Uvjet ekvivalencije parova sila. Zbrajanje parova sila
Pogled: ovaj članak je pročitan 24574 puta
Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski
Kratki osvrt
Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika
Pregled
Svako kinematičko stanje tijela koja imaju točku ili os rotacije može se opisati momentom sile koji karakterizira rotacijski učinak sile.
Moment sile oko središta je vektorski umnožak polumjera - vektora točke primjene sile i vektora sile.
Rame snage- najkraća udaljenost od središta do pravca djelovanja sile (okomito od središta do pravca djelovanja sile).
Vektor je usmjeren prema pravilu vektorskog umnoška: moment sile oko središta (točke) kao vektora usmjeren je okomito na ravninu u kojoj se nalaze sila i središte tako da se s njegovog kraja vidi da sila pokušava rotirati tijelo oko središta suprotno od kazaljke na satu.
Jedinica mjere momenta sile imati 1
Moment sile oko središta u ravnini- algebarska vrijednost, koja je jednaka umnošku modula sile po kraku u odnosu na isto središte, uzimajući u obzir predznak.
Predznak momenta sile ovisi o smjeru u kojem sila pokušava rotirati oko središta:
- suprotno od kazaljke na satu - „−” (negativno)
- u smjeru kazaljke na satu - „+” (pozitivno);
Svojstva momenta sile oko središta (točke).
- Modul momenta sile u odnosu na točku jednak je dvostrukoj površini trokuta izgrađenog na vektorima.
- Moment sile oko točke ne mijenja se kada se sila prenosi duž njezine linije djelovanja, budući da krak sile ostaje nepromijenjen.
- Moment sile oko središta (točke) jednak je nuli ako:
- sila jednaka nuli F = 0;
- krak sile h = 0, tj. linija djelovanja sile prolazi središtem.
Varignonov teorem (o momentu rezultante).
Moment rezultantnog ravnog sustava konvergentnih sila u odnosu na bilo koje središte jednak je algebarskom zbroju momenata sastavnih sila sustava u odnosu na isto središte.
Teorija parova sila
Zbrajanje dviju paralelnih sila u istom smjeru.
Rezultantni sustav dviju paralelnih sila usmjerenih u istom smjeru jednak je po apsolutnoj vrijednosti zbroju modula komponenti sila, njima paralelnih i usmjerenih u istom smjeru.
Pravac djelovanja rezultante prolazi između točaka primjene komponenti na udaljenostima od tih točaka koje su obrnuto proporcionalne silama
Zbrajanje dviju paralelnih sila usmjerenih u različitim smjerovima (slučaj sila s različitim modulom)
Rezultanta dviju paralelnih, po modulu nejednakih, suprotno usmjerenih sila je njima paralelna i usmjerena u smjeru veće sile te je po modulu jednaka razlici komponenata sila.
Linija djelovanja rezultante prolazi izvan segmenta (na strani veće sile) koji spaja točke njihova djelovanja, a od njih je odvojena udaljenostima obrnuto proporcionalnim silama.
Snažni par- sustav dviju paralelnih sila, jednakih po veličini i suprotnog smjera, koje djeluju na apsolutno kruto tijelo.
Power Pair Shoulder- udaljenost između linija djelovanja sila para, tj. duljina okomice povučene iz proizvoljne točke pravca djelovanja jedne od sila para na pravac djelovanja druge sile.
Ravnina djelovanja para sila- ovo je ravnina u kojoj se nalaze linije djelovanja sila para.
Djelovanje para sila svodi se na rotacijsko gibanje, koje je određeno momentom para.
par trenutak naziva se vektor sa sljedećim karakteristikama:
- okomita je na ravninu para;
- usmjeren u smjeru iz kojeg se može vidjeti rotacija koju par izvodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu;
- njegov modul jednak je umnošku modula jedne od sila para i kraka para, uzimajući u obzir predznak
Znak momenta par sila:
- "+" - rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu
- „-„ - rotacija u smjeru kazaljke na satu
Moment para sila jednak je umnošku modula jedne od sila tog para i kraka tog para.
Moment para je slobodni vektor - za njega nisu naznačene ni točka primjene ni linija djelovanja, mogu biti proizvoljne.
Svojstvo momenta para sila: moment para jednak je momentu jedne od sila u odnosu na točku primjene druge sile.
