• Philip Kirkorov umire, razlog za vijest, što se dogodilo Kirkorovu
• Sadalsky reagirao na grubost Maksakove Glumac i narodni bloger Stanislav Sadalsky progovorio je o sudbini odbjegle operne pjevačice Marije Maksakove
• Kako živi Lera iz doma 2?
• Yana Rudkovskaya gubi težinu na ekstremnoj dijeti Kefir dijeta Yana Rudkovskaya
• Promijenite svoju profesiju radikalno
• Alena Kravets: fotografije prije i poslije plastične operacije Muž Alene Kravets tko je on
• "Modeliranje Lorenzovog atraktora
• Teorija derivacija funkcija
• Logaritam modula analitičke funkcije
• Uvjet ekvivalencije za parove sila

Iz Wikipedije, slobodne enciklopedije

Definicija i svojstva

Kompleksna nula nema logaritam jer kompleksni eksponent ne poprima nultu vrijednost. različit od nule $z$ može se prikazati u eksponencijalnom obliku:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Gdje $k$- proizvoljni cijeli broj

Zatim $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ nalazi se prema formuli:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash lijevo(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash desno)$

Ovdje $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$ je pravi logaritam. Iz ovoga slijedi:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash točke)$

Primjeri složenih logaritamskih vrijednosti

Dajemo glavnu vrijednost logaritma ( $\backslash ln$) i njegov opći izraz ( $\backslash mathrm(Ln)$) za neke argumente:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Treba biti oprezan pri pretvaranju složenih logaritama, uzimajući u obzir da su višeznačni, pa stoga jednakost ovih izraza ne proizlazi iz jednakosti logaritama bilo kojeg izraza. Primjer pogrešna rasuđivanje:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$ je očita greška.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma s lijeve strane, a vrijednost iz donje grane s desne strane ( $k=-1$). Razlog greške je nepažljivo korištenje nekretnine $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, što, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačni skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Kompleksna logaritamska funkcija i Riemannova ploha

Budući da je jednostavno povezana, Riemannova ploha logaritma je univerzalno pokrivanje za kompleksnu ravninu bez točke $0$.

Analitički nastavak

Logaritam kompleksnog broja također se može definirati kao analitički nastavak realnog logaritma na cijelu kompleksnu ravninu. Neka krivulja $\backslash Gama$ počinje od jedinice, ne prolazi kroz nulu i ne prelazi negativni dio realne osi. Zatim glavna vrijednost logaritma u krajnjoj točki $w$ iskrivljena $\backslash Gama$ može se odrediti formulom:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash preko\; u)$

Ako $\backslash Gama$- jednostavna krivulja (bez samosjecišta), tada se za brojeve koji leže na njoj bez straha mogu primijeniti logaritamski identiteti, na primjer:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash za\; sve\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash točka\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Glavna grana logaritamske funkcije je kontinuirana i diferencijabilna na cijeloj kompleksnoj ravnini, osim na negativnom dijelu realne osi, na kojem imaginarni dio skače na $2\backslash pi$. Ali ta činjenica je posljedica umjetnog ograničenja imaginarnog dijela glavne vrijednosti intervalom $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Ako promatramo sve grane funkcije, tada se kontinuitet odvija u svim točkama osim u nuli, gdje funkcija nije definirana. Ako dopustimo krivulju $\backslash Gama$ prijeći negativni dio realne osi, tada prvo takvo sjecište prenosi rezultat s grane glavne vrijednosti na susjednu granu, a svako sljedeće sjecište uzrokuje sličan pomak po granama logaritamske funkcije (vidi sliku).

Iz formule analitičkog nastavka slijedi da je na bilo kojoj grani logaritma:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash preko\; z)$

Za bilo koji krug $S$ zatvarajući točku $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash preko\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integral se uzima u pozitivnom smjeru (suprotno od kazaljke na satu). Ovaj identitet je temelj teorije ostataka.

Također se može definirati analitički nastavak kompleksnog logaritma koristeći niz poznat za pravi slučaj:

{{{2}}}

(1. red)

{{{2}}}

(Red 2)

Međutim, iz oblika ovih nizova proizlazi da je na jedinici zbroj niza jednak nuli, odnosno da se niz odnosi samo na glavnu granu višeznačne funkcije kompleksnog logaritma. Radijus konvergencije oba niza je 1.

Odnos s inverznim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

$\backslash imeoperatora(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash imeoperatora(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash imeoperatora(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash imeoperatora(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash imeoperatora(Arsh)z\; =\; \backslash imeoperatora(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- inverzni hiperbolički sinus $\backslash imeoperatora(Arch)z=\backslash imeoperatora(Ln)\; \backslash lijevo(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash desno)$- inverzni hiperbolički kosinus $\backslash imeoperatora(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash imeoperatora(Ln)\backslash lijevo(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash desno)$- inverzna hiperbolička tangensa $\backslash imeoperatora(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash imeoperatora(Ln)\backslash lijevo(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash desno)$- inverzni hiperbolički kotangens

Povijesni ocrt

Prve pokušaje proširenja logaritma na kompleksne brojeve učinili su Leibniz i Johann Bernoulli na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što sam pojam logaritma još nije bio jasan. definiran. Rasprava o ovoj temi najprije se vodila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. stoljeća između d'Alemberta i Eulera. Bernoulli i d'Alembert smatrali su da je potrebno definirati $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, dok je Leibniz tvrdio da je logaritam negativnog broja imaginaran broj. Potpunu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747.-1751. i u biti se ne razlikuje od moderne. Iako se polemika nastavila (d'Alembert je branio svoje stajalište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji iu drugim djelima), Eulerov je pristup do kraja 18. stoljeća bio općeprihvaćen.

