Primjeri izvoda osnovnih elementarnih funkcija. Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija
Dajemo bez dokaza formulu za derivacije osnovnih elementarnih funkcija:
1. Funkcija potencije: (x n)` =nx n -1 .
2. Eksponencijalna funkcija: (a x)` = a x lna (konkretno, (e x)` = e x).
3. Logaritamska funkcija: (konkretno, (lnx)` = 1/x).
4. Trigonometrijske funkcije:
(cosx)` = -sinx
(tgh)` = 1/cos 2 x
(ctgh)` = -1/sin 2 x
5. Inverzne trigonometrijske funkcije:
Može se dokazati da je za diferenciranje eksponencijalne funkcije potrebno dvaput upotrijebiti formulu za derivaciju složene funkcije, naime diferencirati je i kao kompleksnu eksponencijalnu funkciju i kao kompleksnu eksponencijalnu funkciju, te dodati rezultati: (f (x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) (x) *lnf(x)* (x)`.
Derivati viših redova
Budući da je derivacija funkcije i sama funkcija, ona također može imati derivaciju. Koncept derivacije, o kojem je gore bilo riječi, odnosi se na derivaciju prvog reda.
izvedenican-ti red naziva se derivacija derivacije (n-1)-tog reda. Na primjer, f``(x) = (f`(x))` - izvod drugog reda (ili drugi izvod), f```(x) = (f``(x))` - izvod trećeg reda ( ili treći izvod), itd. Ponekad se rimski arapski brojevi u zagradama koriste za označavanje viših izvoda, na primjer, f (5) (x) ili f (V) (x) za izvod petog reda.
Fizičko značenje derivacija viših redova definirano je na isti način kao i za prvu derivaciju: svaka od njih predstavlja brzinu promjene derivacije prethodnog reda. Na primjer, druga derivacija je stopa promjene prve, tj. brzina brzina. Za pravocrtno gibanje, to znači ubrzanje točke po jedna.
Elastičnost funkcije
Elastičnost funkcije E x (y) je granica omjera relativnog prirasta funkcije y i relativnog prirasta argumenta x pri čemu potonji teži nuli: 
.
Elastičnost funkcije pokazuje koliko će se postotaka promijeniti funkcija y \u003d f (x) kada se nezavisna varijabla x promijeni za 1%.
U ekonomskom smislu, razlika između ovog pokazatelja i derivata je u tome što derivat ima mjerne jedinice, pa stoga njegova vrijednost ovisi o jedinicama u kojima se mjere varijable. Na primjer, ako je ovisnost obujma proizvodnje o vremenu izražena u tonama odnosno mjesecima, tada će derivat pokazati granično povećanje obujma u tonama po mjesecu; ako se, međutim, ti pokazatelji mjere, na primjer, u kilogramima i danima, tada će i sama funkcija i njezin derivat biti drugačiji. Elastičnost je u biti bezdimenzionalna veličina (mjerena u postocima ili frakcijama) i stoga ne ovisi o ljestvici pokazatelja.
Osnovni teoremi o diferencijabilnim funkcijama i njihove primjene
Fermatov teorem. Ako funkcija diferencijabilna na intervalu dosegne svoju najveću ili minimalnu vrijednost u unutarnjoj točki tog intervala, tada je derivacija funkcije u toj točki jednaka nuli.
Bez dokaza.
Geometrijsko značenje Fermatovog teorema je da je u točki najveće ili najmanje vrijednosti postignute unutar razmaka tangenta na graf funkcije paralelna s apscisnom osi (slika 3.3).
Rolleov teorem. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:
2) diferencijabilna na intervalu (a, b);
3) uzima jednake vrijednosti na krajevima segmenta, tj. f(a)=f(b).
Tada postoji barem jedna točka unutar segmenta u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.
Bez dokaza.
Geometrijsko značenje Rolleova teorema je da postoji barem jedna točka u kojoj će tangenta na graf funkcije biti paralelna s x-osi (na primjer, dvije su takve točke na slici 3.4).
Ako je f(a) =f(b) = 0, tada se Rolleov teorem može drugačije formulirati: između dvije uzastopne nule diferencijabilne funkcije nalazi se barem jedna nula derivacije.
