Teorija derivacija funkcija. §1
Vrlo je lako zapamtiti.
Pa, nećemo ići daleko, odmah ćemo razmotriti inverznu funkciju. Što je inverzna eksponencijalna funkcija? Logaritam:
U našem slučaju baza je broj:
Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.
Čemu je jednako? Naravno, .
Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:
Primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponent i prirodni logaritam su funkcije koje su jedinstveno jednostavne u smislu derivacije. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.
Pravila razlikovanja
Koja pravila? Opet novi mandat?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.
Samo i sve. Koja je druga riječ za ovaj proces? Ne proizvodnovanie... Diferencijal matematike naziva se sam prirast funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda.
Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.
Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka, ili lakše.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u točki;
- u točki;
- u točki;
- u točki.
rješenja:
- (derivacija je ista u svim točkama, jer je to linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvodimo novu funkciju i nalazimo njezin inkrement:
izvedenica:
Primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u točki.
rješenja:
Derivacija eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenta (jeste li već zaboravili što je to?).
Pa gdje je neki broj.
Već znamo izvedenicu funkcije, pa pokušajmo dovesti našu funkciju na novu bazu:
Da bismo to učinili, koristimo se jednostavnim pravilom: . Zatim:
Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Dogodilo se?
Evo, provjerite sami:
Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kako je bilo, tako i ostaje, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se napisati u jednostavnijem obliku. Stoga je u odgovoru ostavljen u ovom obliku.
Imajte na umu da je ovdje kvocijent dviju funkcija, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferenciranja:
U ovom primjeru, proizvod dviju funkcija:
Derivacija logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:
Stoga, za pronalaženje proizvoljnog iz logaritma s različitom bazom, na primjer, :
Moramo dovesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Samo što ćemo sada umjesto napisati:
Pokazalo se da je nazivnik samo konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod je vrlo jednostavan:
Izvodnice eksponencijalne i logaritamske funkcije gotovo se nikad ne nalaze na ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.
Derivacija složene funkcije.
Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako ako vam se logaritam čini teškim, pročitajte temu "Logaritmi" i sve će uspjeti), ali u matematičkom smislu riječ "kompleksno" ne znači "teško".
Zamislite mali transporter: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi omota čokoladicu u omot, a drugi ga veže vrpcom. Ispada takav kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti suprotne korake obrnutim redoslijedom.
Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim ćemo kvadrirati dobiveni broj. Dakle, oni nam daju broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda ti kvadriraš ono što sam ja dobio (vežeš vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvršimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što se dogodilo kao rezultat prve.
Drugim riječima, Složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za naš primjer,.
Možemo učiniti iste radnje obrnutim redoslijedom: prvo kvadrirate, a zatim tražim kosinus rezultirajućeg broja:. Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.
Drugi primjer: (isto). .
Pozvat će se zadnja akcija koju napravimo "vanjsku" funkciju, a prva izvršena radnja - respektivno "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:
odgovori: Razdvajanje unutarnje i vanjske funkcije vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Što ćemo prvo poduzeti? Prvo izračunamo sinus, a tek onda ga dižemo na kub. Dakle, to je unutarnja funkcija, a ne vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: . - Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.
E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladu - potražite izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. Za izvorni primjer to izgleda ovako:
Još jedan primjer:
Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
Čini se da je jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interno: ;
Vanjski: ;
2) Interno: ;
(samo nemojte pokušavati reducirati do sada! Ništa nije izvađeno ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interno: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se ovdje radi o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje još izvlačimo korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: svejedno, ovu funkciju ćemo "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.
U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji - kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Korijen. .
3. Sinus. .
4. Trg. .
5. Sve zajedno:
DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta s infinitezimalnim prirastom argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila razlikovanja:
Konstanta se uzima iz predznaka izvoda:
Derivacija zbroja:
Izvedeni proizvod:
Derivacija kvocijenta:
Derivacija složene funkcije:
Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:
- Definiramo "unutarnju" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Definiramo "vanjsku" funkciju, nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge točke.
Datum: 20.11.2014
Što je derivat?
Tablica izvedenica.
Derivacija je jedan od glavnih pojmova više matematike. U ovoj lekciji predstavit ćemo ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokazivanja.
Ovaj uvod će vam omogućiti da:
Razumjeti bit jednostavnih zadataka s izvedenicom;
Uspješno riješite ove vrlo jednostavne zadatke;
Pripremite se za ozbiljnije lekcije o derivatima.
Prvo, ugodno iznenađenje.
Stroga definicija derivacije temelji se na teoriji limita, a stvar je prilično komplicirana. To je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!
Za uspješno rješavanje većine zadataka u školi i na fakultetu dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- riješiti to. I to je to. Ovo me čini sretnim.
Hoćemo li se upoznati?)
Termini i oznake.
U elementarnoj matematici ima mnogo matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam, itd. Ako se tim operacijama doda još jedna, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijacija. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u posebnim lekcijama.
Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija samo matematička operacija na funkciji. Uzimamo bilo koju funkciju i transformiramo je prema određenim pravilima. Rezultat je nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: izvedenica.
Diferencijacija- djelovanje na funkciju.
Izvedenica je rezultat ove radnje.
Baš kao npr. iznos je rezultat zbrajanja. Ili privatna je rezultat podjele.
Poznavajući uvjete, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacija je sljedeća: pronaći derivaciju funkcije; uzeti izvedenicu; razlikovati funkciju; izračunati izvedenicu i tako dalje. Ovo je sve isti. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferenciranje) biti samo jedan od koraka u rješavanju zadatka.
Derivacija je označena crticom gore desno iznad funkcije. Kao ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.
čitati y potez, ef potez od x, es potez od te, pa kužiš...)
Prim također može označavati derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivacija označava pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takav zapis u ovoj lekciji.
Pretpostavimo da smo naučili razumjeti zadatke. Ne preostaje ništa – naučiti ih rješavati.) Da vas još jednom podsjetim: pronalaženje izvodnice je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Tih je pravila iznenađujuće malo.
Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stupa na kojima počiva svaka diferencijacija. Evo tri kita:
1. Tablica izvodnica (formule diferenciranja).
3. Derivacija složene funkcije.
Krenimo redom. U ovoj lekciji ćemo razmotriti tablicu izvedenica.
Tablica izvedenica.
Svijet ima beskonačan broj funkcija. Među ovim skupom postoje funkcije koje su najvažnije za praktičnu primjenu. Ove funkcije nalaze se u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija zove se elementarne funkcije. Upravo se te funkcije proučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.
Diferencijacija funkcija "od nule", tj. na temelju definicije derivacije i teorije limita – prilično dugotrajna stvar. A i matematičari su ljudi, da, da!) Pa su si pojednostavili život (i nama). Oni su prije nas izračunavali izvode elementarnih funkcija. Rezultat je tablica izvedenica, gdje je sve spremno.)
Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Lijevo - elementarna funkcija, desno - njezin izvod.
| Funkcija g |
Derivacija funkcije y y" |
|
| 1 | C (konstanta) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n je bilo koji broj) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | grijeh x | (sinx)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Preporučujem da obratite pozornost na treću skupinu funkcija u ovoj tablici izvedenica. Derivacija potencije jedna je od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Je li savjet jasan?) Da, poželjno je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tablica će biti zapamćena!)
Pronalaženje tablične vrijednosti derivata, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u formulaciji zadatka, ili u izvornoj funkciji, koja se ne čini u tablici ...
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Odredite izvod funkcije y = x 3
U tablici nema te funkcije. Ali postoji opća derivacija funkcije snage (treća skupina). U našem slučaju je n=3. Stoga zamijenimo trostruku umjesto n i pažljivo zapišemo rezultat:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je sve.
Odgovor: y" = 3x 2
2. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = sinx u točki x = 0.
Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći izvod sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 ovoj istoj izvedenici. Tim je redom! Inače se događa da odmah zamene nulu u izvornu funkciju ... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost izvorne funkcije, već vrijednost njegova izvedenica. Izvedenica je, podsjetit ću, već nova funkcija.
Na ploči nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:
y" = (sinx)" = cosx
Zamijenite nulu u izvod:
y"(0) = cos 0 = 1
Ovo će biti odgovor.
3. Razlikujte funkciju:
Što inspirira?) Takve funkcije nema ni blizu u tablici izvedenica.
Dopustite mi da vas podsjetim da diferencirati funkciju znači jednostavno pronaći izvod te funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, pronalaženje derivacije naše funkcije prilično je problematično. Stol ne pomaže...
Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostrukog kuta, tada sve odmah postaje bolje!
Da da! Zapamtite da je transformacija izvorne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I događa se da život bude puno lakši. Prema formuli za kosinus dvostrukog kuta:
Oni. naša lukava funkcija nije ništa drugo nego y = kormilar. A ovo je funkcija tablice. Odmah dobivamo:
Odgovor: y" = - sin x.
Primjer za napredne maturante i studente:
4. Pronađite izvod funkcije:
U tablici izvedenica te funkcije, naravno, nema. Ali ako se sjećate elementarne matematike, radnji s ovlastima... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Kao ovo:
A x na potenciju jedne desetine je već tablična funkcija! Treća skupina, n=1/10. Izravno prema formuli i napišite:
To je sve. Ovo će biti odgovor.
Nadam se da je s prvim kitom diferencijacije - tablicom izvedenica - sve jasno. Ostaje se pozabaviti s dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila razlikovanja.
U ovoj lekciji naučit ćemo kako primijeniti formule i pravila razlikovanja.
Primjeri. Naći derivacije funkcija.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena Pravila ja, formule 4, 2 i 1. Dobivamo:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Rješavamo slično, koristeći iste formule i formulu 3.
y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Primjena Pravila ja, formule 3, 5
I 6
I 1.
Primjena Pravila IV, formule 5
I 1
.
U petom primjeru prema pravilu ja izvod zbroja jednak je zbroju izvoda, a upravo smo pronašli izvod 1. člana (primjer 4 ), dakle, pronaći ćemo izvedenice 2 I 3 uvjeti, i za 1 izraz, možemo odmah napisati rezultat.
Razlikovanje 2 I 3 termini prema formuli 4
. Da bismo to učinili, transformiramo korijene trećeg i četvrtog stupnja u nazivnicima u potencije s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4
formule, nalazimo derivacije potencija.
Pogledajte ovaj primjer i rezultat. Jeste li uhvatili uzorak? Fino. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.
Riješimo šesti primjer i izvedimo još jednu formulu.
Koristimo pravilo IV i formula 4
. Smanjujemo dobivene frakcije.
Promatramo ovu funkciju i njenu derivaciju. Vi ste, naravno, razumjeli obrazac i spremni ste nazvati formulu:
Učenje novih formula!
Primjeri.
1. Pronađite inkrement argumenta i inkrement funkcije y= x2 ako je početna vrijednost argumenta bila 4 , i novi 4,01 .
Riješenje.
Nova vrijednost argumenta x \u003d x 0 + Δx. Zamijenite podatke: 4,01=4+Δx, dakle povećanje argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Budući da imamo funkciju y=x2, To Δu\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.
Inkrement funkcije je bilo moguće pronaći na drugi način: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.
2. Odredite kut nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u točki x 0, Ako f "(x 0) \u003d 1.
Riješenje.
Vrijednost derivacije u točki dodira x 0 i vrijednost je tangente nagiba tangente (geometrijsko značenje izvodnice). Imamo: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, jer tg45°=1.
Odgovor: tangenta na graf ove funkcije čini kut s pozitivnim smjerom osi Ox, jednak 45°.
3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=xn.
Diferencijacija je čin pronalaženja derivacije funkcije.
Pri iznalaženju izvoda koriste se formule koje su izvedene na temelju definicije izvoda, na isti način kao što smo izveli formulu za stupanj izvoda: (x n)" = nx n-1.
Ovdje su formule.
Tablica izvedenica lakše će se zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:
1. Derivacija konstantne vrijednosti je nula.
2. X udarac jednak je jedan.
3. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije.
4. Derivacija stupnja jednaka je umnošku eksponenta tog stupnja i stupnja s istom bazom, ali je eksponent za jedan manji.
5. Izvodnica korijena jednaka je jedinici podijeljenoj s dva ista korijena.
6. Derivacija jedinice podijeljena s x je minus jedan podijeljeno s x na kvadrat.
7. Derivacija sinusa jednaka je kosinusu.
8. Derivacija kosinusa jednaka je minus sinus.
9. Derivacija tangensa jednaka je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.
10. Derivacija kotangensa je minus jedan podijeljena s kvadratom sinusa.
mi podučavamo pravila razlikovanja.
1.
Derivacija algebarske sume jednaka je algebarskoj sumi izvodnih članova.
2. Derivacija umnoška jednaka je umnošku derivacije prvog faktora i drugog plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog.
3. Izvodnica "y" podijeljena s "ve" jednaka je razlomku u čijem je brojniku "y crta pomnožena s "ve" minus "y, pomnožena s crtom", a u nazivniku - "ve na kvadrat ”.
4. Poseban slučaj formule 3.
Učimo zajedno!
Stranica 1 od 1 1
Derivacija funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.
Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Derivacija je brzina promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafovi triju funkcija. Što mislite koji najbrže raste?
Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću derivaciju.
Evo još jedan primjer.
Kostya, Grisha i Matvey su se zaposlili u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihovi prihodi mijenjali tijekom godine:
Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostyin prihod se više nego udvostručio u šest mjeseci. I Grishini prihodi su također porasli, ali samo malo. I Matthewov prihod pao je na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. izvedenica, - drugačiji. Što se tiče Matveya, derivat njegovih prihoda je uglavnom negativan.
Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja s x. Očito, ista funkcija u različitim točkama može imati različitu vrijednost derivacije – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.
Derivacija funkcije označava se s .
Pokažimo kako pronaći pomoću grafikona.
Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmite točku na njoj s apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.
Derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj točki.
Napomena - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.
Ponekad učenici pitaju što je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna linija koja ima jedinu zajedničku točku s grafom u ovom dijelu, štoviše, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na krug.
Hajdemo pronaći. Sjetimo se da je tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak omjeru suprotnog kraka i susjednog. Iz trokuta:
Derivaciju smo pronašli pomoću grafa, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se zadaci često nalaze na ispitu iz matematike pod rednim brojem.
Postoji još jedna važna korelacija. Prisjetimo se da je ravna crta dana jednadžbom
Veličina u ovoj jednadžbi zove se nagib ravne linije. Jednak je tangensu kuta nagiba pravca prema osi.
.
Shvaćamo to
Zapamtimo ovu formulu. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.
Derivacija funkcije u točki jednaka je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj točki.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangensu nagiba tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvodnice u različitim točkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim stopama. I neka ova funkcija ima maksimalne i minimalne točke.
U jednom trenutku funkcija raste. Tangenta na graf, nacrtana u točki, tvori oštar kut s pozitivnim smjerom osi. Dakle, izvod je pozitivan u točki.
U tom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangens tupog kuta negativan, izvodnica u točki je negativna.
Evo što se događa:
Ako je funkcija rastuća, njezina je derivacija pozitivna.
Ako se smanjuje, njegova derivacija je negativna.
A što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u (maksimalna točka) i (minimalna točka) tangenta vodoravna. Stoga je tangens nagiba tangente u tim točkama nula, a derivacija je također nula.
Bod je maksimalni bod. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".
U točki - točki minimuma - izvodnica je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja iz "minus" u "plus".
Zaključak: uz pomoć izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je izvod pozitivan, tada je funkcija rastuća.
Ako je derivacija negativna, tada je funkcija opadajuća.
U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak s plusa na minus.
U točki minimuma derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.
Ove nalaze zapisujemo u obliku tablice:
| povećava se | maksimalna točka | smanjuje se | minimalna točka | povećava se | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja ispitnih zadataka. Drugi - na prvoj godini, s ozbiljnijim proučavanjem funkcija i izvedenica.
Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekom trenutku jednaka nuli, ali funkcija u tom trenutku nema ni maksimum ni minimum. Ovaj tzv :
U točki je tangenta na graf vodoravna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija je rasla - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvoda se ne mijenja - ostao je pozitivan kao što je i bio.
Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom lomu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj točki.
Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju vrijedi
Neka je funkcija definirana u nekoj okolini točke. Derivacija funkcije u točki naziva se limitom, ako postoji,
Uobičajeni zapis za derivaciju funkcije u točki
Tablica izvedenica
Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki.
Razmotrimo sekantu AB graf funkcije y=f(x) takav da bodovi A I U imaju koordinate i 
, gdje je prirast argumenta. Označimo s prirastom funkcije. Označimo sve na crtežu:
Iz pravokutnog trokuta ABC imamo . Budući da je po definiciji tangenta granični položaj sekante, onda 
.
Prisjetimo se definicije derivacije funkcije u točki: derivacija funkcije y=f(x) u točki naziva se granica omjera prirasta funkcije prema prirastu argumenta u , označena 
.
Stoga, 
, gdje je nagib tangente.
Dakle, postojanje izvoda funkcije y=f(x) u točki je ekvivalentno postojanju tangente na graf funkcije y=f(x) na mjestu kontakta i nagib tangente jednak je vrijednosti derivacije u točki, to je .
Zaključujemo: geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki sastoji se u postojanju tangente na graf funkcije u ovoj točki.
20 Diferencijabilnost funkcije u točki. Potreban i dovoljan uvjet diferencijabilnosti.
Prirast funkcije diferencijabilne u danoj točki može se prikazati kao linearna funkcija prirasta argumenta do vrijednosti višeg reda malenosti. To znači da se za dovoljno male okoline dane točke funkcija može zamijeniti linearnom (brzina promjene funkcije može se smatrati nepromijenjenom). Linearni dio prirasta funkcije naziva se njezin diferencijal (u danoj točki).
Nužan, ali ne i dovoljan uvjet za diferencijabilnost je neprekidnost funkcije. U slučaju funkcije jedne realne varijable, diferencijabilnost je ekvivalentna postojanju derivacije. U slučaju funkcije više realnih varijabli nužan (ali ne i dovoljan) uvjet za diferencijabilnost je postojanje parcijalnih derivacija u odnosu na sve varijable. Da bi funkcija nekoliko varijabli bila diferencijabilna u točki, dovoljno je da parcijalne derivacije postoje u nekoj blizini promatrane točke i da su kontinuirane u danoj točki.
21 Diferencijabilnost funkcije u točki. Teorem o neprekidnosti diferencijabilne funkcije.
Teorema.
Ako je funkcija diferencijabilna u danoj točki, tada je funkcija u toj točki kontinuirana.
Dokaz.
Neka je funkcija y=f(x)y=f(x) diferencijabilna u točki x0x0, tada je inkrement te funkcije Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.
Kada prirast argumenta funkcije ΔxΔx teži nuli, prirast funkcije ΔyΔy također teži nuli, a to znači neprekidnost funkcije.
Odnosno, na kraju smo dobili da je funkcija y=f(x)y=f(x), diferencijabilna u točki x0x0, također kontinuirana funkcija u ovoj točki. Q.E.D.
Stoga je neprekidnost funkcije u danoj točki nužan, ali ne i dovoljan uvjet da bi funkcija bila diferencijabilna.
Primjer.
Funkcija y=|x|y=|x| u točki x0x0 je kontinuirana funkcija, ali u ovoj točki funkcija nije diferencijabilna.
Doista, prirast funkcije je jednak:
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.
Pritom dobivamo:
ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.
Granica limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx ne postoji, što znači da funkcija y=|x|y=|x|, koja je kontinuirana u točki x0x0, nije diferencijabilna u ovoj točki.
22 Funkcijski diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala.
Funkcijski diferencijal u nekom trenutku x naziva se glavni, linearni dio prirasta funkcije.
Funkcijski diferencijal y=f(x) jednak je umnošku svoje derivacije i prirasta nezavisne varijable x(argument).
Napisano je ovako:
Geometrijsko značenje diferencijala. Funkcijski diferencijal y=f(x) jednaka je prirastu ordinate tangente S povučene na graf ove funkcije u točki M( x; g), kada se promijeni x(argument) prema vrijednosti (vidi sliku)..
23 Pravilo diferencijabilnosti zbroja i umnoška.
Za dokaz drugog pravila diferenciranja koristimo se definicijom derivacije i svojstvom limita kontinuirane funkcije. 
Na sličan način može se dokazati da je derivacija zbroja (razlike) n funkcije jednaka zbroju (razlici) n izvedenice
Dokažimo pravilo diferenciranja umnoška dviju funkcija.
Zapišimo granicu omjera prirasta umnoška funkcija i prirasta argumenta. Uzet ćemo u obzir da i (prirast funkcije teži nuli kada prirast argumenta teži nuli). 
Q.E.D.
24 Invarijantnost diferencijala oblika 1.
Invarijantnost oblika prvog diferencijala
Ako x je dakle nezavisna varijabla dx = x - x 0 (fiksni prirast). U ovom slučaju imamo
df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)
Ako x = φ (t) je tada diferencijabilna funkcija dx = φ" (t 0)dt. Stoga,
tj. prvi diferencijal ima svojstvo invarijantnosti prema promjeni argumenta.
25 Rolleov teorem.
Rolleov teorem (teorem nulte derivacije) Navodi da
Dokaz
Ako je funkcija na intervalu konstantna, tada je izjava očita, budući da je derivacija funkcije jednaka nuli u bilo kojoj točki intervala.
Ako nije, budući da su vrijednosti funkcije na graničnim točkama segmenta jednake, tada prema Weierstrassovom teoremu ona poprima maksimalnu ili minimalnu vrijednost u nekoj točki intervala, odnosno ima lokalni ekstrem. u ovoj točki, a prema Fermatovoj lemi, u ovoj točki derivacija je jednaka 0 .
geometrijski smisao
Teorem kaže da ako su ordinate oba kraja glatke krivulje jednake, tada postoji točka na krivulji u kojoj je tangenta na krivulju paralelna s x-osi.
26 Lagrangeov teorem i njegovi korolari.
Formula konačnog povećanja ili Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti navodi da ako je funkcija kontinuirana na segmentu i diferencijabilna na intervalu, tada postoji takva točka da
.
Geometrijski ovo se može preformulirati na sljedeći način: na segmentu postoji točka u kojoj je tangenta paralelna s tetivom koja prolazi kroz točke grafa koje odgovaraju krajevima segmenta.
Mehanička interpretacija: Neka - udaljenost točke u trenutku od početnog položaja. Tu je i udaljenost prijeđena od trenutka do trenutka, omjer je prosječna brzina u tom intervalu. To znači da ako je brzina tijela određena u bilo kojem trenutku vremena, tada će u nekom trenutku biti jednaka njegovoj prosječnoj vrijednosti u ovom dijelu.
Dokaz
Za funkciju jedne varijable:
Uvedimo funkciju. Zadovoljava uvjete Rolleove teoreme: na krajevima segmenta njegove su vrijednosti jednake nuli. Koristeći spomenuti teorem, dobivamo da postoji točka u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli:
Q.E.D.
Posljedice i generalizacije
Lagrangeov teorem o konačnom prirastu jedan je od najvažnijih, ključnih teorema u cijelom sustavu diferencijalnog računa. Ima mnogo primjena u računalnoj matematici, a glavni teoremi matematičke analize također su njegove posljedice.
Posljedica 1. Funkcija diferencijabilna na intervalu s derivacijom jednakom nuli je konstanta.
Dokaz. Za bilo koji i postoji točka takva da .
Dakle, za sve i , Jednakost je istinita.
Korolar 2 (Taylorova formula s ostatkom u Lagrangeovom obliku). Ako je funkcija diferencijabilna puta u susjedstvu točke , tada za male (to jest, one za koje segment leži u naznačenoj okolini) vrijedi Taylorova formula:
gdje je neki broj iz intervala .
Posljedica 3. Ako je funkcija varijabli dva puta diferencijabilna u okolini točke O i sve njene druge mješovite derivacije su neprekidne u točki O, tada je u ovoj točki istinita jednakost: 
Dokaz za . Popravimo vrijednosti i i razmotrimo operatore razlike
Prema Lagrangeovom teoremu, postoje brojevi 
, tako da
na 
zbog neprekidnosti drugih izvodnica funkcije .
Slično tome, dokazano je da 
.
Ali budući da je , (što se izravno provjerava), ove granice se podudaraju.
Korolar 4 (Newton-Leibnizova formula). Ako je funkcija diferencijabilna na segmentu i njezina je derivacija Riemannova integrabilna na tom segmentu, tada vrijedi formula: 
.
Dokaz. Dopustiti biti proizvoljna particija segmenta . Primjenjujući Lagrangeov teorem, na svakom od segmenata nalazimo točku tako da je .
Zbrajajući ove jednakosti, dobivamo:
Lijevo je Riemannov integralni zbroj za integral i zadanu označenu particiju. Prelazeći na granicu promjera pregrade, dobivamo Newton-Leibnizovu formulu.
Korolar 5 (Teorem o procjeni konačnih inkremenata). Neka je preslikavanje kontinuirano diferencijabilno u konveksnoj kompaktnoj domeni prostora. Zatim .
27 Kashijev teorem.
Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti.
Neka su zadane dvije funkcije i tako da su: 1. i definirane i kontinuirane na intervalu ; 2. izvodnice i konačne su na intervalu ; 3. izvodnice i ne nestaju istovremeno na intervalu 4. ; onda postoji za koje vrijedi:  . (Ako uklonimo uvjet 4, tada je potrebno, na primjer, pojačati uvjet 3: g "(x) ne smije nestati nigdje u intervalu.) |
Geometrijski, ovo se može preformulirati na sljedeći način: ako je i postavljen zakon gibanja na ravnini (to jest, apscisa i ordinata su određene kroz parametar ), tada na bilo kojem segmentu takve krivulje, određenom parametrima i , postoji vektor tangente kolinearan na vektor pomaka od do .
