Мистериозна бъркотия: Историята на фракталите и техните приложения. Красота и сложност: фрактални модели на Земята

Често брилянтните открития, направени в науката, могат радикално да променят живота ни. Така например изобретяването на ваксина може да спаси много хора, а създаването на ново оръжие води до убийство. Буквално вчера (в мащаба на историята) човек "опитоми" електричеството, а днес вече не може да си представи живота си без него. Има обаче и такива открития, които, както се казва, остават в сянка и въпреки факта, че те също имат известно влияние върху живота ни. Едно от тези открития беше фракталът. Повечето хора дори не са чували за такова понятие и няма да могат да обяснят значението му. В тази статия ще се опитаме да се справим с въпроса какво е фрактал, да разгледаме значението на този термин от гледна точка на науката и природата.

Ред в хаос

За да разберем какво е фрактал, трябва да започнем разбора от позицията на математиката, но преди да се задълбочим в него, ние малко философстваме. Всеки човек има естествено любопитство, благодарение на което се учи Светът. Често, в желанието си за знание, той се опитва да оперира с логика в своите преценки. И така, анализирайки процесите, които протичат наоколо, той се опитва да изчисли връзките и да изведе определени модели. Най-големите умове на планетата са заети с решаването на тези проблеми. Грубо казано, нашите учени търсят модели там, където не са и не трябва да бъдат. Въпреки това, дори в хаоса има връзка между определени събития. Тази връзка е фрактал. Като пример помислете за счупен клон, лежащ на пътя. Ако го разгледаме внимателно, ще видим, че то с всичките си клони и възли, само по себе си прилича на дърво. Това сходство на отделна част с едно цяло свидетелства за т. нар. принцип на рекурсивно самоподобие. Фракталите в природата могат да се открият през цялото време, защото много неорганични и органични форми се образуват по подобен начин. Това са и облаци, и морски раковини, и черупки от охлюви, и корони на дървета, и дори кръвоносната система. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези произволни форми лесно се описват от фракталния алгоритъм. Тук идваме да разгледаме какво е фрактал от гледна точка на точните науки.

Някои сухи факти

Самата дума "фрактал" се превежда от латински като "частичен", "разделен", "фрагментиран", а що се отнася до съдържанието на този термин, формулировката като такава не съществува. Обикновено се третира като себеподобна съвкупност, част от цялото, което се повтаря от структурата си на микро ниво. Този термин е въведен през седемдесетте години на ХХ век от признатия за баща Беноа Манделброт. Днес понятието фрактал означава графично представяне на определена структура, която при уголемяване ще бъде подобна на самата себе си. Въпреки това, математическата основа за създаването на тази теория е положена още преди раждането на самия Манделброт, но не може да се развие, докато не се появят електронните компютри.

Историческа справка, или Как започна всичко

В началото на 19-ти и 20-ти век изучаването на природата на фракталите е епизодично. Това се дължи на факта, че математиците предпочитат да изучават обекти, които могат да бъдат изследвани въз основа на общи теориии методи. През 1872 г. немският математик К. Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не е диференцируема. Тази конструкция обаче се оказа напълно абстрактна и трудна за разбиране. Следва шведът Хелге фон Кох, който през 1904 г. построява непрекъсната крива, която няма допирателна никъде. Начертава се доста лесно и, както се оказа, се характеризира с фрактални свойства. Един от вариантите на тази крива е кръстен на своя автор - "снежинката на Кох". Освен това идеята за самоподобието на фигурите е разработена от бъдещия наставник на Б. Манделброт, французина Пол Леви. През 1938 г. той публикува статията "Плоски и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части като цяло". В него той описва нов вид - С-кривата на Леви. Всички горепосочени фигури условно се отнасят до такава форма като геометрични фрактали.

