Shema cjelovite studije funkcije. Istražite funkciju pogleda
Ako je u zadatku potrebno provesti cjelovitu studiju funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njezinog grafikona, tada ćemo detaljno razmotriti ovo načelo.
Za rješavanje problema ove vrste treba koristiti svojstva i grafove glavnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:
Pronalaženje domene definicije
Budući da se istraživanja provode na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.
Primjer 1
Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bi se isključile iz DPV-a.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Kao rezultat toga, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stupnja tipa g (x) 4 nejednadžbom g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) nejednadžbom g (x) > 0 .
Ispitivanje granica ODZ i pronalaženje vertikalnih asimptota
Na granicama funkcije postoje vertikalne asimptote, kada su jednostrane granice u takvim točkama beskonačne.
Primjer 2
Na primjer, uzmite u obzir granične točke jednake x = ± 1 2 .
Tada je potrebno proučiti funkciju za pronalaženje jednostrane granice. Tada dobivamo da je: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞
To pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.
Ispitivanje funkcije i za par ili nepar
Kada je ispunjen uvjet y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da je graf smješten simetrično u odnosu na O y. Kada je ispunjen uvjet y (- x) = - y (x), funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednadžba ne odgovara, dobivamo funkciju općeg oblika.
Ispunjavanje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruiranja potrebno je voditi računa da će postojati simetrija u odnosu na O y.
Za rješavanje nejednadžbe koriste se intervali povećanja i smanjenja uz uvjete f "(x) ≥ 0 odnosno f" (x) ≤ 0.
Definicija 1
Stacionarne točke su točke koje derivaciju pretvaraju u nulu.
Kritične točke su unutarnje točke iz područja gdje je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.
Prilikom donošenja odluke potrebno je uzeti u obzir sljedeće točke:
- za postojeće intervale porasta i smanjenja nejednakosti oblika f "(x) > 0 kritične točke nisu uključene u rješenje;
- točke u kojima je funkcija definirana bez konačne derivacije moraju biti uključene u intervale porasta i opadanja (na primjer, y \u003d x 3, gdje točka x \u003d 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 uključeno je u interval povećanja);
- kako bi se izbjegle nesuglasice, preporuča se korištenje matematičke literature koju preporuča Ministarstvo prosvjete.
Uključivanje kritičnih točaka u intervale rasta i opadanja ako zadovoljavaju domenu funkcije.
Definicija 2
Za određujući intervale porasta i opadanja funkcije, potrebno je pronaći:
- izvedenica;
- kritične točke;
- rastaviti područje definicije uz pomoć kritičnih točaka na intervale;
- odredite predznak derivacije na svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.
Primjer 3
Nađite derivaciju na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Riješenje
Za rješavanje potrebno je:
- pronađite stacionarne točke, ovaj primjer ima x = 0 ;
- pronađite nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .
Izlažemo točke na numeričkoj osi kako bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju točku iz intervala i napraviti izračun. Ako je rezultat pozitivan, na grafu nacrtamo + što znači porast funkcije, a - njezin pad.
Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj crta.
Odgovor:
- postoji porast funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
- dolazi do smanjenja na intervalu [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; +∞ .
U dijagramu su pomoću + i - prikazani pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice označavaju opadanje i povećanje.
Točke ekstrema funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i kroz koje derivacija mijenja predznak.
Primjer 4
Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x \u003d 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kada se znak derivacije promijeni s + na - i prolazi kroz točku x \u003d 0, tada se točka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Promjenom predznaka s - na + dobivamo minimalni bod.
Konveksnost i konkavnost određuju se rješavanjem nejednadžbi oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe upotrebljavaju naziv ispupčenje prema dolje umjesto konkavnost, te izbočenje prema gore umjesto ispupčenje.
Definicija 3
Za određivanje razmaka konkavnosti i konveksnosti potrebno:
- pronaći drugu derivaciju;
- pronaći nulte točke funkcije druge derivacije;
- razbiti domenu definicije točkama koje se pojavljuju u intervalima;
- odrediti predznak razmaka.
Primjer 5
Nađite drugu derivaciju iz domene definicije.
Riješenje
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Nalazimo nule brojnika i nazivnika, gdje, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2
Sada treba staviti točke na brojevnu crtu i odrediti predznak druge derivacije iz svakog intervala. Shvaćamo to
Odgovor:
- funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
- funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .
Definicija 4
točka infleksije je točka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, tada kada prolazi kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.
Drugim riječima, to je takva točka kroz koju prolazi druga derivacija i mijenja predznak, au samim točkama je jednaka nuli ili ne postoji. Sve točke se smatraju domenom funkcije.
U primjeru se vidi da nema točaka infleksije, jer druga derivacija mijenja predznak prolazeći kroz točke x = ± 1 2 . Oni pak nisu uključeni u domenu definicije.
Određivanje horizontalnih i kosih asimptota
Kada definiramo funkciju u beskonačnosti, moramo tražiti horizontalne i kose asimptote.
Definicija 5
Kose asimptote crtaju se pomoću linija danih jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .
Za k = 0 i b nije jednako beskonačno, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalna.
Drugim riječima, asimptote su pravci kojima se graf funkcije približava u beskonačnosti. To doprinosi brzoj konstrukciji grafa funkcije.
Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati limit funkcije na tim beskonačnostima da bismo razumjeli kako će se ponašati graf funkcije.
Primjer 6
Kao primjer, razmotrite to
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.
Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama
Kako bi crtanje bilo najtočnije, preporuča se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u srednjim točkama.
Primjer 7
Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u točkama x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti podudaraju s vrijednostima u tim točkama, odnosno dobivamo x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x = 1 4.
Zapišimo i riješimo:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, točaka infleksije, međutočaka, potrebno je izgraditi asimptote. Za prikladno označavanje fiksni su intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti. Razmotrite sliku u nastavku.
Kroz označene točke potrebno je povući linije grafa koje će vam omogućiti približavanje asimptotama prateći strelice.
Time je kompletno proučavanje funkcije završeno. Postoje slučajevi konstruiranja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