Nekoliko teorema o silama
Teorem 1. Par sila nema rezultantu, tj. Par sila ne može se zamijeniti jednom silom.
Teorem 2. Par sila nije sustav uravnoteženih sila.
Posljedica: par sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo pokušavaju ga rotirati.
Teorem 3. Zbroj momenata para sila u odnosu na proizvoljno središte (točku) u prostoru je konstantna vrijednost i predstavlja vektor-moment tog para.
Teorem 4. Zbroj momenata sila koje čine par u odnosu na proizvoljno središte u ravnini djelovanja para ne ovisi o središtu i jednak je umnošku sile i kraka para , uzimajući u obzir znak, tj. sam trenutak para.
Teorem 5 - o ekvivalenciji parova. Ekvivalentni su parovi sila čiji su momenti brojčano i predznačno jednaki. Oni. par sila se može zamijeniti ili uravnotežiti samo drugim ekvivalentnim parom sila.
Teorem 6 - o ravnoteži para sila. Par sila čini uravnoteženi sustav sila ako i samo ako je moment para jednak nuli.
Teorem 7 - o mogućnostima pomicanja para sila u ravnini njegova djelovanja. Par sila dobiven pomicanjem para na bilo koje mjesto u ravnini njegova djelovanja ekvivalentan je dostavljenom paru.
Teorem 8 - o zbrajanju parova sila u ravnini. Moment para koji je ekvivalentan zadanom sustavu parova u ravnini jednak je algebarskom zbroju momenata sastavnih parova. Oni. Da biste dodali parove sila, morate dodati njihove momente.
Uvjeti ravnoteže sustava parova sila.
Parovi sila u ravnini su uravnoteženi ako je algebarski zbroj njihovih momenata jednak nuli.
Jezik: ruski, ukrajinski
Primjer proračuna čeonog zupčanika
Primjer proračuna čeonog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savojne čvrstoće.
Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su ucrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen opasni presjek i odabrana I-nosača. U problemu se analizira konstrukcija dijagrama pomoću diferencijalnih ovisnosti, provodi se komparativna analiza različitih presjeka grede.
Primjer rješavanja problema torzije vratila
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za zadani promjer, materijal i dopuštena naprezanja. Tijekom rješavanja izrađuju se dijagrami momenta, posmičnih naprezanja i kutova uvijanja. Vlastita težina osovine nije uzeta u obzir
Primjer rješavanja zadatka napetost-stlačenje štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tijekom rješavanja grade se krivulje uzdužnih sila, normalnih naprezanja i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir
Primjena teorema o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema primjene teorema o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sustava
Određivanje brzine i ubrzanja točke prema zadanim jednadžbama gibanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzine i ubrzanja točke prema zadanim jednadžbama gibanja
Određivanje brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja
Primjer rješavanja problema određivanja brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja
Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije
Savezni državni proračun obrazovni
ustanova visokog stručnog obrazovanja
Transbaikalsko državno sveučilište
Zavod za teorijsku mehaniku
SAŽETAK
Na temu: "Ekvivalencija parova sila u prostoru i na ravnini, njihov dodatak i uvjet ravnoteže"
Student: Sadilov I.A.
Grupa: SUS-13-2
Predavač: Geller Yu.A.
Čita, 2014
Što je par sila………………………………………………………3
Teorem o zbroju momenata para sila…………………………….3
Teorem o ekvivalenciji parova sila………………………………4
Teorem o prijenosu para sila u paralelnoj ravnini ...... .5
Teorem o zbrajanju parova sila………………………………………….8
Uvjeti ravnoteže parova sila……………………………………..8
Zaključci……………………………………………………………….9
Popis korištene literature………………………………10
PAR SILA
Nekoliko snaga naziva se sustav dviju jednakih po apsolutnoj vrijednosti, paralelnih i usmjerenih u suprotnim smjerovima, sila koje djeluju na apsolutno kruto tijelo.
Ravnina djelovanja para sila zove se ravnina u kojoj se te sile nalaze.
Po ramenu para sila d je najkraća udaljenost između linija djelovanja sila para.
trenutak
parovi sila
naziva se vektor čiji je modul jednak umnošku modula jedne od sila para i njegova ramena i koji je usmjeren okomito na ravninu djelovanja sila para u smjeru iz kojeg se vidljiv je par koji teži rotaciji tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. 
