Създаване на фрактални модели. Тайнствената бъркотия: Историята на фракталите и техните приложения
Арт терапията помага на човек да разкрие своя потенциал, да развие творчески способности и да поеме по пътя на духовното израстване и трансформация.
IN истинския животдава плод: чрез арт терапията човек изпълва живота си със специален смисъл, така че проблемите, губейки значението си, се превръщат в задачи, които се решават и отстъпват. Пространството в живота на човек е изпълнено със специално усещане за хармония, красота и смисъл ... Смисълът на живота във всеки следващ момент ...
Арт терапията има безброй направления ... Днес искам да ви запозная с Енергийното фрактално рисуване. Фракталната рисунка помага да се разкрие и реализира скрития потенциал на човек, който се докосне до този метод.
Много просто и в същото време достъпен начинсамореализацията се основава на надеждна научна основа (ако желаете, можете да се обърнете към търсенето). Рисуването помага да се ангажират едновременно рационално и интуитивно.
Този невероятен творчески метод ни позволява да се докоснем до нещо много важно вътре в нас, което няма нито форма, нито глас, но реагира толкова живо на всичко в живота ни - на изборите, които сме направили, на нашите желания, на качеството на нашия живот.
Фракталното рисуване ви позволява да използвате дълбоките механизми на несъзнаваното, да подобрявате и укрепвате здравето, да хармонизирате ситуации, да решавате междуличностни и творчески проблеми.
Основната задача на човек е да изрази чрез рисуване това, което чувства. Важно е да изразите тези чувства и усещания според определени прости правила.
Рисунката ще ни каже много. Случва се да няма такива думи, които да изразят най -съкровеното, вътрешното. Думите се заменят с формата на линии, цвят, щрихи, структурата на картината ...
При овладяване на метода на фракталното рисуване се увеличава Духовният компонент на човек, което от своя страна му позволява да разкрие и развие своя творчески потенциал.
Фракталите са символ на най -добрата версия на себе си!
Необходими инструменти:
1. 2-3 комплекта (от различни производители) цветни моливи, гел химикалки, флумастери, подложки.
2. Лист хартия А4
3. Черна гел писалка (и само черна!)
Как да рисувам:
1. Листът е разположен хоризонтално.
2. С черна гел химикалка задайте точка във всяка част на листа.
3. Затваряме очи. Концентрирайте се за 5-10 секунди. Начертайте непрекъсната линия за 45-60 секунди, опитвайки се да запълните листа.
4. Линията трябва да бъде ясна и непрекъсната.
5. Скоростта на движение на ръката е нормална, средна, удобна за вас.
6. Правете различни движения - с хоризонтални и вертикални кръстовища, кръгли, овални, всякакви други контури.
7. Движенията трябва да идват от лакътя. Четката се движи свободно. Доверете се на вътрешния си глас.
8. бял фонважно е да оставите картината идеално бяла (без петна, петна, надписи).
9. Когато започнете да рисувате върху пробна рисунка, важно е да вземете моливи, химикалки, флумастери затворени очи, слушайки внимателно вътрешното усещане.
Рисувате самите клетки с отворени очи. Не повече от 12 клетки могат да бъдат боядисани с един цвят. Ако цветът на молива не ви харесва, важно е да нарисувате поне една клетка с него и след това да вземете друга.
10. Поставете моливи, химикалки и маркери в удобен дълбок контейнер предварително.
11. След като нарисувате фрактална рисунка, трябва да я дешифрирате. Можете да го направите сами. За удобство можете.
12. Едва сега - след като създадете пробен фрактален модел, можете да започнете да създавате поредица от 21 модела. За себе си създадох такава поредица за моята молба. Той беше свързан със Самореализация.
Докато работя върху чертежа, имах предвид молбата си.
Тази Дзен практика даде резултати. Отвориха ми се нови хоризонти (реално, практично и разбираемо „Откъде да започна“). Появиха се нови възможности. Нови познати. Нови връзки. Нова рекламна среда. Много дойде в живота ми благодарение на практиката на фрактална живопис.
Трябва да създадете 21 рисунки, използвайки същата технология "Фрактално рисуване". Всеки ден или през ден. Един модел наведнъж. Препоръчително е да работите върху създаването на чертежа поне един час.
Майсторски клас "Многоцветни парчета" (фрактална рисунка).
Майсторският клас е предназначен за работа с деца от всяка възрастова категория. Може да се използва с учители или родители.
Предназначение:създаване на произведение на изкуството в техниката "Фрактална рисунка".
Задачи:
- запознаване с нова технологиярисуване;
-развитие на себеизразяване и самопознание чрез творчество;
- отпускане и премахване на емоционалния стрес;
- създаване на колективни или индивидуални занаяти;
- използването на арттерапевтични техники за коригиране на поведението на деца с увреждания;
- развитие на фини двигателни умения.
Фрактална рисунка.
Автори на метода - психолози Т. 3. Полуяхтова и А. Е. Комов.Техният метод за фрактално рисуване е на повече от 20 години. През това време хиляди хора се запознаха с метода.Според книгата на авторите:
„Денят 14 юли 1991 г. беше особено значителен. По това време технологията на фракталното рисуване като тест вече се беше оформила.
За да го завършат, всички слушатели бяха помолени да вземат еднакви листове хартия Whatman (формат А4).
За да се изключи влиянието на съзнанието върху рисунката, по време на изпълнението всички тествани бяха помолени да затворят очи. И без да сваляте ръцете си от листа, в продължение на 45-60 секунди, преместете химикалка по листа, опитвайки се да попълните по-голямата част от нея.
Урокът беше посетен от четиридесет и девет души - възрастни и деца. Най -възрастният слушател на семинара беше на 56 години, най -малкият - на 6 години.
Процесът на рисуване със затворени очи беше като невероятно тайнство. Беше ми интересно да наблюдавам как става всичко.
Най -накрая определените 60 секунди приключиха. Всички отвориха очи, разгледаха рисунките си и в залата прозвуча приятелски смях. Оттогава тази реакция на изпитваните се повтаря в продължение на десет години.
Това, което беше изобразено на всеки лист хартия, наистина предизвика смях. Всички имаха различни шарки: някои имаха правоъгълни клетки, други триъгълни, някои имаха гладки линии, а други имаха ъглови, понякога плътни бримки и кръгове.
След това слушателите бяха помолени да оцветят получената рисунка. За да изключим съзнателното влияние върху избора на цвят, се съгласихме: да вземаме моливи и фломастери само със затворени очи.
