторът на Лоренц е открит в числени експерименти от Лоренц, който изучава поведението на траекториите на нелинейна система:

Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; вижте math/README за помощ при настройката.): \begin(cases) \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end(cases)

със следните стойности на параметрите: σ=10, r=28, b=8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Тази система е въведена за първи път като първото нетривиално приближение на Галеркин за проблема с конвекцията на морска вода в плосък слой, което мотивира избора на стойностите на σ, rИ b, но възниква и в други физически въпроси и модели:

  • конвекция в затворен контур;
  • въртене на водното колело;
  • едномодов лазерен модел;
  • дисипативен хармоничен осцилатор с инерционна нелинейност.

Начална хидродинамична система от уравнения:

Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README за помощ при настройката.): \begin(cases) \frac ( \partial \vec v )(\partial t) + \left(\vec v \nabla \right ) \vec v = -\frac (\nabla p)(\rho) + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac ( \partial \rho )(\partial t) + \ nabla \ cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 \\ \frac ( \partial T )(\partial t) + \nabla \cdot \left(T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left(1 - \gamma \left(T - T_0 \right) \right) \end(cases),

където Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \vec v - скорост на потока, Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка. ): T - температура на течността, не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/README - помощ за конфигурация.): T_0 - горна граница на температурата (долната граница се поддържа. Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/ README - помощ за настройка.): T_0 + \Delta T ), Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \rho - плътност, Не може да се анализира израз (изпълним файл texvc не е намерен ; Вижте math/README - помощ за настройка.): p - налягане, Не може да се анализира израз (изпълним texvc не е намерен; Вижте math/README - помощ за настройка.): \vec g - гравитация, Не може да се анализира израз (изпълним texvc не намерени; Вижте math/README за помощ при настройката.): \gamma,\ \chi,\ \nu са съответно коефициентът на топлинно разширение, коефициентът на топлинна дифузия и кинематичният вискозитет.

В проблема с конвекцията моделът възниква, когато скоростта и температурата на потока се разгънат в двумерни редове на Фурие и тяхното последващо „разрязване“ с точност до първия и втория хармоник. В допълнение, редуцираната пълна система от хидродинамични уравнения е написана в приближението на Бусинеск. Подрязването на редовете е оправдано до известна степен, тъй като Солцман в своята работа демонстрира липсата на каквито и да е интересни характеристики в поведението на повечето хармоници.

Приложимост и съответствие с реалността

Нека посочим физическия смисъл на променливите и параметрите в системата от уравнения във връзка с посочените проблеми.

  • Конвекция в плосък слой. Тук хотговорен за скоростта на въртене на водните валове, гИ z- за хоризонтално и вертикално разпределение на температурата, r- нормализирано число на Rayleigh, σ - число на Прандтл (съотношението на коефициента на кинематичен вискозитет към коефициента на топлопроводимост), bсъдържа информация за геометрията на конвективната клетка.
  • Конвекция в затворен контур. Тук х- скорост на потока, г- температурно отклонение от средната стойност в точка на 90 ° от долната точка на контура, z- същото, но в долната точка. Топлината се доставя в най-ниската точка.
  • Въртене на водното колело. Разгледан е проблемът за колело, на чийто ръб са закрепени кошници с отвори в дъното. Горна част на колелото симетричнонепрекъснат поток от вода тече около оста на въртене. Задачата е еквивалентна на предишната, обърната „с главата надолу“, като температурата се заменя с плътността на разпределение на масата вода в кошниците по ръба.
  • едномодов лазер. Тук хе амплитудата на вълните в лазерната кухина, г- поляризация, z- популационна инверсия на енергийните нива, bи σ са съотношенията на коефициентите на инверсия и релаксация на полето към коефициента на поляризационна релаксация, r- интензивност на изпомпване.

Струва си да се отбележи, че приложен към проблема с конвекцията, моделът на Лоренц е много грубо приближение, много далеч от реалността. Повече или по-малко адекватно съответствие съществува в областта на регулярните режими, където стабилните решения отразяват качествено експериментално наблюдаваната картина на равномерно въртящи се конвективни ролки (клетки на Бенард). Хаотичният режим, присъщ на модела, не описва турбулентна конвекция поради значителното подрязване на оригиналната тригонометрична серия.