Teorem o zbroju momenata parovi snaga. Zbroj momenata sila koje čine par, u odnosu na bilo koju točku, ne ovisi o izboru ove točke i jednak je momentu tog para sila.
Dokaz: Odaberemo proizvoljnu točku O. Iz nje povučemo radijus vektore do točaka A i B (vidi sliku 4.2).
, 
H 
to je bilo ono što je trebalo dokazati.
Za dva para sila kaže se da su ekvivalentna , ako je njihovo djelovanje na čvrsto tijelo jednako, uz ostale uvjete jednake.
Teorem o ekvivalenciji parova sila. Par sila koji djeluje na kruto tijelo može se zamijeniti drugim parom sila koje se nalaze u istoj ravnini djelovanja i imaju isti moment kao prvi par.
.
P 
vratimo snagu 
točno 
, i sila 
točno 
. Prođimo kroz točke 
bilo koje dvije paralelne linije koje sijeku linije djelovanja sila para. Spoji točke 
isječak ravne linije i proširiti sile 
u točki 
I 
u točki 
prema pravilu paralelograma.
Jer 
, To
I 
Zato 
je ekvivalentan sustavu 
, a ovaj sustav je ekvivalentan sustavu 
, jer 
je ekvivalentan nuli.
Dakle, dan nam je par sila 
zamijenjen drugim parom sila 
. Dokažimo da su momenti tih parova sila isti.
Moment početnog para sila 
, i moment para sila 
brojčano jednaka površini paralelograma 
. Ali površine ovih paralelograma su jednake, budući da je površina trokuta 
jednaka površini trokuta 
.
Q.E.D.
Teorem o prijenosu para sila u paralelnoj ravnini . Djelovanje para sila na kruto tijelo neće se promijeniti od prijenosa tog para na paralelnu ravninu.
Dokaz: Neka na kruto tijelo djeluje par sila 
u avionu 
. Iz točaka primjene sila A i B spuštamo okomice na ravninu 
a u točkama njihova sjecišta s ravninom 
primijeniti dva sustava sila 
I 
, od kojih je svaki ekvivalentan nuli.
S 
staviti dvije jednake i paralelne sile 
I 
. Njihova rezultanta 
u točki O.
Zbrojimo dvije jednake i paralelne sile 
I 
. Njihova rezultanta 
paralelna tim silama, jednaka njihovom zbroju i primijenjena u sredini segmenta 
u točki O.
Jer 
, zatim sustav sila 
je ekvivalentan nuli i može se odbaciti.
Dakle, par snaga 
ekvivalent par sila 
, ali leži u drugoj, paralelnoj ravnini. Q.E.D.
Posljedica: Moment para sila koji djeluje na kruto tijelo je slobodni vektor.
Dva para sila koje djeluju na isto kruto tijelo su ekvivalentna ako imaju iste momente po veličini i smjeru.
Teorem o zbrajanju parova sila.
Dva para sila koje djeluju na isto kruto tijelo i leže u ravninama koje se sijeku mogu se zamijeniti jednim ekvivalentnim parom sila, čiji je moment jednak zbroju momenata zadanih parova sila. 
Dokaz: Neka postoje dva para sila smještena u ravninama koje se presjeku. Snažni par 
u avionu 
karakterizira trenutak 
, i par snaga 
u avionu 
karakterizira trenutak 
.
Rasporedimo parove sila tako da krak parova bude zajednički i da se nalazi na liniji presjeka ravnina. Zbrajamo sile primijenjene u točki A i točki B, 
. Uzmi malo snage 
.
Q.E.D.
Uvjeti ravnoteže parova sila
Ako na kruto tijelo proizvoljno smješteno u prostoru djeluje više parova sila, tada se uzastopnom primjenom pravila paralelograma na svaka dva momenta parova sila bilo koji broj parova sila može zamijeniti jednim ekvivalentnim parom sila, momentom od kojih je jednak zbroju momenata zadanih parova sila.
Teorema. Za ravnotežu parova sila koji djeluju na kruto tijelo potrebno je i dovoljno da moment ekvivalentnog para sila bude jednak nuli.
