Dom > Prevareni muž > Lorenz model. "Modeliranje Lorenzovog atraktora


Lorenz model. "Modeliranje Lorenzovog atraktora




I sve putanje iz nekog susjedstva texvc-a imaju tendenciju Nemogućnost raščlanjivanja izraza (Izvršna texvc datoteka nije pronađena; Vidi math/README - pomoć za konfiguraciju.): L at Nije moguće raščlaniti izraz (Izvršna texvc datoteka nije pronađena; Vidi math/README - pomoć postavljanjem.): t\to\infty (odatle naziv).

Lorentzov atraktor pronašao je u numeričkim eksperimentima Lorentz, koji je proučavao ponašanje putanja nelinearnog sustava:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađen; pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \begin(cases) \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end(cases)

sa sljedećim vrijednostima parametara: σ=10, r=28, b=8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Ovaj je sustav prvi put predstavljen kao prva netrivijalna Galerkinova aproksimacija za problem konvekcije morske vode u ravnom sloju, što je motiviralo izbor vrijednosti σ, r I b, ali također se pojavljuje u drugim fizičkim pitanjima i modelima:

  • konvekcija u zatvorenoj petlji;
  • rotacija vodenog kotača;
  • jednomodni laserski model;
  • disipativni harmonijski oscilator s inercijalnom nelinearnošću.

Početni hidrodinamički sustav jednadžbi:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađen; pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \begin(cases) \frac ( \partial \vec v )(\partial t) + \left(\vec v \nabla \right ) \vec v = -\frac (\nabla p)(\rho) + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac ( \partial \rho )(\partial t) + \ nabla \ cdot \lijevo(\rho \vec v \desno) = 0 \\ \frac ( \partial T )(\partial t) + \nabla \cdot \lijevo(T \vec v \desno) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \lijevo(1 - \gama \lijevo(T - T_0 \desno) \desno) \end(slučajevi),

gdje Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađen; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \vec v - brzina protoka, Nije moguće raščlaniti izraz (Izvršni texvc nije pronađen; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju. ): T - temperatura tekućine, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna texvc datoteka nije pronađena; Pogledajte math/README - pomoć za konfiguraciju.): T_0 - temperatura gornje granice (donja granica je podržana Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna texvc datoteka nije pronađena; pogledajte math/README - pomoć pri podešavanju.): T_0 + \Delta T ), Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađena; Vidi math/README - pomoć pri podešavanju.): \rho - gustoća, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađena; Vidi math/README - pomoć pri postavljanju.): p - pritisak, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađen; Pogledajte math/README - pomoć pri postavljanju.): \vec g - gravitacija, Nije moguće raščlaniti izraz (izvršni texvc nije pronađen; Pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): \gamma,\ \chi,\ \nu su koeficijent toplinske ekspanzije, toplinska difuznost i kinematička viskoznost.

U problemu konvekcije model nastaje proširenjem brzine strujanja i temperature u dvodimenzionalne Fourierove redove i njihovim naknadnim “rezanjem” s točnošću prvog i drugog harmonika. Osim toga, reducirani potpuni sustav hidrodinamičkih jednadžbi napisan je u Boussinesqovoj aproksimaciji. Skraćivanje redova opravdano je do određene mjere, budući da je Soltzman u svom radu pokazao odsutnost bilo kakvih zanimljivih značajki u ponašanju većine harmonika.

Primjenjivost i usklađenost sa stvarnošću

Označimo fizičko značenje varijabli i parametara u sustavu jednadžbi u odnosu na navedene probleme.

  • Konvekcija u ravnom sloju. Ovdje x odgovoran za brzinu rotacije vodenih osovina, g I z- za raspodjelu temperature vodoravno i okomito, r- normalizirani Rayleighov broj, σ - Prandtlov broj (omjer koeficijenta kinematičke viskoznosti i koeficijenta toplinske difuzije), b sadrži informacije o geometriji konvektivne ćelije.
  • Konvekcija u zatvorenoj petlji. Ovdje x- brzina protoka, g- temperaturno odstupanje od prosjeka u točki 90 ° udaljenoj od donje točke petlje, z- isto, ali na donjoj točki. Toplina se dovodi na najnižoj točki.
  • Rotacija vodenog kotača. Razmatran je problem kotača na čijem su rubu pričvršćene košare s rupama na dnu. Vrh kotača simetrično kontinuirani tok vode teče oko osi rotacije. Zadatak je ekvivalentan prethodnom, okrenut "naglavačke", uz zamjenu temperature gustoćom rasporeda mase vode u košarama po rubu.
  • single mode laser. Ovdje x je amplituda valova u laserskoj šupljini, g- polarizacija, z- populacijska inverzija energetskih razina, b i σ su omjeri inverzije i koeficijenata relaksacije polja prema koeficijentu relaksacije polarizacije, r- intenzitet pumpanja .