Интерес представлява значително по-високата точност на модела с някои негови модификации, които се използват по-специално за описание на конвекция в слой, подложен на вибрации във вертикална посока или на променливи топлинни ефекти. Такива промени във външните условия водят до модулиране на коефициентите в уравненията. В този случай високочестотните компоненти на Фурие на температурата и скоростта са значително потиснати, подобрявайки съгласието между модела на Лоренц и реалната система.

Обърнете внимание на късмета на Лоренц при избора на стойността на параметъра. Не може да се анализира израз (изпълним texvc файл не е намерен; вижте math/README за помощ при настройката.): r , тъй като системата достига само до странен атрактор за стойности, по-големи от 24,74, за по-малко поведение се оказва съвсем различно.

Поведение на системното решение

Нека разгледаме промените в поведението на решението на системата на Лоренц за различни стойности на параметъра r. Илюстрациите към статията показват резултатите от числена симулация за точки с начални координати (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирането беше извършено с помощта на програмата по-долу, написана на езика Fortran, като се чертаят според получените таблици - поради слабите графични възможности на Fortran с помощта на Compaq Array Viewer.

  • r load(draw)$ draw3d(point_size=0.01, points_joined=true, point_type=filled_circle,points(x,y,z))$

    Напишете отзив за статията "Атрактор на Лоренц" Бележки Литература
    • Кузнецов С.П., Лекция 3. Система на Лоренц; Лекция 4. Динамика на системата на Лоренц. // - М.: Физматлит, 2001.
    • Салцман Б. Свободната конвекция с крайна амплитуда като проблем с начална стойност. // Journal of the atmospheric science, No. 7, 1962 - p. 329-341.
    • Лоренц Е. Детерминирано непериодично движение // Странни атрактори. - М., 1981. - С. 88-116.
    Вижте също пасажа, характеризиращ атрактора на Лоренц – Е, разбира се, беше споменато, Изидора! И не само беше споменато ... Най-добрите художници някога рисуваха картини, изобразяващи Магдалена, гордо чакаща своя наследник. Само малко от него е останало, за съжаление. Църквата не можеше да допусне подобен „скандал“, защото той по никакъв начин не се вписваше в създадената от нея „история“... Но нещо все пак остава, явно поради недоглеждане или невнимание на властимащите, Мислещите тъмно. ..

    Как можаха да позволят това да се случи? Винаги съм смятал, че Мислещите Тъмни са достатъчно умни и внимателни? В края на краищата, това може да помогне на хората да видят лъжите, представени им от "светите" отци на църквата. Не е ли?
    – Някой мислил ли е, Изидора?.. – тъжно поклатих глава. „Виждате ли… Хората не им създават много проблеми…“
    - Можеш ли да ми покажеш как е преподавала, Север? ..
    Като дете бързах да задавам въпроси, прескачах от тема на тема, исках да видя и науча колкото се може повече за времето, което ми беше определено, вече почти напълно изтекло...
    И тогава отново видях Магдалина... Хората седяха около нея. Бяха на различна възраст – млади и стари, без изключение, всички дългокоси, облечени в прости тъмносини дрехи. Магдалина беше в бяло, с коси, които се спускаха по раменете й и я покриваха с прекрасно златисто наметало. Стаята, в която всички бяха в този момент, напомняше за работата на луд архитект, който въплъти най-невероятната си мечта в замръзнал камък ...

    Както по-късно разбрах, пещерата наистина се казва - Катедралата (Сathedral) и все още съществува.
    Пещерите Longrives, Лангедок