Napišite recenziju na članak "Složeni logaritam"

Književnost

Teorija logaritama

• Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 str.
• Svešnjikov A. G., Tihonov A. N. Teorija funkcija kompleksne varijable. - M .: Nauka, 1967. - 304 str.
• Fikhtengolts G. M. Tečaj diferencijalnog i integralnog računa. - ur. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 str.

Povijest logaritama

• Matematika 18. stoljeća // / Uredio A.P. Yushkevich, u tri toma. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ur.). Matematika 19. stoljeća. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Bilješke

1. Logaritamska funkcija. // . - M .: Sovjetska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , Svezak II, str. 520-522..
3. , sa. 623..
4. , sa. 92-94.
5. , sa. 45-46, 99-100.
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvantna biblioteka, broj 21).
7. , Svezak II, str. 522-526..
8. , sa. 624..
9. , sa. 325-328.
10. Rybnikov K. A. Povijest matematike. U dva sveska. - M .: Ed. Moskovsko državno sveučilište, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , sa. 122-123.
12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. - 416 str.

Izvadak koji karakterizira kompleksni logaritam

Bilo je očito da je taj snažan, neobičan čovjek bio pod neodoljivim utjecajem koji je na njega izvršila ova crna, graciozna djevojka puna ljubavi.
Rostov je primijetio nešto novo između Dolohova i Sonje; ali nije za sebe definirao o kakvoj se novoj vezi radi. "Svi su oni tamo zaljubljeni u nekoga", pomislio je o Sonyi i Natashi. Ali više nije bio kao prije, vješto sa Sonyom i Dolokhovim, i počeo je rjeđe bivati ​​kod kuće.
Od jeseni 1806. sve se opet počelo govoriti o ratu s Napoleonom s još većom žestinom nego prošle godine. Nije imenovan samo skup novaka, već i još 9 ratnika od tisuću. Posvuda su proklinjali Bonapartea anatemom, au Moskvi se samo govorilo o predstojećem ratu. Za obitelj Rostov sav interes ovih priprema za rat sastojao se samo u činjenici da Nikoluška nikada ne bi pristao ostati u Moskvi i čekao je samo kraj Denisovljevog odmora kako bi nakon praznika otišao s njim u pukovniju. Skori odlazak ne samo da ga nije spriječio u zabavi, nego ga je na to i potaknuo. Većinu vremena provodio je izvan kuće, na večerama, zabavama i balovima.

XI
Treći dan Božića Nikolaj je večerao kod kuće, što mu se u posljednje vrijeme rijetko događalo. Bila je to službena oproštajna večera, jer su on i Denisov nakon Bogojavljenja odlazili u puk. Večeralo je dvadesetak ljudi, uključujući Dolokhova i Denisova.
Nikada se u kući Rostovih ljubavni zrak, ljubavna atmosfera nisu osjećali tolikom snagom kao u ove dane praznika. “Uhvatite trenutke sreće, prisilite se da volite, zaljubite se sami! Samo ovo jedno je stvarno u svijetu - sve ostalo je besmislica. I to je jedino čime se ovdje bavimo”, govorila je ova atmosfera. Nikolaj, kao i uvijek, nakon što je namučio dva para konja i čak ni tada nije imao vremena da obiđe sva mjesta gdje je trebao biti i gdje su ga zvali, stigao je kući neposredno prije večere. Čim je ušao, primijetio je i osjetio napetost ljubavne atmosfere u kući, ali osim toga primijetio je čudnu zbrku koja vlada među nekim članovima društva. Posebno su bili uzbuđeni Sonya, Dolokhov, stara grofica i mala Natasha. Nikolaj je shvatio da se nešto mora dogoditi prije večere između Sonje i Dolohova, i sa svojom karakterističnom nježnošću srca, bio je vrlo nježan i oprezan, za vrijeme večere, u odnosima s oboma. Iste večeri trećeg dana praznika trebao je biti jedan od onih balova kod Yogela (učitelja plesa) koje je on priređivao na praznicima za sve svoje učenike.