Rolleov teorem je poseban slučaj Lagrangeovog teorema.
Lagrangeov teorem. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:
1) kontinuirana je na segmentu [a, b];
2) je diferencijabilna na intervalu (a, b).
Tada unutar segmenta postoji barem jedna takva točka c u kojoj je derivacija jednaka kvocijentu inkrementa funkcija podijeljenog s inkrementom argumenta na tom segmentu: 
.
Bez dokaza.
Da bismo razumjeli fizičko značenje Lagrangeovog teorema, primijetit ćemo da 
nije ništa drugo nego prosječna brzina promjene funkcije na cijelom intervalu [a, b]. Dakle, teorem tvrdi da unutar segmenta postoji barem jedna točka u kojoj je "trenutačna" brzina promjene funkcije jednaka prosječnoj brzini njezine promjene na cijelom segmentu.
Geometrijsko značenje Lagrangeovog teorema ilustrirano je na slici 3.5. Imajte na umu da izraz 
je nagib pravca na kojem leži tetiva AB. Teorem kaže da postoji barem jedna točka na grafu funkcije u kojoj će tangenta na nju biti paralelna s tom tetivom (tj. nagib tangente - izvodnica - bit će isti).
Posljedica: ako je derivacija funkcije jednaka nuli na nekom intervalu, tada je funkcija identično konstantna na tom intervalu.
Zapravo, uzmimo interval na ovom intervalu. Prema Lagrangeovom teoremu, u tom intervalu postoji točka c za koju 
. Odatle je f(a) - f(x) = f`(s)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = konst.
L'Hopitalovo pravilo. Granica omjera dviju beskonačno malih ili beskonačno velikih funkcija jednaka je granici omjera njihovih izvodnica (konačnih ili beskonačnih), ako potonje postoje u naznačenom smislu.
Drugim riječima, ako postoji nesigurnost oblika 
, To 
.
Bez dokaza.
Primjena L'Hospitalova pravila za pronalaženje granica bit će obrađena u praktičnim vježbama.
Dovoljan uvjet za porast (opadanje) funkcije. Ako je derivacija diferencijabilne funkcije pozitivna (negativna) unutar nekog intervala, tada funkcija raste (opada) na tom intervalu.
Dokaz. Razmotrimo dvije vrijednosti x 1 i x 2 iz zadanog intervala (neka je x 2 > x 1). Prema Lagrandovom teoremu, na [x 1 , x 2 ] postoji točka c u kojoj Teorem je dokazan. Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije: ako su tangente na krivulju u određenom intervalu usmjerene pod oštrim kutovima na os apscise, tada funkcija raste, a ako su pod tupim kutovima, onda se smanjuje (vidi sliku 3.6). . Napomena: nužni uvjet za monotonost je slabiji. Ako funkcija raste (opada) na određenom intervalu, tada je derivacija nenegativna (nepozitivna) na tom intervalu (tj. u nekim točkama derivacija monotone funkcije može biti jednaka nuli). Izračun derivacije često se nalazi u USE zadacima. Ova stranica sadrži popis formula za pronalaženje izvedenica. Prilikom izvođenja prve formule tablice poći ćemo od definicije derivacije funkcije u točki. Uzmimo gdje x- bilo koji realni broj, tj. x– bilo koji broj iz područja definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na: Treba napomenuti da se pod znakom granice dobiva izraz koji nije nesigurnost nule podijeljene s nulom, jer brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula. Tako, izvod konstantne funkcijejednaka je nuli na cijeloj domeni definicije. Formula za derivaciju potencne funkcije ima oblik Dokažimo najprije formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, ... Koristit ćemo se definicijom derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta: Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli: Stoga, Ovo dokazuje formulu za derivaciju potencije za prirodni eksponent. Formulu izvoda izvodimo na temelju definicije: Došao u neizvjesnost. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu , i za . Zatim . U prošlom prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma. Izvršimo zamjenu u izvornoj granici: Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za derivaciju eksponencijalne funkcije: Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz opsega i svih važećih osnovnih vrijednosti a logaritam. Po definiciji izvoda imamo: Kao što ste primijetili, u dokazu su transformacije provedene pomoću svojstava logaritma. Jednakost Da bismo izveli formule za derivacije trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve značajne granice. Po definiciji derivacije sinusne funkcije imamo Koristimo formulu za razliku sinusa: Ostaje da se okrenemo prvoj značajnoj granici: Dakle, izvod funkcije grijeh x Tamo je cos x. Formula za kosinusnu derivaciju dokazuje se na potpuno isti način. Prema tome, izvod funkcije cos x Tamo je – grijeh x. Formule za tablicu derivacija za tangens i kotangens izvest ćemo koristeći provjerena pravila diferenciranja (derivacija razlomka). Pravila diferenciranja i formula za derivaciju eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija omogućuju nam izvođenje formula za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Da ne bude zabune u prikazu, označimo u donjem indeksu argument funkcije po kojoj se vrši diferenciranje, odnosno to je derivacija funkcije f(x) Po x. Sada formuliramo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije. Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzni, definirani na intervalima i redom. Ako u točki postoji konačna derivacija funkcije različita od nule f(x), tada u točki postoji konačna derivacija inverzne funkcije g (y), i Ovo se pravilo može preformulirati za bilo koje x iz intervala , tada dobivamo Provjerimo valjanost ovih formula. Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam Iz tablice izvedenica to vidimo Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvodnica inverzne funkcije vode do istih rezultata: Kao što vidite, dobili smo iste rezultate kao u tablici izvedenica. Sada imamo znanje za dokazivanje formula za derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija. Počnimo s derivacijom arksinusa. Ostaje provesti transformaciju. Budući da je raspon arkusina interval Stoga, Za arkosinus, sve se radi na potpuno isti način: Nađite derivaciju arktangensa. Za inverznu funkciju je Izražavamo arc tangens kroz arc kosinus kako bismo pojednostavili rezultirajući izraz. Neka arktanx = z, Zatim Stoga, Slično se nalazi derivacija inverzne tangense: Evo tablice sažetka za praktičnost i jasnoću pri proučavanju teme. Konstantnoy=C Funkcija potencije y = x p (x p)" = p x p - 1 Eksponencijalna funkcijay = x (a x)" = a x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = e x (e x)" = e x logaritamska funkcija (log a x) " = 1 x ln a Konkretno, kadaa = eimamo y = log x (ln x)" = 1 x Trigonometrijske funkcije (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x Inverzne trigonometrijske funkcije (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 Hiperboličke funkcije (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x Analizirajmo kako su dobivene formule navedene tablice, odnosno, drugim riječima, dokazat ćemo izvođenje formula za derivacije za svaki tip funkcije. Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u točki. Koristimo x 0 = x, gdje je x poprima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C . Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kao ∆ x → 0: lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0 Imajte na umu da izraz 0 ∆ x pada ispod znaka granice. To nije nesigurnost "nula podijeljena s nulom", budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula. Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije. Primjer 1 Zadane konstantne funkcije: f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7 Riješenje
Opišimo zadane uvjete. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3 . U sljedećem primjeru trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji realni broj. Treći primjer daje nam izvod iracionalnog broja 4 . 13 7 22 , četvrti - izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo derivaciju racionalnog razlomka - 8 7 . Odgovor: derivacije zadanih funkcija su nula za bilo koju realnu x(u cijeloj domeni definicije) f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0 Okrećemo se funkciji snage i formuli za njezinu derivaciju, koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj. Dokaz 2 Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1, 2, 3, … Opet se oslanjamo na definiciju derivata. Napišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta: (x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, koristimo Newtonovu binomnu formulu: (x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p Tako: (x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1 Dakle, dokazali smo formulu za izvod potencije kada je eksponent prirodan broj. Dokaz 3 Da dam dokaz za slučaj kada p- bilo koji realni broj različit od nule, koristimo logaritamsku derivaciju (ovdje treba razumjeti razliku od derivacije logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje poželjno je proučavati derivaciju logaritamske funkcije i dodatno se baviti derivacijom implicitno zadane funkcije i derivacijom složene funkcije. Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x su negativni. Dakle x > 0 . Tada je: x p > 0 . Uzimamo logaritam jednakosti y \u003d x p na bazu e i primjenjujemo svojstvo logaritma: y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x U ovoj fazi dobivena je implicitno definirana funkcija. Definirajmo njegovu derivaciju: (ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1 Sada razmatramo slučaj kada x- negativan broj. Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija snage također definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1 Zatim xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную. Ako str je neparan broj, tada je funkcija snage definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции: y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1 Posljednji prijelaz je moguć jer ako str je onda neparan broj p - 1 ili paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativno x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je istinita. Dakle, dokazali smo formulu za derivaciju funkcije potencije za bilo koji realni p. Primjer 2 Zadane funkcije: f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12 Odredi njihove derivacije. Riješenje
Dio zadanih funkcija transformiramo u tablični oblik y = x p , na temelju svojstava stupnja, a zatim koristimo formulu: f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84 Formulu za derivaciju izvodimo na temelju definicije: (a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0 Imamo neizvjesnost. Da bismo ga proširili, pišemo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za posljednji prijelaz koristi se formula za prijelaz na novu bazu logaritma. Izvršimo zamjenu u izvornoj granici: (a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z Prisjetimo se druge divne granice i tada dobivamo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije: (a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a Primjer 3 Date su eksponencijalne funkcije: f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x Moramo pronaći njihove derivate. Riješenje
Koristimo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma: f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x Donosimo dokaz formule za derivaciju logaritamske funkcije za bilo koji x u domeni definicije i sve važeće vrijednosti baze a logaritma. Na temelju definicije derivata dobivamo: (log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a Iz navedenog lanca jednakosti vidljivo je da su transformacije izgrađene na temelju svojstva logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e vrijedi u skladu s drugom izvanrednom granicom. Primjer 4 Zadane su logaritamske funkcije: f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x Moramo izračunati njihove derivate. Riješenje
Primijenimo izvedenu formulu: f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen s x. Koristimo neke trigonometrijske formule i prvu prekrasnu granicu za izvođenje formule za derivaciju trigonometrijske funkcije. Prema definiciji derivacije funkcije sinusa dobivamo: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x Formula za razliku sinusa omogućit će nam izvođenje sljedećih radnji: (sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 Konačno, koristimo prvo divno ograničenje: sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x Dakle, izvod funkcije grijeh x htjeti cos x. Također ćemo na isti način dokazati formulu za kosinusnu derivaciju: cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x Oni. derivacija funkcije cos x bit će – grijeh x. Formule za derivacije tangensa i kotangensa izvodimo na temelju pravila diferenciranja: t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x Odjeljak o derivaciji inverznih funkcija daje iscrpne informacije o dokazu formula za derivacije arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkotangensa, stoga ovdje nećemo duplicirati materijal. Formule za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa možemo izvesti pomoću pravila diferenciranja i formule za derivaciju eksponencijalne funkcije: s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje. Kao rezultat rješavanja problema nalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferenciranja. . Isaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) prvi su radili na polju pronalaženja izvedenica. Dakle, u naše vrijeme, da bi se našla derivacija bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo koristiti tablicu izvoda i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije. Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz ispod znaka poteza rastaviti jednostavne funkcije i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Nadalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja.