    Беше пещера, която приличаше на величествена катедрала... която по някаква странна прищявка природата беше построила там. Височината на тази „катедрала“ достигна невероятни размери, отнесена директно „към небето“ от удивителни, „плачещи“ каменни ледени висулки, които някъде горе, сливайки се в чудотворен образец, отново падаха надолу, витаейки точно над главите на тези, които седят ... Естествено осветление в пещерата, разбира се, не е имало. Нито свещите горяха, нито слабата дневна светлина се процеждаше през процепите, както обикновено. Но въпреки това, приятно и еднообразно златно сияние леко се разпространява в необичайната „зала“, идвайки от нищото и позволявайки ви свободно да общувате и дори да четете ...
    Хората, които седяха около Магдалена бяха много съсредоточени и внимателно наблюдаваха протегнатите ръце на Магдалена. Изведнъж между дланите й започна да се появява ярко златисто сияние, което, все по-плътно, започна да се сгъстява в огромна синкава топка, която се втвърди пред очите ни, докато не стана като ... планета! ..
    „Север, какво е?“ – прошепнах изненадано. Това е нашата Земя, нали?
    Но той само се усмихна приятелски, без да отговаря и да обяснява нищо. И продължих да гледам очарован на невероятната жена, в чиито ръце планетите се „раждаха“ толкова просто и лесно! .. Никога не бях виждал Земята отвън, само на рисунките, но по някаква причина бях абсолютно сигурен че е била тя. И по това време вече се беше появила втора планета, после още една ... и още една ... Те кръжаха около Магдалена, сякаш магически, а тя спокойно, с усмивка, обясняваше нещо на публиката, като че ли не се уморяваше изобщо и не обръща внимание на изненадани лица, сякаш говори за нещо обикновено и ежедневно. Разбрах - тя ги научи на астрономия! .. За което дори по мое време те не „галят“ по главата и за което все още беше също толкова лесно да влезе направо в огъня ... И Магдалена игриво научи това вече тогава - преди дълги петстотин години!!!
    Видението го няма. И аз, напълно зашеметен, не можах да се събудя по никакъв начин, за да задам следващия си въпрос на Севера ...
    Кои бяха тези хора, Север? Изглеждат еднакви и странни... Сякаш са обединени от обща енергийна вълна. И имат еднакви дрехи, като монаси. Кои са те?..
    - О, това са известните катари, Изидора, или както още ги наричат ​​- чисти. Хората им дадоха това име заради строгостта на морала им, чистотата на възгледите им и честността на мислите им. Самите катари се наричаха "деца" или "рицари на Магдалена"...които всъщност бяха. Този народ наистина е СЪЗДАДЕН от нея, за да може след (когато вече не съществува) да донесе Светлина и Знание на хората, противопоставяйки това на фалшивото учение на „най-святата” църква. Те били най-верните и най-талантливите ученици на Магдалена. Удивителен и чист народ - те пренесоха НЕЙНОТО учение на света, посвещавайки живота си на това. Те станаха магьосници и алхимици, магьосници и учени, лекари и философи... Тайните на Вселената им се подчиниха, те станаха пазители на радомирската мъдрост - тайните Знания на нашите далечни предци, нашите богове... И все пак, всички те носеха в сърцата си неувяхваща любов към своята „прекрасна Дама”... Златна Мария... тяхната Светла и тайнствена Магдалена... Катарите свято пазеха в сърцата си истинската история за прекъснатия живот на Радомир и се заклеха да спасят съпругата и децата му, каквото и да им е струвало... За което по-късно, два века по-късно, всеки един плати с живота си... Това е една наистина велика и много тъжна история, Изидора. Не съм сигурен дали трябва да я слушаш.
    - Но аз искам да знам за тях, Север! .. Кажи ми откъде са дошли, всички надарени? Случайно да не е от долината на маговете?
    – Е, разбира се, Изидора, защото това беше техният дом! И там се върна Магдалена. Но би било погрешно да се отдава дължимото само на надарените. В крайна сметка дори обикновените селяни са се научили на четене и писане от катарите. Много от тях знаеха поетите наизуст, колкото и налудничаво да ви звучи сега. Беше истинска страна на мечтите. Страна на светлината, знанието и вярата, създадена от Магдалена. И тази Вяра се разпространи изненадващо бързо, привличайки в редиците си хиляди нови "катари", които бяха също толкова пламенно готови да защитават даденото от тях Знание, колкото бяха и Златната Мария, която го даде ... Учението на Магдалена премина през страни като ураган, един мислещ човек. Аристократи и учени, художници и пастири, фермери и крале се присъединиха към редиците на катарите. Тези, които имаха, лесно дадоха своите богатства и земи на катарската „църква“, за да укрепне великата й сила и за да се разпространи Светлината на нейната Душа по цялата Земя.