Teorema. Za uravnoteženje parova sila koje djeluju na kruto tijelo potrebno je i dovoljno da algebarski zbroj projekcija momenata parova sila na svaku od tri koordinatne osi bude jednak nuli.
Uvjeti ravnoteže sustava sila
vektorski oblik
Za ravnotežu proizvoljnog sustava sila koje djeluju na kruto tijelo potrebno je i dovoljno da glavni vektor sustava sila bude jednak nuli, a također i glavni moment sustava sila u odnosu na bilo koje središte redukcije. biti jednak nuli.
Algebarski oblik.
Za ravnotežu proizvoljnog sustava sila koje djeluju na kruto tijelo potrebno je i dovoljno da tri zbroja projekcija svih sila na Kartezijeve koordinatne osi budu jednaka nuli, a tri zbroja momenata svih sila oko tri koordinatne osi također su jednake nuli.
Uvjeti ravnoteže prostornog sustava
paralelne sile
Na tijelo djeluje sustav paralelnih sila. Postavimo os Oz paralelno sa silama.
Jednadžbe 
Za ravnotežu prostornog sustava paralelnih sila koje djeluju na kruto tijelo potrebno je i dovoljno da zbroj projekcija tih sila bude jednak nuli, a zbrojevi momenata tih sila oko dviju koordinatnih osi okomitih na sile također jednake nuli.
- projekcija sile na os Oz.
Zaključci:
Par sila kao kruta figura može se rotirati i prenositi na bilo koji način u svojoj ravnini djelovanja.
Za par sila možete promijeniti polugu i sile, zadržavajući moment para i ravninu djelovanja.
3. moment para je slobodni vektor i potpuno određuje djelovanje para na apsolutno kruto tijelo. Za deformabilna tijela teorija parova je neprimjenjiva.
KNJIŽEVNOST:
1. Kirsanov M.N. Teorijska mehanika. Udžbenik za samostalno učenje.
2.Targ S.M kolegij teorijske mehanike.
Aksiom o uvjetu ekvivalencije parova sila u prostoru. Umjesto vektora momenta svakog para sila, okomito na ravninu crteža, oni označavaju samo smjer u kojem par sila nastoji rotirati tu ravninu.
Parovi sila u prostoru su ekvivalentni ako su im momenti geometrijski jednaki. Bez promjene djelovanja para sila na kruto tijelo, par sila se može prenijeti u bilo koju ravninu paralelnu s ravninom djelovanja para, a također promijeniti svoje sile i rame, zadržavajući modul i smjer svoje konstanta momenta. Dakle, vektor momenta para sila može se prenijeti u bilo koju točku, tj. moment para sila je slobodan vektor. Vektor momenta para sila opisuje sva tri njegova elementa: položaj ravnine djelovanja para, smjer rotacije i numeričku vrijednost momenta. Razmotrimo zbrajanje dva para sila smještenih u ravninama koje se sijeku, i dokažimo sljedeći aksiom: geometrijski zbroj momenata sastavnih parova sila jednak je momentu njihovog ekvivalentnog para. Neka je potrebno dodati dva para sila koje se nalaze u ravninama I i II koje se sijeku i imaju momente 
Riža. 34 Odabir sila ovih parova jednakih po apsolutnoj vrijednosti
definirajte ramena ovih parova:
Rasporedimo te parove sila na takav način da sile budu usmjerene duž trake presjeka KL ravnina u suprotnim smjerovima i uravnotežene. Preostale sile tvore par sila ekvivalentan zadana dva para sila. Ovaj par sila ima rame BC \u003d d i moment okomit na ravninu djelovanja para sila, jednak po modulu M \u003d Pd.
Geometrijski zbroj momenata sastavnih parova sila jednak je momentu ekvivalentnog para. Budući da je moment para sila slobodni vektor, momente sastavnih parova sila prenosimo u točku B i zbrajamo, gradeći na tim momentima paralelogram. Dijagonala ovog paralelograma
predstavlja moment ekvivalentnog para. Slijedi da je vektor, tj. geometrijski zbroj momenata sastavnih parova sila, jednak momentu ekvivalentnog para sila:
Ova metoda zbrajanja momenata parova sila naziva se pravilo paralelograma momenata. Konstrukcija paralelograma momenata može se zamijeniti konstrukcijom trokuta momenata.