Динамични или алгебрични фрактали

Множеството на Манделброт принадлежи към този клас. Първите изследователи в тази посока стават френските математици Пиер Фату и Гастон Жулия. През 1918 г. Джулия публикува статия, базирана на изследването на итерациите на рационални комплексни функции. Тук той описва семейство фрактали, които са тясно свързани с множеството на Манделброт. Въпреки факта, че тази работа прослави автора сред математиците, тя бързо беше забравена. И само половин век по-късно, благодарение на компютрите, работата на Джулия получи втори живот. Компютрите направиха възможно да се направи видима за всеки човек красотата и богатството на света на фракталите, които математиците можеха да „видят“, като ги показват чрез функции. Манделброт беше първият, който използва компютър за извършване на изчисления (ръчно такъв обем е невъзможно да се извърши), което направи възможно изграждането на изображение на тези фигури.

Човек с пространствено въображение

Манделброт започва научната си кариера в Изследователския център на IBM. Изучавайки възможностите за предаване на данни на дълги разстояния, учените бяха изправени пред факта на големи загуби, възникнали поради шумови смущения. Беноа търсеше начини за решаване на този проблем. Разглеждайки резултатите от измерването, той обърна внимание на странен модел, а именно: графиките на шума изглеждаха еднакво в различни времеви скали.

Подобна картина се наблюдава както за период от един ден, така и за седем дни или за един час. Самият Беноа Манделброт често повтаряше, че не работи с формули, а си играе с картинки. Този учен беше образно мислене, той преведе всяка алгебрична задача в геометрична област, където правилният отговор е очевиден. Така че не е изненадващо, че се отличава от богатите и става баща на фракталната геометрия. В края на краищата, осъзнаването на тази фигура може да дойде само когато изучавате рисунките и мислите за значението на тези странни завихряния, които образуват модела. Фракталните рисунки нямат идентични елементи, но са сходни във всякакъв мащаб.

Джулия - Манделброт

Една от първите рисунки на тази фигура е графична интерпретация на комплекта, която се ражда благодарение на работата на Гастон Джулия и е финализирана от Манделброт. Гастон се опита да си представи как изглежда набор, изграден въз основа на проста формула, която се повтаря от цикъл обратна връзка. Нека се опитаме да обясним казаното на човешки език, така да се каже, на пръсти. За конкретна числова стойност, използвайки формулата, намираме нова стойност. Заместваме го във формулата и намираме следното. Резултатът е голям. За да представите такъв набор, трябва да извършите тази операция огромен брой пъти: стотици, хиляди, милиони. Това направи Беноа. Той обработи последователността и прехвърли резултатите в графична форма. Впоследствие той оцветява получената фигура (всеки цвят съответства на определен брой повторения). Това графично изображение се нарича фрактал на Манделброт.

Л. Карпентър: изкуство, създадено от природата

Теорията на фракталите бързо намери практическо приложение. Тъй като това е много тясно свързано с визуализацията на себеподобни образи, първите, които възприемат принципите и алгоритмите за конструиране на тези необичайни форми, са художниците. Първият от тях беше бъдещият основател на студиото Pixar Лорън Карпентър. Докато работи върху представянето на прототипи на самолети, той идва с идеята да използва изображението на планините като фон. Днес почти всеки компютърен потребител може да се справи с такава задача, а през седемдесетте години на миналия век компютрите не можеха да извършват такива процеси, т.к. графични редактории по това време нямаше приложения за триизмерна графика. Лорен се натъкна на фракталите на Манделброт: форма, случайност и измерение. В него Беноа дава много примери, показващи, че в природата има фрактали (фива), описва различните им форми и доказва, че те лесно се описват с математически изрази. Математикът цитира тази аналогия като аргумент за полезността на теорията, която развива в отговор на вълната от критики от колегите си. Те твърдят, че фракталът е просто красива картина без стойност, страничен продукт на електронните машини. Карпентър решава да изпробва този метод на практика. След като внимателно проучи книгата, бъдещият аниматор започна да търси начин за прилагане на фрактална геометрия в компютърната графика. Отне му само три дни, за да изобрази напълно реалистично изображение на планинския пейзаж на компютъра си. И днес този принцип е широко използван. Както се оказа, създаването на фрактали не отнема много време и усилия.

