Fraktalne slike - nevjerojatno je, lijepo i fantastično! Ljepota i složenost: Zemljini fraktalni obrasci.
Najgenijalnija otkrića u znanosti mogu radikalno promijeniti ljudski život. Izmišljeno cjepivo može spasiti milijune ljudi, stvaranje oružja, naprotiv, oduzima ove živote. Sasvim nedavno (na ljestvici ljudske evolucije) naučili smo "ukrotiti" električnu energiju - a sada ne možemo zamisliti život bez svih ovih prikladnih uređaja koji koriste električnu energiju. No, ima i takvih otkrića kojima malo tko pridaje važnost, iako i ona snažno utječu na naš život.
Jedno od tih "nevidljivih" otkrića su fraktali. Vjerojatno ste čuli ovu privlačnu riječ, ali znate li što ona znači i koliko se zanimljivosti krije u ovom pojmu?
Svaka osoba ima prirodnu radoznalost, želju da uči o svijetu oko sebe. I u toj težnji čovjek se pokušava držati logike u svojim prosudbama. Analizirajući procese koji se odvijaju oko njega, pokušava pronaći dosljednost onoga što se događa i zaključiti neku pravilnost. Najveći umovi na planeti zauzeti su ovim zadatkom. Grubo govoreći, znanstvenici traže obrazac tamo gdje ne bi trebao biti. Ipak, čak i u kaosu možete pronaći vezu između događaja. A ova veza je fraktal.
Naša kćerkica, četiri i pol godine, sada je u onoj prekrasnoj dobi kada se broj pitanja "Zašto?" je višestruko veći od broja odgovora koje odrasli imaju vremena dati. Ne tako davno, pregledavajući granu podignutu od zemlje, moja je kći iznenada primijetila da ova grana, s grančicama i granama, i sama izgleda kao drvo. I, naravno, uslijedilo je uobičajeno pitanje “Zašto?”, na koje su roditelji morali tražiti jednostavno objašnjenje koje bi dijete moglo razumjeti.
Sličnost jedne grane s cijelim stablom koju je otkrilo dijete vrlo je točno opažanje, što još jednom svjedoči o principu rekurzivne samosličnosti u prirodi. Mnogi organski i anorganski oblici u prirodi nastaju na sličan način. Oblaci, morske školjke, puževa "kuća", kora i krošnje drveća, krvožilni sustav i tako dalje - slučajni oblici svih tih objekata mogu se opisati fraktalnim algoritmom.
⇡ Benoit Mandelbrot: otac fraktalne geometrije
Sama riječ "fraktal" pojavila se zahvaljujući briljantnom znanstveniku Benoîtu B. Mandelbrotu.
Sam je taj izraz skovao sedamdesetih godina prošlog stoljeća, posudivši riječ fractus iz latinskog, gdje ona doslovno znači "slomljen" ili "zgnječen". Što je? Danas riječ "fraktal" najčešće označava grafički prikaz strukture koja je sama sebi slična u većem mjerilu.
Matematički temelj za nastanak teorije fraktala postavljen je mnogo godina prije rođenja Benoita Mandelbrota, ali se mogao razviti tek s pojavom računalnih uređaja. Na početku svoje znanstvene karijere Benoit je radio u IBM Research Centru. U to vrijeme djelatnici centra radili su na prijenosu podataka na daljinu. Tijekom istraživanja znanstvenici su se suočili s problemom velikih gubitaka koji nastaju zbog smetnji buke. Benoit je bio suočen s teškim i vrlo važnim zadatkom - razumjeti kako predvidjeti pojavu smetnji šuma u elektroničkim sklopovima kada je statistička metoda neučinkovita.
Gledajući kroz rezultate mjerenja buke, Mandelbrot je uočio jedan čudan obrazac - grafikoni buke na različitim skalama izgledali su isto. Uočen je identičan uzorak bez obzira na to radi li se o grafu buke za jedan dan, tjedan ili sat. Čim se promijenila skala grafikona, slika se svaki put ponavljala.
Tijekom života Benoit Mandelbrot je više puta govorio da se nije bavio formulama, već se jednostavno igrao slikama. Ovaj je čovjek razmišljao vrlo slikovito, a svaki algebarski problem prenio je na područje geometrije, gdje je, po njemu, točan odgovor uvijek očit.
Nije iznenađujuće da je upravo osoba s tako bogatom prostornom maštom postala otac fraktalne geometrije. Uostalom, razumijevanje suštine fraktala dolazi upravo kada počnete proučavati crteže i razmišljati o značenju čudnih vrtložnih uzoraka.
Fraktalni crtež nema identične elemente, ali je sličan u bilo kojoj mjeri. Prije je bilo jednostavno nemoguće ručno konstruirati takvu sliku s visokim stupnjem detalja, zahtijevala je ogromnu količinu računanja. Na primjer, francuski matematičar Pierre Joseph Louis Fatou opisao je ovaj skup više od sedamdeset godina prije otkrića Benoita Mandelbrota. Ako govorimo o principima samosličnosti, onda su oni spomenuti u djelima Leibniza i Georga Cantora.
Jedan od najranijih crteža fraktala bila je grafička interpretacija Mandelbrotovog skupa, koja je nastala istraživanjem Gastona Mauricea Julije.
Gaston Julia (uvijek nosi masku - trauma iz Prvog svjetskog rata)
Ovaj francuski matematičar pitao se kako bi skup izgledao da je konstruiran iz jednostavne formule koja se ponavlja povratnom spregom. Ako to objasnimo "na prste", to znači da za određeni broj pronalazimo novu vrijednost po formuli, zatim je vraćamo u formulu i dobivamo drugu vrijednost. Rezultat je veliki niz brojeva.