- Nikolenka, ideš li u Yogel? Molim te, idi - rekla mu je Nataša - posebno te je zamolio, a Vasilij Dmitrič (to je bio Denisov) ide.
“Tamo gdje ne idem po nalogu gospodina Afinija!” rekao je Denisov, koji se u šali smjestio u kuću Rostovih na nogu viteza Nataše, “pas de chale [ples sa šalom] je spreman za ples .
- Ako ja mogu! Obećao sam Arkharovima, imaju večer - rekao je Nikolaj.
- A ti?... - okrenuo se Dolokhovu. I čim sam ovo pitao, primijetio sam da nisam trebao ovo pitati.
"Da, možda ..." Dolokhov je hladno i ljutito odgovorio, pogledavši Sonyju i, namršteno, istim pogledom kojim je gledao Pierrea na klupskoj večeri, ponovno je pogledao Nikolaja.
"Ima nešto", pomislio je Nikolaj, a tu je pretpostavku još više potvrdila činjenica da je Dolokhov otišao odmah nakon večere. Nazvao je Natashu i pitao što je to?
"Tražila sam te", rekla je Natasha istrčavši mu. “Rekla sam da još uvijek ne želiš vjerovati,” rekla je trijumfalno, “zaprosio je Sonyu.
Bez obzira na to koliko je malo Nikolaj Sonya radio u to vrijeme, nešto kao da je krenulo u njemu kad je ovo čuo. Dolokhov je bio pristojan iu nekim aspektima briljantan par za siroče Sonya bez miraza. Sa stajališta stare grofice i društva, bilo ga je nemoguće odbiti. I stoga je prvi Nikolajev osjećaj, kad je to čuo, bila gorčina prema Sonji. Spremao se reći: "I dobro je, naravno, morate zaboraviti obećanja iz djetinjstva i prihvatiti ponudu"; ali još nije stigao reći...
- Možeš li zamisliti! odbila je, apsolutno odbila! Natasha je progovorila. "Rekla je da voli drugog", dodala je nakon stanke.
"Da, moja Sonya nije mogla drugačije!" pomisli Nicholas.
- Koliko god ju je mama molila, ona je odbijala, a znam da se neće promijeniti ako je nešto rekla...
- A mama ju je pitala! prijekorno će Nikolaj.
"Da", rekla je Natasha. “Znaš, Nikolenka, nemoj se ljutiti; ali znam da je nećeš oženiti. Znam, Bog zna zašto, znam sigurno, nećeš se udati.
"Pa, vi to uopće ne znate", reče Nikolaj; Ali moram razgovarati s njom. Kakav šarm, ova Sonya! dodao je smiješeći se.
- To je takva čar! Poslati ću ti. - I Natasha je, poljubivši brata, pobjegla.
Minutu kasnije ušla je Sonya, prestrašena, zbunjena i kriva. Nicholas joj je prišao i poljubio joj ruku. Bilo je to prvi put da su na ovom posjetu razgovarali oči u oči i o svojoj ljubavi.
“Sophie,” rekao je isprva bojažljivo, a zatim sve hrabrije, “ako želiš odbiti ne samo briljantnu, unosnu zabavu; ali on je dobar, plemenit čovjek... on je moj prijatelj...
Sonya ga je prekinula.
"Već sam odbila", rekla je žurno.
- Ako odbiješ za mene, onda se bojim da na meni ...
Sonya ga je ponovno prekinula. Pogledala ga je molećivim, uplašenim očima.
"Nicolas, nemoj mi to govoriti", rekla je.
- Ne, moram. Možda je to arogancija s moje strane, ali bolje je reći. Ako odbiješ za mene, onda ti moram reći cijelu istinu. Volim te, mislim, više od svih ...
„Meni je to dovoljno“, rekla je Sonya pocrvenevši.
- Ne, ali zaljubio sam se tisuću puta i zaljubljivat ću se i dalje, iako ni prema kome nemam takav osjećaj prijateljstva, povjerenja, ljubavi kao prema tebi. Onda sam mlad. Maman ovo ne želi. Pa, samo, ne obećavam ništa. I molim vas da razmislite o Dolokhovljevom prijedlogu,” rekao je, s mukom izgovarajući ime svog prijatelja.
- Nemoj mi to govoriti. Ne želim ništa. Volim te kao brata, i uvijek ću te voljeti, i ništa drugo mi ne treba.
- Ti si anđeo, ne podnosim te, ali se samo bojim da te prevarim. Nicholas joj ponovno poljubi ruku.