Решението на Дърводелец

Принципът, използван от Лорън, се оказа прост. Състои се в разделяне на по-големите на по-малки елементи, а тези на подобни по-малки и т.н. Карпентър, използвайки големи триъгълници, ги смачка на 4 малки и така нататък, докато получи реалистичен планински пейзаж. Така той става първият художник, приложил фракталния алгоритъм в компютърната графика за конструиране на необходимото изображение. Днес този принцип се използва за симулиране на различни реалистични природни форми.

Първата 3D визуализация, базирана на фракталния алгоритъм

Няколко години по-късно Лорън прилага работата си в мащабен проект - анимационен видеоклип Vol Libre, показан на Siggraph през 1980 г. Това видео шокира мнозина и създателят му беше поканен да работи в Lucasfilm. Тук аниматорът успя да се реализира напълно, той създаде триизмерни пейзажи (цялата планета) за игралния филм "Стар Трек". Всяка съвременна програма („Fractals“) или приложение за създаване на триизмерни графики (Terragen, Vue, Bryce) използва същия алгоритъм за моделиране на текстури и повърхности.

Том Бедард

Бивш лазерен физик, а сега дигитален художник и художник, Бедард създаде серия от изключително интригуващи геометрични фигури, които той нарече фрактали на Фаберже. Външно те приличат на декоративните яйца на руски бижутер, имат същия брилянтен сложен модел. Бедард използва шаблонен метод, за да създаде своите цифрови изображения на моделите. Получените продукти са поразителни със своята красота. Въпреки че мнозина отказват да сравняват ръчно изработен продукт с компютърна програма, трябва да се признае, че получените форми са необичайно красиви. Акцентът е, че всеки може да изгради такъв фрактал, използвайки софтуерната библиотека WebGL. Позволява ви да изследвате различни фрактални структури в реално време.

фрактали в природата

Малко хора обръщат внимание, но тези невероятни фигури са навсякъде. Природата е съставена от себеподобни фигури, ние просто не го забелязваме. Достатъчно е да погледнем през лупа кожата или лист на дърво и ще видим фрактали. Или вземете, например, ананас или дори опашка на паун - те се състоят от подобни фигури. А сортът броколи Романеску като цяло е поразителен с външния си вид, защото наистина може да се нарече чудо на природата.

Музикална пауза

Оказва се, че фракталите не са само геометрични форми, те могат да бъдат и звуци. И така, музикантът Джонатан Колтън пише музика с помощта на фрактални алгоритми. Той твърди, че отговаря на естествената хармония. Композиторът публикува всички свои произведения под лиценза CreativeCommons Attribution-Noncommercial, който предвижда безплатно разпространение, копиране, прехвърляне на произведения от други лица.

Фрактален индикатор

Тази техника намери много неочаквано приложение. На негова основа беше създаден инструмент за анализ на фондовия пазар и в резултат на това той започна да се използва на Forex пазара. Сега фракталният индикатор се намира на всички платформи за търговия и се използва в техника за търговия, наречена пробив на цена. Бил Уилямс разработи тази техника. Както авторът коментира своето изобретение, този алгоритъм е комбинация от няколко "свещи", в които централната отразява максималната или, обратно, минималната крайна точка.

Накрая

Така че разгледахме какво е фрактал. Оказва се, че в хаоса, който ни заобикаля, всъщност има идеални форми. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Подредено е много логично и ако не можем да намерим шаблон, това не означава, че той не съществува. Може би трябва да погледнете в различен мащаб. Можем да кажем с увереност, че фракталите все още пазят много тайни, които тепърва предстои да открием.

Майсторски клас за младши ученици "Многоцветни парчета" (фрактална рисунка).