Da biste dobili potpunu sliku takvog skupa, morate napraviti ogromnu količinu izračuna - stotine, tisuće, milijune. Bilo je jednostavno nerealno to učiniti ručno. Ali kada su se matematičarima na raspolaganju pojavili moćni računalni uređaji, mogli su iznova pogledati formule i izraze koji su dugo bili zanimljivi. Mandelbrot je prvi upotrijebio računalo za izračunavanje klasičnog fraktala. Nakon obrade niza koji se sastoji od velikog broja vrijednosti, Benoit je prenio rezultate na graf. Evo što je dobio.
Nakon toga, ova je slika obojena (na primjer, jedna od metoda bojanja bojom - prema broju ponavljanja) i postala je jedna od najpopularnijih slika koje je čovjek ikada stvorio.
Kao što kaže stara izreka koja se pripisuje Heraklitu iz Efeza: "Ne možete dvaput ući u istu rijeku." Najprikladniji je za tumačenje geometrije fraktala. Koliko god detaljno pogledali fraktalnu sliku, cijelo vrijeme ćemo vidjeti sličan uzorak.
Oni koji žele vidjeti kako će slika Mandelbrotovog prostora izgledati uz višestruka povećanja, to mogu učiniti preuzimanjem animiranog GIF-a.
⇡ Lauren Carpenter: umjetnost koju je stvorila priroda
Teorija fraktala ubrzo je našla praktičnu primjenu. Budući da je usko povezana s prikazivanjem sebi sličnih slika, ne čudi da su umjetnici prvi usvojili algoritme i principe za konstruiranje neobičnih oblika.
Budući suosnivač legendarnog studija Pixar Loren C. Carpenter pridružio se 1967. Boeing Computer Services, koji je bio jedan od odjela poznate korporacije koja se bavila razvojem novih zrakoplova.
Godine 1977. izradio je prezentacije s prototipovima letećih modela. Lauren je bila odgovorna za razvoj slika projiciranih zrakoplova. Morao je stvoriti slike novih modela, prikazujući buduće zrakoplove iz različitih kutova. U nekom trenutku to je palo na pamet budućem osnivaču Pixar Animation Studios kreativna ideja koristiti sliku planina kao pozadinu. Danas svaki školarac može riješiti takav problem, ali kasnih sedamdesetih godina prošlog stoljeća računala se nisu mogla nositi s tako složenim proračunima - nije bilo grafičkih uređivača, a da ne spominjemo aplikacije za trodimenzionalnu grafiku. Godine 1978. Lauren je slučajno u trgovini ugledala knjigu Benoita Mandelbrota Fraktali: Forma, Randomness and Dimension. U ovoj knjizi mu je pozornost skrenula na činjenicu da je Benoit dao mnogo primjera fraktalnih oblika u stvarnom životu i tvrdio da se oni mogu opisati matematičkim izrazima.
Ovu analogiju matematičar nije odabrao slučajno. Činjenica je da se, čim je objavio svoje istraživanje, morao suočiti s naletom kritika. Glavna stvar koju su mu kolege zamjerili bila je beskorisnost teorije koja se razvija. „Da“, rekli su, „ovo je lijepe slike, ali ne više. Teorija fraktala nema praktičnu vrijednost.” Bilo je i onih koji su općenito vjerovali da su fraktalni obrasci samo nusprodukt rada "đavolskih strojeva", koji su se u kasnim sedamdesetima mnogima činili kao nešto previše komplicirano i neistraženo da bi im se u potpunosti povjerovali. Mandelbrot je pokušao pronaći očitu primjenu teorije fraktala, ali, prema uglavnom, nije trebao to učiniti. Sljedbenici Benoita Mandelbrota tijekom sljedećih 25 godina dokazali su goleme prednosti ove "matematičke znatiželje", a Lauren Carpenter bila je jedna od prvih koja je fraktalnu metodu provela u praksi.
Proučivši knjigu, budući animator ozbiljno je proučavao principe fraktalne geometrije i počeo tražiti način da je implementira u računalna grafika... U samo tri dana rada, Lauren je na svom računalu uspio prikazati realističnu sliku planinskog sustava. Drugim riječima, uz pomoć formula naslikao je potpuno prepoznatljiv planinski krajolik.
Načelo koje je Lauren koristila da postigne svoj cilj bilo je vrlo jednostavno. Sastojao se od dijeljenja većeg geometrijskog lika na manje elemente, a oni su ih, pak, dijelili na slične figure manje veličine.
Koristeći veće trokute, Carpenter ih je podijelio na četiri manja, a zatim je ponavljao ovaj postupak iznova i iznova dok nije dobio realističan planinski krajolik. Tako je uspio postati prvi umjetnik koji je primijenio fraktalni algoritam za konstruiranje slika u računalnoj grafici. Čim se saznalo za obavljeni posao, entuzijasti diljem svijeta su prihvatili ideju i počeli koristiti fraktalni algoritam za simulaciju realističnih prirodnih oblika.
Jedna od prvih 3D vizualizacija korištenjem fraktalnog algoritma
Samo nekoliko godina kasnije, Lauren Carpenter je uspjela primijeniti svoj razvoj u mnogo većem projektu. Animator je napravio dvominutni demo video, Vol Libre, koji je emitiran na Siggraphu 1980. godine. Ovaj video šokirao je sve koji su ga vidjeli, a Lauren je dobila poziv od Lucasfilma.
Animacija je prikazana na računalu VAX-11/780 tvrtke Digital Equipment Corporation s taktom od pet megaherca, pri čemu je svakom kadru bilo potrebno oko pola sata za renderiranje.
Radeći za Lucasfilm Limited, animator je na isti način kreirao 3D pejzaže za drugi dugometražni film u sagi Zvjezdanih staza. U Khanovom gnjevu, Carpenter je uspio stvoriti cijeli planet koristeći isti princip modeliranja fraktalne površine.
Danas sve popularne aplikacije za stvaranje 3D krajolika koriste sličan princip za generiranje prirodnih objekata. Terragen, Bryce, Vue i drugi 3D uređivači oslanjaju se na fraktalni algoritam za modeliranje površina i tekstura.