Vrijedno je istaknuti da je, primijenjen na problem konvekcije, Lorentzov model vrlo gruba aproksimacija, vrlo daleko od stvarnosti. Više-manje odgovarajuća korespondencija postoji u području pravilnih režima, gdje stabilna rješenja kvalitativno odražavaju eksperimentalno opaženu sliku jednoliko rotirajućih konvektivnih valjaka (Benardove ćelije). Kaotični režim svojstven modelu ne opisuje turbulentnu konvekciju zbog značajnog skraćivanja izvornog trigonometrijskog niza.

Zanimljiva je značajno veća točnost modela uz neke njegove modifikacije, koji se koristi, posebice, za opisivanje konvekcije u sloju koji je izložen vibracijama u vertikalnom smjeru ili promjenjivim toplinskim učincima. Takve promjene vanjskih uvjeta dovode do modulacije koeficijenata u jednadžbama. U ovom slučaju, visokofrekventne Fourierove komponente temperature i brzine značajno su potisnute, poboljšavajući slaganje između Lorentzovog modela i stvarnog sustava.

Imajte na umu Lorenzovu sreću u odabiru vrijednosti parametra Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna texvc datoteka nije pronađena; pogledajte math/README za pomoć pri podešavanju.): r , budući da sustav dolazi samo do čudnog atraktora za vrijednosti veće od 24,74, za manje ponašanje ispada potpuno drugačije.

Ponašanje rješenja sustava

Razmotrimo promjene u ponašanju rješenja Lorentzovog sustava za različite vrijednosti parametra r. Ilustracije uz članak prikazuju rezultate numeričke simulacije za točke s početnim koordinatama (10,10,10) i (-10,-10,10). Modeliranje je provedeno korištenjem donjeg programa, napisanog na jeziku Fortran, iscrtavanjem prema dobivenim tablicama - zbog slabih grafičkih mogućnosti Fortran-a korištenjem Compaq Array Viewer-a.

  • r load(draw)$ draw3d(point_size=0.01, points_joined=true, point_type=filled_circle,points(x,y,z))$

    Napišite osvrt na članak "Lorenz Attractor" Bilješke Literatura
    • Kuznetsov S.P., Predavanje 3. Lorentzov sustav; Predavanje 4. Dinamika Lorentzovog sustava. // - M.: Fizmatlit, 2001.
    • Saltzman B. Konvekcija bez konačne amplitude kao problem početne vrijednosti. // Journal of the atmospheric science, br. 7, 1962. - str. 329-341 (prikaz, ostalo).
    • Lorenz E. Determinističko neperiodično gibanje // Strange attractors. - M., 1981. - S. 88-116.
    Vidi također odlomak koji karakterizira Lorenz Attractor– Pa, naravno, spomenuto je, Isidora! I ne samo da je spomenuto ... Najbolji umjetnici nekada su slikali slike koje su prikazivale Magdalenu, koja ponosno čeka svog nasljednika. Malo je toga ostalo, nažalost. Crkva nije mogla dopustiti takav “skandal” jer se ni na koji način nije uklapao u “povijest” koju je ona kreirala... No, nešto ipak ostaje, očito zbog propusta ili nepažnje onih koji su na vlasti, Mračni misleći. ..

    Kako su mogli dopustiti da se ovo dogodi? Uvijek sam mislio da su Razmišljajući Mračni dovoljno pametni i oprezni? Uostalom, to bi moglo pomoći ljudima da uvide laži koje su im prezentirali "sveti" oci crkve. Nije li?
    – Je li netko razmišljao, Isidora?.. – tužno sam odmahnula glavom. "Vidite... Ljudi im ne zadaju previše problema..."
    - Možeš li mi pokazati kako je predavala, Sever? ..
    Kao dijete, žurio sam s pitanjima, skakao s teme na temu, želeći vidjeti i naučiti što više za vrijeme koje mi je dodijeljeno, već gotovo potpuno isteklo...
    A onda sam opet ugledala Magdalenu... Ljudi su sjedili oko nje. Bili su različite dobi - mladi i stari, bez iznimke, svi dugokosi, odjeveni u jednostavnu tamnoplavu odjeću. Magdalena je bila u bijelom, s kosom koja joj je padala preko ramena, pokrivajući je prekrasnim zlatnim ogrtačem. Soba u kojoj su se svi u tom trenutku nalazili podsjećala je na djelo ludog arhitekta koji je u zaleđenom kamenu utjelovio svoj najčudesniji san...

    Kako sam kasnije saznao, pećina se zaista zove – Katedrala (Sathedral) i još uvijek postoji.
    Longrives Caves, Languedoc