Автор: Анна Сергеевна Огонкова, възпитател на общинската бюджетна общообразователна институция „Интернат за деца с увреждания №. Електростал на Московска област, Електростал.
Майсторският клас е предназначен за работа с деца от всяка възрастова категория. Може да се използва с учители или родители. След като завършите рисунката в тази техника, можете перфектно да украсите интериора на къщата или да дадете картината на приятели. Работейки върху този майсторски клас, ще получите много удоволствие и ще изпитате творчески подем!
Предназначение: създаване на художествено произведение в техниката „Фрактална рисунка”.
Задачи:
запознаване с нова технологиячертеж;
развитие на себеизразяване и себепознание чрез творчество;
релаксация и премахване на емоционален стрес;
създаване на колективни или индивидуални занаяти;
използването на арт терапевтични техники за коригиране на поведението на деца с увреждания;
развитие на фините двигателни умения.

Фрактална рисунка.

Автори на метода са Т. 3. Полуяхтова и А. Е. Комов. Техният метод за фрактално рисуване е на повече от 20 години. През това време хиляди хора се запознаха с метода.
Според книгата на автора:
„Особено значим беше денят 14 юли 1991 г. По това време технологията на фракталното рисуване като тест вече беше утвърдена.
За изпълнението му всички ученици бяха помолени да вземат едни и същи листове ватман (формат А4).
За да се изключи влиянието на съзнанието върху чертежа, в момента на изпълнение, всички тествани субекти бяха помолени да затворят очи. И, без да сваляте ръцете си от листа, за 45-60 секунди прокарайте химикалка върху листа, опитвайки се да запълните по-голямата част от него.
На урока присъстваха четиридесет и девет души – възрастни и деца. Най-възрастният участник в семинара беше на 56 години, най-младият - на 6 години.
Процесът на рисуване затворени очиизглеждаше като невероятна мистерия. Беше интересно да наблюдавам как се случва всичко.
Най-накрая отредените 60 секунди свършиха. Всички отвориха очи, разгледаха рисунките си и в залата се разнесе приятелски смях. Оттогава тази реакция на тествани субекти се повтаря в продължение на десет години.
Изобразеното на всеки лист наистина предизвика смях. Всички чертежи бяха различни: някои имаха правоъгълни клетки, други бяха триъгълни, някои имаха гладки линии, а някои имаха ъглови, понякога плътни бримки и кръгове.
След това учениците бяха помолени да оцветят получената рисунка. За да изключим съзнателното влияние върху избора на цвят, се съгласихме: вземайте моливи и флумастери само със затворени очи.
Когато всички рисунки бяха завършени, участниците в семинара видяха цяла галерия от човешки състояния.”
В основата на метода е принципът на фракталите и фракталността като такива. Рисунката тук се счита за продължение на човек, неговата малка част, проекция. И тази малка част отразява голямото цяло – личността. Разглеждайки снимката, можете да диагностицирате състоянието на нейния автор.

За работа ви трябва:

комплект цветни моливи, флумастери и химикалки във възможно най-много цветови нюанси; лист хартия А4; черна или тъмносиня химикалка.

Притча "Молив"

Преди да постави молива в кутията, производителят на моливи го остави настрана.
„Има пет неща, които трябва да знаете“, каза той на молива, „преди да те изпратя в света. Винаги ги помнете и никога не забравяйте, и тогава ще станете най-добрият молив, който можете да бъдете.
Първо, можете да направите много велики неща, но само ако позволите на Някой да ви държи в ръката Си.
Второ, от време на време ще изпитвате болезнено смилане, но ще е необходимо да станете по-добър молив.
Трето, ще можете да коригирате грешките, които правите.
Четвърто, най-важната ви част винаги ще бъде във вас.
И пето, независимо на каква повърхност се използва, винаги трябва да оставяте своя отпечатък. Независимо от състоянието ви, трябва да продължите да пишете.
Молив разбра и обеща да запомни това. Той беше поставен в кутия с призвание в сърцето му.

Стъпка по стъпка процесвърши работа:

1. Ние събираме необходими материализа работа.

2. Поставяме листа пред нас хоризонтално. Поставяме топчето на писалката във всяка точка на листа. Затваряйки очи, начертайте непрекъсната линия, опитвайки се да запълните възможно най-много листа в рамките на 45 - 60 секунди.