⇡ Fraktalne antene: manje je bolje
U posljednjih pola stoljeća život se počeo ubrzano mijenjati. Većina nas prihvaća postignuća moderne tehnologije zdravo za gotovo. Vrlo brzo se naviknete na sve što čini život ugodnijim. Rijetko tko postavlja pitanje "Odakle to?" i "Kako radi?" Mikrovalna pećnica zagrijava doručak – dobro, super, pametni telefon vam omogućuje da razgovarate s drugom osobom – super. Ovo nam se čini kao očita mogućnost.
Ali život bi mogao biti potpuno drugačiji da osoba ne traži objašnjenje za događaje koji se događaju. Uzmimo, na primjer, mobitele. Sjećate li se uvlačivih antena na prvim modelima? Ometali su se, povećavali veličinu uređaja, na kraju, često se lomili. Vjerujemo da su zauvijek potonuli u zaborav, a dijelom i sami krivi za ovo ... fraktale.
Fraktalni crteži fasciniraju svojim uzorcima. Definitivno podsjećaju na slike objekata u svemiru – maglice, jata galaksija i tako dalje. Stoga je sasvim prirodno da kada je Mandelbrot iznio svoju teoriju fraktala, njegovo istraživanje je izazvalo povećan interes među onima koji su proučavali astronomiju. Jedan od tih amatera po imenu Nathan Cohen, nakon što je prisustvovao predavanju Benoita Mandelbrota u Budimpešti, zapalio se idejom praktične primjene stečenog znanja. Istina, učinio je to intuitivno, a slučaj je imao važnu ulogu u njegovom otkrivanju. Kao radio-amater, Nathan je nastojao stvoriti antenu s najvećom mogućom osjetljivošću.
Jedini način poboljšanja parametara antene, koji je bio poznat u to vrijeme, bio je povećanje njezinih geometrijskih dimenzija. Međutim, vlasnik kuće u centru Bostona koju je Nathan iznajmio oštro se protivio instaliranju velikih krovnih uređaja. Tada je Nathan počeo eksperimentirati s raznim oblicima antene, pokušavajući dobiti maksimalni rezultat s minimalnom veličinom. Zapaljen idejom fraktalnih oblika, Cohen je, kako kažu, nasumično napravio jedan od najpoznatijih fraktala od žice - "Koch pahuljicu". Švedski matematičar Helge von Koch izumio je ovu krivulju davne 1904. godine. Dobiva se tako da se segment podijeli na tri dijela i zamijeni srednji segment jednakostraničan trokut bez strane koja odgovara ovom segmentu. Definiciju je malo teško razumjeti, ali na slici je sve jasno i jednostavno.
Postoje i druge varijante "Kochove krivulje", ali približan oblik krivulje ostaje sličan
Kada je Nathan spojio antenu na radio prijemnik, bio je jako iznenađen - osjetljivost se dramatično povećala. Nakon niza eksperimenata, budući profesor na Sveučilištu u Bostonu shvatio je da antena napravljena od fraktalnog uzorka ima visoku učinkovitost i pokriva puno širi frekvencijski raspon od klasičnih rješenja. Osim toga, oblik antene u obliku fraktalne krivulje može značajno smanjiti geometrijske dimenzije. Nathan Cohen je čak smislio teorem koji dokazuje da je za stvaranje širokopojasne antene dovoljno oblikovati je u samosličnu fraktalnu krivulju.
Autor je patentirao svoje otkriće i osnovao tvrtku za razvoj i dizajn fraktalnih antena Fractal Antenna Systems, s pravom vjerujući da će se u budućnosti, zahvaljujući njegovom otkriću, mobiteli moći riješiti glomaznih antena i postati kompaktniji.
U principu, to se dogodilo. Istina, Nathan je do danas u parnici s velikim korporacijama koje nezakonito koriste njegovo otkriće za proizvodnju kompaktnih komunikacijskih uređaja. Neki poznati proizvođači mobilnih uređaja, poput Motorola-e, već su postigli prijateljski dogovor s izumiteljem fraktalne antene.
⇡ Fraktalne dimenzije: um ne može razumjeti
Benoit je ovo pitanje posudio od poznatog američkog znanstvenika Edwarda Kasnera.
Potonji je, kao i mnogi drugi poznati matematičari, jako volio komunicirati s djecom, postavljati im pitanja i dobivati neočekivane odgovore. Ponekad je to dovelo do iznenađujućih posljedica. Na primjer, devetogodišnji nećak Edwarda Kasnera izmislio je sada već dobro poznatu riječ "googol", što znači jedan iza kojeg slijedi sto nula. Ali vratimo se fraktalima. Američki matematičar volio je postavljati pitanje kolika je duljina obale Sjedinjenih Država. Nakon što je saslušao mišljenje sugovornika, Edward je sam rekao točan odgovor. Ako duljinu na karti mjerite isprekidanim linijama, rezultat će biti netočan, jer obalna crta ima veliki broj nepravilnosti. Što se događa ako ga izmjerite što je točnije moguće? Morat ćete uzeti u obzir duljinu svake nepravilnosti - morat ćete izmjeriti svaki rt, svaku uvalu, stijenu, duljinu stjenovite izbočine, kamena na njoj, zrno pijeska, atom i tako dalje. Budući da broj nepravilnosti teži beskonačnosti, izmjerena duljina obalne crte će se sa svakom novom nepravilnošću povećavati do beskonačnosti.
Što je mjera manja, to je izmjerena duljina duža
Zanimljivo je da su djeca, slijedeći Edwardove upute, puno brže donijela ispravnu odluku od odraslih, dok su potonji imali problema s prihvaćanjem tako nevjerojatnog odgovora.
Koristeći ovaj problem kao primjer, Mandelbrot je predložio korištenje novi pristup na mjerenja. Budući da je obalna linija blizu fraktalne krivulje, to znači da se na nju može primijeniti karakterizirajući parametar - tzv. fraktalna dimenzija.