    Bila je to špilja koja je izgledala kao veličanstvena katedrala... koju je, čudnim hirom, iz nekog razloga priroda tamo izgradila. Visina ove “katedrale” dosegla je nevjerojatne razmjere, nošena direktno “u nebo” nevjerojatnim, “uplakanim” kamenim ledenicama, koje su se, negdje odozgo, spajajući se u čudesan uzorak, opet obrušile, lebdeći točno iznad glava oni koji sjede ... Prirodno osvjetljenje u špilji , naravno, nije bilo. Niti su svijeće gorjele, niti je kroz pukotine, kao obično, probijala slaba dnevna svjetlost. Ali unatoč tome, ugodan i ujednačen zlatni sjaj nježno se širio neobičnom "dvoranom", dolazeći niotkuda i omogućujući vam da slobodno komunicirate, pa čak i čitate ...
    Ljudi koji su sjedili oko Magdalene bili su vrlo koncentrirani i pozorno promatrali ispružene ruke Magdalene. Odjednom se među njezinim dlanovima počeo pojavljivati ​​jarko zlatni sjaj, koji se, sve gušći, počeo zgušnjavati u ogromnu plavičastu kuglu, koja se pred našim očima stvrdnjavala dok nije postala poput... planeta!..
    “Sjever, što je?” šapnula sam iznenađeno. Ovo je naša Zemlja, zar ne?
    Ali on se samo prijateljski nasmiješio, ne odgovorivši i ništa ne objasnivši. I nastavio sam gledati fasciniran u nevjerojatnu ženu, u čijim su se rukama planeti "rađali" tako jednostavno i lako! .. Nikada nisam vidio Zemlju izvana, samo na crtežima, ali iz nekog razloga bio sam potpuno siguran da je to bila ona. A u to vrijeme pojavio se već drugi planet, pa još jedan... i još jedan... Kružili su oko Magdalene, kao čarobni, a ona je smireno, s osmijehom, nešto objašnjavala publici, naizgled ne umarajući se uopće i ne obraćajući pažnju na iznenađena lica, kao da pričaju o nečem običnom i svakodnevnom. Shvatio sam - učila ih je astronomiju!.. Za koju ih ni u moje vrijeme nisu "gladili" po glavi, a za koju je još jednako lako bilo ući ravno u vatru... A Magdalena je to već zaigrano učila tada - prije dugih pet stotina godina!!!
    Vizija je nestala. A ja, potpuno omamljen, nikako se nisam mogao probuditi da postavim Sjeveru svoje sljedeće pitanje ...
    Tko su bili ti ljudi, Sever? Izgledaju isto i čudno... Čini se da ih spaja zajednički energetski val. I imaju istu odjeću, kao redovnici. Tko su oni?..
    - Ma, to su slavni katari, Izidora, ili kako ih još zovu - čisti. Ljudi su im dali ovo ime zbog ozbiljnosti njihovog morala, čistoće njihovih pogleda i poštenja njihovih misli. Sami katari su sebe nazivali "djecom" ili "Vitezovima Magdalene" ... što su u stvarnosti i bili. Ovaj narod je uistinu od nje STVOREN, da bi poslije (kada više ne bude postojao) ljudima donosio Svjetlost i Znanje, suprotstavljajući to lažnom učenju “presvete” crkve. Oni su bili najvjerniji i najtalentiraniji Magdalenini učenici. Nevjerojatni i čisti ljudi - pronijeli su NJEZINA učenja u svijet, posvetivši tome svoje živote. Postali su čarobnjaci i alkemičari, čarobnjaci i znanstvenici, doktori i filozofi... Pokorile su im se tajne svemira, postali su čuvari Radomirove mudrosti - tajnog Znanja naših dalekih predaka, naših Bogova... Pa ipak, svi su u svojim srcima nosili vječnu ljubav prema svojoj "lijepoj Gospi"... Zlatnoj Mariji... svojoj Svijetloj i tajanstvenoj Magdaleni... Katari su sveto čuvali u svojim srcima istinitu priču o Radomirovu prekinutom životu, i zakleli se da će spasiti njegovu ženu i djecu, ma koliko ih to koštalo... Za koje su kasnije, dva stoljeća kasnije, svi platili životom... Ovo je uistinu velika i vrlo tužna priča, Isidora. Nisam siguran trebaš li je poslušati.
    - Ali ja želim znati za njih, Sever!.. Reci mi, odakle su došli, svi nadareni? Da nije slučajno iz doline magova?
    – Pa naravno, Isidora, jer to je bio njihov dom! I tu se Magdalena vratila. Ali bilo bi pogrešno odati priznanje samo nadarenima. Uostalom, čak su i obični seljaci naučili čitati i pisati od katara. Mnogi od njih su pjesnike znali napamet, koliko god to vama sada suludo zvučalo. Bila je to prava zemlja snova. Zemlja svjetla, znanja i vjere koju je stvorila Magdalena. I ta se Vjera proširila iznenađujuće brzo, privlačeći u svoje redove tisuće novih "katara", koji su bili jednako gorljivo spremni braniti Znanje koje su dali, kao što su bili Zlatna Marija koja ga je dala... Učenje Magdalene projurilo je kroz zemlje poput uragana, jedna osoba koja razmišlja. Aristokrati i znanstvenici, umjetnici i pastiri, zemljoradnici i kraljevi pridružili su se redovima katara. Oni koji su imali, lako su svoja bogatstva i zemlje dali katarskoj “crkvi”, da njena velika moć ojača, i da se Svjetlost njene duše proširi po cijeloj Zemlji.
