У дома > Бивш > Примери за производни на основни елементарни функции. Производни на основни елементарни функции


Примери за производни на основни елементарни функции. Производни на основни елементарни функции




Даваме без доказателство формулата за производните на основните елементарни функции:

1. Степенна функция: (x n)` =nx n -1 .

2. Експоненциална функция: (a x)` = a x lna (по-специално (e x)` = e x).

3. Логаритмична функция: (по-специално, (lnx)` = 1/x).

4. Тригонометрични функции:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Обратни тригонометрични функции:

Може да се докаже, че за да се диференцира експоненциална функция, е необходимо да се използва формулата за производната на комплексна функция два пъти, а именно да се диференцира като комплексна експоненциална функция и като комплексна експоненциална функция и да се добави резултати: (f (x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  (x) *lnf(x)* (x)`.

Производни от по-високи разряди

Тъй като производната на функция сама по себе си е функция, тя също може да има производна. Концепцията за производна, която беше обсъдена по-горе, се отнася до производна от първи ред.

производнан-та поръчкасе нарича производна на производната от (n-1)-ти ред. Например f``(x) = (f`(x))` - производна от втори ред (или втора производна), f```(x) = (f``(x))` - производна от трети ред ( или трета производна) и т.н. Понякога римски арабски цифри в скоби се използват за обозначаване на по-високи производни, например f (5) (x) или f (V) (x) за производна от пети ред.

Физическото значение на производните от по-високи порядъци се определя по същия начин, както за първото производно: всяко от тях представлява скоростта на промяна на производното от предишния порядък. Например втората производна е скоростта на изменение на първата, т.е. скорост скорост. За праволинейно движение това означава ускорение на точка в даден момент.

Функционална еластичност

Функционална еластичност E x (y) е границата на съотношението на относителното нарастване на функцията y към относителното нарастване на аргумента x, като последният клони към нула:
.

Еластичността на функцията показва приблизително колко процента ще се промени функцията y \u003d f (x), когато независимата променлива x се промени с 1%.

В икономически смисъл разликата между този показател и производната е, че производната има мерни единици и следователно нейната стойност зависи от единиците, в които се измерват променливите. Например, ако зависимостта на обема на производството от времето се изрази съответно в тонове и месеци, тогава производната ще покаже пределното увеличение на обема в тонове на месец; ако обаче тези показатели се измерват, например, в килограми и дни, тогава както самата функция, така и нейната производна ще бъдат различни. Еластичността по същество е безразмерна величина (измерена в проценти или фракции) и следователно не зависи от мащаба на индикаторите.

Основни теореми за диференцируемите функции и техните приложения

Теорема на Ферма. Ако функция, диференцируема на интервал, достигне своята максимална или минимална стойност във вътрешна точка на този интервал, тогава производната на функцията в тази точка е равна на нула.

Без доказателства.

Геометричният смисъл на теоремата на Ферма е, че в точката на най-голямата или най-малката стойност, постигната в празнината, допирателната към графиката на функцията е успоредна на абсцисната ос (Фигура 3.3).

Теорема на Рол. Нека функцията y \u003d f (x) отговаря на следните условия:

2) диференцируеми на интервала (a, b);

3) приема равни стойности в краищата на сегмента, т.е. f(a)=f(b).

Тогава има поне една точка вътре в сегмента, където производната на функцията е равна на нула.

Без доказателства.

Геометричният смисъл на теоремата на Рол е, че има поне една точка, в която допирателната към графиката на функцията ще бъде успоредна на оста x (например има две такива точки на фигура 3.4).

Ако f(a) =f(b) = 0, тогава теоремата на Рол може да се формулира по различен начин: между две последователни нули на диференцируема функция има поне една нула на производната.

Теоремата на Рол е частен случай на теоремата на Лагранж.

Теорема на Лагранж. Нека функцията y \u003d f (x) отговаря на следните условия:

1) е непрекъснат на сегмента [a, b];

2) е диференцируем на интервала (a, b).