Iogel je imao najsmješnija muda u Moskvi. To su rekle majke, gledajući svoje adolescente, [djevojčice] kako rade svoje tek naučene korake; ovo su rekli adolescenti i sami adolescenti, [djevojčice i dječaci] plešući dok ne padnu; te odrasle djevojke i mladi ljudi koji su dolazili na ove balove s idejom da im se snishode i da u njima pronađu najbolju zabavu. Iste su godine na tim balovima sklopljena dva braka. Dvije lijepe princeze Gorčakovljeve našle su udvarače i udale se, a sve su više puštale ove balove u slavu. Ono što je bilo posebno na tim balovima bilo je to što nije bilo domaćina i domaćice: bio je tu, kao paperje, klanjao se po pravilima umjetnosti, dobroćudni Yogel, koji je od svih svojih gostiju primao karte za satove; bilo je to što su na te balove još uvijek dolazili samo oni koji su željeli plesati i zabaviti se, jer to žele djevojčice od 13 i 14 godina koje prvi put oblače duge haljine. Sve su, uz rijetke iznimke, bile ili izgledale lijepe: sve su se tako oduševljeno smiješile i oči su im tako blistale. Ponekad su najbolji učenici plesali čak i pas de chale, od kojih je najbolja bila Natasha, istaknuta svojom gracioznošću; ali na ovom, posljednjem balu, plesali su se samo ecossaises, anglaises i mazurka koja je tek ulazila u modu. Dvoranu je Yogel odveo u kuću Bezukhova, a bal je, kako su svi rekli, bio veliki uspjeh. Bilo je mnogo lijepih djevojaka, a rostovske mlade dame bile su među najboljima. Obojica su bili posebno sretni i veseli. Te je večeri Sonya, ponosna na Dolokhovljev prijedlog, svoje odbijanje i objašnjenje s Nikolajem, još uvijek kružila kod kuće, ne dopuštajući djevojci da počešlja svoje pletenice, a sada je blistala od naglog veselja.
Nataša, ništa manje ponosna što je prvi put u dugoj haljini i to na pravom balu, bila je još sretnija. Obje su bile u bijelim haljinama od muslina s ružičastim vrpcama.
Nataša se zaljubila čim je ušla na bal. Nije bila zaljubljena ni u koga posebno, ali je bila zaljubljena u svakoga. U onom koga je gledala u trenutku kada je gledala, bila je zaljubljena u njega.
- Oh, kako dobro! ponavljala je pritrčavši Sonji.
Nikolaj i Denisov hodali su hodnicima, nježno i pokroviteljski gledajući u plesače.
- Kako je slatka, bit će - rekao je Denisov.
- WHO?
"Gospodine Athena Natasha", odgovorio je Denisov.
“A kako ona pleše, kakva g"acija! - nakon stanke, opet je rekao.
- O kome pričaš?
"O tvojoj sestri", viknuo je Denisov ljutito.
Rostov se nasmijao.
– Mon cher comte; vous etes l "un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez," reče mali Yogel, prilazeći Nikolaju. "Voyez combien de jolies demoiselles. [Dragi grofe, vi ste jedan od mojih najboljih učenika. Morate plesati. Pogledajte kako mnogo lijepe djevojke!] - S istim se zahtjevom obratio Denisovu, također svom bivšem učeniku.
- Non, mon cher, je fe "ai tapisse" tj. [Ne, draga moja, ja ću sjediti uza zid,] rekao je Denisov. "Zar se ne sjećaš kako sam loše koristio tvoje lekcije?"
- O ne! – žurno ga tješeći reče Yogel. - Samo si bio nepažljiv, ali si imao sposobnost, da, imao si sposobnost.
Zasvirala je novouvedena mazurka; Nikolaj nije mogao odbiti Yogela i pozvao je Sonyu. Denisov je sjeo do starica i naslonio se na sablju, lupkao nogama, pričao nešto veselo i nasmijavao starice, gledajući rasplesanu mladež. Yogel je u prvom paru plesao s Natashom, svojim ponosom i najboljom učenicom. Nježno, nježno mičući stopalima u cipelama, Yogel je prvi preletio hodnik s Natashom, koja je bojažljivo, ali marljivo koračala. Denisov nije skidao pogled s nje i kuckao je sabljom po vremenu, s izrazom koji je jasno govorio da on sam ne pleše samo zato što ne želi, a ne zato što ne može. U sredini figure dozvao je Rostova koji je tuda prolazio.
"To uopće nije to", rekao je. - Je li ovo poljska mazu "ka? I dobro pleše. " Znajući da je Denisov čak u Poljskoj poznat po svojoj vještini plesanja poljske mazurke, Nikolaj je dotrčao do Nataše:
- Samo naprijed, izaberi Denisova. Evo je pleše! Čudo! - On je rekao.
Kad je opet došao red na Natašu, ona je ustala i brzo, bojažljivo mašnući po cipelama, otrčala sama kroz hodnik do kuta gdje je sjedio Denisov. Vidjela je da svi gledaju u nju i čekaju. Nikolaj je vidio da se Denisov i Natasha s osmijehom svađaju, a da je Denisov odbio, ali se radosno nasmiješio. On trči.
"Molim vas, Vasilije Dmitriču", rekla je Nataša, "idemo, molim vas."
"Da, hvala vam, gospođo Athena", rekao je Denisov.
- Pa, dosta je, Vasja - reče Nikolaj.
"Kao da Vasku nagovaraju", rekao je Denisov u šali.
“Pjevat ću ti cijelu večer”, rekla je Natasha.
- Čarobnica će učiniti sve sa mnom! - reče Denisov i otkopča sablju. Izašao je iza stolica, čvrsto uhvatio svoju damu za ruku, podigao glavu i sklonio nogu u stranu, očekujući takt. Samo na konju iu mazurki nije se vidio Denisovljev mali stas, a činilo se da je isti fini momak kao što se i sam osjećao. Nakon što je sačekao takt, pogledao je svoju damu sa strane, pobjednički i šaljivo, neočekivano udario jednom nogom i poput loptice se elastično odbio od poda i poletio u krug, vukući svoju damu za sobom. Tiho je preletio pola dvorane na jednoj nozi i kao da nije vidio stolice koje su stajale ispred njega i jurnuo ravno na njih; ali iznenada, pucnuvši mamuzama i raširivši noge, zastade na petama, stajaše tako sekundu, uz urlik mamuza, tapkajući nogama na jednom mjestu, brzo se okrenu i, udarivši lijevom nogom u desnu, opet letjeli u krug. Natasha je pogodila što namjerava učiniti i, ne znajući ni sama, pošla za njim - predajući mu se. Sad ju je okruživao, čas desnom, čas lijevom rukom, pa padajući na koljena, obilazio je oko sebe, pa opet skočio i jurnuo naprijed takvom brzinom, kao da namjerava, ne odahnuvši, potrčati po svim sobama; zatim bi iznenada opet stao i napravio još jedno novo i neočekivano koljeno. Kad je on, žustro kružeći oko dame ispred njenog sjedišta, kliknuo mamuzom, klanjajući se pred njom, Nataša nije ni sjela do njega. Zbunjeno je uperila oči u njega, smiješeći se kao da ga ne prepoznaje. - Što je? rekla je.
Unatoč činjenici da Yogel nije prepoznao ovu mazurku kao pravu, svi su bili oduševljeni vještinom Denisova, neprestano su ga počeli birati, a starci su nasmijani počeli pričati o Poljskoj i dobrim starim vremenima. Denisov, zajapuren od mazurke i brišući se rupčićem, sjeo je pokraj Natashe i nije je ostavljao cijeli bal.