Когато всички рисунки бяха завършени, участниците в семинара видяха цяла галерия от човешки състояния. "
Методът се основава на принципа на фракталите и фракталността като такава.Чертежът тук се счита за продължение на човек, неговата малка част, проекция. И тази малка част отразява голямо цяло - човек. Разглеждайки снимката, можете да диагностицирате състоянието на нейния автор.
За да работите, трябва:
- комплект цветни моливи,
- маркери и химикалки във възможно най -много цветови нюанси;
- лист във формат Whatman A4;
- химикалка в черен или тъмно син цвят.
Притча "Молив"
Преди да постави молива в кутията, майсторът на молива го остави настрана.„Има пет неща, които трябва да знаете - каза той на молива, - преди да ви изпратя в света. Винаги ги помнете и никога не забравяйте и тогава ще станете най -добрият моливти може да си.
Първо, можете да направите много велики неща, но само ако позволите на някой да ви държи в ръката си.
Второ, от време на време ще изпитвате болезнено заточване, но ще е необходимо да станете по -добър молив.
Трето, ще можете да поправите грешките, които допускате.
Четвърто, най -важната ви част винаги ще бъде във вас.
И пето: без значение върху каква повърхност сте използвани, винаги трябва да оставяте своя отпечатък. Независимо от състоянието ви, трябва да продължите да пишете.
Молив разбра и обеща да запомни това. Той беше поставен в кутия с призвание в сърцето.
Процес на работа стъпка по стъпка:
1. Събираме необходимите материализа работа.
2. Поставете листа хоризонтално пред себе си. Инсталираме топката на химикалката навсякъде по листа. Затваряйки очи, нарисувайте непрекъсната линия, опитвайки се да запълните възможно най -много от листа за 45 - 60 секунди.
3. Затваряйки очи, изберете молив. Когато рисувате, не забравяйте, че съседните клетки, разделени с линия, не могат да бъдат запълнени със същия цвят. Ако клетките се докоснат в точка и са разположени диагонално, тогава можете. Един цвят може да се използва за боядисване или на една клетка, или на няколко клетки.
4. Затваряйки очи, изберете следващия молив. Боядисвайте несвързани клетки.
5. Затваряйки очи, изберете следващия молив. Боядисвайте несвързани клетки.
6. Нашата картина "Цветни парчета" е готова.
7. Тази рисунка не само ще помогне за облекчаване на емоционалния стрес по време на творчеството, но и ще украси интериора. Вашата снимка е уникална!
Ето някои от творбите, които са направили децата от моята група.
Често блестящите открития, направени в науката, могат коренно да променят живота ни. Така например, изобретението на ваксина може да спаси много хора, а създаването на нови оръжия води до убийство. Буквално вчера (в мащаба на историята) човек „опитоми” електричеството, а днес вече не може да си представи живота си без него. Съществуват обаче и такива открития, които, както се казва, остават в сянка, въпреки факта, че те също оказват това или онова влияние върху живота ни. Едно от тези открития е фрактал. Повечето хора дори не са чували за такова понятие и няма да могат да обяснят значението му. В тази статия ще се опитаме да разберем въпроса какво е фрактал, да разгледаме значението на този термин от гледна точка на науката и природата.
Ред в хаос
За да разберем какво е фрактал, би било необходимо да започнем разбор от гледна точка на математиката, но преди да се задълбочим, ще философстваме малко. Всеки човек има естествено любопитство, благодарение на което се учи Светът... Често в стремежа си към знания той се опитва да оперира с логика в преценките. Така че, анализирайки процесите, които се случват наоколо, той се опитва да изчисли връзката и да изведе определени модели. Най -големите умове на планетата са заети с тези задачи. Грубо казано, нашите учени търсят модели, където те не съществуват и не би трябвало да бъдат. И все пак, дори в хаоса, има връзка между определени събития. Тази връзка е фракталната. Като пример, помислете за счупен клон, лежащ на пътя. Ако го разгледаме внимателно, ще видим, че самото то, с всичките си клони и възли, само по себе си е подобно на дърво. Това сходство на отделна част с единно цяло свидетелства за т. Нар. Принцип на рекурсивна самоподобност. Фракталите в природата могат да бъдат намерени през цялото време, защото много неорганични и органични форми се образуват по подобен начин. Това са облаци, морски черупки, черупки от охлюви, корони на дървета и дори кръвоносната система. Списъкът е безкраен. Всички тези случайни форми лесно се описват чрез фрактален алгоритъм. Сега сме разгледали какво е фрактал от гледна точка на точните науки.
Някои сухи факти
Самата дума „фрактал“ се превежда от латински като „частичен“, „разделен“, „фрагментиран“, а що се отнася до съдържанието на този термин, формулировката като такава не съществува. Обикновено се тълкува като самоподобен набор, част от цялото, което се повтаря от неговата структура на микро ниво. Този термин е изобретен през седемдесетте години на ХХ век от Беноа Манделброт, който е признат за баща.Днес понятието фрактал означава графично представяне на определена структура, която в увеличен мащаб ще бъде подобна на себе си. Математическата основа за създаването на тази теория обаче е положена още преди раждането на самия Манделброт, но тя не може да се развие, докато не се появят електронни компютри.
Исторически произход или как започна всичко
В края на 19 и 20 век изследването на природата на фракталите е от епизодичен характер. Това се дължи на факта, че математиците предпочитат да изучават обекти, подлежащи на изследване, въз основа на общи теориии методи. През 1872 г. немският математик К. Weierstrass конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да се различи. Тази конструкция обаче се оказа напълно абстрактна и трудна за възприемане. Следва шведът Хелге фон Кох, който през 1904 г. изгражда непрекъсната крива, която няма допирателна никъде. Той е сравнително лесен за рисуване и както се оказва, има фрактални свойства. Един от вариантите на тази крива е кръстен на нейния автор - „снежинка Кох“. Освен това идеята за самоподобност на фигурите е развита от бъдещия наставник на Б. Манделброт, французинът Пол Леви. През 1938 г. той публикува статията „Плоски и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, като едно цяло“. В него той описва нов вид - C -кривата на Леви. Всички горепосочени фигури обикновено се наричат геометрични фрактали.