    – Простете, че ви прекъсвам, Север, но имали ли са и катарите своя църква?.. И тяхното учение било ли е религия?
    – Понятието „църква“ е много разнообразно, Изидора. Това не беше църквата, както я разбираме. Църквата на катарите беше самата Магдалена и нейният духовен храм. Тоест Храмът на светлината и знанието, както и храмът на Радомир, чиито рицари са били тамплиерите в началото (кралят на Йерусалим Балдуин II нарича тамплиерите на рицарите на храма. Храм - на френски - Храмът. ) Те нямаха конкретна сграда , в която хората да идват да се молят . Църквата на катарите беше в душата им. Но все още имаше свои собствени апостоли (или, както ги наричаха, Съвършените), първият от които, разбира се, беше Магдалена. Съвършените хора са били тези, които са достигнали най-високите нива на Знанието и са се посветили на абсолютно служене на него. Те непрекъснато усъвършенстваха своя Дух, като почти се отказаха от физическата храна и физическата любов. Съвършените служеха на хората, като ги учеха на знанията си, лекуваха нуждаещите се и защитаваха подопечните си от упоритите и опасни лапи на католическата църква. Те бяха невероятни и самоотвержени хора, готови до последно да бранят своето Знание и Вяра и Магдалена, която им ги даде. Жалко, че от катарите почти не са останали дневници. Всичко, което ни е останало, са записите на Радомир и Магдалена, но те не ни дават точните събития от последните трагични дни на смелия и светъл катарски народ, тъй като тези събития са се случили вече двеста години след смъртта на Исус и Магдалена.
    - Кажи ми, Север, как умря Златната Мери? Кой имаше такъв черен дух, за да вдигне мръсната си ръка срещу тази прекрасна жена? ..
    – Църквата, Изидора... За съжаление, същата Църква!.. Тя побесня, виждайки в лицето на катарите най-опасния враг, постепенно и много уверено заемащ нейното „свято” място. И осъзнавайки неизбежния си крах, тя вече не се успокои, опитвайки се да унищожи Магдалина по всякакъв начин, с право я смяташе за главния виновник на „престъпното“ учение и се надяваше, че без своята Пътеводна звезда катарите ще изчезнат, нямайки нито лидер, нито вяра. Църквата не разбираше колко силно и дълбоко е Учението и Знанието на катарите. Че това не е сляпа „вяра“, а начин на живот, същността на това, за което са живели. И затова, колкото и да се опитваха "светите" отци да спечелят на своя страна катарите, в Чистата земя на Окситания нямаше дори педя земя за фалшивата и престъпна християнска църква...
    - Оказва се, че не само Карафа е направил това?! .. Винаги ли е било така, Север? ..
    Истински ужас ме обзе, когато представих цялата глобална картина на предателства, лъжи и убийства, които „святата“ и „опрощаваща“ християнска вяра извърши, опитвайки се да оцелее! ..
    - Как е възможно? Как може да гледате и да не се намесвате? Как можеш да живееш с това, без да полудееш, Север?!
    Той не отговори, знаейки много добре, че това е просто „вик на душата“ на възмутен човек. Да, и знаех отговора му много добре ... Затова известно време мълчахме, като самотни души, изгубени в мрака ...
    – Е, как умря Златната Мери? Можете ли да ми разкажете за това? – не издържайки на проточилата се пауза, попитах отново.
    Север кимна тъжно, показвайки, че разбира...
    - След като учението на Магдалена заема повече от половината тогавашна Европа, папа Урбан II решава, че по-нататъшното забавяне ще бъде като смърт за неговата любима "най-свята" църква. След като внимателно обмисли своя дяволски план, той незабавно изпрати в Окситания двама верни „приемници“ на Рим, които Магдалена познаваше като „приятели“ на катарите. И отново, както се случваше твърде често, прекрасни, светли хора станаха жертва на тяхната чистота и чест... Магдалена ги прие в приятелските си прегръдки, щедро ги снабди с храна и покрив. И въпреки че горчивата съдба я беше научила да не бъде твърде лековерен човек, беше невъзможно да заподозре никого, в противен случай нейният живот и нейното Учение биха загубили всякакъв смисъл. Тя все още вярваше в ДОБРОТО, независимо от всичко...