3. Затваряйки очи, изберете молив. Когато рисувате, не забравяйте, че съседните клетки, разделени с линия, не могат да бъдат запълнени със същия цвят. Ако клетките се докосват в дадена точка и са разположени диагонално, тогава можете. Един цвят може да се използва за боядисване на една клетка или на няколко клетки.

4. Затваряйки очи, изберете следващия молив. Оцветете несвързани клетки.

5. Затваряйки очи, изберете следващия молив. Оцветете несвързани клетки.

6. Нашата картина "Цветни парчета" е готова.

7. Тази рисунка не само ще помогне за облекчаване на емоционалния стрес по време на творчеството, ще ви позволи да диагностицирате емоционалното състояние (Приложение 1), но и ще украсите интериора. Вашата картина е уникална!

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ФРАКТАЛНИЯ МОДЕЛ
1. АНАЛИЗ И ДЕКРИПТИРАНЕ НА ИНФОРМАЦИЯТА, СЪДЪРЖАЩА се във ФРАКТАЛНА КАРТИНА ЗАПОЧВА С ЛИНИЯ.
Ясно начертаната линия е уверен, твърд характер, целеустременост и независимост, точност, старание, ангажираност.
Натискът при теглене на линия не е еднакъв навсякъде - най-често е такъв творческа личностс гъвкав характер, мечтател, не винаги стабилни емоции, понякога се проявява неувереност.
Слабо начертани линии - болезнено състояние, комплекси, забележимо съмнение в себе си.
Остри, ъглово начертани линии - емоционален стрес, стресово състояние.
Линии с плавни преходи - хармонично, стабилно състояние.
Подреждането на линии в концентричен кръг, кръгово повторение в рисунката - склонност към обсесивни състояния, неврози.

2. РАЗМЕР И КОНФИГУРАЦИЯ НА КАРТИНАТА
Малка рисунка (не повече от 1/3 от площта на листа) - от една страна, комплекси и ниско самочувствие, от друга, склонност към егоцентризъм.
Средният размер (около 2/3 от площта на листата) и овалния периметър на шаблона най-често са индикатор за балансиран характер.
Голяма рисунка (значително повече от 2/3 от площта на листа) с линии, излизащи отвъд листа, е нестабилно емоционално състояние, в някои случаи невъзможност за концентрация. Правоъгълната форма на периметъра на шаблона е праволинеен, често сложен характер.
Конфигурацията на модела със сложно изразени "опашки" по периметъра е ярка индивидуалност, оригиналност, в някои случаи нестабилност на характера.

3. КЛЕТКИ. КОНФИГУРАЦИЯ И РАЗМЕРИ.
Хармоничната комбинация от размери на клетките по цялата площ на картината (1/3 голяма, 1/3 средна, 1/3 малка) говори за самочувствие, решителност и стабилност.
Голям брой големи клетки - вид отворена природа.
Голям брой средни клетки - усърдие, точност, педантичност, наличие на аналитични способности, склонност към точните науки.
Голям брой малки клетки - сложни, стремящи се към детайлност, в някои случаи неувереност, но винаги точност и старание.
Гладки, заоблени клетки с малък брой геометрични фигури- благоразумен спокоен характер, склонност към творчество.
Голям брой геометрични фигури - изразена склонност към анализ, скептицизъм в оценките, директен авторитарен характер.
Рязко изтеглени, ъглови, неравни клетки - емоционална нестабилност, раздразнение, стрес.

4. ТОЧКА
Малки черни (точкови петна) клетки - наличието на качеството на "оформителя" на събитията (за което човек мисли, това се случва).
Всяко малко черно петно е доказателство за началото на промяна в събитията в настоящето.
Забележим брой средни петна или голямо черно петно - енергиен глад (нежелан труд, работа на празен ход).
Голямо локално тъмно петно е остър личен проблем.

5. ХАРАКТЕРИСТИЧНИ ЦВЕТНИ АКЦЕНТИ
Големи червени кръвни клетки - предразположение към обсесивни състояния, тревожност.
Забележимо количество червени петна със среден размер - напрежение, нестабилни емоции.
Една или повече големи клетки Кафявдълго нерешени проблеми на междуличностните отношения.
Голям брой нюанси на зеленото е естествената способност на тялото да се саморегулира.
Една или повече големи лилави клетки - тревожност, агресия, остър стрес.