Realni logaritam

Logaritam logaritma realnog broja a b ima smisla uz style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Najčešće korišteni su sljedeći tipovi logaritama.

Ako logaritamski broj smatramo varijablom, dobivamo logaritamska funkcija, Na primjer: . Ova je funkcija definirana na desnoj strani brojevnog pravca: x> 0, ondje je kontinuirana i diferencijabilna (vidi sliku 1).

Svojstva

prirodni logaritmi

Za , jednakost

(1)

Posebno,

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Decimalni logaritmi

Riža. 2. Log skala

Logaritmi s bazom 10 (simbol: lg a) prije izuma kalkulatora naširoko su se koristili za izračune. Neuniformna ljestvica decimalnih logaritama obično se primjenjuje i na kliznu liniju. Slična se ljestvica široko koristi u raznim područjima znanosti, na primjer:

• Kemija - aktivnost vodikovih iona ().
• Teorija glazbe - glazbena ljestvica, u odnosu na frekvencije glazbenih zvukova.

Logaritamska ljestvica također se široko koristi za identifikaciju eksponenta u eksponencijalnim ovisnostima i koeficijenta u eksponentu. Istodobno, grafikon iscrtan u logaritamskom mjerilu duž jedne ili dvije osi ima oblik ravne linije, što je lakše proučavati.

Složeni logaritam

Višeznačna funkcija

Riemannova površina

Kompleksna logaritamska funkcija je primjer Riemannove plohe; njegov zamišljeni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih poput spirale. Ova površina je jednostavno povezana; njegova jedina nula (prvog reda) se dobiva pomoću z= 1, posebne točke: z= 0 i (točke grananja beskonačnog reda).

Riemannova ploha logaritma je univerzalno pokrivanje za kompleksnu ravninu bez točke 0 .

Povijesni ocrt

Realni logaritam

Potreba za složenim proračunima u 16. stoljeću naglo je rasla, a velik dio poteškoća bio je povezan s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva. Krajem stoljeća više se matematičara, gotovo istodobno, dosjetilo: dugotrajno množenje zamijeniti jednostavnim zbrajanjem, uspoređujući geometrijske i aritmetičke progresije pomoću posebnih tablica, a da će geometrijska biti izvorna. Tada se dijeljenje automatski zamjenjuje nemjerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem. On je tu ideju prvi objavio u svojoj knjizi Aritmetika integra»Michael Stiefel, koji se, međutim, nije ozbiljnije potrudio da svoju ideju provede.

U 1620-ima, Edmund Wingate i William Oughtred izumili su prvi klizač, prije pojave džepnih kalkulatora, nezamjenjivog alata za inženjere.

Blisko modernom razumijevanju logaritma - kao operacije inverzne potenciranju - prvo se pojavilo kod Wallisa i Johanna Bernoullija, a konačno ga je ozakonio Euler u 18. stoljeću. U knjizi "Uvod u analizu beskonačnog" () Euler je dao suvremene definicije i eksponencijalne i logaritamske funkcije, proširio ih u redove potencija, a posebno je istaknuo ulogu prirodnog logaritma.

Euler također ima zasluge proširenja logaritamske funkcije na kompleksnu domenu.

Složeni logaritam

Prve pokušaje proširenja logaritma na kompleksne brojeve učinili su Leibniz i Johann Bernoulli na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, ali nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što sam pojam logaritma još nije bio jasno razjašnjen. definiran. Rasprava o ovom pitanju najprije se vodila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom XVIII stoljeća - između d'Alemberta i Eulera. Bernoulli i d'Alembert smatrali su da je potrebno definirati log(-x) = log(x). Potpunu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747.-1751. i u biti se ne razlikuje od moderne.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje stajalište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji iu drugim djelima), Eulerovo gledište brzo je steklo univerzalno priznanje.

Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto dugotrajnog množenja višeznamenkastih brojeva dovoljno pronaći (prema tablicama) i zbrojiti njihove logaritme, a zatim pomoću istih tablica izvršiti potenciranje, tj. pronađite vrijednost rezultata pomoću njegovog logaritma. Dijeljenje se razlikuje samo po tome što se oduzimaju logaritmi. Laplace je rekao da je izum logaritama "produžio život astronomima" tako što je znatno ubrzao proces izračunavanja.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n znamenki, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja mijenja se za n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Iz toga slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier ( ), a sadržavale su samo logaritme trigonometrijskih funkcija i to s pogreškama. Neovisno o njemu, Jost Burgi, Keplerov prijatelj, objavio je njegove tablice (). Godine 1617. oxfordski profesor matematike Henry Briggs objavio je tablice koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, s 8 (kasnije 14) znamenki. Ali bilo je i grešaka u Briggsovim tablicama. Prvo izdanje bez grešaka na temelju Vega tablica () pojavilo se tek 1857. u Berlinu (Bremiverove tablice).

U Rusiji su prve tablice logaritama objavljene 1703. uz sudjelovanje L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki tablica logaritama.

• Bradis V. M.Četveroznamenkaste matematičke tablice. 44. izdanje, M., 1973.

prirodni logaritmi

Derivacija prirodnog logaritma ima jednostavnu formulu:

Zbog toga se prirodni logaritmi uglavnom koriste u matematičkim istraživanjima. Često se pojavljuju pri rješavanju diferencijala jednadžbe, proučavanje statističkih ovisnosti (na primjer, distribucija jednostavnih brojevi), itd.

Za , jednakost

Ovaj niz konvergira brže, a osim toga, lijeva strana formule sada može izraziti logaritam bilo kojeg pozitivnog broja.

Odnos s decimalnim logaritmom: .

Decimalni logaritmi

Riža. 2. Log skala

Logaritmi s bazom 10 (simbol: lg a) prije izuma kalkulatori naširoko koristi za računalstvo. neujednačeno mjerilo obično se primjenjuju decimalni logaritmi slajd pravila. Slična se ljestvica široko koristi u raznim područjima znanosti, na primjer:

Fizika- intenzitet zvuka ( decibela).

Astronomija- mjerilo sjaj zvijezda.

Kemija- aktivnost vodik ioni (pH).

Seizmologija - Richterova ljestvica.

glazbena teorija- notna ljestvica, u odnosu na frekvencije glazbenih zvukova.

Priča - logaritamska vremenska skala.