Svatko može razumjeti koja je uobičajena dimenzija. Ako je dimenzija jednaka jedan, dobivamo ravnu liniju, ako je dva - ravna figura, tri - volumen. Međutim, ovo razumijevanje dimenzionalnosti u matematici ne funkcionira s fraktalnim krivuljama, gdje ovaj parametar ima frakcijsku vrijednost. Fraktalna dimenzija u matematici se konvencionalno može smatrati "neravninama". Što je veća hrapavost krivulje, veća je njezina fraktalna dimenzija. Krivulja koja, prema Mandelbrotu, ima fraktalnu dimenziju veću od svoje topološke dimenzije, ima aproksimiranu duljinu koja ne ovisi o broju mjerenja.
Trenutno znanstvenici pronalaze sve više područja za primjenu teorije fraktala. Uz pomoć fraktala moguće je analizirati fluktuacije cijena dionica, istraživati sve vrste prirodnih procesa, kao što su fluktuacije u broju vrsta, ili simulirati dinamiku tokova. Fraktalni algoritmi se mogu koristiti za komprimiranje podataka, kao što je komprimiranje slika. I usput, da biste dobili prekrasan fraktal na ekranu svog računala, ne morate imati doktorat.
⇡ Fraktal u pregledniku
Možda je jedan od najlakših načina za stvaranje fraktalnog uzorka korištenje mrežnog uređivača vektora talentiranog mladog programera Tobyja Schachmana. Alat ovog jednostavnog grafičkog uređivača temelji se na istom principu samosličnosti.
Na raspolaganju imate samo dva jednostavna oblika - četverokut i krug. Možete ih dodati na platno, skalirati (za skaliranje duž jedne od osi, držite pritisnutu tipku Shift) i rotirati. Preklapajući se na principu Booleovih operacija zbrajanja, ovi najjednostavniji elementi tvore nove, manje trivijalne oblike. Zatim se ovi novi oblici mogu dodati projektu, a program će ponavljati generiranje ovih slika do beskonačnosti. U bilo kojoj fazi rada na fraktalu, možete se vratiti na bilo koju komponentu složen oblik i urediti njegov položaj i geometriju. Zabavno, pogotovo ako uzmete u obzir da je jedini alat koji vam je potreban za kreativnost preglednik. Ako ne razumijete princip rada s ovim rekurzivnim uređivačem vektora, savjetujemo vam da pogledate video na službenoj web stranici projekta, koji detaljno prikazuje cijeli proces stvaranja fraktala.
⇡ XaoS: fraktali za svaki ukus
Puno grafički urednik imaju ugrađene alate za kreiranje fraktalnih uzoraka. Međutim, ovi alati su obično sekundarni i ne dopuštaju vam izvođenje fino podešavanje generirani fraktalni uzorak. U onim slučajevima kada je potrebno izgraditi matematički točan fraktal, u pomoć će priskočiti XaoS cross-platform editor. Ovaj program omogućuje ne samo izgradnju samoslične slike, već i izvođenje raznih manipulacija s njom. Na primjer, u stvarnom vremenu možete "prošetati" fraktalom mijenjajući njegovu ljestvicu. Animirano kretanje duž fraktala može se spremiti kao XAF datoteka i zatim reproducirati u samom programu.
XaoS može učitati nasumični skup parametara, kao i koristiti različite filtere za naknadnu obradu slike - dodati efekt zamućenog pokreta, glatke oštre prijelaze između fraktalnih točaka, simulirati 3D sliku i tako dalje.
⇡ Fraktalni zumer: kompaktni fraktalni generator
U usporedbi s drugim generatorima slika fraktala, ima nekoliko prednosti. Prvo, vrlo je male veličine i ne zahtijeva instalaciju. Drugo, implementira mogućnost definiranja palete boja slike. Možete odabrati nijanse u RGB, CMYK, HVS i HSL modelima boja.
Također je vrlo zgodno koristiti opciju slučajnog odabira nijansi boja i funkciju invertiranja svih boja na slici. Za podešavanje boje postoji funkcija cikličkog nabrajanja nijansi - kada je uključen odgovarajući način rada, program animira sliku, ciklički mijenjajući boje na njoj.
Fractal Zoomer može vizualizirati 85 različitih fraktalnih funkcija, a formule su jasno prikazane u izborniku programa. U programu postoje filteri za naknadnu obradu slika, iako u malom broju. Svaki dodijeljeni filtar može se otkazati u bilo kojem trenutku.
⇡ Mandelbulb3D: 3D fraktalni uređivač
Kada se koristi izraz "fraktal", najčešće se misli na ravnu dvodimenzionalnu sliku. Međutim, fraktalna geometrija nadilazi 2D dimenziju. U prirodi možete pronaći i primjere ravnih fraktalnih oblika, recimo, geometrije munje, i trodimenzionalnih volumetrijske figure... Fraktalne površine mogu biti trodimenzionalne i jedna je od vrlo ilustrativnih ilustracija 3D fraktala u Svakidašnjica- glavica kupusa. Fraktali se vjerojatno najbolje vide u Romanescu, hibridu cvjetače i brokule.
Također možete jesti ovaj fraktal.
Program Mandelbulb3D može stvoriti trodimenzionalne objekte sličnog oblika. Kako bi dobili 3D površinu pomoću fraktalnog algoritma, autori ove aplikacije, Daniel White i Paul Nylander, pretvorili su Mandelbrotov skup u sferne koordinate. Program Mandelbulb3D koji su stvorili pravi je trodimenzionalni uređivač koji modelira fraktalne površine različitih oblika. Budući da često promatramo fraktalne uzorke u prirodi, umjetno stvoreni fraktalni trodimenzionalni objekt djeluje nevjerojatno realistično, pa čak i "živo".
Može nalikovati biljci, može nalikovati čudnoj životinji, planetu ili nečemu drugom. Ovaj učinak je poboljšan naprednim algoritmom renderiranja koji omogućuje dobivanje realističnih refleksija, izračunavanje prozirnosti i sjena, simulaciju učinka dubine polja itd. Mandelbulb3D ima ogroman broj postavki i opcija renderiranja. Možete kontrolirati nijanse izvora svjetlosti, odabrati pozadinu i razinu detalja modeliranog objekta.