6. ЦВЯТ
Почистете без петна и петна бял фонрисуване - висока концентрация на внимание, старание, точност.
Случайно или умишлено незасенчени клетки бял цвят- говорят за значителна липса на търсене на природни дадености.
- Лимонено жълто - цветът на учителя, учителя.
- Пиле-жълто - цветът на "препредавателя", предавателя на информацията, коментатора.
- Зелен цвят на всички нюанси - цветът на здравословната енергия, оптималната способност за съпротивление и самолечение на организма, способността за лечение.
Синьото е цветът на спокойната енергия.
Синьото и тъмно синьото са цветът на студената безразлична енергия.
Люлякът е цветът на силната енергия.
Лилавото е цветът на бликащата енергия.
Люлякът е цветът на мощна, неконтролируема енергия.
Розовото е цветът на топлата енергия.
Алено, пурпурно - цвят, който сигнализира за наличието на опасност, цвят на тревожност.
Дебел нюанс на червено, бордо, череша - цветът на силата, агресивната енергия.
- оранжев цвят- цветът на жизнената, сексуалната енергия.
- Светли нюанси (златисто, бежово, охра, пясък) кафяво - цветът на чистата енергия, святата енергия.
- Кафяв - цветът, който определя наличието на неприятности, дълбоки чувства, депресия (в комбинация с други тъмни цветове и нюанси).
- Тъмно кафяво - цветът, който определя наличието на неприятности, дълбоки чувства, депресия (в комбинация с други тъмни цветове и нюанси).
- Сив цвят- цвят, който определя наличието на нестабилни енергии, в комбинация с други тъмни цветове - гранично състояние. В малки количества този цвят означава бърза промяна в текущите събития.
- Черен цвят - цветът на енергийната яма, вакуум, празнота, енергийно обезвреждане.

Днес човек живее в свят, в който информацията е от голямо значение. Важно е да се научите как да работите правилно с него и да използвате различни инструменти за тази работа. Един от тези инструменти е компютърът, който се превърна в универсален помощник на човек в различни полетадейности. Съвременните математически модели са толкова красиви и загадъчни, че лесно могат да подлудят впечатляващия ученик и учен. Многоцветни изображения на фрактали изумяват със своята съвременна хармония. Ето защо можете спокойно да окачите снимка на фрактал у дома на стената и да играете на членовете на домакинството си, за да кажат, че тази работа известен художник, и сте го купили за цяло състояние на модерна изложба на модерен авангард.

фрактализабележително с това, че много от тях са изненадващо подобни на това, което намираме в природата. Снежинка, морско конче, клони на дървета, мълния и планински вериги могат да бъдат нарисувани с помощта на фрактали. Затова много съвременни учени казват, че природата има свойството на фракталност. Без преувеличение може да се каже, че съавторът на откритието на Манделброт е компютър. За да начертаете фрактал, трябва да извършите голям брой изчисления и да начертаете намерените точки на графика. Правенето на това ръчно е изключително досадно, но компютърът се справя отлично с тази задача. С настъпването компютърна графикапроменил се е и подходът към изследванията в точните науки. Ако по-рано учените трябваше да се занимават основно с числа и формули, сега работата им стана много по-интересна. С помощта на компютрите могат да рисуват големи красиви снимкиявления, които се изучават. Някои от учените толкова се увлякоха от това, че станаха художници, а днес има изложби на фрактална живопис по целия свят.

И така, какво е фрактал?

Фракталите са геометрични обекти с невероятни свойства: всяка част от фрактала съдържа неговото намалено изображение. Тоест, колкото и да е увеличен фракталът, неговото намалено копие ще ви гледа от всяка част от него.