Динамични или алгебрични фрактали
Този клас включва комплекта Манделброт. Първите изследователи на това направление са френските математици Пиер Фату и Гастон Юлия. През 1918 г. Джулия публикува доклад, базиран на изучаването на итерации на рационални комплексни функции. Тук той описва семейство фрактали, които са тясно свързани с множеството Манделброт. Въпреки факта, че тази работапрослави автора сред математиците, тя бързо беше забравена. И само половин век по -късно, благодарение на компютрите, работата на Джулия получи втори живот. Компютрите направиха възможно да се направи видима за всеки човек красотата и богатството на света на фракталите, които математиците биха могли да „видят“, като ги покажат чрез функции. Манделброт е първият, който използва компютър за извършване на изчисления (такъв обем не може да се направи на ръка), което направи възможно създаването на изображение на тези фигури.
Пространствено въображение
Манделброт започва научната си кариера в изследователския център на IBM. Изучавайки възможността за предаване на данни на дълги разстояния, учените бяха изправени пред факта на големи загуби, възникнали поради смущения в шума. Беноа търсеше начини за решаване на този проблем. Преглеждайки резултатите от измерванията, той обърна внимание на странен модел, а именно: графиките на шума изглеждат еднакви в различни времеви скали.
Подобна картина се наблюдава за период от един ден, както и за седем дни или за час. Самият Беноа Манделброт често повтаря, че не работи с формули, а играе с картини. Този учен се отличава с образно мислене, той превежда всеки алгебричен проблем в геометричното поле, където правилният отговор е очевиден. Така че не е изненада, че е богат и стана баща на фракталната геометрия. В края на краищата осъзнаването на тази фигура може да дойде само когато изучавате рисунките и обмисляте значението на тези странни вихри, които образуват модел. Фракталните рисунки нямат идентични елементи, но са сходни във всеки мащаб.
Джулия - Манделброт
Една от първите рисунки на тази фигура е графична интерпретация на комплекта, която е родена от работата на Гастон Джулия и е финализирана от Манделброт. Гастън се опита да си представи как изглежда набор, изграден въз основа на проста формула, която се повтаря с цикъл обратна връзка... Нека се опитаме да обясним казаното на човешки език, така да се каже, на пръстите. За конкретна числова стойност използвайте формулата, за да намерите нова стойност. Заместваме го във формулата и намираме следното. Резултатът е голям. За да се представи такъв набор, е необходимо да се извърши тази операция огромен брой пъти: стотици, хиляди, милиони. Това направи Беноа. Той обработи последователността и прехвърли резултатите в графична форма. Впоследствие той оцвети получената форма (всеки цвят съответства на определен брой итерации). Това графично изображение е наречено "фрактал на Манделброт".
Л. Дърводелец: изкуство, създадено от природата
Теорията за фракталите бързо намери практическо приложение. Тъй като тя е много тясно свързана с визуализацията на себеподобни образи, първите, които възприемат принципите и алгоритмите за конструиране на тези необичайни форми, са художници. Първият от тях е бъдещата основателка на студио Pixar Лорън Карпентър. Докато работи по представянето на прототип на самолет, той идва с идеята да използва образа на планините като фон. Днес почти всеки потребител на компютър може да се справи с такава задача, а през седемдесетте години на миналия век компютрите не са били в състояние да изпълняват такива процеси, тъй като по това време не е имало графични редактори и приложения за триизмерна графика. И така Лорън се натъкна на книгата на Манделброт „Фрактали: форма, случайност и измерение“. В него Беноа дава много примери, показващи, че в природата има фрактали (phwa), той описва различните им форми и доказва, че те лесно се описват чрез математически изрази. Математикът цитира тази аналогия като аргумент за полезността на теорията, която разработва в отговор на порой от критики от страна на колегите си. Те твърдят, че фракталът е просто красива картина без стойност, страничен продукт на електронните машини. Карпентър реши да опита този метод на практика. След като внимателно проучи книгата, бъдещият аниматор започна да търси начин за внедряване на фрактална геометрия в компютърната графика. Отне му само три дни, за да направи напълно реалистично изображение на планинския пейзаж на компютъра си. И днес този принцип се използва широко. Както се оказа, създаването на фрактали не отнема много време и усилия.
Решение на дърводелец
Принципът, използван от Лорън, се оказа прост. Състои се в разделяне на по -големите на по -малки елементи, а тези на подобни по -малки и т.н. Дърводелец, използвайки големи триъгълници, ги раздели на 4 малки и така нататък, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той става първият художник, приложил фракталния алгоритъм в компютърната графика, за да конструира необходимото изображение. Днес този принцип се използва за симулиране на различни реалистични природни форми.
Първа 3D визуализация, базирана на фрактален алгоритъм
В рамките на няколко години Лорън прилага най -добрите си практики в мащабен проект - анимационното видео Vol Libre, показано на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира мнозина и създателят му беше поканен да работи в Lucasfilm. Тук аниматорът успя да се реализира напълно, той създаде триизмерни пейзажи (цялата планета) за игралния филм "Star Trek". Всяка съвременна програма ("фрактали") или приложение за създаване на триизмерна графика (Terragen, Vue, Bryce) използва същия алгоритъм за моделиране на текстури и повърхности.
Том Бедард
Бивш лазерен физик, а сега дигитален майстор и художник, Бедард създаде поредица от силно интригуващи геометрични форми, които той нарече фрактали на Фаберже. Външно те приличат на декоративни яйца на руски бижутер, имат същия блестящ сложен модел. Бедард използва метод на шаблона, за да създаде своите цифрови визуализации на модели. Получените продукти поразиха своята красота. Въпреки че мнозина отказват да сравняват ръчно изработен продукт с компютърна програма, трябва да се признае, че получените форми са изключително красиви. Акцентът е, че всеки може да изгради такъв фрактал, използвайки софтуерната библиотека на WebGL. Тя ви позволява да изследвате различни фрактални структури в реално време.
Фрактали в природата
Малко хора обръщат внимание, но тези невероятни фигури присъстват навсякъде. Природата е създадена от себеподобни фигури, ние просто не я забелязваме. Достатъчно е да погледнем през лупа в кожата си или лист от дърво и ще видим фрактали. Или вземете например ананас или дори паунова опашка - те се състоят от подобни форми. А сортът броколи Romanescu като цяло е поразителен с външния си вид, защото наистина може да се нарече чудо на природата.
Музикална пауза
Оказва се, че фракталите не са само геометрични форми, те могат да бъдат и звуци. Например музикантът Джонатан Колтън пише музика, използвайки фрактални алгоритми. Той твърди, че съответства на естествената хармония. Композиторът публикува всички свои произведения под лиценз CreativeCommons Attribution-Noncommercial, който предвижда безплатно разпространение, копиране, прехвърляне на произведения от други.
Фрактален индикатор
Тази техника намери много неочаквано приложение. На негова основа беше създаден инструмент за анализ на фондовия пазар и в резултат на това той започна да се използва на пазара на Форекс. Сега фракталният индикатор се намира на всички търговски платформи и се използва в търговска техника, наречена пробив на цените. Тази техника е разработена от Бил Уилямс. Както авторът коментира своето изобретение, този алгоритъм е комбинация от няколко „свещи“, при които централната отразява максималната или, напротив, минималната крайна точка.
Най -накрая
Затова разгледахме какво е фрактал. Оказва се, че в хаоса, който ни заобикаля, всъщност има идеални форми. Природата е най -добрият архитект, идеален строител и инженер. Той е подреден много логично и ако не можем да намерим модел, това не означава, че той не съществува. Може би трябва да погледнете в различен мащаб. Можем да кажем с увереност, че фракталите все още крият много тайни, които тепърва ще откриваме.
Най -блестящите открития в науката могат драматично да се променят човешки живот... Изобретената ваксина може да спаси милиони хора, създаването на оръжия, напротив, отнема тези животи. Съвсем наскоро (в мащаба на човешката еволюция) се научихме да „опитомяваме“ електричеството - и сега не можем да си представим живота без всички тези удобни устройства, които използват електричество. Но има и такива открития, на които малцина придават значение, въпреки че те също оказват силно влияние върху живота ни.
Едно от тези „невидими“ открития са фракталите. Вероятно сте чували тази закачлива дума, но знаете ли какво означава тя и колко интересни неща се крият в този термин?
Всеки човек има естествено любопитство, желание да опознава света около себе си. И в този стремеж човек се опитва да се придържа към логиката в своите преценки. Анализирайки процесите, протичащи около него, той се опитва да намери последователността на случващото се и да изведе известна закономерност. Най -големите умове на планетата са заети с тази задача. Грубо казано, учените търсят модел, където не би трябвало да бъде. Въпреки това дори в хаоса можете да намерите връзка между събитията. И тази връзка е фрактал.
Нашата малка дъщеря, на четири години и половина, сега е на онази прекрасна възраст, когато броят на въпросите „Защо?“ е в пъти по -голям от броя на отговорите, които възрастните имат време да дадат. Не толкова отдавна, разглеждайки клон, повдигнат от земята, дъщеря ми изведнъж забеляза, че този клон, с клонки и клони, сам по себе си прилича на дърво. И, разбира се, последва обичайният въпрос „Защо?“, На който родителите трябваше да потърсят просто обяснение, което детето може да разбере.
Приликата на един-единствен клон с цяло дърво, открито от дете, е много точно наблюдение, което за пореден път свидетелства за принципа на рекурсивна самоподобност в природата. Много органични и неорганични форми в природата се образуват по подобен начин. Облаци, морски черупки, „къща“ на охлюв, кора и корона на дървета, кръвоносна система и така нататък - случайните форми на всички тези обекти могат да бъдат описани чрез фрактален алгоритъм.
No Беноа Манделброт: бащата на фракталната геометрия
Самата дума "фрактал" се появи благодарение на гениалния учен Беноа Б. Манделброт.
Той е въвел самия термин през седемдесетте години на миналия век, заимствайки думата fractus от латински, където буквално означава „счупен“ или „смачкан“. Какво е? Днес думата "фрактал" най -често се използва за означаване на графично представяне на структура, която е подобна на себе си в по -голям мащаб.
Математическата основа за появата на теорията за фракталите е положена много години преди раждането на Беноа Манделброт, но тя може да се развие едва с появата на изчислителни устройства. В началото на неговото научна дейностБеноа работи в изследователския център на IBM. По това време служителите на центъра работеха по предаването на данни на разстояние. В хода на изследванията учените се сблъскаха с проблема с високите загуби поради смущения в шума. Беноа беше изправен пред трудна и много важна задача - да разбере как да се предвиди появата на шумови смущения в електронните схеми, когато статистическият метод е неефективен.
Преглеждайки резултатите от измерванията на шума, Манделброт обърна внимание на един странен модел - графиките на шума в различни мащаби изглеждаха еднакви. Наблюдава се идентичен модел, независимо дали става въпрос за графика на шума за един ден, седмица или час. Беше необходимо да се промени мащаба на графиката и картината се повтаряше всеки път.
Приживе Беноа Манделброт многократно е казвал, че не се занимава с формули, а просто си играе с картинки. Този човек мислеше много образно и прехвърли всеки алгебричен проблем в областта на геометрията, където според него правилният отговор винаги е очевиден.
Не е изненадващо, че именно човек с толкова богато пространствено въображение стана бащата на фракталната геометрия. В края на краищата разбирането за същността на фракталите идва точно когато започнете да изучавате рисунки и да размишлявате върху значението на странните модели на завихряне.
Фракталната рисунка няма идентични елементи, но е сходна във всеки мащаб. Преди това беше просто невъзможно да се конструира такова изображение с висока степен на детайлност на ръка, изискваше огромно количество изчисления. Например френският математик Пиер Жозеф Луи Фату описва този набор повече от седемдесет години преди откритието на Беноа Манделброт. Ако говорим за принципите на сходството на себе си, тогава те бяха споменати в творбите на Лайбниц и Георг Кантор.
Една от най -ранните рисунки на фрактал е графичната интерпретация на множеството Манделброт, родено от изследването на Гастън Морис Джулия.
Гастон Джулия (винаги с маска - травма от Първата световна война)
Този френски математик се чудеше как би изглеждал набор, ако е конструиран от проста формула, повторена чрез цикъл на обратна връзка. Ако обясним „на пръсти“, това означава, че за конкретно число откриваме нова стойност по формулата, след което я заместваме отново във формулата и получаваме друга стойност. Резултатът е голяма поредица от числа.
За да получите пълна представа за такъв набор, трябва да направите огромно количество изчисления - стотици, хиляди, милиони. Просто беше нереално да го направите ръчно. Но когато на разположение на математиците се появиха мощни изчислителни устройства, те успяха да хвърлят нов поглед върху формулите и изразите, които отдавна представляват интерес. Манделброт е първият, който използва компютър за изчисляване на класически фрактал. След обработка на последователност, състояща се от голям брой стойности, Беноа прехвърли резултатите в графиката. Ето какво получи.
Впоследствие това изображение беше оцветено (например, един от методите за оцветяване с цвят - според броя на повторенията) и стана едно от най -популярните изображения, създавани някога от човека.
Както се казва в древната поговорка, приписвана на Хераклит от Ефес: „Не можеш да влезеш два пъти в една и съща река“. Той е идеален за тълкуване на геометрията на фракталите. Без значение колко подробно разглеждаме фракталното изображение, през цялото време ще виждаме подобен модел.
Желаещите да видят как ще изглежда изображение на пространството на Манделброт при множество увеличения могат да го направят, като изтеглят анимиран GIF.
⇡ Лорън Карпентър: изкуство, направено от природата
Теорията за фракталите скоро намира практическо приложение. Тъй като е тясно свързано с изобразяването на подобни на себе си изображения, не е изненадващо, че първите, които възприемат алгоритми и принципи за конструиране на необичайни форми, са художници.
Бъдещият съосновател на легендарното студио Pixar Loren C. Carpenter се присъединява към Boeing Computer Services през 1967 г., което е едно от подразделенията на известната корпорация, занимаваща се с разработването на нови самолети.
През 1977 г. създава презентации с прототипни летящи модели. Отговорностите на Лорън включват разработването на изображения на проектирани самолети. Той трябваше да създава снимки на нови модели, показващи бъдещи самолети от различни ъгли. В един момент това хрумна на бъдещия основател на Pixar Animation Studios творческа идеяизползвайте изображение на планина като фон. Днес всеки ученик може да реши такъв проблем, но в края на седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да се справят с такива сложни изчисления - нямаше графични редактори, да не говорим за приложения за триизмерна графика. През 1978 г. Лорън случайно видя в магазина книгата на Беноа Манделброт „Фрактали: форма, случайност и измерение“. В тази книга вниманието му беше привлечено от факта, че Беноа дава много примери за фрактални форми в реалния живот и твърди, че те могат да бъдат описани в математически изрази.
Тази аналогия не е избрана от математика случайно. Факт е, че веднага след като публикува изследването си, той трябваше да се изправи пред порой от критики. Основното, за което неговите колеги го упрекнаха, беше безполезността на разработваната теория. „Да“, казаха те, „това са красиви снимки, но не повече. Теорията на фракталите няма практическа стойност ”. Имаше и такива, които като цяло вярваха, че фракталните модели са просто страничен продукт от работата на „дяволските машини“, които в края на седемдесетте на мнозина изглеждаха нещо твърде сложно и неизследвано, за да им се доверят напълно. Манделброт се опита да намери очевидно приложение на теорията за фракталите, но според общо взето, нямаше нужда да го прави. Последователите на Беноа Манделброт през следващите 25 години доказаха огромните ползи от това „математическо любопитство“, а Лорън Карпентър беше една от първите, които приложиха фракталния метод на практика.
След като изучи книгата, бъдещият аниматор сериозно проучи принципите на фракталната геометрия и започна да търси начин да я приложи в компютърната графика. Само за три дни работа Лорън успя да представи на компютъра си реалистично изображение на планинската система. С други думи, с помощта на формули, той рисува напълно разпознаваем планински пейзаж.
Принципът, който Лорън използва за постигане на целта си, беше много прост. Трябваше да сподели по -голям геометрична формана малки елементи, а тези от своя страна са разделени на подобни фигури с по -малък размер.
Използвайки по -големите триъгълници, Карпентър ги раздели на четири по -малки и след това повтори тази процедура отново и отново, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той успява да стане първият художник, приложил фракталния алгоритъм за конструиране на изображения в компютърна графика. Веднага след като стана известно за свършената работа, ентусиасти по целия свят взеха тази идея и започнаха да използват фракталния алгоритъм, за да симулират реалистични естествени форми.
Една от първите 3D визуализации, използващи фрактален алгоритъм
Само няколко години по -късно Лорън Карпентър успя да приложи своите разработки в много по -голям проект. Аниматорът създаде двуминутен демо видео Vol Libre въз основа на тях, който беше показан на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира всички, които го видяха, а Лорън получи покана от Lucasfilm.
Анимацията се изобразява на компютър VAX-11/780 от Digital Equipment Corporation с тактова честота от пет мегахерца, а всеки кадър отнема около половин час за рисуване.
Работейки за Lucasfilm Limited, аниматорът създава 3D пейзажи по същия начин за втория игрален филм от сагата Star Trek. В „Гневът на Хан“ Карпентър успя да създаде цяла планета, използвайки същия принцип на моделиране на фрактална повърхност.
В днешно време всички популярни приложения за създаване на 3D пейзажи използват подобен принцип за генериране на природни обекти. Terragen, Bryce, Vue и други 3D редактори разчитат на фрактален алгоритъм за моделиране на повърхности и текстури.
⇡ Фрактални антени: по -малко е по -добре
През последните половин век животът започна да се променя бързо. Повечето от нас приемат постиженията съвременни технологииза даденост. Много бързо свиквате с всичко, което прави живота по -удобен. Рядко някой задава въпросите „Откъде дойде това?“ и "Как работи?" Микровълновата печка загрява закуската - добре, чудесно, смартфонът ви позволява да говорите с друг човек - страхотно. Това ни се струва очевидна възможност.
Но животът би могъл да бъде съвсем различен, ако човек не потърси обяснение за събитията, които се случват. Вземете например мобилни телефони. Помните ли прибиращите се антени на първите модели? Те се намесват, увеличават размера на устройството, в крайна сметка често се счупват. Вярваме, че те са потънали в забрава завинаги и отчасти са виновни за това ... фрактали.
Фракталните рисунки очароват със своите шарки. Те определено приличат на изображения на космически обекти - мъглявини, галактически купове и т.н. Следователно е съвсем естествено, че когато Манделброт изрази своята теория за фракталите, неговите изследвания предизвикват повишен интерес сред тези, които изучават астрономия. Един от тези аматьори на име Нейтън Коен, след като присъства на лекция на Беноа Манделброт в Будапеща, беше запален с идеята за практическо приложение на придобитите знания. Вярно, той го направи интуитивно и случайността изигра важна роля в откриването му. Като радиолюбител, Нейтън се стреми да създаде антена с възможно най -висока чувствителност.
Единственият начин да се подобрят параметрите на антената, който беше известен по това време, беше да се увеличат нейните геометрични размери. Собственикът на дом в центъра на Бостън, който Нейтън наема, беше категорично против инсталирането на големи устройства на покрива. Тогава Нейтън започна да експериментира различни формиантени, опитвайки се да постигне максимален резултат с минимален размер. Запален с идеята за фрактални форми, Коен, както се казва, на случаен принцип направи един от най -известните фрактали от тел - "снежинката на Кох". Шведският математик Хелге фон Кох е изобретил тази крива през 1904 г. Получава се чрез разделяне на сегмента на три части и замяна на средния сегмент равностранен триъгълникбез страна, която съответства на този сегмент. Определението е малко трудно за разбиране, но всичко е ясно и просто на фигурата.
Има и други разновидности на "кривата на Кох", но приблизителната форма на кривата остава сходна
Когато Нейтън свърза антената към радиоприемника, той беше много изненадан - чувствителността се увеличи драстично. След поредица от експерименти бъдещият професор в Бостънския университет осъзна, че антената, направена от фрактален модел, има висока ефективност и обхваща много по -широк честотен диапазон от класическите решения. В допълнение, формата на антената под формата на фрактална крива може значително да намали геометричните размери. Нейтън Коен дори излезе с теорема, доказваща, че за да се създаде широколентова антена, е достатъчно да се оформи в себеподобна фрактална крива.
Авторът патентова откритието си и основава Fractal Antenna Systems, фирма за проектиране и развитие на фрактални антени, с основание вярвайки, че в бъдеще, благодарение на откритието му, мобилните телефони ще могат да се отърват от обемистите антени и да станат по -компактни.
По принцип това се случи. Вярно е, че и до днес Натан води съдебни споровес големи корпорации, които незаконно използват откритието му за производството на компактни комуникационни устройства. Някои известни производители на мобилни устройства, като Motorola, вече са постигнали приятелско споразумение с изобретателя на фракталната антена.
⇡ Фрактални измерения: умът не може да разбере
Беноа взаимства този въпрос от известния американски учен Едуард Каснер.
Последният, както и много други известни математици, много обичаше да общува с деца, да им задава въпроси и да получава неочаквани отговори. Понякога това води до изненадващи последствия. Например деветгодишният племенник на Едуард Каснер изобретил добре познатата вече дума „googol“, което означава една, последвана от сто нули. Но да се върнем на фракталите. Американският математик обичаше да задава въпроса каква е дължината на бреговата линия на САЩ. След като изслуша мнението на събеседника, самият Едуард каза правилния отговор. Ако измерите дължината на картата с прекъснати линии, резултатът ще бъде неточен, тъй като крайбрежието има голям брой неравности. Какво се случва, ако го измерите възможно най -точно? Ще трябва да вземете предвид дължината на всяка нередност - ще трябва да измерите всеки нос, всеки залив, скала, дължината на скалист перваз, камък върху него, пясъчно зърно, атом и т.н. Тъй като броят на неравностите се стреми към безкрайност, измерената дължина на бреговата линия ще се увеличава до безкрайност с всяка нова нередност.
Колкото по -малка е мярката, толкова по -дълга е измерената дължина
Интересното е, че след подканите на Едуард децата бяха много по -бързи да кажат правилното решение, отколкото възрастните, докато последните имаха проблеми с вземането на такъв невероятен отговор.
Използвайки този проблем като пример, Манделброт предложи да се използва нов подход към измерванията. Тъй като бреговата линия е близо до фрактална крива, това означава, че към нея може да се приложи характеризиращ параметър - така нареченото фрактално измерение.
Всеки може да разбере какво е обичайното измерение. Ако измерението е равно на едно, получаваме права линия, ако две - плоска фигура, три - обем. Това разбиране за размерност в математиката обаче не работи с фрактални криви, където този параметър има дробна стойност. Фракталното измерение в математиката може условно да се разглежда като "неравномерност". Колкото по -висока е грапавостта на кривата, толкова по -голям е нейният фрактален размер. Кривата, която според Манделброт има фрактално измерение по -високо от топологичното му измерение, има приблизителна дължина, която не зависи от броя на измерванията.
В днешно време учените откриват все повече области за прилагане на теорията за фракталите. С помощта на фрактали можете да анализирате колебанията в цените на акциите, да изследвате всякакви естествени процеси, като колебания в броя на видовете, или да симулирате динамиката на потоците. Фракталните алгоритми могат да се използват за компресиране на данни, като компресиране на изображения. И между другото, за да получите красив фрактал на екрана на компютъра си, не е нужно да имате докторска степен.
⇡ Фрактал в браузъра
Може би един от най - прости начинивземете фрактален модел - използвайте онлайн векторен редактор от талантлив млад програмист Тоби Шахман. Инструментариумът на този прост графичен редактор се основава на същия принцип на самоподобие.
На ваше разположение са само две прости форми - четириъгълник и кръг. Можете да ги добавите към платното, да мащабирате (за мащабиране по една от осите, задръжте клавиша Shift) и да завъртите. Припокриващи се от принципа на булевите операции на събиране, тези най -прости елементи образуват нови, по -малко тривиални форми. След това тези нови форми могат да бъдат добавени към проекта и програмата ще повтори генерирането на тези изображения до безкрай. На всеки етап от работата по фрактал можете да се върнете към всеки компонент от сложна форма и да редактирате неговата позиция и геометрия. Вълнуващо преживяване, особено когато смятате, че единственият инструмент, от който се нуждаете, за да проявите креативност, е браузърът. Ако не разбирате принципа на работа с този рекурсивен векторен редактор, съветваме ви да гледате видеоклипа на официалния уебсайт на проекта, който показва подробно целия процес на създаване на фрактал.
Ao XaoS: фрактали за всеки вкус
Много графичен редакторимат вградени инструменти за създаване на фрактални модели. Тези инструменти обаче обикновено са вторични и не ви позволяват да изпълнявате фина настройкагенериран фрактален модел. В онези случаи, когато е необходимо да се изгради математически точен фрактал, на помощ ще дойде редакторът XaoS, който работи на различни платформи. Тази програма дава възможност не само да се изгради подобно на себе си изображение, но и да се извършват различни манипулации с него. Например в реално време можете да направите "разходка" по фрактал, като промените мащаба му. Анимираното движение по фрактал може да се запише като XAF файл и след това да се възпроизведе в самата програма.
XaoS може да зареди произволен набор от параметри, както и да използва различни филтри за последваща обработка за изображение - добавете ефект на размазано движение, плавни резки преходи между фрактални точки, симулирайте 3D картина и т.н.
⇡ Fractal Zoomer: компактен фрактален генератор
В сравнение с други генератори на изображения на фрактали, той има няколко предимства. Първо, той е с много малки размери и не изисква инсталация. Второ, той реализира възможността да дефинира цветовата палитра на картината. Можете да избирате нюанси в цветови модели RGB, CMYK, HVS и HSL.
Също така е много удобно да използвате опцията за случаен избор на цветови нюанси и функцията за обръщане на всички цветове на картината. За да регулирате цвета, има функция за циклично изброяване на нюанси - когато съответният режим е включен, програмата анимира изображението, циклично променяйки цветовете върху него.
Fractal Zoomer може да визуализира 85 различни фрактални функции, а формулите са ясно показани в менюто на програмата. В програмата има филтри за последваща обработка на изображения, макар и в малък брой. Всеки назначен филтър може да бъде отменен по всяко време.
Nd Mandelbulb3D: 3D фрактален редактор
Когато се използва терминът "фрактал", той най-често означава плоско двуизмерно изображение. Фракталната геометрия обаче надхвърля 2D измерението. В природата можете да намерите както примери за плоски фрактални форми, да речем геометрията на мълнията, така и триизмерни обемни фигури... Фракталните повърхности могат да бъдат триизмерни и една от много илюстративните илюстрации на 3D фрактали в Ежедневието- глава зеле. Фракталите вероятно се виждат най -добре в Романеско, хибрид от карфиол и броколи.
Можете също да ядете този фрактал.
Програмата Mandelbulb3D може да създава триизмерни обекти с подобна форма. За да получат 3D повърхност с помощта на фрактален алгоритъм, авторите на това приложение, Даниел Уайт и Пол Ниландер, преобразуват множеството Манделброт в сферични координати. Създадената от тях програма Mandelbulb3D е истински триизмерен редактор, който моделира фрактални повърхности с различни форми. Тъй като често наблюдаваме фрактални модели в природата, изкуствено създаден фрактален триизмерен обект изглежда невероятно реалистичен и дори „жив“.
Може да прилича на растение, може да наподобява странно животно, планета или нещо друго. Този ефект е подобрен от усъвършенстван алгоритъм за изобразяване, който дава възможност да се получат реалистични отражения, да се изчисли прозрачността и сенките, да се симулира ефектът от дълбочината на рязкост и т.н. Mandelbulb3D има огромен брой настройки и опции за изобразяване. Можете да контролирате нюансите на източниците на светлина, да избирате фона и нивото на детайлност на моделирания обект.
Фракталният редактор Incendia поддържа сдвояване на двойно изображение, съдържа библиотека от петдесет различни триизмерни фрактали и има отделен модул за редактиране на основни форми.
Приложението използва фрактални скриптове, с които можете независимо да опишете нови видове фрактални структури. Incendia има редактори на текстури и материали, а двигателят за визуализация ви позволява да използвате обемни ефекти на мъгла и различни шейдъри. Програмата реализира опцията за запазване на буфера по време на дългосрочно изобразяване, създаването на анимация се поддържа.
Incendia ви позволява да експортирате вашия фрактален модел в популярни 3D графични формати - OBJ и STL. Incendia включва малка помощна програма, наречена Geometrica - специален инструментза конфигуриране на експортирането на фрактална повърхност в 3D модел. С помощта на тази помощна програма можете да определите разделителната способност на 3D повърхност, да посочите броя на фракталните итерации. Експортираните модели могат да се използват в 3D проекти при работа с такива 3D редактори като Blender, 3ds max и други.
IN последните временаработата по проекта Incendia донякъде се забави. На този моментавторът търси спонсори, които да му помогнат при разработването на програмата.
Ако нямате достатъчно въображение, за да нарисувате красив триизмерен фрактал в тази програма, това не е проблем. Използвайте библиотеката с параметри, която се намира в папката INCENDIA_EX \ parameters. С PAR файлове можете бързо да намерите най -необичайните фрактални форми, включително анимирани.
⇡ Слухови: как пеят фрактали
Обикновено не говорим за проекти, по които просто работим, но в този случай трябва да направим изключение, това е много необичайно приложение. Проектът, наречен Aural, е изобретен от същия човек като Incendia. Този път обаче програмата не визуализира фракталния набор, а го озвучава, превръщайки го в електронна музика. Идеята е много интересна, особено като се имат предвид необичайните свойства на фракталите. Aural е аудио редактор, който генерира мелодии с помощта на фрактални алгоритми, тоест всъщност е звуков синтезатор-секвенсор.
Последователността на звуците, произведени от тази програма, е необичайна и ... красива. Може да бъде полезен за писане на съвременни ритми и според нас е особено подходящ за създаване на саундтраци за скрийнсейвърите на телевизионни и радиопредавания, както и за „цикли“ на фонова музика за компютърни игри... Рамиро все още не е предоставил демо версия на програмата си, но обещава, че когато го направи, за да работи с Aural, няма да има нужда да изучава теорията на фракталите - достатъчно е само да си поиграете с параметрите на алгоритъма за генериране на поредица от бележки. Чуйте как звучат фракталите и т.н.
Фрактали: музикална пауза
Всъщност фракталите могат да ви помогнат да пишете музика дори без софтуер. Но това може да направи само някой, който наистина е проникнат от идеята за естествената хармония и в същото време не се е превърнал в нещастен „глупак“. Има смисъл да вземем пример от музикант на име Джонатан Коултън, който освен всичко друго пише композиции за списание Popular Science. И за разлика от други художници, Колтън публикува всичките си произведения под лиценза Creative Commons Attribution-Noncommercial, който (когато се използва за некомерсиални цели) предвижда безплатно копиране, разпространение, прехвърляне на произведението на други, както и неговата модификация (създаване на производни произведения), за да го адаптирате към вашите задачи.
Джонатан Колтън, разбира се, има песен за фрактали.
⇡ Заключение
Във всичко, което ни заобикаля, често виждаме хаос, но всъщност това не е инцидент, а идеална форма, която фракталите ни помагат да различим. Природата е най -добрият архитект, идеален строител и инженер. Той е подреден много логично и ако някъде не виждаме модел, това означава, че трябва да го търсим в различен мащаб. Хората разбират това все по -добре, опитвайки се да имитират естествените форми по много начини. Инженерите проектират високоговорители, създават антени с геометрия на снежинката и т.н. Сигурни сме, че фракталите все още крият много тайни и много от тях тепърва ще бъдат открити от хората.
Днес хората живеят в свят, където информацията е от голямо значение. Важно е да се научите как да работите с него правилно и да използвате различни инструменти за тази работа. Един от тези инструменти е компютър, който се е превърнал в универсален помощник на човек в различни области на дейност. Съвременните математически модели са толкова красиви и мистериозни, че лесно могат да подлудят впечатляващ студент и учен. Многоцветните изображения на фрактали са поразителни в съвременната си хармония. Следователно, можете спокойно да закачите снимка на фрактал у дома на стената и да играете шега на вашето домакинство, за да кажете, че тази работа известен художник, а вие го купихте за големи пари на супермодна изложба на модерно авангардно изкуство.
Фракталиса забележителни с това, че много от тях са изненадващо подобни на това, което откриваме в природата. Снежинки, морски кончета, клони на дървета, мълнии и планински вериги могат да бъдат нарисувани с помощта на фрактали. Затова много съвременни учени казват, че природата има свойството на фракталност. Не е преувеличено да се каже, че компютърът е съавтор на откритието на Манделброт. За да нарисувате фрактал, трябва да направите много изчисления и да начертаете намерените точки на диаграмата. Правенето му ръчно е изключително досадно, но компютърът се справя отлично с тази задача. С появата на компютърна графикасамият подход към изследванията в точните науки се е променил. Ако по -рано учените трябваше да се занимават главно с числа и формули, сега тяхната работа стана много по -интересна. С помощта на компютри те могат да нарисуват големи, красиви картини на изучаваните явления. Някои от учените бяха толкова увлечени от това, че станаха художници, а днес изложби на фрактална живопис се провеждат по целия свят.
И така, какво е фрактал?
Фракталите са геометрични обекти с невероятни свойства: всяка част от фрактала съдържа неговото миниатюрно изображение... Тоест, колкото и фракталът да е увеличен, неговото намалено копие ще ви гледа от всяка част от него.
Първите идеи за фрактална геометрия се появяват през 19 век. Какво е фрактална графика? От всички снимки, които компютърът може да създаде, малцина могат да съперничат на фрактални изображения, когато става въпрос за истинска красота. За повечето от нас думата „фрактал“ предизвиква цветни вихри, които образуват сложен, фин и сложен модел. Но всъщност този термин има много по -широко значение. Фракталът е обект с безкрайна сложност, който ви позволява да видите толкова много от неговите детайли отблизо, колкото отдалеч.
Земя - класически примерфрактален обект. От космоса прилича на топка. Ако се доближим до него, откриваме океани, континенти, брегове и планински вериги. Нека да разгледаме по -отблизо планините - ще станат видими още по -малки детайли: парче земя на повърхността на планината е в своя мащаб толкова сложна и неравна, колкото самата планина. И още по -голямо увеличение ще разкрие малки почвени частици, всяка от които сама по себе си е фрактален обект. Компютрите правят възможно изграждането на модели на такива безкрайно детайлни структури.
Има много методи за създаване на фрактални изображения на компютър. Двама преподаватели по математика от Технологичния институт на Джорджия са разработили широко използван метод, известен като Системи от итерационни функции (SIF). Този метод създава реалистични изображения на естествени обекти, като листа от папрат, дървета, като същевременно прилага многократно трансформации, които преместват, преоразмеряват и завъртат части от изображението. CIF използва самоподобността, която притежават творенията на природата, а обектът е моделиран като композиция от много малки копия на себе си.
Фрактални изображенияс многоцветни къдрици обикновено принадлежат към категорията на така наречените фрактали с времеви праг, които се изобразяват с точки на сложна равнина с цветове, отразяващи времето, необходимо за орбитата на дадена точка за пресичане („кръст“) a определена граница. Сложната равнина е като координатна равнина с оси x и y. Чрез двойка координати точка се нанася на сложната равнина по същия начин като точка на равнината Oxy, но числата имат различно, необичайно значение: те имат въображаем компонент, наречен i, който е равен на квадрата корен от -1. (Ето защо i е въображаемата единица -наистина няма корен от -1.) Това изкривява обичайните правила на математиката, така че общи операции като умножаване на две числа дават необичайни резултати.
Най -известният фрактал Комплект Манделброт- фрактал с времеви праг. За всяка точка на екрана компютърът изчислява координатите на поредица от точки, които определят въображаем път, наречен орбита. Точки, чиито орбити никога не надхвърлят въображаемия цилиндър, разположен в началото на сложната равнина, се считат за елементи от множеството на Манделброт и обикновено са оцветени в черно. Точките, чиито орбити излизат извън цилиндъра, са оцветени в съответствие със скоростта на "бягство": пиксел, чиято орбита напуска цилиндъра, например, на шестата итерация, може да бъде оцветен в синьо, а този, чиято орбита изисква седем итерации, за да бъде оцветени в червено. В резултат на изображението получаваме множеството Манделброт и неговата среда с „нестабилни“ фрактални области - области, за които малките промени във формулата водят до големи различия в орбиталното поведение. Това се характеризира с плътността на засенчването на шаблона. Променяйки формулата за изчисляване на орбитите, получаваме други, същите екзотични фрактали с времеви праг.
Безкрайно детайлната структура на множеството Mandelbrot става „ясна“, когато увеличите произволна област. Няма значение колко малка е площта, която гледате, рисунката, която виждате, ще бъде еднакво сложна. Защо? Тъй като в двуизмерната равнина, върху която е изградено множеството на Манделброт, всяка област съдържа безкраен брой точки. Когато изберете област за показване, компютърът картографира точките от областта до точки на екрана. И всяка точка, избрана възможно най -близо до друга, има своя характерна орбита, която генерира съответния цветен модел.
Фракталите не са само въпрос на математическо любопитство, те имат полезни приложения. Фракталните пейзажи, например, са били използвани като декорации във фантастични филми, като „ Стар Трек". CIF фракталите се използват за компресиране на изображения и фракталният метод често дава по -добри резултати при многократно компресиране от JPEG и други методи за компресиране, с малка загуба на качество на изображението. Фракталите с времеви праг се използват за моделиране на поведението на хаотични динамични системи (системи, при които малки промени във входните данни водят до големи промени в изхода), като например поведението на времето.
Нека ви запозная малко с фракталното рисуване: 
Съгласете се, изглежда ефектно!
Но фракталните пейзажи, направени в 3D, изглеждат още по -невероятни: 