Fraktalni uređivač Incendia podržava dvostruko anti-aliasing slike, sadrži biblioteku od pedeset različitih trodimenzionalnih fraktala i ima zaseban modul za uređivanje osnovnih oblika.
Aplikacija koristi fraktalne skripte, pomoću kojih možete samostalno opisati nove vrste fraktalnih struktura. Incendia ima uređivače tekstura i materijala, a mehanizam za renderiranje omogućuje korištenje volumetrijskih efekata magle i raznih shadera. Program implementira opciju spremanja međuspremnika tijekom dugotrajnog renderiranja, podržano je stvaranje animacije.
Incendia vam omogućuje izvoz vašeg fraktalnog modela u popularne 3D grafičke formate - OBJ i STL. Incendia uključuje mali uslužni program Geometrica - specijalni alat za konfiguriranje izvoza fraktalne površine u 3D model. Pomoću ovog uslužnog programa možete odrediti razlučivost 3D površine, odrediti broj fraktalnih iteracija. Izvezeni modeli mogu se koristiti u 3D projektima pri radu s 3D uređivačima kao što su Blender, 3ds max i drugi.
V U posljednje vrijeme rad na projektu Incendia donekle je zastao. Na ovaj trenutak autor traži sponzore koji će mu pomoći u razvoju programa.
Ako nemate dovoljno mašte da nacrtate prekrasan trodimenzionalni fraktal u ovom programu, to nije problem. Koristite biblioteku parametara koja se nalazi u mapi INCENDIA_EX \ parametri. S PAR datotekama možete brzo pronaći najneobičnije fraktalne oblike, uključujući i animirane.
⇡ Slušni: kako fraktali pjevaju
Obično ne govorimo o projektima na kojima samo radimo, ali u ovom slučaju moramo napraviti iznimku, ovo je vrlo neobična aplikacija. Projekt pod nazivom Aural izmislila je ista osoba kao Incendia. Istina, ovaj put program ne vizualizira fraktalni skup, već ga ozvučuje, pretvarajući ga u elektronsku glazbu. Ideja je vrlo zanimljiva, posebno s obzirom na neobična svojstva fraktala. Aural je audio uređivač koji generira melodije pomoću fraktalnih algoritama, odnosno zapravo je audio sintisajzer-sekvencer.
Slijed zvukova koji proizvodi ovaj program je neobičan i ... lijep. Može dobro doći za pisanje modernih ritmova i, mislimo, posebno je prikladan za stvaranje zvučnih zapisa za čuvare zaslona televizijskih i radijskih emisija, kao i pozadinske glazbene "petlje" za računalne igre. Ramiro još nije dao demo verziju svog programa, ali obećava da kada to učini, kako bi radio s Auralom, neće morati proučavati teoriju fraktala - samo se morate igrati s parametrima algoritma za generiranje niz bilješki. Slušajte kako zvuče fraktali itd.
Fraktali: glazbena stanka
Zapravo, fraktali mogu pomoći u pisanju glazbe čak i bez njih softver... Ali to može učiniti samo netko tko je istinski prožet idejom prirodnog sklada, a pritom se nije pretvorio u nesretnog "štrebera". Ima smisla uzeti primjer od glazbenika po imenu Jonathan Coulton, koji, između ostalog, piše skladbe za časopis Popular Science. I za razliku od drugih izvođača, Colton sva svoja djela objavljuje pod Creative Commons Attribution-Nekomercijalna licenca, koja (kada se koristi u nekomercijalne svrhe) omogućuje besplatno kopiranje, distribuciju, prijenos djela na druge, kao i njegovu modifikaciju (izrada izvedenih djela) kako biste ga prilagodili svojim zadacima.
Jonathan Colton, naravno, ima pjesmu o fraktalima.
⇡ Zaključak
U svemu što nas okružuje često vidimo kaos, ali zapravo to nije slučajnost, već idealan oblik, koji nam fraktali pomažu razabrati. Priroda je najbolji arhitekt, idealan graditelj i inženjer. Posložen je vrlo logično, a ako negdje ne vidimo uzorak, to znači da ga trebamo tražiti u drugom razmjeru. Ljudi to sve bolje shvaćaju, pokušavajući na mnogo načina oponašati prirodne oblike. Inženjeri dizajniraju školjke zvučnika, stvaraju antene s geometrijom snježnih pahuljica i tako dalje. Sigurni smo da fraktali još uvijek kriju mnoge tajne, a mnoge od njih ljudi tek trebaju otkriti.
Art terapija pomaže osobi da otkrije svoj potencijal, razvije se Kreativne vještine, krenuti putem duhovnog rasta i preobrazbe.
U stvarnom životu to daje plodove: umjetničkom terapijom osoba svoj život ispunjava posebnim značenjem, pa se problemi, gubeći na značaju, pretvaraju u zadatke koji se rješavaju i povlače. Prostor čovjekovog života ispunjen je posebnim osjećajem sklada, ljepote i smisla... Smisao života u svakom sljedećem trenutku...
Art terapija ima nebrojeno mnogo smjerova... Danas vas želim upoznati s energetskim fraktalnim crtanjem. Fraktalni crtež pomaže otkriti i ostvariti skriveni potencijal osobe koja dotiče ovu metodu.
Vrlo jednostavno i u isto vrijeme pristupačan način samoostvarenje se temelji na pouzdanoj znanstvenoj osnovi (ako želite, možete se obratiti na pretragu). Crtanje pomaže u uključenju i racionalnog i intuitivnog u isto vrijeme.
Ovo nevjerojatno kreativna metoda omogućuje nam da dotaknemo nešto vrlo važno u nama, što nema formu ni glas, ali tako živo reagira na sve u našem životu – na odluke koje smo napravili, na naše želje, na kvalitetu našeg života.
Fraktalni crtež omogućuje korištenje dubokih mehanizama nesvjesnog, poboljšanje i jačanje zdravlja, usklađivanje situacija, rješavanje međuljudskih i kreativnih problema.
Glavni zadatak osobe je da kroz crtež izrazi ono što osjeća. Važno je izraziti te osjećaje i senzacije prema određenim jednostavnim pravilima.
Crtanje će nam puno reći. Događa se da nema takvih riječi kojima bi se izrazilo ono najnutarnjije, unutarnje. Riječi se zamjenjuju oblikom linija, bojom, potezima, strukturom slike...
Svladavanjem metode fraktalnog crtanja povećava se duhovna komponenta osobe, što mu zauzvrat omogućuje da otkrije i razvije svoj kreativni potencijal.
Fraktali su simbol najbolje verzije sebe!
Potrebni alati:
1. 2-3 seta (različitih proizvođača) olovaka u boji, gel olovaka, flomastera, linera.
2. List papira A4
3. Gel olovka crna (i samo crna!)
Kako crtati:
1. List je postavljen vodoravno.
2. S crnom gel olovkom postavite točku na bilo koji dio lista.
3. Zatvaramo oči. Koncentrirajte se 5-10 sekundi. Crtajte kontinuiranu liniju 45-60 sekundi, pokušavajući ispuniti list.
4. Linija bi trebala biti jasna i neprekidna.
5. Brzina kretanja ruke vam je normalna, srednja, ugodna.
6. Napravite razne pokrete - s vodoravnim i okomitim sjecištima, okruglim, ovalnim, bilo kojim drugim konturama.
7. Pokret bi trebao dolaziti iz lakta. Četka se slobodno kreće. Vjerujte svom unutarnjem glasu.
8. Važno je ostaviti bijelu pozadinu slike savršeno bijelom (bez mrlja, mrlja, natpisa).
9. Kada krenete slikati preko probnog crteža, važno je uzeti olovke, olovke, flomastere od zatvorenih očiju, pažljivo slušajući unutarnji osjećaj.
Obojite same stanice s otvorene oči... Ne više od 12 ćelija može se obojati jednom bojom. Ako vam se boja olovke ne sviđa, važno je da njome obojite barem jednu ćeliju, a zatim uzmete drugu.
10. Unaprijed stavite olovke, olovke i markere u prikladnu duboku posudu.
11. Nakon što nacrtate fraktalni crtež, morate ga dešifrirati. Možete to učiniti sami. Radi praktičnosti, možete.
12. Tek sada - nakon izrade probnog fraktalnog uzorka, možete početi stvarati niz od 21 uzorka. Za sebe sam kreirao takvu seriju na svoj zahtjev. Bio je povezan sa samospoznajom.
Dok sam radio na crtežu, imao sam na umu svoj zahtjev.
Ova zen praksa je dala rezultate. Otvorili su mi se novi horizonti (stvarno, praktično i razumljivo “Odakle početi”). Pojavile su se nove prilike. Nova poznanstva. Nove veze. Novo promotivno okruženje. Mnogo toga je ušlo u moj život zahvaljujući praksi fraktalnog slikanja.
Morate stvoriti 21 crtež koristeći istu tehnologiju "Fractal Drawing". Svaki dan ili svaki drugi dan. Jedan po jedan uzorak. Preporučljivo je raditi na izradi crteža najmanje sat vremena.
Majstorski tečaj za mlađe školarce "Obojeni komadi" (fraktalni crtež).
Autor: Ogon'kova Anna Sergeevna, odgojiteljica općinske proračunske obrazovne ustanove „Internat za djecu s teškoćama u razvoju br. 2 Elektrostal, Moskovska regija", Elektrostal.
Majstorska klasa je dizajnirana za rad s djecom bilo koje dobne kategorije. Može se koristiti s učiteljima ili roditeljima. Nakon što ste dovršili crtež u ovoj tehnici, možete savršeno ukrasiti unutrašnjost kuće ili dati sliku prijateljima. Radeći na ovoj majstorskoj klasi, dobit ćete puno zadovoljstva i doživjeti kreativni uzlet!
Ugovoreni sastanak: izrada umjetničkog djela u tehnici "Fraktalno crtanje".
Zadaci:
upoznavanje sa nova tehnologija crtanje;
razvoj samoizražavanja i samospoznaje kroz kreativnost;
opuštanje i oslobađanje emocionalnog stresa;
stvaranje kolektivnih ili individualnih obrta;
korištenje likovno - terapijskih tehnika za korekciju ponašanja djece s teškoćama u razvoju;
razvoj finih motoričkih sposobnosti.
Fraktalni crtež.
Autori metode su T. 3. Poluyakhtova i AE Komov. Njihova metoda fraktalnog crtanja stara je preko 20 godina. Za to vrijeme tisuće ljudi upoznalo se s metodom.
Prema knjizi autora:
“Posebno je značajan bio dan 14. srpnja 1991. Do tada se već oblikovala tehnologija fraktalnog crtanja kao testa.
Kako bi ga dovršili, svi slušatelji su zamoljeni da uzmu identične listove Whatman papira (A4 formata).
Kako bi se isključio utjecaj svijesti na crtež, u trenutku izvođenja svi testirani su zamoljeni da zatvore oči. I, ne skidajući ruke s lista, 45-60 sekundi pomičite kemijsku olovku preko lista, pokušavajući popuniti većinu.
Satu je prisustvovalo četrdeset i devet osoba – odraslih i djece. Najstariji slušatelj seminara imao je 56 godina, najmlađi - 6 godina.
Proces crtanja zatvorenih očiju bio je poput nevjerojatnog sakramenta. Bilo je zanimljivo gledati kako se sve odvija.
Napokon je isteklo dodijeljenih 60 sekundi. Svi su otvorili oči, pogledali svoje crteže, a dvoranom je odjeknuo prijateljski smijeh. Od tada se ovakva reakcija ispitanika ponavlja već deset godina.