Първите идеи за фракталната геометрия възникват през 19 век. Какво е фрактална графика? Сред всички картини, които компютърът може да създаде, малцина могат да спорят с фракталните изображения, когато въпросниятза истинската красота. За повечето от нас думата „фрактал“ напомня за вихри от цветове, които образуват сложен, фин и сложен модел. Но терминът всъщност има много по-широко значение. Фракталът е обект с безкрайна сложност, който ви позволява да видите колкото се може повече от неговите детайли отблизо, така и отдалеч.

Земя - класически примерфрактален обект. От космоса изглежда като балон. Ако се приближим до него, ще открием океани, континенти, брегове и планински вериги. Ако погледнем по-отблизо планините, ще станат видими дори по-малки детайли: парче земя на повърхността на планината е толкова сложно и неравномерно, колкото самата планина по своя мащаб. И още по-голямо увеличение ще покаже малки частици почва, всяка от които сама по себе си е фрактален обект. Компютрите правят възможно изграждането на модели на такива безкрайно детайлни структури.

Има много методи за създаване на фрактални изображения на компютър. Двама професори по математика в Технологичния институт на Джорджия разработиха широко използван метод, известен като Системи от итерирани функции (SIF). С помощта на този метод се създават реалистични изображения на природни обекти, като листа от папрат, дървета, като се прилагат многократно трансформации, които преместват, преоразмеряват и завъртат части от изображението. SIF използва самоподобието, което притежават творенията на природата, и обектът се моделира като композиция от много малки копия на самия себе си.

фрактални изображенияс многоцветни къдрици обикновено принадлежат към категорията на така наречените фрактали с времеви праг, които са представени от точки в сложната равнина с цветове, отразяващи времето, необходимо на орбитата на дадена точка да пресече („прегази“) определен граница. Комплексна равнина - като координатна равнина с оси x и y. При дадена двойка координати една точка се изгражда в комплексната равнина по същия начин като точка в равнината на Oxy, но числата имат различно, необичайно значение: те имат въображаем компонент, наречен i, който е равен на квадрата корен от -1. (Ето защо i е въображаема единица — коренът от -1 всъщност не съществува.) Той изкривява обичайните правила на математиката, така че обичайните операции като умножаване на две числа дават необичайни резултати.

Най-известният фрактал Комплект Манделброте фрактал с времеви праг. За всяка точка на екрана компютърът изчислява координатите на поредица от точки, които определят въображаем път, наречен орбита. Точки, чиито орбити никога не надхвърлят въображаемия цилиндър, разположен в началото на сложната равнина, се считат за елементи от множеството на Манделброт и обикновено са боядисани в черно. Точките, чиито орбити напускат цилиндъра, са оцветени в съответствие със скоростта на „избягане“: пиксел, чиято орбита напуска цилиндъра, например при шестата итерация, може да бъде оцветен в синьо, а този, чиято орбита отнема седем повторения, за да направи това може да се оцвети в червено. В резултат на изображението получаваме множеството на Манделброт и неговата среда с "нестабилни" области на фрактала - области, за които малки промени във формулата водят до голяма разлика в орбиталното поведение. Това се характеризира с плътността на засенчване на шаблона. Променяйки формулата за броене на орбити, получаваме други, същите екзотични фрактали с времеви праг.

Безкрайно подробната структура на набора на Манделброт става "ясна", когато увеличите произволна област. Няма значение колко малка е площта, която разглеждате, чертежът, който ще видите, ще бъде еднакво сложен. Защо? Защото в двумерната равнина, върху която е изградено множеството на Манделброт, всяка област съдържа безкраен брой точки. Когато изберете област за показване, компютърът картографира точки от областта към точки на екрана. И всяка точка, избрана произволно близо до друга, има своя собствена характерна орбита, генерираща съответния цветен модел.

Фракталите не са само обект на математическо любопитство, те имат полезни приложения. Фракталните пейзажи, например, са били използвани като декорации в научнофантастични филми като Стар Трек. CIF фракталите се използват за компресиране на изображения и фракталният метод често дава по-добри резултати с многократна компресия от JPEG и други методи за компресия, с малка загуба в качеството на изображението. Фракталите с времеви праг се използват за моделиране на поведението на хаотичните динамични системи (системи, в които малки промени във входа водят до големи промени в изхода), като поведението на времето.