    – Oprosti što te prekidam, Sever, ali jesu li i katari imali svoju crkvu?.. Je li i njihovo učenje bilo vjera?
    – Pojam “crkva” je vrlo raznolik, Isidora. To nije bila crkva kako je mi shvaćamo. Crkva katara bila je sama Magdalena i njen Duhovni Hram. Odnosno, Hram svjetla i znanja, kao i Radomirov hram, čiji su vitezovi u početku bili templari (jeruzalemski kralj Balduin II nazvao je templare Vitezovi hrama. Temple - na francuskom - Hram. ) Nisu imali određenu zgradu u koju bi ljudi dolazili na namaz . Crkva katara bila im je u duši. Ali još uvijek je imala svoje apostole (ili, kako su ih zvali, Savršene), od kojih je prva, naravno, bila Magdalena. Savršeni ljudi bili su oni koji su dosegli najviše razine Znanja i posvetili se apsolutnom služenju njemu. Kontinuirano su usavršavali svoj Duh, gotovo se odrekavši fizičke hrane i fizičke ljubavi. Savršeni su služili ljudima, poučavajući ih svom znanju, liječeći potrebite i štiteći svoje štićenike od žilavih i opasnih šapa Katoličke crkve. Bili su to nevjerojatni i nesebični ljudi, spremni do posljednjeg dana braniti svoje Znanje i Vjeru, te Magdalenu koja im ih je dala. Šteta što od katara gotovo da nije ostalo dnevnika. Ostali su nam samo zapisi o Radomiru i Magdaleni, ali oni nam ne daju točne događaje o posljednjim tragičnim danima hrabrog i bistrog katarskog naroda, budući da su se ti događaji zbili već dvije stotine godina nakon Isusove smrti i Magdalene.
    - Reci mi, Sever, kako je umrla Zlatna Marija? Tko je imao tako crnog duha da digne prljavu ruku na ovu divnu ženu?..
    – Crkva, Isidora... Na žalost, ta ista Crkva!.. Pomahnitala je, videći u liku katara najopasnijeg neprijatelja, postupno i vrlo samouvjereno zauzimajući njezino “sveto” mjesto. I shvativši svoj skori slom, više se nije smirivala, nastojeći na svaki način uništiti Magdalenu, s pravom je smatrajući glavnim krivcem „zločinačkog“ učenja i nadajući se da će bez svoje Zvijezde vodilje katari nestati, nemajući ni vođu ni vođu. Vjera. Crkva nije shvaćala koliko je snažno i duboko bilo Učenje i znanje katara. Da to nije bila slijepa „vjera“, nego način njihova života, bit onoga za što su živjeli. I stoga, koliko god se "sveti" oci trudili pridobiti katare, u Čistoj zemlji Oksitaniji nije bilo ni pedlja zemlje za lažnu i zločinačku kršćansku Crkvu...
    - Ispada da nije ovo radio samo Karaffa?! .. Je li oduvijek tako bilo, Sever? ..
    Pravi me užas uhvatio kada sam iznio cjelokupnu globalnu sliku izdaja, laži i ubojstava koje je „sveta“ i „opraštajuća“ kršćanska vjera činila, pokušavajući preživjeti!..
    - Kako je ovo moguće? Kako ste mogli gledati i ne miješati se? Kako si mogao živjeti s ovim, a da ne poludiš, Sever?!
    Nije odgovorio, dobro znajući da je to samo “vapaj duše” ogorčene osobe. Da, i dobro sam znao njegov odgovor... Stoga smo neko vrijeme šutjeli, kao usamljene duše izgubljene u mraku...
    – Pa kako je umrla Zlatna Marija? Možete li mi reći nešto o tome? – ne mogavši ​​izdržati dugotrajnu stanku, ponovno sam upitao.
    Sever je tužno kimnuo, pokazujući da razumije...
    - Nakon što je Magdalenino učenje zauzelo više od polovice tadašnje Europe, papa Urban II odlučio je da bi daljnje odgađanje bilo poput smrti za njegovu voljenu "presvetu" crkvu. Pomno osmislivši svoj đavolski plan, bez odlaganja je poslao u Oksitaniju dva vjerna "udomitelja" Rima, za koje je Magdalena znala da su "prijatelji" katara. I opet, kako se to prečesto događalo, divni, bistri ljudi postali su žrtvama svoje čistoće i časti... Magdalena ih je primila u svoj prijateljski zagrljaj, velikodušno ih opskrbivši hranom i krovom. I premda ju je gorka sudbina naučila da ne bude previše lakovjerna osoba, bilo je nemoguće posumnjati u bilo koga, inače bi njezin život i njezino Učenje izgubili svaki smisao. I dalje je vjerovala u DOBRO, bez obzira na sve...