Ono što je bilo prikazano na svakom listu papira zaista je izazvalo smijeh. Svi su imali različite uzorke: neke su imale pravokutne ćelije, druge trokutaste, neke su imale glatke linije, a neke su imale kutne, ponekad čvrste petlje i krugove.
Zatim su slušatelji zamoljeni da obojaju nastali crtež. Kako bismo isključili svjestan utjecaj na izbor boje, dogovorili smo se: uzimati olovke i flomastere samo zatvorenih očiju.
Kada su svi crteži bili gotovi, sudionici radionice vidjeli su čitavu galeriju ljudskih stanja."
Metoda se temelji na principu fraktala i fraktalnosti kao takve. Crtež se ovdje smatra nastavkom osobe, njezinim malim dijelom, projekcijom. I ovaj mali dio odražava veliku cjelinu – osobu. Gledajući sliku, možete dijagnosticirati stanje njenog autora.
Za rad vam je potrebno:
set olovaka u boji, flomastera i olovaka u što više nijansi boja; list Whatman formata A4; kemijska olovka u crnoj ili tamno plavoj boji.
Parabola "olovka"
Prije nego što je olovku stavio u kutiju, majstor olovke ju je stavio na stranu.
“Postoji pet stvari koje trebate znati”, rekao je olovci, “prije nego što te pošaljem u svijet. Uvijek ih zapamtite i nikada ne zaboravite, i tada ćete postati najbolja olovka koja možete biti.
Prvo, možete učiniti mnoge velike stvari, ali samo ako dopustite Nekome da vas drži u svojoj ruci.
Drugo, s vremena na vrijeme ćete doživjeti bolno oštrenje, ali bit će potrebno postati bolja olovka.
Treće, moći ćete ispraviti pogreške koje napravite.
Četvrto, vaš najvažniji dio uvijek će biti u vama.
I peto: bez obzira na kojoj se površini koristiš, uvijek moraš ostaviti svoj trag. Bez obzira na vaše stanje, morate nastaviti pisati.
Pencil je shvatio i obećao da će to zapamtiti. Smješten je u kutiju s pozivom u srcu.
Korak po korak proces raditi:
1. Prikupljamo potrebni materijali za posao.
2. Postavite plahtu vodoravno ispred sebe. Postavite kuglicu olovke bilo gdje na listu. Zatvarajući oči, crtamo kontinuiranu liniju, pokušavajući popuniti što je moguće više lista, 45 - 60 sekundi.
3. Zatvarajući oči, odaberite olovku. Prilikom slikanja zapamtite da se susjedne ćelije odvojene linijom ne mogu ispuniti istom bojom. Ako se stanice dodiruju u točki i nalaze se dijagonalno, onda možete. Jedna boja se može koristiti za slikanje jedne ćelije ili više ćelija.
4. Zatvarajući oči, odaberite sljedeću olovku. Obojite nesusjedne stanice.
5. Zatvorite oči, odaberite sljedeću olovku. Obojite nesusjedne stanice.
6. Naša slika "Šareni komadi" je spremna.
7. Ovaj crtež ne samo da će pomoći u ublažavanju emocionalnog stresa tijekom kreativnosti, omogućit će dijagnosticiranje emocionalnog stanja (Dodatak 1), već će također ukrasiti interijer. Vaša slika je jedinstvena!
DODATAK 1.
DEKODIRANJE FRAKTALNE SLIKE
1. ANALIZA I OPIS INFORMACIJA SADRŽANIH NA FRAKTALNOJ SLICI POČINJE CRTAMA.
Jasno povučena linija - samouvjereni, čvrsti karakter, predanost i neovisnost, točnost, marljivost, predanost.
Pritisak pri povlačenju crte nije svugdje isti – najčešće jest kreativna osoba s fleksibilnim karakterom, sanjar, ne uvijek stabilne emocije, ponekad se očituje sumnja u sebe.
Slabo povučene linije - bolno stanje, kompleksi, primjetna sumnja u sebe.
Oštre, kutno povučene linije - emocionalni stres, stresno stanje.
Linije s glatkim prijelazima - skladno, stabilno stanje.
Raspored linija u koncentričnom krugu, kružno ponavljanje na crtežu - sklonost opsesivnim stanjima, neurozama.
2. VELIČINA I KONFIGURACIJA UZORAKA
Mali crtež (ne više od 1/3 površine lista) - s jedne strane, kompleksi i nisko samopoštovanje, s druge, sklonost egocentričnosti.
Prosječna veličina (oko 2/3 površine lista) i ovalni obod crteža najčešće su pokazatelj uravnoteženog karaktera.
Veliki crtež (mnogo više od 2/3 površine lista) s linijama koje se protežu izvan lista je nestabilno emocionalno stanje, u nekim slučajevima nemogućnost koncentracije. Pravokutni oblik perimetra uzorka je jednostavan, često složen.
Konfiguracija slike s bizarno izraženim "repovima" duž perimetra je svijetla individualnost, originalnost, u nekim slučajevima nestabilnost karaktera.
3. STANICE. KONFIGURACIJA I DIMENZIJE.
Skladna kombinacija veličine stanica na cijeloj površini slike (1/3 velika, 1/3 srednja, 1/3 mala) - govori o samopouzdanju, predanosti, stabilnosti.
Veliki broj velikih stanica je ljubazna, otvorena priroda.
Veliki broj srednjih stanica - marljivost, točnost, pedantnost, analitičke vještine, sklonost egzaktnim znanostima.
Veliki broj malih stanica - kompleksi, želja za detaljima, u nekim slučajevima sumnja u sebe, ali uvijek urednost i marljivost.
Glatke, zaobljene ćelije s malim brojem geometrijskih oblika - razuman miran karakter, sklonost kreativnosti.
Veliki broj geometrijskih oblika - izražena sklonost analizi, skepticizam u procjenama, izravan autoritarni karakter.
Oštro ocrtane, kutne, neravne stanice - emocionalna nestabilnost, iritacija, stres.
4. MJESKE
Male crne (točkaste mrlje) stanice - prisutnost kvalitete "formatora" događaja (o čemu osoba razmišlja, onda se događa).
Svaka mala crna točka je dokaz početka promjene događaja u sadašnjem vremenu.
Primjetna količina srednjih mrlja ili velika crna točka - glad za energijom (neželjeni rad, rad u praznom hodu).
Velika lokalizirana tamna mrlja akutni je osobni problem.
5. KARAKTERISTIČNI AKCENTI U BOJI
Velike crvene stanice - sklonost opsesivnim stanjima, anksioznost.
Primjetna količina crvenih mrlja srednje veličine - napetost, nestalne emocije.
Jedna ili više velikih smeđih stanica su dugogodišnji problemi međuljudskih odnosa.
Veliki broj nijansi zelene je prirodna sposobnost tijela da se samoregulira.
Jedna ili više velikih ljubičastih stanica - anksioznost, agresija, akutni stres.
6. BOJA
Čista, bez mrlja i mrlja, bijela pozadina slike - visoka koncentracija pažnje, marljivost, točnost.
Slučajno ili namjerno, bijele stanice koje nisu obojane ukazuju na značajan nedostatak potražnje za prirodnim značajkama.
- Limun žuta - boja učitelja, učitelja.
- Piletina-žuta - boja "ponavljača", prijenosnika informacija, komentatora.
- Zelena boja svih nijansi - boja zdrave energije, optimalna sposobnost tjelesnog otpora i samoizlječenja, sposobnost ozdravljenja.
Plava je boja mirne energije.
Plava i tamnoplava su boje hladne, ravnodušne energije.
Lila je boja snažne energije.
Ljubičasta je boja šikljajuće energije.
Lila je boja moćne, nekontrolirane energije.
Ružičasta je boja tople energije.
Grimizna, grimizna - boja koja signalizira prisutnost opasnosti, boja alarma.
Gusta nijansa crvene, tamnocrvene, trešnje - boja snage, agresivne energije.
- Narančasta je boja vitalne, seksualne energije.
- Svijetle nijanse (zlatna, bež, oker, pijesak) smeđa - boja čiste energije, svete energije.
- Smeđa je boja koja određuje prisutnost nevolje, dubokih osjećaja, depresije (u kombinaciji s drugim tamnim bojama i nijansama).
- Tamno smeđa - boja koja određuje prisutnost nevolja, dubokih osjećaja, depresije (u kombinaciji s drugim tamnim bojama i nijansama).
- Siva boja- boja koja određuje prisutnost nestabilnih energija, u kombinaciji s drugim tamnim bojama - granično stanje. U malim količinama ova boja znači brzu promjenu događaja koji se odvijaju.
- Crna boja - boja energetske rupe, vakuuma, praznine, energetskog zamračenja.
Fraktali su strukture koje proizlaze iz jednadžbi teorije kaosa i sadrže vlastite reducirane kopije (samosličnost). Odnosno, ako ga podijelite na dijelove, dobit ćete gotovo identičnu minijaturu.
Ljepota fraktala je u tome što njihovu "beskonačnu" složenost čine relativno jednostavne linije. Ponavljanje ovih stvara lijepe i jedinstvene uzorke.
Časopis Wired sastavio je najimpresivnije fraktale pronađene na našem planetu
Slane ravnice
Salt Flats u zaljevu San Francisco koriste se za komercijalnu proizvodnju soli više od jednog stoljeća. Ispod je fotografija najveće slane ravnice na svijetu, Uyuni Salt Flats, koja se nalazi u južnoj Boliviji. Sol crta iznenađujuće dosljedan, ali nasumičan uzorak, obilježje fraktala.
Amoniti
Prije 65 milijuna godina, amoniti su bili morski glavonošci koji su gradili spiralne školjke s komorama. Zidovi između komora, zvani šavovi, složene su rekurzivne krivulje. Stephen Jay Gould naveo je složenost šavova amonita kao primjer da ne postoji evolucijski sve složeniji uzorak, te da smo mi samo "veličanstvena nesreća" sami u svemiru. Amonite školjke također pokazuju logaritamsku spiralu koja se često pojavljuje u prirodi.
Amoniti
Amoniti su bili inspiracija za izgradnju stubišta katedrale u Barceloni, Španjolska.
Planine
Planine
Planine su rezultat tektonskih procesa koji potiskuju zemljinu koru prema gore. Rezultat je fraktal.
Paprati
Paprati su tipičan primjer samoponavljajućeg reda i njihov se uzorak može matematički reproducirati u bilo kojoj mjeri. Matematička formula koja opisuje paprati, nazvana po Michaelu Barnsleyu, bila je jedna od prvih koja je naznačila da, iako je kaos nepredvidljiv, ipak slijedi određena pravila temeljena na nelinearnim ponavljajućim jednadžbama. Drugim riječima, slučajni brojevi mnogo puta reproducirani koristeći formulu Barnsley Fern, u konačnici predstavljaju jedinstveni objekt u obliku paprati.
Oblaci
Ove stratusne oblake snimio je satelit Aqua iznad južnog Atlantika zapadno od afričke obale. Rekurzivni uzorak je prekinut nizom dijagonalnih udubljenja. Prema NASA-inom Earth Observatoriju, tako jasna granica unutar oblaka prilično je rijetka. Znanstvenici to tek trebaju objasniti.
Oblaci
Dolje je prikazano 320 km vrtložnih oblaka, vjerojatno najduži rekurzivni uzorak ikad dokumentiran, tvrdi NASA. Zovu se i von Karmanove vrtložne ulice, po inženjeru i aeronautičaru. Oblačne ulice nastaju kada niske oblake probije neki predmet, kao što su krila aviona.
lišće
Začudo, krčenje šuma uz autocestu također je fraktal. Ispod je fotografija jedne od "ćelavih" regija Amazone u državi Rondonia, zapadni Brazil.