Logaritamska ljestvica također se široko koristi za identifikaciju eksponenta u eksponencijalnim ovisnostima i koeficijenta u eksponentu. Istodobno, grafikon iscrtan u logaritamskom mjerilu duž jedne ili dvije osi ima oblik ravne linije, što je lakše proučavati.

logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = log a x, definirano na

Proučavanje logaritamske funkcije

Domena:

Raspon vrijednosti:

Graf bilo koje logaritamske funkcije prolazi točkom (1; 0)

Derivacija logaritamske funkcije je:

Dokaz [pokazati]

I. Dokažimo to

Zapišimo identitet e ul x = x te razlikovati njegovu lijevu i desnu stranu

Shvaćamo to , odakle slijedi da

II. Dokažimo to

Funkcija je strogo rastuća za a> 1 i striktno pada na 0 a

Ravno x= 0 je lijevo vertikalna asimptota, jer na a> 1 i na 0 a

Složeni logaritam

Višeznačna funkcija

Za kompleksni brojevi Logaritam se definira na isti način kao i realni. Počnimo s prirodnim logaritmom, koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w. Kompleksni logaritam postoji za svaki , a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačno mnogo vrijednosti. Zbog toga se naziva višeznačna funkcija. Ako zamislite w u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Evo pravog logaritma, r = | w | , k- proizvoljno cijeli broj. Vrijednost dobivena kada k= 0 se zove glavna važnost složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzimati vrijednost argumenta u intervalu (− π,π]. Odgovarajuća (već jednostruka) funkcija naziva se glavna grana logaritam i označava se sa . Ponekad također označavaju vrijednost logaritma koja ne leži na glavnoj grani.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se po formuli:

Primjeri (dana je glavna vrijednost logaritma):

Slično se razmatraju složeni logaritmi s različitom bazom. Međutim, treba biti oprezan pri transformaciji složenih logaritama, uzimajući u obzir da su oni višeznačni, pa stoga jednakost ovih izraza ne slijedi iz jednakosti logaritama bilo kojeg izraza. Primjer pogrešnog zaključivanja:

jaπ = ln(− 1) = ln((− ja) 2) = 2ln(− ja) = 2(− jaπ / 2) = − jaπ je očiti apsurd.

Imajte na umu da je glavna vrijednost logaritma s lijeve strane, a vrijednost iz donje grane s desne strane ( k= − 1). Razlog greške je neoprezno korištenje svojstva koje, općenito govoreći, u složenom slučaju podrazumijeva cijeli beskonačni skup vrijednosti logaritma, a ne samo glavnu vrijednost.

Riemannova površina

Složena logaritamska funkcija - primjer Riemannova površina; njegov zamišljeni dio (slika 3) sastoji se od beskonačnog broja grana uvijenih poput spirale. Ova površina jednostavno povezani; njegova jedina nula (prvog reda) se dobiva pomoću z= 1, singularne točke: z= 0 i (točke grananja beskonačnog reda).

Riemannova ploha logaritma je univerzalno pokrivanje za kompleksnu ravninu bez točke 0.

Povijesni ocrt

Realni logaritam

Potreba za složenim izračunima XVI stoljeće brzo je rastao, a velik dio poteškoća bio je povezan s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva. Krajem stoljeća nekoliko je matematičara gotovo istodobno došlo na ideju: dugotrajno množenje zamijeniti jednostavnim zbrajanjem, uspoređujući pomoću posebnih tablica. geometrijski I aritmetika progresija, dok će geometrijska biti izvorna. Tada se dijeljenje automatski zamjenjuje nemjerljivo jednostavnijim i pouzdanijim oduzimanjem. On je tu ideju prvi objavio u svojoj knjizi Aritmetika integra» Michael Stiefel, koji se, međutim, nije ozbiljnije potrudio da svoju ideju provede u djelo.

U 1614Škotski matematičar amater John Napier objavio je esej na latinskom pod naslovom " Opis nevjerojatne tablice logaritama". Imao je kratak opis logaritama i njihovih svojstava, kao i 8-znamenkaste tablice logaritama sinusa, kosinusima I tangente, s korakom od 1". Termin logaritam, koju je predložio Napier, etablirala se u znanosti.

Koncept funkcije još nije postojao, a Napier je definirao logaritam kinematički, uspoređujući ravnomjerno i logaritamski usporeno kretanje. U modernoj notaciji, Napierov model može se prikazati diferencijalnom jednadžbom: dx/x = -dy/M, gdje je M faktor skaliranja uveden kako bi vrijednost bila cijeli broj s potrebnim brojem znamenki (decimale tada još nisu bile široko korištene). Napier je uzeo M = 10000000.

Strogo govoreći, Napier je tabelirao pogrešnu funkciju, koja se sada naziva logaritam. Ako njegovu funkciju označimo kao LogNap(x), onda je ona povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očito je LogNap (M) = 0, odnosno logaritam "punog sinusa" je nula - to je Napier tražio svojom definicijom. LogNap(0) = ∞.

Glavno svojstvo Napierovog logaritma: ako veličine tvore geometrijska progresija, tada njihovi logaritmi čine progresiju aritmetika. Međutim, pravila za logaritam za ne-Pierovu funkciju razlikovala su se od pravila za moderni logaritam.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Nažalost, sve vrijednosti u Napierovoj tablici sadržavale su računsku pogrešku nakon šeste znamenke. Međutim, to nije spriječilo novu metodu izračunavanja da dobije široku popularnost, a mnogi europski matematičari zauzeli su se sastavljanjem logaritamskih tablica, uključujući Kepler.

Dvadesetih godina 16. stoljeća Edmund Wingate i William Otred izumio prvi šiber, prije pojave džepnih kalkulatora - nezamjenjiv alat za inženjera.

Blizu modernom shvaćanju logaritma - kao operacije, obrnuto potenciranje- prvi put se pojavio u Wallisa I Johann Bernoulli i konačno odobren Euler V XVIII stoljeće. U knjizi "Uvod u analizu beskonačnog" ( 1748 ) Euler je dao moderne definicije kao demonstrativna, i logaritamskih funkcija, vodio je njihovo širenje u redove potencija, posebno istaknuvši ulogu prirodnog logaritma.