    През 1961 г. метеорологът и математик Едуард Лоренц, който почина на 16 април 2008 г., въвежда данни в създадения от него компютърен метеорологичен модел, като ги закръгля не до шестия, а до третия знак след десетичната запетая. В резултат на това е формулиран ефектът на пеперудата, открит е един от странните атрактори, открита е непредсказуемостта на поведението на много детерминистични системи и в крайна сметка е създадена теорията за хаоса.

    Предистория: Демонът на Лаплас През 1814 г. великият френски учен Пиер-Симон Лаплас създава демон, който е предопределен да стане обект на научен дебат в продължение на много години. Фиктивният демон знаеше позицията и скоростта на всяка частица във Вселената във всеки момент от времето и след като усвои всички физични закони, можеше да предскаже бъдещето на всяка частица и да опише нейното минало.

    Въпрос: възможен ли е такъв демон дори теоретично? Успехите на съвременната наука показват, че да: орбитите на планетите са изчислени, появата на комети е предсказана, случайни събития са описани от теорията на вероятностите.

    Впоследствие обаче демонът на Лаплас е жестоко критикуван. След развитието на квантовата механика и откриването на принципа на неопределеността на Хайзенберг (невъзможно е да се измерят точно скоростта и координатите на една частица едновременно), стана ясно, че квантовите системи не са подчинени на демона: те имат фундаментални непредсказуемост.

    Впоследствие също беше отбелязано, че съществуването на демон би било в противоречие със законите на термодинамиката, което по принцип не би било достатъчно, за да знае и изчислява информационния капацитет, дори ако използва всички ресурси на Вселената.

    Демонът обаче не се предаде напълно. Наистина, представете си напълно детерминистична (предварително определена, лишена от произволност) система (класическа, без квантови ефекти). Ако знаем всички закони, които управляват поведението му (без значение колко сложни са те), знаем всички необходими параметри и имаме необходимата изчислителна мощност (тоест имаме под ръка демона на Лаплас - четете: суперкомпютър), тогава за такава и такава система можем напълно да предвидим поведението?

    Има едно предупреждение. Всички наши измервания ще съдържат някакъв вид грешка. Променливите, съхранявани в компютърната памет, ще имат ограничена точност. Тоест ще трябва да използвате приблизителни данни. Е, добре: нямаме нужда от безкрайна точност, достатъчни са приблизителни прогнози. Оригиналните данни съдържат ли грешка в петата цифра? Грешка в прогнозата в петия знак ще ни устройва добре.

    И така, възможно ли е например да се предскаже времето? Поне приблизително? Поне в някаква ограничена област, но за повече или по-малко приличен период?

    Три знака след десетичната запетая Едуард Лоренц обича времето и математиката от дете. По време на Втората световна война той става метеоролог от военновъздушните сили на САЩ, след което продължава да изучава теоретичните основи на метеорологията в Масачузетския технологичен институт, а също така започва да се занимава с доста екзотичен бизнес по това време - опитвайки се да научи как прогнозира времето с помощта на компютърни модели.

    Той имаше на разположение компютър Royal McBee. През 1960 г. Лоренц създава опростен метеорологичен модел. Моделът беше набор от числа, описващи стойността на няколко променливи (температура, атмосферно налягане, скорост на вятъра) в даден момент. Лоренц избра дванадесет уравнения, които описват връзката между тези променливи. Стойността на променливите в следващия момент от времето зависи от стойността им в предишния момент и се изчислява с помощта на тези уравнения. По този начин моделът беше напълно детерминистичен.

    Колегите на Лоренц бяха във възторг от модела. Машината беше захранена с няколко числа, тя започна да издава серии от числа (по-късно Лоренц я научи да рисува прости графики), описващи времето в някакъв въображаем свят. Числата не се повтаряха - понякога почти се повтаряха, системата сякаш възпроизвеждаше старото си състояние, но не напълно, нямаше цикли. С една дума, изкуственото време беше лошо предвидимо и природата на тази непредсказуемост (апериодичност) беше приблизително същата като тази на времето извън прозореца. Ученици и учители се обзалагаха, опитвайки се да познаят какво ще е състоянието на модела в следващия момент.

    През зимата на 1961 г. Лоренц решава да разгледа по-отблизо графиката на една от променливите, вече начертана от машината. Като първоначални данни той въведе стойностите на променливите от средата на графиката и излезе да си почине. Машината ще трябва точно да възпроизведе втората половина на графиката и да продължи да я изгражда по-нататък. Въпреки това, когато Лоренц се върна, той намери напълно различна графика. Ако в началото повече или по-малко повтаряше първото, то в края нямаше нищо общо с него.

    Разминаването на две метеорологични графики, произхождащи от една и съща точка. Разпечатка на Лоренц от 1961 г., възпроизведена в книгата на Джеймс Глейк „Хаос: Създаването на нова наука“ (Санкт Петербург, „Амфора“, 2001 г.).

    Оказа се, че модел, от който случайността е напълно елиминирана, с еднакви начални стойности, дава напълно различни резултати. Машината не се развали и преброи всичко правилно, Лоренц не направи печатна грешка при въвеждане на данни.

    Решението беше намерено доста бързо: паметта на машината съхраняваше стойностите на променливите с точност до шест знака след десетичната запетая (...,506217), а само три (...,506) бяха отпечатани. Лоренц, разбира се, въведе закръглени стойности, разумно приемайки, че такава точност е напълно достатъчна.