Нека ви запозная малко с фракталния модел:

Съгласете се, изглежда грандиозно!

Но още по-невероятна визия, направена в 3D фрактални пейзажи:

Вероятно сте виждали толкова впечатляващи модели с много цветове и "къдрици" много пъти ...
Много от тях са построени чрез многократно копиране на обикновени форми, всяка от които е намалено копие на голям орнамент.
Този урок ще ви научи как да правите подобни модели в Adobe Photoshop.

Ето крайния резултат от това, което ще направим:

Етап 1
фрактал(лат. fractus - смачкан) - термин със значение геометрична фигура, който има свойството на самоподобие, тоест съставен е от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло. В по-широк смисъл фракталите се разбират като набори от точки в евклидовото пространство, които имат дробна метрична размерност (по смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрична размерност, строго по-голяма от топологичната. © Уикипедия
Е, нека започваме. Първо създайте нов документ с размери 1600x1200 пиксела и поставете направляващи линии (Лилии (Ctrl + R)) в центъра на документа. След това запълнете фона с кръгъл градиент #095261 - #000000 стриктно от центъра.

Стъпка 2
Сега да нарисуваме обикновен кръг... Да, не се шегувам, всичко започва с обикновен кръг. Начертайте го с инструмента Ellipse "a, като задържите Shift. Имам го с размер 83x83 пиксела и се намира в средата на изображението. След това създайте папка за фрактален слой и поставете слоя с кръг там.

Стъпка 3
Нека добавим дълбочина към кръга:

Стъпка 4
Сега дублирайте слоя с кръг (Ctrl + J), преоразмерете го и го задайте, както е показано на фигурата по-долу:

Белият триъгълник ми служи като ориентир за преместване на кръговете :)
Стъпка 5
Тук започва забавната част. Дублирайте слоя с основата на нашия шаблон (като преди това сте свързали слоевете с кръгове) и натиснете Ctrl + Alt + T, за да влезете в режим на безплатна трансформация.

Стъпка 6
Задръжте Shift, завъртете шаблона на няколко градуса по посока на часовниковата стрелка и го намалете малко. След това преместваме центъра за трансформация наляво и под нашия модел (посоката зависи от вашите нужди). Натиснете Enter.

Стъпка 7
Време е за малък трик с един пряк път (Ctrl+Shift+Alt+T). Натиснете тази магическа комбинация от клавиши. Какво стана? Photoshop приложи същите опции за трансформация към новия обект. Повтаряме тази стъпка няколко пъти, докато постигнем желания резултат.

Стъпка 8
Дублирайте папката Fractal и натиснете Ctrl+E, за да я обедините в един слой. Скрийте оригиналната папка. Поставяме получения модел в долния десен сектор на нашия документ.

Стъпка 9
Изберете получения слой, дублирайте го и приложете безплатна трансформация към него, като центърът за трансформация е изместен в средата на документа. Завъртете шаблона на 120 градуса.

Стъпка 10
Правим същото, за да получим третото лице. След това създаваме папка със слоеве и поставяме всичките 3 получени шаблона там. Дублирайте папката и обединете съдържанието й в един слой (Ctrl + E).

Стъпка 11
Дублирайте слоя и го трансформирайте:

Стъпка 12
Отидете в менюто Image-Adjustments-Hue/Saturation и задайте следните параметри:

Стъпка 13
Повтаряме точки 11 и 12 (12 с други параметри):

Стъпка 14
Прилагаме тази техника много пъти, докато постигнем подобен резултат. Поставяме всички получени слоеве в нова папка, дублираме я и отново комбинираме съдържанието му в един слой (всичко създадено по-рано може да бъде скрито).

Стъпка 15
Добавяне на сянка.

Стъпка 16
Извършваме маневрите, описани в параграф 5, с получения орнамент.

Заключение
Както можете да видите, много красиви абстрактни дизайни могат да бъдат създадени с помощта на тази техника. Успех в начинанията! :)