Nakon prva dva primjera navedena je tablica derivacija i pravila diferenciranja. Primjer 1 Pronađite izvod funkcije Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj. Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija "X" jednaka jedan, a derivacija sinusa je kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroju izvoda i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema: Primjer 2 Pronađite izvod funkcije Riješenje. Diferenciraj kao izvod zbroja, u kojem je drugi član s konstantnim faktorom, može se uzeti iz predznaka izvoda: Ako još uvijek postoje pitanja o tome odakle nešto dolazi, oni, u pravilu, postaju jasni nakon čitanja tablice derivata i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Upravo idemo k njima. Pravilo 1Ako funkcije
diferencijabilne u nekoj točki, tada u istoj točki funkcije štoviše oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija. Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantu, tada su njihove derivacije, tj. Pravilo 2Ako funkcije diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak također diferencijabilan u istoj točki štoviše oni. derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge. Posljedica 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije: Posljedica 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog od faktora i svih ostalih. Na primjer, za tri množitelja: Pravilo 3Ako funkcije diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilan.u/v , i oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika . Gdje pogledati na drugim stranicama Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferenciranja odjednom, pa više primjera o tim derivacijama možete pronaći u članku."Izvodnica umnoška i kvocijenta". Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovo je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi učenja izvedenica, no kako prosječan učenik riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan učenik više ne radi ovu pogrešku. A ako pri diferenciranju umnoška ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli, a samim tim i cijeli član će biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) . Druga česta pogreška je mehaničko rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvetio poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija. Usput, ne možete bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Radnje s moćima i korijenima I Akcije s razlomcima . Ako tražite rješenja izvodnica s potencijama i korijenima, odnosno kako funkcija izgleda Ako imate zadatak poput Primjer 3 Pronađite izvod funkcije Riješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija i derivacije one druge: Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član s predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu čija je derivacija jednaka jedinici i konstantu (broj) čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica: Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka: A rješenje zadatka na izvodnici možete provjeriti na . Primjer 4 Pronađite izvod funkcije Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat prijašnjeg brojnika. Dobivamo: Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet s predznakom minus: Ako tražite rješenja takvih problema u kojima trebate pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. Ako trebate naučiti više o izvodnicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda Primjer 5 Pronađite izvod funkcije Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Prema pravilu diferenciranja proizvoda i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena dobivamo: Rješenje zadatka izvodnice možete provjeriti na kalkulator izvedenica online . Primjer 6 Pronađite izvod funkcije Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferenciranja kvocijenta, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabličnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena dobivamo: Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .
. Stoga je f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Tada je za f`(c) > 0 lijeva strana nejednadžbe pozitivna, tj. f(x 2) > f(x 1), a funkcija je rastuća. na f`(s)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Pravila razlikovanja
Savjetujemo vam da spremite poveznicu, jer bi ova tablica mogla biti potrebna još puno puta. 
Derivacija funkcije potencije.
, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.
Derivacija eksponencijalne funkcije.
Derivacija logaritamske funkcije.
vrijedi zbog druge značajne granice.Derivacije trigonometrijskih funkcija.
.
Derivacije hiperboličkih funkcija.
Derivacija inverzne funkcije.
. U drugom unosu 
.
.
(Ovdje g je funkcija, i x- argument). Rješavanje ove jednadžbe za x, dobivamo (ovdje x je funkcija, i g njezin argument). To je, 
a međusobno inverzne funkcije.
I 
.
. Zatim, formulom za derivaciju inverzne funkcije, dobivamo
, To 
(vidi dio o osnovnim elementarnim funkcijama, njihovim svojstvima i grafovima). Stoga ne razmatramo.
. Područje definiranja derivacije arkusina je interval (-1;
1)
.
.
Derivacija konstante
Dokaz 1 Derivacija funkcije snage
Derivacija eksponencijalne funkcije
Dokaz 4 Derivacija logaritamske funkcije
Dokaz 5 Derivacije trigonometrijskih funkcija
Dokaz 6 Derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija
Derivacije hiperboličkih funkcija
Dokaz 7 
Tablica izvoda jednostavnih funkcija
1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek nula. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti
3. Derivacija stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potenciju.
4. Derivacija varijable na potenciju -1
5. Izvod kvadratnog korijena
6. Sinusna derivacija
7. Kosinusna derivacija 
8. Tangentna derivacija 
9. Derivacija kotangensa 
10. Derivacija arcsinusa 
11. Derivacija ark kosinusa 
12. Derivacija arc tangensa 
13. Derivacija inverzne tangense 
14. Derivacija prirodnog logaritma
15. Derivacija logaritamske funkcije 
16. Derivacija eksponenta
17. Derivacija eksponencijalne funkcije
Pravila razlikovanja
1. Derivacija zbroja ili razlike 
2. Derivat proizvoda 
2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom
3. Derivacija kvocijenta 
4. Derivacija složene funkcije 
, zatim slijedi lekcija "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima".
, onda ste u lekciji "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija".Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu
onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" ., onda imate lekciju "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .
