Ehtimollik yuqoriroq yoki undan katta. Ehtimollar nazariyasi
Iqtisodiyotda, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda bo'lgani kabi, doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan voqealar bilan shug'ullanish kerak. Shunday qilib, mahsulotni sotish hajmi sezilarli darajada o'zgarishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olishning deyarli iloji bo'lmagan boshqa bir qator omillarga bog'liq. Shuning uchun, ishlab chiqarish va sotishni tashkil qilishda, avvalgi tajribasi yoki boshqa odamlarning o'xshash tajribasi yoki sezgi ma'lumotlariga asoslanib, bunday faoliyat natijalarini oldindan aytib berish kerak.
Ushbu voqea qandaydir tarzda baholanishi uchun ushbu voqea qayd etilgan sharoitlarni hisobga olish yoki aniq tartibga solish kerak.
Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun ma'lum shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.
Tadbir chaqirildi tasodifiyagar tajriba natijasida u paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.
Tadbir chaqirildi ishonchliagar ushbu tajriba natijasida albatta paydo bo'lsa va imkonsizagar bu tajribada ko'rinmasa.
Masalan, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Har kuni quyosh chiqishini ishonchli voqea deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishini imkonsiz hodisa deb hisoblash mumkin.
Ehtimollik nazariyasida asosiy vazifalardan biri voqea sodir bo'lishining miqdoriy o'lchovini aniqlash vazifasidir.
Hodisa algebra
Birgalikda bitta eksperimentda kuzatib bo'lmaydigan bo'lsa, voqealar nomuvofiq deb ataladi. Shunday qilib, bitta do'konda bir vaqtning o'zida sotish uchun ikkita va uchta mashinaning mavjudligi - bu ikkita mos kelmaydigan voqealar.
Miqdor voqea - bu voqealardan kamida bittasida paydo bo'lgan voqea
Hodisalar yig'indisiga misol, do'konda kamida ikkita mahsulotning bittasi bo'lishi.
Ish voqea shu hodisalarning barchasini bir vaqtning o'zida paydo bo'lishidan tashkil topgan voqea deb ataladi
Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita mahsulot paydo bo'lishidan iborat voqea - bu bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning paydo bo'lishi.
Voqealar to'liq voqealar guruhini tashkil qiladi, agar ulardan kamida bittasi tajribada ro'y bersa.
Bir misol. Portda kemalarni qabul qilish uchun ikkita yo'lak mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - Tomlarning tomlarida yo'qligi; - Ikki xontaxtada bitta tomirning borligi; Ushbu uchta voqea voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita mumkin bo'lgan hodisalar deb nomlangan.
Agar qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri belgi bilan belgilanadigan bo'lsa, unda qarama-qarshi voqea odatda tomonidan belgilanadi.
Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari
Bir xil mumkin bo'lgan sinov natijalarining (tajribalarning) har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Masalan, zar tashlanadi. Yuzlardagi nuqtalar soni bo'yicha oltita elementar natija bo'lishi mumkin.
Boshlang'ich natijalardan yanada murakkab voqea sodir bo'lishi mumkin. Shunday qilib, teng sonli ballarni yo'qotish hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.
Ko'rib chiqilayotgan voqea sodir bo'lishi ehtimolining miqdoriy o'lchovi bu ehtimollikdir.
Hodisa ehtimolining ikkita ta'rifi eng keng tarqalgan: klassik va statistik.
Ehtimolning klassik ta'rifi ijobiy natija tushunchasi bilan bog'liq.
Natija chaqiriladi o'tkazuvchan ushbu voqea, agar uning paydo bo'lishi ushbu hodisaning boshlanishiga to'g'ri keladigan bo'lsa.
Ushbu misolda ko'rib chiqilayotgan voqea - tushgan tomondagi teng sonlarning soni uchta ijobiy natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Shunday qilib, bu erda siz voqea ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanishingiz mumkin.
Klassik ta'rifqulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati
bu erda voqea ehtimoli qaerda, tadbir uchun maqbul natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.
Ko'rib chiqilgan misolda
Ehtimolning statistik ta'rifi tajribalarda voqea sodir bo'lishining nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.
Voqea sodir bo'lishining nisbiy chastotasi formula bo'yicha hisoblanadi
bir qator tajribalar (sinovlar) da sodir bo'lgan hodisaning soni qayerda.
Statistik ta'rif. Hodisa ehtimolligi - bu tajriba sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashadi (to'playdi).
Amaliy muammolarda, hodisalar ehtimoli etarli miqdordagi testlar bilan nisbiy chastota sifatida olinadi.
Hodisa ehtimolligi haqidagi ushbu ta'riflardan aniq bo'ladiki, tengsizlik
(1.1) formulaga asoslangan voqea ehtimolini aniqlash uchun ko'pincha kombinatorika formulalari qo'llaniladi, ular yordamida ijobiy natijalar soni va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni topiladi.
Qisqacha nazariya
Hodisalarni ularning yuzaga kelish ehtimolligi darajasiga qarab miqdoriy taqqoslash uchun miqdoriy o'lchov kiritiladi, bu hodisa ehtimoli deb ataladi. Tasodifiy hodisaning ehtimoli Hodisa sodir bo'lishining ob'ektiv imkoniyati o'lchovining ifodasi bo'lgan raqam deb ataladi.
Voqea sodir bo'lishini kutish uchun ob'ektiv asoslar qanchalik muhimligini belgilaydigan qadriyatlar voqea sodir bo'lish ehtimoli bilan tavsiflanadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ehtimollik - bu voqea paydo bo'lishiga hissa qo'shadigan shartlarning yig'indisi bilan aniqlanadigan va biladigan odamdan mustaqil ravishda mavjud bo'lgan ob'ektiv miqdor.
Ehtimol tushunchasiga bergan izohlarimiz matematik ta'rif emas, chunki ular bu tushunchani aniqlamaydi. Tasodifiy voqea ehtimolining bir nechta ta'riflari mavjud bo'lib, ular aniq muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi (klassik, aksiomatik, statistik va boshqalar).
Klassik voqea ehtimolini aniqlash ushbu kontseptsiyani endi aniqlanishi mumkin bo'lmagan va intuitiv ravishda ravshan bo'lishi kerak bo'lgan, teng darajada mumkin bo'lgan hodisalar haqida ko'proq elementar tushunchaga tushiradi. Masalan, zar zarracha bir hil kub bo'lsa, unda ushbu kubning biron bir yuzidan tushish teng darajada mumkin bo'lgan hodisalar bo'ladi.
Ishonchli voqea teng ravishda mumkin bo'lgan holatlarga tushsin, ularning yig'indisi ushbu hodisani beradi. Ya'ni, buzilib ketgan holatlar voqea uchun qulay deb nomlanadi, chunki ulardan birining paydo bo'lishi tajovuzkorlikni ta'minlaydi.
Hodisa ehtimoli belgi bilan belgilanadi.
Hodisa ehtimolligi unga qulay bo'lgan holatlar sonining yagona mumkin bo'lgan, teng imkonli va nomuvofiq ishlarning umumiy sonidan ularning soniga nisbati, ya'ni.
Bu ehtimollikning klassik ta'rifi. Shunday qilib, voqea ehtimolini topish uchun sinovning turli natijalarini o'rganib chiqib, yagona mumkin bo'lgan, teng ravishda mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan holatlar to'plamini topish, ularning umumiy sonini n, ushbu hodisa uchun m bo'lgan holatlar sonini hisoblash va keyin yuqoridagi formulaga muvofiq hisob-kitoblarni bajarish kerak.
Hodisa ehtimoli tajriba-hodisaning ijobiy natijalari sonining tajriba natijalarining umumiy soniga nisbatiga teng. klassik ehtimollik tasodifiy hodisa.
Ta'rifdan ehtimollikning quyidagi xususiyatlari kelib chiqadi:
Mulk 1. Ishonchli voqea ehtimoli bitta.
Mulk 2. Mumkin bo'lmagan voqea ehtimoli nolga teng.
Mulk 3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli noldan bittagacha bo'lgan musbat sondir.
Mulk 4. To'liq guruhni tashkil etadigan hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli bittaga teng.
Mulk 5. Qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelish ehtimoli A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bilan bir xil tarzda aniqlanadi.
Qarama-qarshi hodisaning paydo bo'lishiga yordam beradigan holatlar soni. Demak, qarama-qarshi hodisaning yuzaga kelish ehtimolligi birlik va A hodisaning sodir bo'lish ehtimoli o'rtasidagi farqga teng:
Hodisa ehtimolini klassik belgilashning muhim afzalligi shundaki, uning yordami bilan voqea ehtimoli tajribaga murojaat qilmasdan aniqlanishi mumkin, ammo mantiqiy asosga asoslangan.
Bir qator shartlar bajarilganda, ishonchli voqea albatta yuz beradi, ammo imkonsiz bo'lmaydi. Bir qator shart-sharoitlarni yaratishda sodir bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisalar orasida ba'zilarining paydo bo'lishi ko'proq oqlanish bilan kutilishi mumkin, boshqalari esa unchalik asosli emas. Agar, masalan, saylov qutisida qora koptoklarga qaraganda ko'proq oq to'plar bo'lsa, unda qora to'pga qaraganda to'p to'p qutisidan chiqarilganida oq to'p paydo bo'lishiga umid qilish uchun ko'proq sabablar bor.
Muammoni hal qilish misoli
1-misol
Qutida 8 ta oq, 4 ta qora va 7 ta qizil to'p mavjud. Tasodifiy ravishda 3 ta to'p chiqarildi. Quyidagi hodisalar ehtimolini toping: - kamida bittadan qizil to'p olinadi; - kamida bitta xil rangdagi ikkita to'p, - kamida bitta qizil to'p va 1 oq to'p mavjud.
Muammoni hal qilish
Sinov natijalarining umumiy sonini 3 ning 19 (8 + 4 + 7) elementlarining birikmalar soni sifatida topamiz:
Hodisa ehtimolini toping - kamida 1 qizil to'p (1,2 yoki 3 qizil to'p) olinadi
Qidiruv ehtimoli:
Tadbirga ruxsat bering kamida bitta rangdagi kamida 2 ta to'p (2 yoki 3 ta oq to'p, 2 yoki 3 ta qora to'p va 2 yoki 3 ta qizil to'p) bo'lishi kerak.
Tadbirni o'tkazishga imkon beradigan natijalar soni:
Qidiruv ehtimoli:
Tadbirga ruxsat bering - kamida bitta qizil va 1 ta oq to'p
(1 qizil, 1 oq, 1 qora yoki 1 qizil, 2 oq yoki 2 qizil, 1 oq)
Tadbirni o'tkazishga imkon beradigan natijalar soni:
Qidiruv ehtimoli:
Javob:P (A) \u003d 0.773; P (C) \u003d 0.7688; P (D) \u003d 0.6068
2-misol
Ikki zar tashlanadi. Umumiy ball kamida 5 bo'lishi ehtimolini toping.
Qaror
Hodisa 5 dan kam bo'lmagan ballar yig'indisi bo'lsin
Biz ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanamiz:
Mumkin bo'lgan test natijalarining umumiy soni
Bizni qiziqtirgan voqea uchun foydali bo'lgan sinovlar soni
Bir zar, ikki nuqta ..., oltita nuqta birinchi zarning tashlangan chetida paydo bo'lishi mumkin. Shunga o'xshab, ikkinchi marotaba otish paytida oltita natijaga erishish mumkin. Birinchi suyakni otishning har bir natijasi, ikkinchisining natijalari bilan birlashtirilishi mumkin. Shunday qilib, sinovning mumkin bo'lgan elementar natijalarining umumiy soni takroriy joylashtirilgan joylashuvlar soniga teng (6 qismdan 2 elementni joylashtirish bilan tanlov):
Qarama-qarshi hodisaning ehtimolini toping - umumiy ball 5 dan kam
Tadbirga quyidagi fikrlarni uyg'unlashtirish yordam beradi:
| № | 1-suyak | 2-suyak | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Ehtimolning geometrik ta'rifi keltirilgan va taniqli uchrashuv muammosiga echim berilgan.
- Ehtimollik - bu ma'lum bir voqea sodir bo'lishi ehtimolining darajasi (nisbiy o'lchov, miqdoriy baholash). Agar haqiqatda sodir bo'lishi mumkin bo'lgan voqea uchun asoslar qarama-qarshi asoslardan ustun bo'lsa, unda bu hodisa ehtimol deb ataladi, aks holda bu ehtimol yoki ishonib bo'lmaydigandir. Salbiy narsalarga nisbatan ijobiy asoslarning ustunligi va aksincha, turli darajalarda bo'lishi mumkin, buning natijasida ehtimollik (yoki mumkin emas) katta yoki kamroq bo'ladi. Shu sababli, ko'pincha ehtimollik sifatli darajada baholanadi, ayniqsa ko'proq yoki kamroq aniq miqdoriy baholash imkonsiz yoki juda qiyin bo'lgan holatlarda. Ehtimolning "darajalari" ning har xil gradatsiyalari mumkin.
Ehtimollikni matematik nuqtai nazardan o'rganish maxsus intizom - ehtimollik nazariyasidir. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada ehtimollik tushunchasi hodisaning raqamli xarakteristikasi sifatida rasmiylashtiriladi - ehtimollik o'lchovi (yoki uning qiymati) - hodisalar to'plamidagi o'lchov (elementar hodisalar to'plamining to'plami), qiymatlardan
(\\ displey uslubi 0)
(\\ 1-namoyish uslubi)
Qiymati
(\\ 1-namoyish uslubi)
Ishonchli voqeaga mos keladi. Mumkin bo'lmagan voqea 0 ga ega (o'zgarish odatda har doim ham to'g'ri emas). Agar voqea ehtimoli bo'lsa
(\\ displaystyle p)
Shunda uning yuzaga kelmaslik ehtimoli tengdir
(\\ displey uslubi 1-p)
Xususan, ehtimollik
(\\ displaystyl 1/2)
Hodisaning sodir bo'lishi va sodir bo'lmasligi ehtimolining tengligini ko'rsatadi.
Ehtimolning klassik ta'rifi teng imkoniyatlar natijalari kontseptsiyasiga asoslanadi. Ehtimollar - bu hodisaga maqbul natijalar sonining teng darajada mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbati. Masalan, tasodifiy tanga burishganda burgut yoki dumning yiqilib tushish ehtimoli 1/2 ga teng, agar bu ikkita imkoniyat amalga oshsa va ular bir xil darajada bo'lsa. Ehtimollikning ushbu klassik "ta'rifi" cheksiz sonli mumkin bo'lgan qiymatlar uchun umumlashtirilishi mumkin - masalan, biron bir voqea kosmosning cheklangan qismida (tekislik) biron bir nuqtada (ehtimol sonlar cheksiz) teng ehtimollik bilan yuz berishi mumkin bo'lsa, unda ba'zi bir voqealar sodir bo'lishi ehtimoli ruxsat etilgan maydonning bir qismi ushbu qismning hajmini (maydonini) barcha mumkin bo'lgan nuqtalar maydonining hajmiga (maydoniga) nisbatiga tengdir.
Ehtimolning empirik "ta'rifi" hodisa ro'y berish chastotasi bilan bog'liq, chunki etarli miqdordagi testlarda chastota ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimolligini ob'ektiv darajaga ko'tarishi kerak. Ehtimollik nazariyasining zamonaviy taqdimotida, to'plam mavhum o'lchov nazariyasining alohida holati sifatida, ehtimollik aksiomatik ravishda aniqlanadi. Shunga qaramay, mavhum o'lchov va hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasini bildiradigan bog'liqlik, aniqrog'i, uni kuzatish chastotasi hisoblanadi.
Ba'zi bir hodisalarni ehtimoliy tavsiflash zamonaviy ilmda, xususan ekonometrikada, makroskopik (termodinamik) tizimlarning statistik fizikasida keng tarqalib ketdi, bu erda zarralar harakatini klassik deterministik tavsiflashda ham, butun zarrachalar tizimini deterministik tavsif qilish deyarli mumkin emas va maqsadga muvofiq emas. Kvant fizikasida jarayonlarning o'zi ehtimoliy xususiyatga ega.
Ehtimollar nazariyasi - Tasodifiy hodisalar qonunlarini o'rganadigan matematik fan. Tasodifiy hodisalar deganda ma'lum shartlar to'plamini takroran takrorlash jarayonida yuzaga keladigan noaniq natijaga ega bo'lgan hodisalar tushuniladi.
Masalan, tanga tashlaganingizda uning qaysi tomonga tushishini oldindan ayta olmaysiz. Bir tanga tashlanishining natijasi tasodifiydir. Ammo tanga zarbalarining etarlicha ko'p miqdori bilan ma'lum bir qonuniyat mavjud (emblema va panjara taxminan bir xil miqdordagi parchalanadi).
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari
Sinov (tajriba, tajriba) - ma'lum bir hodisa ro'y beradigan, u yoki bu natija qayd etiladigan ma'lum bir shartlar to'plamining bajarilishi.
Masalan: zarlar sonini yo'qotib zarni tashlash; havo harorati farqi; kasallikni davolash usuli; inson hayotining ba'zi davri.
Tasodifiy hodisa (yoki shunchaki voqea) - sinov natijasi.
Tasodifiy voqealarga misollar:
zarni tashlash paytida bir ochko yo'qotish;
yozda havo haroratining keskin ko'tarilishi bilan yurak-qon tomir kasalliklarining kuchayishi;
davolash usulini noto'g'ri tanlash bilan kasallikning asoratlari rivojlanishi;
maktabda muvaffaqiyatli o'qish bilan o'rta maktabga qabul qilish.
Voqealar lotin alfa-vit bosh harflarida ko'rsatilgan: A , B , C , …
Tadbir chaqirildi ishonchli agar, sinov natijasida, u albatta sodir bo'lishi kerak.
Tadbir chaqirildi imkonsiz agar sinov natijasida u umuman ro'y bermasa.
Misol uchun, agar partiyada barcha mahsulotlar standart bo'lsa, unda undan standart mahsulotni olish ishonchli voqea bo'lib, nuqsonli mahsulotning bir xil sharoitida olish imkonsiz hodisa.
MUVOFIQLIKNI KLASSIKAVIY aniqlash
Ehtimollar ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biridir.
Klassik voqea ehtimoli 
tadbir uchun qulay holatlar sonining nisbati deb nomlangan 
ishlarning umumiy soniga, ya'ni.
, (5.1)
qayerda 
- voqea ehtimoli 
,
- tadbir uchun maqbul holatlar soni 
,
- ishlarning umumiy soni.
Voqealar ehtimoli xususiyatlari
Har qanday hodisaning ehtimolligi noldan bittagacha, ya'ni.
Ishonchli voqea ehtimoli - bu birlik, ya'ni.
.
Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimolligi nolga teng, ya'ni.
.
(Bir nechta oddiy muammolarni og'zaki hal qilishni taklif eting).
MUVOFIQLIKNING STATISTIK XIZMATI
Amalda, ko'pincha voqealar ehtimolini baholashda, ular ushbu sinovning o'tkazilishida qanchalik tez-tez paydo bo'lishiga asoslanadi. Bunday holda, ehtimollikning statistik ta'rifi qo'llaniladi.
Hodisaning statistik ehtimoli 
nisbiy chastota chegarasi (ishlarning soniga nisbati) m qulay voqea 
jami 
sinovlar soni cheksizlik darajasiga etganida, ya'ni.
qayerda 
- hodisaning statistik ehtimoli 
,
- voqea sodir bo'lgan sinovlar soni 
,
- testlarning umumiy soni.
Klassik ehtimollikdan farqli o'laroq, statistik ehtimollik tajribali kishining o'ziga xos xususiyati hisoblanadi. Klassik ehtimollik nazariy jihatdan ma'lum sharoitlarda hodisa ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi va sinovlar haqiqatan ham o'tkazilishini talab qilmaydi. Statistik ehtimollik formulasi voqea ehtimolini eksperimental ravishda aniqlash uchun ishlatiladi, ya'ni. testlar haqiqatan ham o'tkazildi deb taxmin qilinadi.
Statistik ehtimollik tasodifiy hodisaning nisbiy chastotasiga tengdir, shuning uchun amalda nisbiy chastota statistik ehtimollik sifatida qabul qilinadi, chunki statistik ehtimollikni topish deyarli mumkin emas.
Ehtimollikning statistik ta'rifi quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan tasodifiy hodisalarga nisbatan qo'llaniladi:
Ehtimollar qo'shilishi va ayirish teoremalari
Asosiy tushunchalar
a) mumkin bo'lgan yagona hodisalar
Hodisalar 
agar mumkin bo'lgan yagona deb nomlangan bo'lsa, agar har bir sinov natijasida kamida bittasi kelsa.
Ushbu hodisalar to'liq voqealar guruhini tashkil qiladi.
Masalan, zarni zarb qilayotganda, bitta, ikkita, uch, to'rt, besh va olti ochko bilan yuzlarning yo'qolishi mumkin. Ular voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
b) Voqealar nomuvofiq deb nomlanadiagar ulardan birining paydo bo'lishi xuddi shu sinovda boshqa hodisalarning paydo bo'lishini istisno qilsa. Aks holda, ular qo'shma deb nomlanadi.
c) Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etadigan ikkita mumkin bo'lgan hodisalarni chaqiring. Belgilash 
va 
.
g) Hodisalar mustaqil deb nomlanadiagar ulardan bittasining boshlanishi ehtimoli boshqa birovning topshirig'iga yoki topshirilmasligiga bog'liq bo'lmasa.
Hodisa tadbirlari
Bir nechta hodisalar yig'indisi - bu voqealardan kamida bittasi sodir bo'lgan voqea.
Agar 
va 
- qo'shma tadbirlar, keyin ularning yig'indisi 
yoki 
ikkala A hodisaning yoki B hodisaning yoki ikkala hodisaning birgalikda sodir bo'lishini ko'rsatadi.
Agar 
va 
- mos kelmaydigan hodisalar, keyin ularning yig'indisi 
haqoratli yoki voqealarni anglatadi 
, yoki voqealar 
.
Miqdor 
voqealar shuni ko'rsatadiki: 
Bir nechta hodisalarning mahsuloti (kesishish) bu barcha hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat bo'lgan voqea.
Ikki hodisaning mahsuli - bu belgi 
yoki 
.
Ishlash 
voqealar anglatadi 
Mos kelmaydigan hodisalar uchun ehtimollikni qo'shish teoremasi
Ikki yoki undan ortiq mos kelmaydigan hodisalar yig'indisi ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimollik yig'indisiga teng:
Ikki voqea uchun;
- uchun 
voqealar.
Natija:
a) Qarama-qarshi hodisalar ehtimolligi yig'indisi 
va 
biriga teng:
Qarama-qarshi voqea ehtimolini anglatadi 
:
.
b) ehtimolliklar yig'indisi 
to'liq voqealar guruhini tashkil etadigan voqealar quyidagilarga teng: yoki 
.
Birgalikdagi hodisalar uchun ehtimollikni qo'shish teoremasi
Ikki qo'shma hodisalar yig'indisining ehtimolligi ularning kesishish ehtimolisiz ushbu hodisalarning ehtimollik yig'indisiga teng, ya'ni.
Ehtimollar sonini ko'paytirish teoremasi
a) Ikkita mustaqil voqea uchun:
b) Ikki bog'liq hodisalar uchun
qayerda 
- hodisaning shartli ehtimoli 
, ya’ni voqea ehtimoli 
voqea sharti bilan hisoblangan 
sodir bo'ldi.
c) uchun 
mustaqil tadbirlar:
.
d) Hodisalarning kamida bittasi bo'lishi ehtimoli 
mustaqil tadbirlarning to'liq guruhini shakllantirish:
Shartli ehtimollik
Voqealar ehtimoli 
hodisa ro'y berganligi sharti bilan hisoblanadi 
hodisaning shartli ehtimoli deyiladi 
va belgilangan 
yoki 
.
Klassik ehtimollik formulasidan foydalanib shartli ehtimollikni hisoblashda natijalar soni 
va 
tadbirdan oldin hisobga olgan holda hisoblab chiqilgan 
voqea sodir bo'ldi 
.
Ehtimolning klassik va statistik ta'rifi
Amaliy mashg'ulotlar uchun hodisalarni ularning yuzaga kelish ehtimoli darajasiga qarab taqqoslash qobiliyati zarur. Klassik vaziyatni ko'rib chiqaylik. Saylov qutisida 10 ta to'p bor, ulardan 8 tasi oq, 2 tasi qora. Shubhasiz, "oq to'pni axlatdan olib tashlashadi" va "qora to'pni qutidan olib tashlash" hodisasi ularning paydo bo'lish ehtimolligi turlicha bo'ladi. Shuning uchun voqealarni taqqoslash uchun ma'lum miqdoriy o'lchov talab qilinadi.
Voqea sodir bo'lishining miqdoriy o'lchovidir ehtimollik . Hodisa ehtimolining ikkita ta'rifi eng keng tarqalgan bo'lib ishlatiladi: klassik va statistik.
Klassik ta'rif ehtimollik ijobiy natija tushunchasi bilan bog'liq. Keling, bu haqda batafsilroq to'xtalamiz.
Muayyan sinov natijalari to'liq voqealar guruhini tashkil qilsin va teng darajada mumkin, ya'ni. yagona mumkin, mos kelmaydigan va teng darajada. Bunday natijalar chaqiriladi elementar natijalar, yoki holatlar. Shu bilan birga, ular sinov boshlandi, deb aytishadi ish namunasi yoki " saylov qutisi"Chunki bunday sinov uchun har qanday ehtimollik vazifasi mos keladigan vazifa bilan turli rangdagi toshlar va sharlar bilan almashtirilishi mumkin.
Natija chaqiriladi o'tkazuvchan voqea Aagar ushbu voqea sodir bo'lishiga sabab bo'lsa A.
Klassik ta'rifga ko'ra voqea ehtimoli Va bu tadbir uchun maqbul natijalar sonining umumiy natijalarga nisbati bilan tengdir, ya’ni
| , | (1.1) |
qayerda P (A) - voqea ehtimoli A; m - tadbir uchun maqbul holatlar soni A; n - ishlarning umumiy soni.
1.1-misol. Zar tashlaganida oltita natijaga erishish mumkin - 1,2, 3, 4, 5, 6 ochko yo'qotish. Juft sonlarning ehtimolligi qanday?
Qaror. Hammasi n \u003d 6 natija voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi va bir xil darajada mumkin, ya'ni. yagona mumkin, mos kelmaydigan va teng darajada. Voqea A - "teng sonli nuqtalarning paydo bo'lishi" - 3 ta natija (holatlar) - 2, 4 yoki 6 ochko yo'qotish. Hodisa ehtimolining klassik formulasi bo'yicha biz olamiz
P (A) = = . ◄
Hodisa ehtimolining klassik ta'rifiga asoslanib, biz uning xususiyatlariga e'tibor qaratamiz:
1. Har qanday hodisaning ehtimolligi noldan bittagacha, ya'ni
0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Ishonchli voqea ehtimoli bitta.
3. Mumkin bo'lmagan voqea ehtimoli nolga teng.
Yuqorida aytib o'tilganidek, ehtimollikning klassik ta'rifi faqat mumkin bo'lgan natijalarning simmetriyasi bilan sinovlar natijasida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalarga nisbatan qo'llaniladi. holatlarga qarab qisqartirilishi mumkin. Ammo, ehtimol klassik ta'rifdan foydalanib hisoblab bo'lmaydigan hodisalarning katta sinfi mavjud.
Masalan, tanga yassilangan deb faraz qilsak, "gerbning ko'rinishi" va "dumlarning ko'rinishi" hodisalarini bir xil darajada ko'rib bo'lmaydi. Shuning uchun, bu holatda ehtimollikni klassik sxema bo'yicha aniqlash formulasi qo'llanilmaydi.
Shu bilan birga, o'tkazilgan sinovlarda ushbu voqea qanchalik tez-tez paydo bo'lishiga asoslanib, voqealar ehtimolini baholash uchun yana bir yondashuv mavjud. Bunday holda, statistik ehtimollikni aniqlash usuli qo'llaniladi.
Statistik ehtimollik A hodisa - bu o'tkazilgan sinovlarda n hodisaning paydo bo'lishining nisbiy chastotasi (chastotasi), ya'ni.
 ,
| (1.2) |
qayerda P * (A) - hodisaning statistik ehtimoli A; w (A) - hodisaning nisbiy chastotasi A; m - voqea sodir bo'lgan sinovlar soni A; n - testlarning umumiy soni.
Matematik ehtimollikdan farqli o'laroq P (A)klassik ta'rifda ko'rib chiqilgan, statistik ehtimollik P * (A) xarakterlidir tajribali, eksperimental. Boshqacha aytganda, hodisaning statistik ehtimoli A nisbiy chastota barqarorlashadigan raqam deb ataladi (to'plamlar) w (A) bir xil sharoitda o'tkazilgan testlar sonining cheksiz ko'payishi bilan.
Masalan, ular mergan haqida aytganda, u 0.95 ehtimoli bilan nishonga uradi, demak u yuzlab zarbalardan ma'lum bir sharoitda (bir xil masofada bir xil nishon, bir xil miltiq va boshqalar). .) o'rtacha hisobda 95 ta muvaffaqiyatli. Tabiiyki, har bir yuz kishida 95 ta muvaffaqiyatli zarbalar bo'lmaydi, ba'zida ular kamroq, ba'zida esa ko'proq bo'ladi, ammo o'rtacha, xuddi shu sharoitda o'qni takroriy takrorlash bilan, hitlarning bu foizi o'zgarishsiz qoladi. Atıcıning mahoratining ko'rsatkichi bo'lib xizmat qiladigan 0.95 raqami odatda juda ko'p barqaror, ya’ni Aksariyat otishmalarda xitlar nisbati ushbu atıcı uchun deyarli bir xil bo'ladi, faqat kamdan-kam holatlarda o'rtacha qiymatidan sezilarli darajada chetga chiqadigan holatlar mavjud.
Ehtimollikning klassik ta'rifining yana bir kamchiligi ( 1.1 ), uni ishlatishni cheklash, bu mumkin bo'lgan sinov natijalarining cheklangan sonini anglatishini anglatadi. Ba'zi hollarda, ushbu noqulaylikni ehtimolning geometrik ta'rifi yordamida bartaraf etish mumkin, ya'ni. nuqtaning ma'lum bir sohaga (segmentga, tekislikning bir qismiga va hokazo) tushish ehtimolini topish.
Tekis shakl bering g tekis shaklning bir qismini tashkil qiladi G (1.1-rasm). Rasmda G tasodifiy nuqtaga yuguradi. Bu shuni anglatadiki, mintaqadagi barcha fikrlar G Unga tashlangan tasodifiy nuqtani urishga nisbatan “teng”. Hodisa ehtimolini taxmin qilish A - shaklga tashlangan nuqtani urib qo'ying g - bu raqamning maydoniga mutanosib va \u200b\u200buning joylashishiga nisbatan bog'liq emas Gna shakl gtopamiz