Koristeći konstrukciju paralelograma ili trokuta momenata, može se riješiti i obrnuti problem, tj. bilo koji par sila rastaviti na dvije komponente. Neka je potrebno dodati nekoliko parova sila proizvoljno smještenih u prostoru (slika 35). Odredivši momente ovih parova, oni se mogu prenijeti u bilo koju točku O mjesta. Zbrajanjem momenata tih parova sila jedan po jedan, moguće je izgraditi poligon momenata parova čija strana zatvaranja određuje moment njima ekvivalentnog para sila. Na (sl. 35) prikazana je konstrukcija poligona momenata pri zbrajanju 3 para.
Moment para sila, sila ekvivalentnih zadanom sustavu parova sila u prostoru, jednak je geometrijskom zbroju momenata sastavnih parova sila:
ili
Ravnina I djelovanja zadanog para sila okomita je na smjer njegova momenta
Ako je moment ekvivalentnog para sila jednak nuli, tada su parovi sila međusobno uravnoteženi:
Dakle, uvjet ravnoteže za parove sila proizvoljno smještenih u prostoru može se konstruirati na sljedeći način: parovi sila proizvoljno smješteni u prostoru su u ovom slučaju međusobno uravnoteženi, ako je geometrijski zbroj njihovih momenata jednak nuli. Ako su parovi sila postavljeni u istoj ravnini (slika 36), tada se momenti tih parova sila, usmjereni duž jedne ravne linije, algebarski zbrajaju. 
Ekvivalencija: A) 2 para s jednakim momentima su ekvivalentna. Par sila se može pomicati, rotirati u ravnini djelovanja, pomaknuti u paralelnu ravninu, a sila i poluga se mogu mijenjati istovremeno.
B) 2 para koja leže u istoj ravnini mogu se zamijeniti jednim parom koji leži u istoj ravnini s momentom jednakim zbroju momenata tih parova.
M=M(R,R')= BA× R=BA×( F 1 +F 2)=BA× F 1 +BA× F 2. Pri prijenosu sila po liniji djelovanja moment para se ne mijenja Þ BA× F 1 \u003d M 1, BA× F 2 \u003d M 2, M \u003d M 1 +M 2.
DODATAK. 2 para koja leže u ravninama koje se sijeku ekvivalentna su 1 paru, čiji je moment jednak zbroju momenata dva zadana para.
dano :( F 1 , F 1 ’), (F 2 , F 2 ’)
Dokaz:
Te sile dovodimo do ramena AB – osi presjeka ravnina. Dobijamo parove:
(Q 1 ,Q 1 ') i ( Q 2 ,Q 2'). pri čemu M 1 =M(Q 1 ,Q 1 ’)=M(F 1 , F 1 ’),
M 2 =M(Q 2 ,Q 2 ’)=M(F 2 , F 2 ’).
Zbrojimo snage R=Q 1 +Q 2 , R'=Q 1 ’+Q 2'. T. do. Q 1 ’= -Q 1 , Q 2 ’= -Q 2 R= -R'. Dokazano je da je sustav dvaju para ekvivalentan sustavu ( R,R’). M(R,R’)=BA× R=BA×( Q 1 +Q 2)= BA× Q 1 +BA× Q 2 =M(Q 1 ,Q 1 ’)+ M(Q 2 ,Q 2 ’)=M(F 1 ,F 1 ’)+ M(F 2 ,F 2 ') M=M 1 +M 2 .
UVJETI RAVNOTEŽE:
Sustav je u ravnoteži ako je ukupni moment svih parova sila koje djeluju na tijelo jednak nuli.
M 1 +M 2 +…+M n=0.
Ulaznica broj 2.
- Koordinatni način zadavanja kretanja točke (pravokutni Kartezijev koordinatni sustav). Putanja, brzina, ubrzanje točke.
- Aksiomi statike.
Kartezijev koordinatni sustav.
Vektor r može se proširiti u osnovi ja, j, k: r=x ja+y j+z k.