Euler također ima zasluge proširenja logaritamske funkcije na kompleksnu domenu.

Složeni logaritam

Prvi pokušaji da se logaritmi prošire na kompleksne brojeve učinjeni su na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće. Leibniz I Johann Bernoulli, međutim, nisu uspjeli stvoriti holističku teoriju - prvenstveno iz razloga što u to vrijeme sam pojam logaritma još nije bio jasno definiran. Rasprava o ovoj temi najprije se vodila između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. stoljeća - između d'Alemberta i Euler. Bernoulli i d'Alembert smatrali su da je potrebno definirati log(-x) = log(x). Potpunu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747.-1751. i u biti se ne razlikuje od moderne.

Iako se spor nastavio (D'Alembert je branio svoje stajalište i detaljno ga argumentirao u članku u svojoj Enciklopediji iu drugim djelima), Eulerovo gledište brzo je steklo univerzalno priznanje.

Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz svojstava logaritma proizlazi da je umjesto mukotrpnog množenja višeznačnih brojeva dovoljno pronaći (iz tablica) i zbrojiti njihove logaritme, a zatim koristiti iste tablice za izvođenje potenciranje, odnosno pronađite vrijednost rezultata njegovim logaritmom. Dijeljenje se razlikuje samo po tome što se oduzimaju logaritmi. Laplace Rekao je da je izum logaritama "produžio život astronomima" tako što je znatno ubrzao proces izračunavanja.

Prilikom pomicanja decimalne točke u broju na n znamenki, vrijednost decimalnog logaritma ovog broja mijenja se za n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Iz toga slijedi da je dovoljno napraviti tablicu decimalnih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier ( 1614 ), a sadržavali su samo logaritme trigonometrijskih funkcija i to s pogreškama. Neovisno o njemu, njegove tablice objavio je Jost Bürgi, prijatelj Kepler (1620 ). U 1617 Oxford profesor matematike Henry Briggs objavio tablice koje su već uključivale decimalne logaritme samih brojeva, od 1 do 1000, s 8 (kasnije - s 14) znamenki. Ali bilo je i grešaka u Briggsovim tablicama. Prvo nepogrešivo izdanje temeljeno na Vega tablicama ( 1783 ) pojavio se tek u 1857. godine u Berlinu (Bremiverove tablice).

U Rusiji su objavljene prve tablice logaritama 1703 glumeći L. F. Magnitskog. U SSSR-u je objavljeno nekoliko zbirki tablica logaritama.

Bradis V. M. Četveroznamenkaste matematičke tablice. 44. izdanje, M., 1973.

Bradis stolovi ( 1921 ) korišteni su u obrazovnim ustanovama iu inženjerskim proračunima koji ne zahtijevaju veliku točnost. Sadržali su kazaljka decimalni logaritmi brojeva i trigonometrijske funkcije, prirodni logaritmi i neki drugi korisni računalni alati.

Književnost

Uspensky Ya. V. Esej o povijesti logaritama. Petrograd, 1923. −78 str.

Vygodsky M. Ya. Priručnik za elementarnu matematiku. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6

Povijest matematike Edit A. P. Juškevič u tri toma, Moskva: Nauka.

Svezak 1 Od antičkih vremena do početka modernog doba. (1970) psihologija kao samostalna znanost (2) Sažetak >> Psihologija

Glavni ciljevi predmeta priče Psihologija 1. Analiza pojava i daljnji razvoj... osjećaj je proporcionalan logaritam intenzitet podražaja: za ... izvršiti radnju, zbog nastanak potreba za rješavanjem problema; - meta...

• Priča psihologija (10)

  Sažetak >> Psihologija

  Postao izvorište psihofizike. Stol logaritmi pokazalo se primjenjivim na fenomene duše ... da korijeni instinkata sežu do povijesti vrsta, bez njih živih ... slomljena, "odgovara bilo kojoj bolnoj pojavi. nastanak novi trendovi u psihologiji, sociologiji...

• Priča psihologija kao samostalna znanost (1)

  Varalica >> Psihologija

  Aktivnost: Glavni zadaci predmeta priče psihologija 1. Dijaliza pojava i daljnji razvoj znanstvenih spoznaja ... da je intenzitet osjeta proporcionalan logaritam intenzitet podražaja: kako bi ...

• Priča socijalna psihologija (2)

  Varalica >> Psihologija

  Da je veličina osjeta proporcionalna logaritam intenzitet glumačkog podražaja (... XX. st. prvi put u priče psihologija je pokušala eksperimentalno istražiti ... identificirajući uzroke i specifične uvjete pojava neuroze, izolacija u poseban ...

Eksponencijalna funkcija realne varijable (s pozitivnom bazom) određuje se u nekoliko koraka. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao proizvod jednakih faktora. Definicija se zatim proširuje na negativan cijeli broj i vrijednosti različite od nule prema pravilima. Nadalje, razmatraju se frakcijski pokazatelji u kojima se vrijednost eksponencijalne funkcije određuje pomoću korijena: . Za iracionalne vrijednosti definicija je već povezana s osnovnim konceptom matematičke analize - s prijelazom do granice, iz razloga kontinuiteta. Sva ova razmatranja ni na koji način nisu primjenjiva na pokušaje proširenja eksponencijalne funkcije na složene vrijednosti indikatora, a što je, na primjer, potpuno neshvatljivo.