    Оказа се, че не. „... малки домина се срутиха ... големи домина ... огромни домина, свързани с верига от безброй години, които съставляват Времето“, пише Рей Бредбъри през 1952 г. в известната история „Гръм излезе“. Приблизително същото се случи и в модела на Лоренц. Системата се оказа изключително чувствителна към най-малкото въздействие върху нея.

    Ефектът на пеперудата Това наблюдение, съчетано с много други открития, доведе до подробно изследване на детерминистичния хаос - неправилно и непредвидимо поведение на детерминирани нелинейни динамични системи(дефиниция на Родерик Дженсън от Йейлския университет), очевидно хаотично, повтарящо се поведение в проста детерминирана система, подобна на часовник(дефиниция на Брус Стюарт от Националната лаборатория Брукхейвън, САЩ).

    Откъде идва хаосът и непредсказуемостта в една детерминистична система? От силна чувствителност към начални условия. Най-малкото влияние, което не може да бъде елиминирано - закръгляването на променлива (ако това е теоретичен модел), грешка в измерването (ако това е изследване на реална система) - и системата се държи напълно различно.

    Лоренц даде добър пример: ако времето наистина принадлежи към класа на такива чувствителни системи (разбира се, не всички системи са такива), тогава плясването на крилата на чайка може да причини забележими промени във времето. Впоследствие чайката е заменена от пеперуда, а през 1972 г. се появява работата „Предсказуемост: може ли плясъкът на крилата на пеперуда в Бразилия да предизвика торнадо в Тексас?“.

    Така се ражда известният термин „ефект на пеперудата“, отнасящ се както за историята на Бредбъри, така и, изненадващо, за следващото откритие на Лоренц – странен атрактор, кръстен на него.

    Неочаквана структура На пръв поглед откритието беше доста лоша новина: много системи, въпреки очевидния си детерминизъм, се държат напълно непредсказуемо. Лоренц обаче не спира дотук и започва да търси ред в произволността. Изглеждаше, че трябва да е някъде: в крайна сметка не беше съвпадение, че системата демонстрира апериодично поведение, почти повтаряйки от време на време състояние, което вече е възникнало по-рано.

    Лоренц изгради подобен, но по-прост модел с три уравнения в три променливи. Моделът описва конвекция в газ и течност, както и поведението на просто механично устройство - водното колело на Лоренц (виж илюстрацията). Под натиска на водата, изпълваща контейнерите (и изтичаща от тях през малки дупки), колелото се държи по изненадващо сложен начин: забавя се, ускорява го, започва да се върти в другата посока, спира - като цяло, като подобава на уважаваща себе си хаотична система.

    Уравненията изглеждаха така
    dx/dt = s(y - x)
    dy/dt = x(r - z) - y
    dz/dt = xy - bz
    s=10, r=28, b=8/3. Можете да вземете други стойности на параметрите, но не за всички системата ще демонстрира хаотично поведение.

    За да покаже визуално поведението на системата, Лоренц използва не обичайната времева графика, а фазов портрет. Три числа, описващи състоянието на системата, означават координатите на точка в триизмерното пространство. С всяка стъпка на фазовия портрет се появяваше нова точка.

    Ако системата рано или късно достигне пълна стабилност, добавянето на точки рано или късно ще спре напълно. Ако става дума за периодични трептения, линията от точки ще образува пръстен. И накрая, ако нямаше никакви модели в поведението на системата, всичко можеше да се появи на фазовия портрет.

    Резултатът беше напълно неочакван. Обектът, който се появява на портрета (вижте основната илюстрация), се намира в определени граници, без да ги пресича. Имаше определена структура - приличаше на две крила на пеперуда - но вътре в нея беше напълно разстроена. Не спря да се „развива“: нито една нова точка не съвпадна с предишната, фазовият портрет можеше да се изгражда безкрайно дълго. Преходът от едно от крилата към друго съответстваше на началото на въртенето на колелото в другата посока.

    Такива обекти - странни атрактори - са изиграли голяма роля във фракталната геометрия и теорията на хаоса. „Крилата на пеперудата“ се наричат ​​„атрактор на Лоренц“.