Kretanje materijalne točke potpuno je definirano ako su zadane tri kontinuirane i jednoznačne funkcije vremena t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), koje opisuju promjenu koordinata točke tijekom vremena. Te se jednadžbe nazivaju kinematičke jednadžbe gibanja točke. Radijus vektor r je funkcija varijabli x, y, z, koje su pak funkcije vremena t. Prema tome, izvedenica r׳(t) se može izračunati prema pravilu
d r/dt=∂ r/∂x∙dx/dt+∂ r/∂y∙dy/dt+∂ r/∂z∙dz/dt.
Otuda slijedi da v=v x ja+vi j+vz k.
V =√ (vx²+vy²+vz²)
Ubrzanje točke u određenom trenutku naziva se vektor A, jednaka derivaciji vektora brzine v s vremenom. A=x׳׳(t) ja+y׳׳(t) j+z׳׳(t) k.
A=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)
Aksiomi statike.
1) 2 sile koje djeluju na trbušne mišiće. kruto tijelo će biti ekvivalentno 0 ako i samo ako su jednake u apsolutnoj vrijednosti, djeluju na istoj ravnoj liniji i usmjerene su u suprotnim smjerovima.
2) Djelovanje ovog sustava sila na apsolutno kruto tijelo neće se promijeniti ako mu se doda ili oduzme sustav sila ekvivalentan 0 => točku primjene sile možemo prenijeti duž linije njezina djelovanja.
3) Ako se na tijelo primijene 2 sile koje izlaze iz jedne točke, tada se one mogu zamijeniti rezultantom (bilo koja se sila može rastaviti na komponente beskonačan broj puta).
4) Sile međudjelovanja dvaju tijela jednake su po veličini i suprotnog smjera.
Djelovanje veza može se zamijeniti djelovanjem sila – reakcijama komunikacije.
Ulaznica broj 3.
- Prirodni način za specificiranje kretanja točke. Putanja, brzina, ubrzanje točke.
- Algebarski i vektorski moment sile oko točke.
Prirodnim putem.
Ako je zadana putanja kretanja točke, odabrano ishodište i pozitivan referentni smjer te je poznata ovisnost putanje o vremenu S=S(t), onda se ovakav način zadavanja kretanja točke naziva prirodnim. V=d r/dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r/dS=S׳(t)∙ τ = =v τ ∙ τ. D r/dS= τ . Τ uvijek je usmjeren u smjeru "+" referentnog S.
A=d v/dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² n/ρ. A τ =S׳׳-tangencijalno ubrzanje, a n =(S׳)²/ρ-normalno (centripetalno) ubrzanje, ρ-polumjer zakrivljenosti.
A=√((a τ)²+(a n)²).
Vektorski i algebarski moment para sila.
Algebarski moment M=±F∙d (par). M=±dF 1 =±dF 2 =±2S ΔABC = ±S ٱ . Ne mijenja se kada se sile kreću duž svoje linije djelovanja (ne mijenjaju se ni krak ni smjer rotacije).
Vektorski moment - vektor M=M(F,f'), usmjeren je okomito na ravninu para u smjeru iz kojeg je vidljiva tendencija para da okreće tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, njegov modul jednak je algebarskom momentu para.
M(F 1 ,F 2)=BA x F 1 =AB x F 2 .
Momenti u odnosu na točku.
Algebarski moment sile F u odnosu na točku O naziva se umnožak uzet predznakom "+" ili "-" | F| na njenom ramenu: M O ( F)=±Fh=±2S ΔOAB ∙ M OD). "+" - suprotno od kazaljke na satu. Karakterizira rotacijski učinak F.
Svojstva:
A) Ne mijenja se kada se točka primjene pomiče duž linije djelovanja sile. (od | F|sinα= konst).
B) b = 0 ako m. O leži na liniji djelovanja sile.
Akcijska ravnina M prolazi kroz F i O.
Vektorski moment sile F u odnosu na točku O - vektor M O( F)=r x F (r je radijus vektor od A do O). | M O( F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh.
M O( F)= x A y A z A =>
ð M Ox ( F)=yF z -zF y
ð M Oy ( F)=zFx -xFz
M Oz ( F)=xF y -yF x
Ulaznica broj 4.
- Koordinatni način zadavanja kretanja točke (polarni koordinatni sustav). Putanja, brzina, ubrzanje točke.
- Nekoliko moći. Teorem o zbroju momenata sila koje čine par, u odnosu na proizvoljnu točku.
Polarne koordinate
Ox je polarna os, φ je polarni kut, r je polarni radijus. Ako je zadan zakon r=r(t), φ=φ(t), tada je zadano gibanje u polarnom koordinatnom sustavu. Neka r=rº r, rº- jedinični vektor, pº┴rº- jedinični vektor. Zatim v=d r/dt=r׳ rº+
rd rº/dt=r׳ rº+rφ׳ pº=vr rº+vp pº. v p i v r su transverzalna i radijalna komponenta brzine. A=d v/dt=d(r׳ rº+rφ׳ pº)/dt=r׳׳ rº+r ׳ d rº/dt+r׳φ׳ pº+rφ׳׳ pº+rφ׳∙
d pº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº= a r ∙ rº+ap pº.
r²=x²+y², φ=arctg(y/x).
Valjanost zaključaka izvedenih na kraju § 9 može se neposredno dokazati.
Promotrimo par sila F, F koji djeluju na kruto tijelo. Povucimo dvije paralelne crte u ravnini djelovanja tog para kroz proizvoljne točke D i E dok se ne sijeku s pravcima djelovanja sila F, F u točkama A i B (sl. 34) i primijenite sile F , F na te točke (izvorno su se F i F mogle primijeniti na bilo koje druge točke na njihovim linijama djelovanja). Rastavimo sada silu F duž pravaca AB i EB na sile - duž pravaca BA i AD na sile Q i P. Očito je da se Sile Q i Q, kao uravnotežene, mogu odbaciti. Kao rezultat toga, par sila F, F bit će zamijenjen parom P, P s drugim krakom i drugim silama koje se očito mogu primijeniti u točkama D, E na njihovim linijama djelovanja. Štoviše, zbog proizvoljnosti u izboru točaka D, E i pravaca pravaca AD i BE, par P, P može se nalaziti u ravnini svog djelovanja bilo gdje f? položaj u kojem su sile P i P paralelne s F, par se može reducirati ako se navedena transformacija izvrši dvaput).
Pokažimo u zaključku da parovi imaju iste trenutke. Označimo te trenutke pojedinačno s gdje prema formuli Od tada ali (vidi bilješku na str. 32) i, prema tome,
Iz dokazanog slijede sljedeća svojstva para sila:
1) par, bez promjene djelovanja koje vrši na kruto tijelo, može se prenijeti bilo gdje u ravnini djelovanja para;
2) za dati par, bez mijenjanja djelovanja koje on vrši na kruto tijelo, moguće je proizvoljno mijenjati module sila ili duljinu kraka, zadržavajući njegov moment nepromijenjenim.
Može se dokazati da par sila ima još jedno prilično očito svojstvo (izostavljamo dokaz):
3) par se, ne mijenjajući djelovanje koje vrši na kruto tijelo, može prenijeti iz dane ravnine u bilo koju drugu ravninu paralelnu s danom.
Slijedi da su dva para sila s istim momentima međusobno ekvivalentna (teorem o ekvivalenciji para). To proizlazi iz činjenice da se navedenim operacijama, tj. promjenom kraka i pomicanjem para u ravnini djelovanja ili prelaskom u paralelnu ravninu, parovi s istim momentima mogu transformirati jedan u drugi.
Dokažimo sada teorem o zbrajanju parova: sustav parova koji djeluju na apsolutno kruto tijelo ekvivalentan je jednom paru s momentom jednakim geometrijskom zbroju momenata parova koji se zbrajaju.
Razmotrimo prva dva para s momentima koji leže u ravninama (slika 35). Uzmimo segment na liniji presjeka ravnina i nacrtajmo par s momentom sila i par s momentom sila (u ovom slučaju, naravno, ).
Zbrajanjem sila koje djeluju u točkama A i B, uvjeravamo se da su parovi stvarno ekvivalentni jednom paru, nalazimo moment M ovog para. Budući da ovaj ili prema formuli
Za dva para teorem je dokazan; štoviše, očito je da je dokaz sačuvan i u slučaju kada se ravnine i II spajaju (članovi para leže u istoj ravnini).
Ako na tijelo djeluje sustav parova s momentima, onda uzastopnom primjenom dobivenog rezultata za dva para nalazimo da će taj sustav parova doista biti ekvivalentan jednom paru s momentom