Тогава вътре в сегмента има поне една такава точка c, в която производната е равна на частното от увеличението на функциите, разделено на увеличението на аргумента на този сегмент:
.

Без доказателства.

За да разберем физическия смисъл на теоремата на Лагранж, отбелязваме това
не е нищо друго освен средната скорост на промяна на функцията на целия интервал [a,b]. По този начин теоремата гласи, че вътре в сегмента има поне една точка, в която "моменталната" скорост на промяна на функцията е равна на средната скорост на нейното изменение за целия сегмент.

Геометричният смисъл на теоремата на Лагранж е илюстриран на фигура 3.5. Обърнете внимание, че изразът
е наклонът на правата, върху която лежи хордата AB. Теоремата гласи, че има поне една точка на графиката на функция, в която допирателната към нея ще бъде успоредна на тази хорда (т.е. наклонът на допирателната - производната - ще бъде същият).

Следствие: ако производната на функция е равна на нула на някакъв интервал, тогава функцията е идентично постоянна на този интервал.

Всъщност, нека вземем интервал на този интервал. По теоремата на Лагранж има точка c в този интервал, за която
. Оттук f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = const.

Правилото на L'Hopital. Границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е равна на границата на съотношението на техните производни (крайни или безкрайни), ако последните съществуват в посочения смисъл.

С други думи, ако има несигурност на формата
, Че
.

Без доказателства.

Прилагането на правилото на L'Hospital за намиране на граници ще бъде разгледано в практически упражнения.

Достатъчно условие за нарастване (намаляване) на функция. Ако производната на диференцируема функция е положителна (отрицателна) в рамките на някакъв интервал, тогава функцията нараства (намалява) на този интервал.

Доказателство. Помислете за две стойности x 1 и x 2 от дадения интервал (нека x 2 > x 1). По теоремата на Лагран на [x 1 , x 2 ] има точка c, в която
. Следователно f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Тогава за f`(c) > 0, лявата страна на неравенството е положителна, т.е. f(x 2) > f(x 1), и функцията нараства. на f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Теоремата е доказана.

Геометрична интерпретация на условието за монотонност на функцията: ако допирателните към кривата в определен интервал са насочени под остри ъгли спрямо оста на абсцисата, тогава функцията нараства, а ако при тъпи ъгли, тогава тя намалява (виж Фигура 3.6) .

Забележка: необходимото условие за монотонност е по-слабо. Ако функцията расте (намалява) на определен интервал, тогава производната е неотрицателна (неположителна) на този интервал (т.е. в някои точки производната на монотонна функция може да бъде равна на нула).

Изчисляването на производната често се намира в заданията на USE. Тази страница съдържа списък с формули за намиране на производни.

Правила за диференциране

  1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
  2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
  3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
  4. Производна на сложна функция. Ако y=F(u) и u=u(x), тогава функцията y=f(x)=F(u(x)) се нарича сложна функция на x. Е равно на y′(x)=Fu′⋅ ux′.
  5. Производна на неявна функция. Функцията y=f(x) се нарича неявна функция, дадена от релацията F(x,y)=0, ако F(x,f(x))≡0.
  6. Производна на обратната функция. Ако g(f(x))=x, тогава функцията g(x) се нарича обратна функция за функцията y=f(x).
  7. Производна на параметрично зададена функция. Нека x и y са дадени като функции на променливата t: x=x(t), y=y(t). Казва се, че y=y(x) е параметрично дефинирана функция на интервала x∈ (a;b), ако на този интервал уравнението x=x(t) може да бъде изразено като t=t(x) и функцията y=y(t(x))=y(x).
  8. Производна на експоненциална функция. Намира се чрез вземане на логаритъм към основата на натуралния логаритъм.
Съветваме ви да запазите връзката, тъй като тази таблица може да ви е необходима още много пъти.

Когато извеждаме първата формула от таблицата, ще изхождаме от дефиницията на производната на функция в точка. Да вземем къде х- всяко реално число, т.е. х– всяко число от областта за дефиниране на функцията. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента при:

Трябва да се отбележи, че под знака на границата се получава израз, който не е неопределеността на нула, разделена на нула, тъй като числителят съдържа не безкрайно малка стойност, а точно нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.