    Ефект на пеперуда: фазови портрети за три момента във времето. Жълтите и сините линии представляват траекториите, съответстващи на първоначалните набори от данни, в които стойностите x се различават с 10 -5. Отначало линиите почти съвпадат (жълтото се затваря с

    Теория на хаоса Наблюденията на Лоренц ни карат да изпитаме два шока. Първо, оказва се, че демонът на Лаплас може да бъде безсилен дори пред една не особено сложна детерминирана система. Там, където всичко изглежда предопределено, внезапно възниква хаос.

    Вторият шок е, че в този хаос, оказва се, се крие ред. Неочаквани, странни, зле разбрани, представляващи „фина структура, спотайваща се в хаотичен поток от информация“ (J. Gleick), но още по-интересни. Атракторът на Лоренц не решава проблема с предсказанието, но самото му съществуване е достойно за изследване.

    Търсенето на такива прояви на ред в хаоса е това, с което се занимава сравнително млада наука, теорията на хаоса. Тя не е възникнала моментално и няма един създател. Неговите основи са положени в трудовете на Поанкаре, Колмогоров, Арнолд, Ляпунов, Ландау, Смейл, Манделброт, Файгенбаум и десетки други талантливи учени, които или са видели това, което никой не е виждал преди, или са успели да опишат видяното от другите.

    За един от ключовите моменти (между другото не оценен веднага) в възникването му се смята денят, в който Едуард Нортън Лоренц, любител на времето и упорит търсач на странното, въвежда променливи стойности, закръглени до третия знак след десетичната запетая места в неговия модел.

    ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

    ДЪРЖАВНО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

    ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ

    „САМАРСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛСТВО“

    ФАКУЛТЕТ ПО ИНФОРМАЦИОННИ СИСТЕМИ И ТЕХНОЛОГИИ

    КАТЕДРА ПО ПРИЛОЖНА МАТЕМАТИКА И КОМПЮТЪРНА ТЕХНИКА

    ДОКЛАД ЗА ДИСЦИПЛИНАТА

    "СИСТЕМЕН АНАЛИЗ"

    „Моделиране на атрактора на Лоренц“

    ИЗПЪЛНЕНО ОТ УЧЕНИЦИ GIP-105:

    Н. И. ЗАКОНОВ

    УЧИТЕЛ:

    ПИЯВСКИ С. А.

    Упражнение

    Програмирайте модела на Лоренц на езика C# с показване под формата на диаграми на процеса, проверете коректността на програмирането, като получите „пеперудата на Лоренц“ със стандартни стойности на параметрите.

    Изходни данни

    Най-яркият пример за динамичен хаос е открит през 1963 г. от метеоролога Едуард Лоренц, докато решава проблема с топлинната конвекция на течност.

    Опростявайки възможно най-много уравненията, описващи това явление, Лоренц случайно се натъква на факта, че дори относително проста система от три свързани нелинейни диференциални уравнения от първи ред може да има напълно хаотични траектории като решения.

    Тази система от уравнения, която сега стана класическа, има формата:

    Решението на тези уравнения - функциите X(t), Y(t) и Z(t) - определят в параметрична форма траекторията на системата в тримерното "фазово" пространство X, Y, Z. Тъй като функциите от дясната страна на тези уравнения са уникални, траекторията никога не се пресича сама.

    Лоренц изследва формата на тези траектории при различни начални условия за стойностите на параметрите r = 28, y = 10 и b = 8/3. Той откри, че в този случай траекторията се лута хаотично от полупространството x>0 към полупространството x 24 - траекториите вече не водят до стабилни точки, а асимптотично се приближават до нестабилни гранични цикли - възниква действителният атрактор на Лоренц.

    Фигура 5 - Модел на системата за r< 24

    Заключение

    Моделът на Лоренц е реален физически пример за динамични системи с хаотично поведение. Чрез изучаване на поведението на системата за различни стойности на набор от параметри може да се провери дали има преходи между състоянията на системата (системни графики).

    Най-интересна за мен е осцилаторната фаза, в която системата трепти между две статични точки, но не ги достига.

    Литература

    1. Насоки за изпълнение на лабораторните упражнения по дисциплината „Системен анализ”/; Самарск. състояние арх.-строител. ун-т / Самара, 20-те години.

    Хаотичните, странни атрактори съответстват на непредвидимото поведение на системи, които нямат строго периодична динамика; това е математически образ на детерминирани непериодични процеси. Странните атрактори са структурирани и могат да имат много сложни и необичайни конфигурации в триизмерното пространство.

    Ориз. 1.

    и фазови портрети (долния ред) за три различни системи

    (Gleick, 2001)

    Въпреки че в трудовете на някои математици възможността за съществуването на странни атрактори е установена по-рано, за първи път конструкцията на странен атрактор (фиг. 2) като решение на система от диференциални уравнения е извършена в работа по компютърно моделиране на топлинна конвекция и турбулентност в атмосферата от американския метеоролог Е. Лоренц (E. Lorentz, 1963) . Крайното състояние на системата на Лоренц е изключително чувствително към първоначалното състояние. Самият термин "странен атрактор" се появява по-късно, в работата на Д. Рюел и Ф. Такенс (D. Ruelle, F. Takens, 1971: вижте Ruelle, 2001) върху естеството на турбулентността във течност; авторите отбелязват, че размерът на странния атрактор е различен от обичайния или топологичен.По-късно Б. Манделброт идентифицира странни атрактори, траекториите на които по време на последователни компютърни изчисления са безкрайно стратифицирани, разделени, с фрактали.

    Ориз. 2. (Хаотични траектории в системата на Лоренц). Лоренц Атрактор (Кроновер, 2000)

    Лоренц (1963) открива, че дори проста система от три нелинейни диференциални уравнения може да доведе до хаотични траектории. -втори хармоници:

    където s, r и b са някои положителни числа, параметри на системата. Обикновено изследванията на системата на Лоренц се провеждат при s =10, r =28 и b =8/3 (стойности на параметрите).

    По този начин системите, чието поведение се определя от правила, които не включват случайност, показват непредсказуемост във времето поради нарастване, усилване, усилване на малки несигурности, флуктуации. Визуален образ на система с нарастваща несигурност е така нареченият билярд от Я.Г. Синай: достатъчно голяма последователност от сблъсъци на топки неизбежно води до увеличаване на малките отклонения от изчислените траектории (поради неидеалната сферична повърхност на реалните топки, неидеалната хомогенна повърхност на плата) и непредсказуемостта на системата поведение.

    В такива системи "случайността се създава по същия начин, по който тестото се замесва или тестето карти се разбърква" (Crutchfield et al., 1987). Така наречената "пекарска трансформация" с последователно разтягане и сгъване, безкрайно сгъване е един от моделите за възникване на прехода от ред към хаос; в този случай броят на трансформациите може да служи като мярка за хаоса. Има атрактор на Айзава, който е специален случай на атрактора на Лоренц.

    където a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Всяка предишна координата се въвежда в уравненията, като получената стойност се умножава по времевите стойности.

    Примери за други странни атрактори

    Атрактор WangSun

    Тук a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

    Атрактор на Рьослер

    Където a,b,c= положителни константи. При стойности на параметрите a=b=0,2 и

    СИСТЕМА ЛОРЕНТЦ

    СИСТЕМА ЛОРЕНТЦ

    Система от три нелинейни диференциала. ур-ции от първи ред:

    решения за рояк в широк диапазон от параметри са неправилни функции на времето и много други. техните характеристики са неразличими от случайни. Л. с. е получен от Е. Лоренц от уравненията на хидродинамиката като модел за описване на топлинна конвекция в хоризонтален слой течност, нагрят отдолу ( R r - числото на Прандтл, - намалена Номер на релето, b- се определя от избора в разширението на Фурие на полето на скоростта и температурата).


    Ориз. 1. Илюстрация на последователни бифуркации в системата на Лоренц с нарастващ параметър r: А) ; б) ; в) г) д) е)

    L. s. е един от примерите динамична система,като има проста физическа значение; демонстрира стохастичност. поведение на системата. IN фазово пространствотази система в диапазона от параметри, показани на фиг. 1 съществува странен атрактор,движението на представителната точка върху krom съответства на "произволен" - турбулентен поток от течност по време на топлинна конвекция.

    Ориз. 2. Конвективен контур – физически модел, за който са изведени уравненията на Лоренц.

    Л. с. (при b=l) описва, по-специално, движението на течност в конвективен контур, разположен във вертикална равнина в хомогенна гравитационна тороидална кухина, пълна с течност (фиг. 2). На стените на кухината се поддържа независима от времето (но зависима от ъгъла) температура. T(); нисък част от примката е по-топла от горната. Уравненията за движението на течност в конвективен контур се свеждат до L. s., където x(t] -скорост на течността, y(t) -темп-па в точката н, а z(t) -темп-па в точката Мна свобода T.С растеж Жестеството на движението на течността се променя: първо (при r