Po prvi put stupanj s kompleksnim eksponentom s prirodnom bazom uveo je Euler na temelju analize niza konstrukcija integralnog računa. Ponekad vrlo slični algebarski izrazi kada se integriraju daju potpuno različite odgovore:

U isto vrijeme, ovdje je drugi integral formalno dobiven iz prvog zamjenom sa

Iz ovoga možemo zaključiti da su, pravilnom definicijom eksponencijalne funkcije s kompleksnim eksponentom, inverzne trigonometrijske funkcije povezane s logaritmima, a time i eksponencijalna funkcija s trigonometrijskim funkcijama.

Euler je imao hrabrosti i mašte dati razumnu definiciju za eksponencijalnu funkciju s bazom, naime,

Ovo je definicija, pa stoga ova formula nije dokazana, mogu se samo tražiti argumenti u prilog razumnosti i svrhovitosti takve definicije. Matematička analiza daje mnoge argumente ove vrste. Ograničit ćemo se samo na jedno.

Poznato je da za realno vrijedi granična relacija: . Na desnoj strani nalazi se polinom koji ima smisla čak i za složene vrijednosti za . Granica niza kompleksnih brojeva definirana je na prirodan način. Za niz se kaže da je konvergentan ako nizovi realnih i imaginarnih dijelova konvergiraju, a pretpostavlja se da

Hajdemo pronaći. Da bismo to učinili, okrećemo se trigonometrijskom obliku, a za argument ćemo odabrati vrijednosti iz intervala. Ovim izborom jasno je da za . Unaprijediti,

Da bismo prešli na granicu, moramo provjeriti postojanje granica za i te te granice pronaći. Jasno je da i

Tako u izrazu

stvarni dio teži , imaginarni - tako da

Ovaj jednostavan argument daje jedan od argumenata u korist Eulerove definicije eksponencijalne funkcije.

Ustanovimo sada da se pri množenju vrijednosti eksponencijalne funkcije eksponenti zbrajaju. Stvarno:

2. Eulerove formule.

Stavili smo u definiciju eksponencijalne funkcije . Dobivamo:

Zamjenom b sa -b, dobivamo

Zbrajanjem i oduzimanjem ovih jednakosti član po član, nalazimo formule

nazvane Eulerove formule. Uspostavljaju vezu između trigonometrijskih funkcija i eksponencijalnih s imaginarnim eksponentima.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj zadan u trigonometrijskom obliku može se napisati u obliku Ovaj oblik zapisivanja kompleksnog broja naziva se eksponencijalni. Zadržava sva dobra svojstva trigonometrijske forme, ali je još sažetija. Nadalje, prirodno je pretpostaviti da je realni dio logaritma kompleksnog broja logaritam njegovog modula, a imaginarni dio njegov argument. To donekle objašnjava "logaritamsko" svojstvo argumenta - argument umnoška jednak je zbroju argumenata faktora.

logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f(x) = logax, definirana za

Domena: . Raspon vrijednosti: . Funkcija je strogo rastuća za a > 1 i strogo padajuća za 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Pravac x = 0 je lijeva vertikalna asimptota, jer za a > 1 i za 0< a < 1.

Derivacija logaritamske funkcije je:

Logaritamska funkcija implementira izomorfizam između multiplikativne skupine pozitivnih realnih brojeva i aditivne skupine svih realnih brojeva.

Složeni logaritam

Definicija i svojstva

Za kompleksne brojeve logaritam je definiran na isti način kao i realni. U praksi se koristi gotovo isključivo prirodni kompleksni logaritam, koji označavamo i definiramo kao skup svih kompleksnih brojeva z takvih da je ez = w. Složeni logaritam postoji za svakoga, a njegov realni dio je jednoznačno određen, dok imaginarni ima beskonačno mnogo vrijednosti. Zbog toga se naziva višeznačna funkcija. Ako w predstavimo u eksponencijalnom obliku:

tada se logaritam nalazi po formuli:

Ovdje -- pravi logaritam, r = | w | , k je proizvoljan cijeli broj. Vrijednost dobivena kada je k = 0 naziva se glavna vrijednost kompleksnog prirodnog logaritma; uobičajeno je da se vrijednost argumenta u njemu uzima u intervalu (? p, p]. Odgovarajuća (već jednoznačna) funkcija naziva se glavna grana logaritma i označava se. Ponekad se vrijednost logaritma koja ne leži na glavnoj grani također se označava sa.

Iz formule slijedi:

Realni dio logaritma određuje se formulom:

Logaritam negativnog broja nalazi se formulom.

• Istražite funkciju pogleda
• Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija
• Za lijepe dame ili ono što žene žele
• Čestitke za sretan rođendan djevojci Victoriji. Čestitke za sretan rođendan njezinoj prijateljici Victoriji
• SMS želi laku noć vašem voljenom muškarcu
• Formiranje istraživačkih vještina kod mlađih školaraca Trajanje projekta
• Glavni ograničavajući čimbenici
• Tečaj: Priprema junica za teljenje i raspodjela prvotelki u SPK Rodina, okrug Grakhovsky, UR
• Kako se ime Vanya prevodi s grčkog
• Značenje imena Timur, porijeklo, karakter i sudbina imena Timur

• Philip Kirkorov umire, razlog za vijest, što se dogodilo Kirkorovu
• Sadalsky reagirao na grubost Maksakove Glumac i narodni bloger Stanislav Sadalsky progovorio je o sudbini odbjegle operne pjevačice Marije Maksakove
• Kako živi Lera iz doma 2?
• Yana Rudkovskaya gubi težinu na ekstremnoj dijeti Kefir dijeta Yana Rudkovskaya
• Promijenite svoju profesiju radikalno
• Alena Kravets: fotografije prije i poslije plastične operacije Muž Alene Kravets tko je on
• "Modeliranje Lorenzovog atraktora
• Teorija derivacija funkcija
• Logaritam modula analitičke funkcije
• Uvjet ekvivalencije za parove sila