По този начин, производна на постоянна функцияе равно на нула в цялата област на дефиниция.

Производна на степенна функция.

Формулата за производната на степенна функция има формата , където степента стре всяко реално число.

Нека първо докажем формулата за естествения показател, т.е p = 1, 2, 3, ...

Ще използваме определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенната функция към увеличението на аргумента:

За да опростим израза в числителя, се обръщаме към биномната формула на Нютон:

следователно

Това доказва формулата за производната на степенна функция за естествен показател.

Производна на експоненциална функция.

Извеждаме производната формула въз основа на определението:

Стигна до несигурност. За да го разширим, въвеждаме нова променлива и за . Тогава . При последния преход използвахме формулата за преход към нова основа на логаритъма.

Нека извършим заместване в първоначалния лимит:

Ако си припомним втората забележителна граница, тогава стигаме до формулата за производната на експоненциалната функция:

Производна на логаритмична функция.

Нека докажем формулата за производната на логаритмичната функция за всички хот обхвата и всички валидни базови стойности алогаритъм. По дефиниция на производната имаме:

Както забелязахте, в доказателството трансформациите бяха извършени с помощта на свойствата на логаритъма. Равенство е валиден поради второто забележително ограничение.

Производни на тригонометрични функции.

За да изведем формули за производни на тригонометрични функции, ще трябва да си припомним някои тригонометрични формули, както и първото забележително ограничение.

По дефиниция на производната за функцията синус имаме .

Използваме формулата за разликата на синусите:

Остава да се обърнем към първата забележителна граница:

И така, производната на функцията грях хИма cos x.

Формулата за косинус производната се доказва по абсолютно същия начин.

Следователно, производната на функцията cos xИма – грях х.

Ще изведем формулите за таблицата с производни на тангенса и котангенса, като използваме доказаните правила за диференциране (производна на дроб).

Производни на хиперболични функции.

Правилата за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция от таблицата с производни ни позволяват да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс.

Производна на обратната функция.

За да няма объркване в представянето, нека обозначим в долния индекс аргумента на функцията, чрез която се извършва диференцирането, тоест това е производната на функцията f(x)от х.

Сега формулираме правило за намиране на производната на обратната функция.

Нека функциите y = f(x)И x = g(y)взаимно обратни, определени на интервалите и съответно. Ако в дадена точка съществува крайна ненулева производна на функцията f(x), тогава в точката съществува крайна производна на обратната функция g(y), и . В друг запис .

Това правило може да бъде преформулирано за всеки хот интервала , тогава получаваме .

Нека проверим валидността на тези формули.

Нека намерим обратната функция за натурален логаритъм (Тук ге функция и х- аргумент). Решаване на това уравнение за х, получаваме (тук хе функция и гнейният аргумент). Това е, и взаимно обратни функции.

От таблицата на производните виждаме това И .

Нека се уверим, че формулите за намиране на производни на обратната функция ни водят до същите резултати:

Както можете да видите, получихме същите резултати като в таблицата с производни.

Сега имаме знанията да доказваме формули за производни на обратни тригонометрични функции.

Нека започнем с производната на арксинуса.

. След това по формулата за производната на обратната функция получаваме

Остава да се извърши трансформацията.

Тъй като диапазонът на арксинуса е интервалът , Че (виж раздела за основните елементарни функции, техните свойства и графики). Следователно, ние не считаме.

следователно . Областта на дефиниране на производната на арксинуса е интервалът (-1; 1) .

За аркосинус всичко се прави по същия начин:

Намерете производната на аркутангенса.

За обратната функция е .

Изразяваме арктангенса през арккосинуса, за да опростим получения израз.

Позволявам arctanx = z, Тогава

следователно

По същия начин се намира производната на обратната допирателна:

Ето и обобщена таблица за удобство и прегледност при изучаване на темата.