    Godine 1961. meteorolog i matematičar Edward Lorenz, koji je preminuo 16. travnja 2008., unio je podatke u računalni vremenski model koji je izradio, zaokruživši ih ne na šestu, već na treću decimalu. Kao rezultat toga, formuliran je efekt leptira, otkriven je jedan od čudnih atraktora, otkrivena je nepredvidivost ponašanja mnogih determinističkih sustava i, u konačnici, stvorena je teorija kaosa.

    Pozadina: Laplaceov demon Godine 1814., veliki francuski znanstvenik Pierre-Simon Laplace stvorio je demona koji je bio predodređen da postane predmetom znanstvenih rasprava dugi niz godina. Fiktivni demon znao je položaj i brzinu svake čestice u svemiru u svakom trenutku vremena i, pošto je ovladao svim fizikalnim zakonima, mogao je predvidjeti budućnost svake čestice i opisati njenu prošlost.

    Pitanje: je li takav demon uopće teoretski zamisliv? Uspjesi moderne znanosti sugerirali su da da: izračunate su orbite planeta, predviđene su pojave kometa, slučajni događaji opisani su teorijom vjerojatnosti.

    Međutim, kasnije je Laplaceov demon bio žestoko kritiziran. Nakon razvoja kvantne mehanike i otkrića Heisenbergovog principa neodređenosti (nemoguće je točno izmjeriti brzinu i koordinate čestice u isto vrijeme), postalo je jasno da kvantni sustavi nisu podložni demonu: oni imaju temeljne nepredvidivo.

    Naknadno je također uočeno da bi postojanje demona bilo protivno zakonima termodinamike, što mu, u načelu, ne bi bilo dovoljno za poznavanje i izračunavanje informacijskih kapaciteta, čak i kad bi koristio sve resurse Svemira.

    Međutim, demon nije potpuno odustao. Doista, zamislite potpuno deterministički (unaprijed određen, lišen slučajnosti) sustav (klasičan, bez kvantnih učinaka). Ako poznajemo sve zakone koji upravljaju njegovim ponašanjem (ma koliko složeni bili), znamo sve potrebne parametre i imamo potrebnu računalnu snagu (odnosno, imamo Laplaceovog demona pri ruci - čitaj: superračunalo), onda za takvim i takvim sustavom možemo potpuno predvidjeti ponašanje?

    Postoji jedno upozorenje. Sva naša mjerenja sadržavat će neku vrstu pogreške. Varijable pohranjene u memoriji računala imat će ograničenu preciznost. Odnosno, morat ćete koristiti približne podatke. Pa, dobro: ne treba nam beskonačna točnost, dovoljna su približna predviđanja. Sadrži li izvorni podatak pogrešku u petoj znamenki? Pogreška predviđanja u petom znaku sasvim će nam odgovarati.

    Dakle, je li moguće, na primjer, predvidjeti vrijeme? Bar približno? Barem na nekom ograničenom području, ali na koliko-toliko pristojno razdoblje?

    Tri decimale Edward Lorenz od djetinjstva voli vrijeme i matematiku. Tijekom Drugog svjetskog rata postao je meteorolog američkog ratnog zrakoplovstva, nakon čega je nastavio proučavati teorijske osnove meteorologije na Massachusetts Institute of Technology, a počeo se baviti i prilično egzotičnim poslom za to vrijeme - pokušavajući naučiti kako predvidjeti vrijeme pomoću računalnih modela.

    Na raspolaganju mu je bilo računalo Royal McBee. Godine 1960. Lorenz je stvorio pojednostavljeni vremenski model. Model je bio skup brojeva koji opisuju vrijednost nekoliko varijabli (temperatura, atmosferski tlak, brzina vjetra) u danom trenutku. Lorentz je odabrao dvanaest jednadžbi koje su opisivale odnos između ovih varijabli. Vrijednost varijabli u sljedećem trenutku vremena ovisila je o njihovoj vrijednosti u prethodnom trenutku i izračunata je pomoću ovih jednadžbi. Dakle, model je bio potpuno deterministički.

    Lorenzovi kolege bili su oduševljeni modelom. Stroj je dobio nekoliko brojeva, počeo je odavati nizove brojeva (kasnije ga je Lorenz naučio crtati jednostavne grafikone) koji opisuju vrijeme u nekom imaginarnom svijetu. Brojevi se nisu ponavljali - ponekad su se gotovo ponavljali, činilo se da sustav reproducira svoje staro stanje, ali ne u potpunosti, nije bilo ciklusa. Jednom riječju, umjetno vrijeme bilo je slabo predvidljivo, a priroda te nepredvidljivosti (aperiodičnosti) bila je približno ista kao i vrijeme izvan prozora. Učenici i profesori su se kladili pokušavajući pogoditi u kakvom će stanju model biti u sljedećem trenutku.

    U zimu 1961. Lorenz je odlučio pobliže pogledati graf jedne od varijabli koje je stroj već iscrtao. Kao početne podatke unio je vrijednosti varijabli iz sredine grafa i otišao se odmoriti. Stroj bi morao točno reproducirati drugu polovicu grafikona i nastaviti ga dalje graditi. Međutim, kada se Lorenz vratio, zatekao je potpuno drugačiji grafikon. Ako je na početku više-manje ponavljao prvo, onda na kraju s njim nije imao ništa zajedničko.

    Divergencija dva vremenska grafikona koja potječu iz iste točke. Lorenzov ispis iz 1961., reproduciran u knjizi Jamesa Gleicka "Kaos: Stvaranje nove znanosti" (Sankt Peterburg, "Amphora", 2001.).

    Pokazalo se da model iz kojeg je potpuno eliminirana slučajnost, s istim početnim vrijednostima, daje potpuno drugačije rezultate. Stroj se nije pokvario i sve je ispravno prebrojao, Lorenz nije grešio prilikom unosa podataka.

    Rješenje je pronađeno vrlo brzo: memorija stroja je pohranila vrijednosti varijabli s točnošću od šest decimalnih mjesta (...,506217), a ispisane su samo tri (...,506). Lorentz je, naravno, uveo zaokružene vrijednosti, razumno pretpostavljajući da je takva točnost sasvim dovoljna.

    Ispostavilo se da nije. „... male domine su se srušile ... velike domine ... goleme domine povezane lancem bezbrojnih godina koje čine Vrijeme“, zapisao je Ray Bradbury 1952. godine u poznatoj priči „Grom je izašao“. Otprilike isto se dogodilo u modelu Lorenz. Pokazalo se da je sustav izuzetno osjetljiv na najmanji udar na njega.

    Efekt leptira Ovo opažanje, zajedno s mnogim drugim otkrićima, dovelo je do detaljne studije determinističkog kaosa - nepravilno i nepredvidivo ponašanje determinističkih nelinearnih dinamičkih sustava(definicija Rodericka Jensena sa Sveučilišta Yale), očito nepravilno, ponavljajuće ponašanje u jednostavnom determinističkom sustavu nalik satu(definicija Brucea Stewarta iz Nacionalnog laboratorija Brookhaven, SAD).

    Odakle kaos i nepredvidljivost u determinističkom sustavu? Od jake osjetljivosti do početnih uvjeta. Najmanji utjecaj koji se ne može eliminirati - zaokruživanje varijable (ako se radi o teoretskom modelu), pogreška mjerenja (ako se radi o proučavanju realnog sustava) - i sustav se ponaša potpuno drugačije.

    Lorenz je dao dobar primjer: ako vrijeme doista pripada klasi ovako osjetljivih sustava (naravno, nisu svi sustavi takvi), onda lepet krila galeba može uzrokovati primjetne promjene vremena. Naknadno je galeba zamijenio leptir, a 1972. pojavilo se djelo “Predvidljivost: Može li lepet leptirovih krila u Brazilu izazvati tornado u Teksasu?”.

    Tako je rođen poznati izraz "efekt leptira", koji se odnosi i na Bradburyjevu priču i, iznenađujuće, na sljedeće Lorenzovo otkriće - čudni atraktor nazvan po njemu.

    Neočekivana struktura Na prvi pogled, otkriće je prilično loša vijest: mnogi se sustavi, unatoč prividnoj determinizmu, ponašaju potpuno nepredvidivo. Međutim, Lorentz tu nije stao i počeo je tražiti red u nasumičnosti. Činilo se da mora biti negdje: na kraju krajeva, nije bila slučajnost da je sustav pokazao aperiodično ponašanje, gotovo ponavljajući s vremena na vrijeme stanje koje je već nastalo ranije.

    Lorentz je izgradio sličan, ali jednostavniji model s tri jednadžbe u tri varijable. Model je opisao konvekciju u plinu i tekućini, kao i ponašanje jednostavnog mehaničkog uređaja - Lorentzovog vodenog kotača (vidi sliku). Pod pritiskom vode koja puni posude (i istječe iz njih kroz male rupe), kotač se ponaša na iznenađujuće složen način: usporava, ubrzava, počinje se okretati u drugom smjeru, zaustavlja se - općenito, kao priliči kaotičnom sustavu koji poštuje sebe.

    Jednadžbe su izgledale ovako
    dx/dt = s(y - x)
    dy/dt = x(r - z) - y
    dz/dt = xy - bz
    s=10, r=28, b=8/3. Možete uzeti druge vrijednosti parametara, ali neće za sve sustav pokazati kaotično ponašanje.

    Kako bi vizualno prikazao ponašanje sustava, Lorenz nije koristio uobičajeni vremenski grafikon, već fazni portret. Tri broja koja opisuju stanje sustava označavaju koordinate točke u trodimenzionalnom prostoru. Svakim korakom na faznom se portretu pojavljivala nova točka.

    Kad bi sustav prije ili kasnije došao do pune stabilnosti, zbrajanje bodova bi prije ili kasnije potpuno prestalo. Kad bi se radilo o periodičkim oscilacijama, linija točkica bi tvorila prsten. Naposljetku, kad ne bi bilo nikakvih obrazaca u ponašanju sustava, bilo što bi se moglo pojaviti na faznom portretu.

    Rezultat je bio potpuno neočekivan. Predmet koji se pojavio na portretu (vidi glavnu ilustraciju) nalazio se unutar određenih granica, a da ih nije prelazio. Imao je određenu strukturu - izgledao je kao dva krila leptira - ali je unutar sebe bio potpuno neuredan. Nije se prestao "razvijati": niti jedna nova točka nije se podudarala s prethodnom, fazni portret mogao se graditi unedogled. Prijelaz s jednog krila na drugo odgovarao je početku rotacije kotača u drugom smjeru.

    Takvi objekti - čudni atraktori - odigrali su veliku ulogu u fraktalnoj geometriji i teoriji kaosa. "Leptirova krila" nazivaju se "Lorenzov atraktor".

    Efekt leptira: fazni portreti za tri trenutka u vremenu. Žute i plave linije predstavljaju trajektorije koje odgovaraju početnim skupovima podataka u kojima se x vrijednosti razlikuju za 10 -5. U početku se linije gotovo podudaraju (žuta se zatvara s

    Teorija kaosa Lorenzova promatranja tjeraju nas da doživimo dva šoka. Prvo, pokazuje se da Laplaceov demon može biti nemoćan čak i pred ne baš složenim determinističkim sustavom. Tamo gdje se čini da je sve unaprijed određeno, iznenada nastaje kaos.

    Drugi šok je što se u tom kaosu, pokazalo se, krije red. Neočekivano, čudno, slabo shvaćeno, predstavlja "finu strukturu koja vreba u kaotičnom protoku informacija" (J. Gleick), ali utoliko zanimljivije. Lorentzov atraktor ne rješava problem predviđanja, ali samo njegovo postojanje je vrijedno proučavanja.

    Traženjem takvih manifestacija reda u kaosu bavi se relativno mlada znanost, teorija kaosa. Nije nastao odmah i nema jednog tvorca. Njeni temelji postavljeni su u djelima Poincarea, Kolmogorova, Arnolda, Ljapunova, Landaua, Smalea, Mandelbrota, Feigenbauma i desetaka drugih talentiranih znanstvenika, koji su ili vidjeli ono što nitko prije nije vidio, ili su uspjeli opisati ono što su drugi vidjeli.

    Jedan od ključnih trenutaka (usput rečeno, ne odmah cijenjen) u njegovoj pojavi smatra se dan kada je Edward Norton Lorenz, zaljubljenik u vremenske prilike i tvrdoglavi tragač za čudnim, uveo varijabilne vrijednosti​​​​​zaokružene na tri decimale mjesta u svom modelu.

    FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

    DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA

    VISOKA STRUČNA OBRAZOVANJA

    “SAMARA DRŽAVNO SVEUČILIŠTE ZA ARHITEKTURU I GRAĐEVINSTVO”

    FAKULTET INFORMACIJSKIH SUSTAVA I TEHNOLOGIJA

    ZAVOD ZA PRIMIJENJENU MATEMATIKU I RAČUNARSTVO

    DISCIPLINSKI IZVJEŠTAJ

    "ANALIZA SUSTAVA"

    "Modeliranje Lorenzovog atraktora"

    IZVOĐU UČENICI GIP-105:

    N. I. ZAKONOV

    UČITELJ, NASTAVNIK, PROFESOR:

    PIYAVSKY S. A.

    Vježbajte

    Programirajte Lorenzov model u C# jeziku s prikazom u obliku dijagrama toka procesa, provjerite ispravnost programiranja dobivanjem “Lorentz leptira” sa standardnim vrijednostima parametara.

    Početni podaci

    Najupečatljiviji primjer dinamičkog kaosa otkrio je 1963. godine meteorolog Edward Lorenz, rješavajući problem toplinske konvekcije tekućine.

    Pojednostavljujući jednadžbe koje opisuju ovaj fenomen što je više moguće, Lorentz je slučajno naišao na činjenicu da čak i relativno jednostavan sustav od tri spregnute nelinearne diferencijalne jednadžbe prvog reda može imati potpuno kaotične putanje kao rješenja.

    Ovaj sustav jednadžbi, koji je sada postao klasičan, ima oblik:

    Rješenje ovih jednadžbi - funkcije X(t), Y(t) i Z(t) - određuju u parametarskom obliku putanju sustava u trodimenzionalnom "faznom" prostoru X, Y, Z. Budući da su funkcije na desnim stranama ovih jednadžbi jedinstvene, putanja se nikada ne siječe.

    Lorentz je proučavao oblik ovih trajektorija pod različitim početnim uvjetima za vrijednosti parametara r = 28, y = 10 i b = 8/3. Otkrio je da u ovom slučaju putanja kaotično luta od poluprostora x>0 do poluprostora x 24 - putanje više ne vode do stabilnih točaka, već se asimptotski približavaju nestabilnim graničnim ciklusima - javlja se stvarni Lorentzov atraktor.

    Slika 5 - Model sustava za r< 24

    Zaključak

    Lorentzov model pravi je fizički primjer dinamičkih sustava s kaotičnim ponašanjem. Proučavanjem ponašanja sustava za različite vrijednosti skupa parametara, može se potvrditi da postoje prijelazi između stanja sustava (grafovi sustava).

    Najzanimljivija mi je oscilatorna faza, u kojoj sustav oscilira između dvije statične točke, ali ih ne doseže.

    Književnost

    1. Upute za izvođenje laboratorijske nastave iz discipline „Analiza sustava“/; Samarsk. država arh.-građ. un-t. / Samara, 20s.

    Kaotični, čudni atraktori odgovaraju nepredvidivom ponašanju sustava koji nemaju striktno periodičnu dinamiku; to je matematička slika determinističkih neperiodičnih procesa. Čudni atraktori su strukturirani i mogu imati vrlo složene i neobične konfiguracije u trodimenzionalnom prostoru.

    Riža. 1.

    i fazni portreti (donji red) za tri različita sustava

    (Gleick, 2001.)

    Iako je u radovima nekih matematičara ranije utvrđena mogućnost postojanja čudnih atraktora, po prvi put konstrukcija čudnog atraktora (sl. 2) kao rješenja sustava diferencijalnih jednadžbi provedena je u radu na računalno modeliranje toplinske konvekcije i turbulencije u atmosferi američkog meteorologa E. Lorentza (E. Lorentz, 1963.) . Konačno stanje Lorentzovog sustava je izuzetno osjetljivo na početno stanje. Sam termin "čudni atraktor" pojavio se kasnije, u radu D. Ruellea i F. Takensa (D. Ruelle, F. Takens, 1971.: vidi Ruelle, 2001.) o prirodi turbulencije u fluidu; autori su primijetili da je dimenzija čudnog atraktora drugačija od uobičajene, odnosno topološke, a kasnije je B. Mandelbrot identificirao čudne atraktore, čije su putanje tijekom sekvencijalnih računalnih proračuna beskonačno stratificirane, razdvojene, s fraktalima.

    Riža. 2. (Kaotične putanje u Lorentzovom sustavu). Lorenz Attractor (Kronover, 2000.)

    Lorenz (1963.) je otkrio da čak i jednostavan sustav od tri nelinearne diferencijalne jednadžbe može dovesti do kaotičnih putanja. -drugi harmonik:

    gdje su s, r i b neki pozitivni brojevi, parametri sustava. Obično se istraživanja Lorenzovog sustava provode pri s =10, r =28 i b =8/3 (vrijednosti parametara).

    Dakle, sustavi čije je ponašanje određeno pravilima koja ne uključuju slučajnost pokazuju nepredvidivost tijekom vremena zbog rasta, pojačanja, pojačanja malih neizvjesnosti, fluktuacija. Vizualna slika sustava s rastućom nesigurnošću je takozvani biljar Ya.G. Sinai: dovoljno veliki slijed sudara loptica neizbježno dovodi do povećanja malih odstupanja od izračunatih putanja (zbog neidealno sferne površine stvarnih lopti, neidealno homogene površine tkanine) i nepredvidivosti sustava ponašanje.

    U takvim sustavima, "slučajnost se stvara na isti način na koji se miješa tijesto ili špil karata" (Crutchfield et al., 1987). Takozvana „pekarska transformacija“ uz sukcesivno rastezanje i preklapanje, beskonačno preklapanje jedan je od modela nastanka prijelaza iz reda u kaos; u ovom slučaju broj transformacija može poslužiti kao mjera kaosa. Postoji Aizawa atraktor, koji je poseban slučaj Lorenzovog atraktora.

    gdje je a = 0,95, B = 0,7, c = 0,6, d = 3,5, e = 0,25, F = 0,1. Svaka prethodna koordinata unosi se u jednadžbe, a dobivena vrijednost se množi s vremenskim vrijednostima.

    Primjeri drugih čudnih atraktora

    Atraktor WangSun

    Ovdje su a, b, d, e?R, c>0 i f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

    Rösslerov atraktor

    Gdje su a,b,c= pozitivne konstante. Uz vrijednosti parametra a=b=0,2 i

    LORENTZ SUSTAV

    LORENTZ SUSTAV

    Sustav triju nelinearnih diferencijala. ur-cije prvog reda:

    rješenja za-roj u širokom rasponu parametara su nepravilne funkcije vremena i mnogi drugi. njihove karakteristike se ne razlikuju od slučajnih. L. s. dobio je E. Lorenz iz jednadžbi hidrodinamike kao model za opisivanje toplinske konvekcije u vodoravnom sloju tekućine grijanom odozdo ( R r - Prandtlov broj, - smanjena Broj releja, b- određuje se izborom u Fourierovom širenju polja brzine i temperature).


    Riža. 1. Prikaz uzastopnih bifurkacija u Lorentzovom sustavu s rastućim parametrom r: A) ; b) ; c) d) e) f)

    L. s. je jedan od primjera dinamički sustav, imajući jednostavan fizički značenje; pokazuje stohastičko. ponašanje sustava. U fazni prostor ovaj sustav u rasponu parametara prikazanih na sl. 1 postoji neobičan atraktor, kretanje reprezentativne točke na kromu odgovara "slučajnom" - turbulentnom strujanju fluida tijekom toplinske konvekcije.

    Riža. 2. Konvektivna petlja - fizički model za koji su izvedene Lorentzove jednadžbe.

    L. s. (na b=l) opisuje, posebno, gibanje tekućine u konvektivnoj petlji koja se nalazi u vertikalnoj ravnini u homogenoj gravitacijskoj toroidalnoj šupljini ispunjenoj tekućinom (slika 2). Temperatura neovisna o vremenu (ali ovisna o kutu) održava se na stijenkama šupljine. T(); niži dio petlje je topliji od vrha. Jednadžbe gibanja fluida u konvektivnoj petlji svode se na L. s., gdje x(t] - brzina fluida, y(t) - temp-pa na točki N, a z(t) - temp-pa na točki M u cjelini t. S rastom G mijenja se priroda gibanja tekućine: prvo (na r