Константаy=C

Степенна функция y = x p

(x p)" = p x p - 1

Експоненциална функцияy = x

(a x)" = a x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = e x

(e x)" = e x

логаритмична функция

(log a x) " = 1 x ln a

По-специално, когатоa = eние имаме y = log x

(ln x)" = 1 x

Тригонометрични функции

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Обратни тригонометрични функции

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Хиперболични функции

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Нека анализираме как са получени формулите от посочената таблица или, с други думи, ще докажем извеждането на формули за производни за всеки тип функция.

Производна на константа

доказателство 1

За да изведем тази формула, ние вземаме за основа дефиницията на производната на функция в точка. Използваме x 0 = x, където хприема стойността на всяко реално число или, с други думи, хе всяко число от областта на функцията f (x) = C . Нека запишем границата на отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента като ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Моля, имайте предвид, че изразът 0 ∆ x попада под знака за ограничение. Това не е несигурността на „нула, разделена на нула“, тъй като числителят не съдържа безкрайно малка стойност, а нула. С други думи, увеличението на константна функция винаги е нула.

И така, производната на константната функция f (x) = C е равна на нула в цялата област на дефиниция.

Пример 1

Дадени постоянни функции:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Решение

Нека опишем дадените условия. В първата функция виждаме производната на естественото число 3 . В следващия пример трябва да вземете производната на А, Където А- всяко реално число. Третият пример ни дава производната на ирационалното число 4. 13 7 22 , четвъртата - производната на нула (нулата е цяло число). И накрая, в петия случай имаме производната на рационалната дроб - 8 7 .

Отговор:производните на дадените функции са нула за всяко реално х(в цялата област на дефиниция)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0, f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Производна на степенна функция

Обръщаме се към степенната функция и формулата за нейната производна, която има формата: (x p) " = p x p - 1, където експонентата стре всяко реално число.

Доказателство 2

Ето доказателството на формулата, когато показателят е естествено число: p = 1, 2, 3, …

Отново разчитаме на определението за производна. Нека запишем границата на съотношението на увеличението на степенната функция към увеличението на аргумента:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

За да опростим израза в числителя, използваме биномната формула на Нютон:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

По този начин:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция, когато показателят е естествено число.

Доказателство 3

Да се ​​даде доказателство за случая, когато п-всяко реално число, различно от нула, използваме логаритмичната производна (тук трябва да разберем разликата от производната на логаритмичната функция). За да имате по-пълно разбиране, е желателно да изучавате производната на логаритмичната функция и допълнително да се занимавате с производната на имплицитно дадена функция и производната на сложна функция.

Разгледайте два случая: когато хположително и кога хса отрицателни.

Така че x > 0. Тогава: x p > 0 . Взимаме логаритъм на равенството y \u003d x p към основата e и прилагаме свойството на логаритъма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

На този етап е получена неявно дефинирана функция. Нека дефинираме неговата производна:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Сега разглеждаме случая, когато х-отрицателно число.

Ако индикаторът стре четно число, тогава степенната функция също е дефинирана за x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

След това xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ако стре нечетно число, тогава степенната функция е дефинирана за x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Последният преход е възможен, защото ако стртогава е нечетно число p - 1или четно число, или нула (за p = 1), следователно, за отрицателно хравенството (- x) p - 1 = x p - 1 е вярно.

И така, доказахме формулата за производната на степенна функция за всяко реално p.

Пример 2

Дадени функции:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Определете техните производни.

Решение

Преобразуваме част от дадените функции в таблична форма y = x p , въз основа на свойствата на степента и след това използваме формулата:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Производна на експоненциална функция

Доказателство 4

Извеждаме формулата за производната въз основа на определението:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Имаме несигурност. За да го разширим, записваме нова променлива z = a ∆ x - 1 (z → 0 като ∆ x → 0). В този случай a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . За последния преход се използва формулата за преход към нова основа на логаритъма.

Нека извършим заместване в първоначалния лимит:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Спомнете си втората чудесна граница и тогава получаваме формулата за производната на експоненциалната функция:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Пример 3

Експоненциалните функции са дадени:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Трябва да намерим техните производни.

Решение

Използваме формулата за производната на експоненциалната функция и свойствата на логаритъма:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Производна на логаритмична функция

Доказателство 5

Представяме доказателството на формулата за производната на логаритмичната функция за всяко хв областта на дефиницията и всички валидни стойности на основата a на логаритъма. Въз основа на дефиницията на производната получаваме:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

От посочената верига от равенства се вижда, че трансформациите са построени на базата на свойството логаритъм. Равенството lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e е вярно в съответствие с втората забележителна граница.

Пример 4

Дадени са логаритмични функции:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Трябва да изчислим техните производни.

Решение

Нека приложим получената формула:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Така че производната на натуралния логаритъм е едно делено на х.

Производни на тригонометрични функции

Доказателство 6

Използваме някои тригонометрични формули и първата чудесна граница, за да изведем формулата за производната на тригонометрична функция.

Според дефиницията на производната на функцията синус получаваме:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формулата за разликата на синусите ще ни позволи да извършим следните действия:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

И накрая, използваме първото прекрасно ограничение:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

И така, производната на функцията грях хще cos x.

По същия начин ще докажем и формулата за косинус производната:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тези. производната на функцията cos x ще бъде – грях х.

Извеждаме формулите за производните на тангенса и котангенса въз основа на правилата за диференциране:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производни на обратни тригонометрични функции

Разделът за производната на обратни функции предоставя изчерпателна информация за доказателството на формулите за производните на аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс, така че няма да дублираме материала тук.

Производни на хиперболични функции

Доказателство 7

Можем да изведем формули за производните на хиперболичния синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме правилото за диференциране и формулата за производната на експоненциалната функция:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Операцията за намиране на производна се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) са първите, които работят в областта на намирането на производни.

Следователно, в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а само трябва да се използва таблицата на производните и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под знака щрих разбийте прости функциии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. Освен това намираме производните на елементарни функции в таблицата на производните, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата с производните и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сумата от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "X" е равна на единица, а производната на синуса е косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата на производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Диференцирайте като производна на сумата, в която вторият член с постоянен множител, той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все още има въпроси за това откъде идва нещо, те, като правило, стават ясни, след като прочетете таблицата на производните и най-простите правила за диференциация. Точно сега отиваме при тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степен.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на корен квадратен
6. Производна по синус
7. Производна по косинус
8. Тангенсна производна
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинуса
11. Производна на аркосинус
12. Производна на аркутангенс
13. Производна на обратната допирателна
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбора или разликата
2. Производна на продукт
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. Производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава в същата точка функциите

и

тези. производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с константа, тогава техните производни са, т.е.

Правило 2Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт също е диференцируем в същата точка

и

тези. производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки от факторите и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3Ако функции

диференцируеми в даден момент И , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемо.u/v и

тези. производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадрат на предишния числител .

Къде да търсите на други страници

При намиране на производната на произведението и частното в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че повече примери за тези производни има в статията.„Производна на произведение и частно“.

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сумата и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средният ученик решава няколко едно-двукомпонентни примера, средният ученик вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или частно, имате член u"v, в който u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (такъв случай е анализиран в пример 10) .

Друга често срещана грешка е механичното решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияпосветен на отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководствата за нов Windows Действия със сили и корениИ Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни със степени и корени, т.е. как изглежда функцията , след което следвайте урока "Производна на сбора от дроби със степени и корени".

Ако имате задача като , значи сте в урока "Производни на прости тригонометрични функции".

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите на израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай, във всяка сума, вторият член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "х" се превръща в едно, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производните:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

И можете да проверите решението на задачата върху производната на.

Пример 4Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частно: производната на частно на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, и знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се взема със знак минус:

Ако търсите решения на такива задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например тогава добре дошли в класа "Производна на сумата от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава имате урок "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме продукт, един от множителите на който е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Съгласно правилото за диференциране на продукта и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Можете да проверите решението на задачата с производната на калкулатор за производни онлайн .

Пример 6Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частното, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Според правилото за диференциране на частното, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

За да се отървете от дробта в числителя, умножете числителя и знаменателя по .